数学选择性必修 第三册第六章 导数及其应用6.1 导数6.1.2 导数及其几何意义图片课件ppt

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1.理解函数平均变化率的概念,会求函数的平均变化率;2.理解瞬时变化率与导数的概念,会用导数的定义求函数在某点处的导数;3.理解导数的几何意义,并能应用导数的几何意义解决相关问题.
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一般地,若函数y=f(x)的定义域为D,且x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f(x1),y2=f(x2),则称Δx=x2-x1为自变量的改变量;称Δy=y2-y1(或Δf=f(x2)-f(x1))为相应的因变量的改变量;称　　　　　　　 　　　　为函数y=f(x)在以x1,x2为端点的闭区间上的　　　　　　　. 
名师点睛函数平均变化率的几何意义:
如图所示,函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率,就是直线AB的斜率,其中A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)).事实上,
过关自诊1.已知函数f(x)=x2+1,则在[2,2.1]上函数值的改变量为(　　)
2.[北师大版教材习题改编]已知函数y=f(x)=-2x+1.(1)当x从1变为2时,函数值y改变了多少?此时该函数的平均变化率是多少?(2)当x从-1变为1时,函数值y改变了多少?此时该函数的平均变化率是多少?
解设因变量的改变量为Δy,函数y关于x的平均变化率为
(1)Δy=f(2)-f(1)=(-2×2+1)-(-2×1+1)=-2,
从物理学中我们知道,平均速度可以描述物体在一段时间内运动的快慢,如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x=h(t),则物体在[t1,t2](t1过关自诊若质点运动规律为s=t2+3,则在时间段[3,3+Δt]内的平均速度等于(　　)
一般地,设函数y=f(x)在x0附近有定义,自变量在x=x0处的改变量为Δx,当Δx无限接近于0时,若平均变化率 无限接近于一个常数k,那么称常数k为函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率.此时,也称f(x)在x0处可导,并称k为f(x)在x=x0处的导数,记作　　　　　. 
名师点睛导数定义式的几种常见的变式:
过关自诊1.[2023贵州黔西高二校考阶段练习]已知函数f(x)=2x+1,则
A.2B.3C.4D.5
2.已知函数f(x)=x2,则f(x)在x0处的导数等于　　　　　. 
3.[人教A版教材习题]一个小球从5 m的高处自由下落,其位移y(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系为y(t)=-4.9t2,求t=1 s时小球的瞬时速度.
所以t=1 s时小球的瞬时速度为-9.8 m/s.
函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,f'(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处(也称在x=x0处)的　　　 　　,从而根据直线的点斜式方程可知,切线的方程是　　　　　　 　　. 
y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
探究点一　求函数的平均变化率与运动物体的平均速度
【例1】 (1)若某一物体的运动方程为s=-2t2,那么该物体在t=2 到t=3时的平均速度为　　　　　. 
解析 平均速度为 =-10,故该物体在t=2到t=3时的平均速度为-10.
(2)求函数f(x)= 在区间[-1,0],[1,3],[x0,x0+1]上的平均变化率.
规律方法　求函数平均变化率的解题策略(1)求函数y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率的解题步骤:①求函数值的改变量:Δf=f(x2)-f(x1);②求自变量的改变量:Δx=x2-x1;
(2)运动物体在t0到t1这段时间内运动的平均速度就是物体运动的位移函数s(t)在区间[t0,t1]上的平均变化率,因此求平均速度的实质也是求函数的平均变化率.
变式训练1已知函数f(x)=3x2+5,求:(1)f(x)在区间[0.1,0.2]上的平均变化率;(2)f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率.
解(1)因为f(x)=3x2+5,所以从0.1到0.2的平均变化率为
探究点二　比较平均变化率的大小
(1)甲、乙两人走过的路程s1(t),s2(t)与时间t的关系如图所示,则在[0,t0]这个时间段内,甲、乙两人的平均速度v甲,v乙的大小关系是(　　)A.v甲>v乙B.v甲解析 由图知,s1(t0)=s2(t0),s1(0)>s2(0)>0,
(2)已知函数f(x)=3-x2,计算当x0=1,2,3,Δx= 时,平均变化率的值,并比较在哪一点附近的平均变化率最大?
解 函数f(x)=3-x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率为
∴函数f(x)=3-x2在x0=1附近的平均变化率最大.
规律方法　函数的平均变化率 表示点(x0,f(x0))与点(x1,f(x1))连线的斜率,是曲线陡峭程度的“数量化”,其值可粗略地表示函数的变化趋势.(1)当比较函数平均变化率的大小时,可以先将函数在每个自变量附近的平均变化率求出,然后进行大小的比较.(2)当识图时,一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系,图象在点x0附近的图象越“陡峭”,函数值变化就越快.
变式训练2[2023山东聊城高二校考练习]如图,函数y=f(x)在区间[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]上,平均变化率最大的一个区间是(　　)A.[x1,x2]B.[x2,x3]C.[x1,x3]D.[x3,x4]
解析 由函数f(x)平均变化率的计算公式,可得
结合函数y=f(x)的图象,可得P2探究点三　求运动物体的瞬时速度或函数在某一点处的导数
(2)[人教A版教材习题]火箭发射t s后,其高度(单位:m)为h(t)=0.9t2.求:①在1≤t≤2这段时间里,火箭爬高的平均速度;②发射后第10 s时,火箭爬高的瞬时速度.
所以发射后第10 s时,火箭爬高的瞬时速度为18 m/s.
(3)求函数f(x)=x- 在x=1处的导数.
规律方法　求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤
简称:一差、二比、三极限.
变式训练3求函数f(x)=3x2在x=1处的导数.
解∵Δf=f(1+Δx)-f(1)=3(1+Δx)2-3=6Δx+3(Δx)2,
探究点四　求曲线的切线方程
【例4】 [北师大版教材习题]求函数f(x)= 在x=2处的切线方程.
变式探究已知函数f(x)= ,求过点(2,0)且与曲线y=f(x)相切的直线方程.
规律方法　解决过点M(x1,y1)与曲线y=f(x)相切的切线方程问题的常用方法方法一:(1)设切点为P(x0,y0),则y0=f(x0),切线斜率k=f'(x0).(2)由kPM=k,得方程
(3)解方程组,得k,x0,y0,从而得切线方程.
1.如图所示,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率等于(　　)
A.1B.-1C.2D.-2
2.[2023江苏南通如东月考]已知f(x)是定义在R上的可导函数,若
4.已知直线y=3x+1与曲线y=x3+ax+3相切于点(1,4),则a=　　　　. 
解析 由于切点(1,4)在曲线y=x3+ax+3上,所以4=13+a+3,解得a=0.
5.一木块沿某一斜面自由下滑,测得下滑的水平距离s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为s= t2,则当t=2 s时,此木块在水平方向的瞬时速度为　　　m/s.