高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.1 直线的倾斜角与斜率课文配套ppt课件

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1.理解直线的倾斜角和斜率的概念;2.经历用代数的方法刻画直线斜率的过程;3.掌握过两点的直线斜率的计算公式并能解决相关的实际问题;4.理解直线的方向向量和法向量的概念,并能找出其与直线斜率和倾斜角的内在联系.
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一般地,给定平面直角坐标系中的一条直线,如果这条直线与x轴相交,将x轴绕着它们的交点　　　　　　　　旋转到与直线重合时所转的　　 　　记为θ,则称θ为这条直线的倾斜角;如果这条直线与x轴平行或重合,则规定这条直线的倾斜角为0°.直线倾斜角的范围是0°~180°(即[0,π)). 
名师点睛1.任意一条直线都有唯一的倾斜角α,但倾斜角为α的直线有无数多条.2.一般地,如果A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,直线l的倾斜角为θ,当y1=y2时(此时必有x1≠x2),θ=0°;当x1=x2时(此时必有y1≠y2),θ=90°.
过关自诊1.(多选题)下列说法中,正确的是(　　)A.直线的倾斜角为0°,则此直线与x轴平行B.一条直线的倾斜角为-30°C.若直线的倾斜角为α,则sin α≥0D.任意直线都有倾斜角α,且α=90°时,直线与x轴垂直2.直线y=x的倾斜角为　　　　. 
(1)一般地,如果直线l的倾斜角为θ,则当θ≠90°时,称k=　　　为直线l的斜率;当θ=90°时,称直线l的斜率不存在. 
(2)若A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l上两个不同的点,则当x1≠x2时,直线l的斜率为k=　　　　　. 当x1=x2时,直线l的斜率不存在.
名师点睛斜率与倾斜角的对应关系
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)任何一条直线都有倾斜角,都存在斜率.(　　)(2)任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.(　　)(3)倾斜角为α的直线不唯一.(　　)(4)两条直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等.(　　)
2.下面选项中,两点确定的直线的斜率不存在的是(　　)A.(4,2)与(-4,1)B.(0,3)与(3,0)C.(3,-1)与(2,-1)D.(-2,2)与(-2,5)
解析 选项D中,因为x1=x2=-2,所以直线垂直于x轴,倾斜角为90°,即斜率不存在.
直线的方向向量和直线的法向量
名师点睛直线的方向向量和法向量与斜率k(倾斜角θ)的关系(1)直线的方向向量不唯一,有无数多个,这些方向向量共线,(1,k)是其中一个,由向量垂直可知,(k,-1)是直线的一个法向量;(2)一般地,当直线的倾斜角为θ时,(cs θ,sin θ)是直线的一个方向向量.
过关自诊已知直线l:y=3x+1,你能给出这条直线的一个方向向量a和一个法向量v吗?该直线的斜率是多少?
探究点一　直线的倾斜角
【例1】 (1)下列说法正确的是(　　)A.一条直线和x轴的正方向所成的角,称为这条直线的倾斜角B.直线的倾斜角α在第一象限或第二象限C.和x轴平行的直线,它的倾斜角为0°D.不是每一条直线都有倾斜角
解析 由倾斜角的定义可知,A错误;倾斜角的范围是0°~180°,故B错误;和x轴平行的直线的倾斜角是0°,故C正确;每条直线都有倾斜角,故D错误.
(2)已知直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)
解析 直线倾斜角的取值范围是[0,π).又因为直线l经过第二、四象限,所以直线l的倾斜角α的取值范围是
规律方法　求直线的倾斜角的方法及注意点(1)方法:结合图形,利用特殊三角形(如直角三角形)求角.(2)两点注意:①当直线与x轴平行或重合时,倾斜角为0°;当直线与x轴垂直时,倾斜角为90°;②注意直线倾斜角的取值范围.
变式训练1已知直线l的倾斜角为θ-25°,则角θ的范围为(　　)A.25°≤θ<155°B.-25°≤θ<155°C.0°≤θ<180°D.25°≤θ<205°
解析 因为直线l的倾斜角为θ-25°,所以0°≤θ-25°<180°,所以25°≤θ<205°.
探究点二　直线的斜率和倾斜角的关系
【例2】 已知直线l过点M(m+1,m-1),N(2m,1).(1)当m为何值时,直线l的斜率是1?(2)当m为何值时,直线l的倾斜角为90°?
(2)因为直线l的倾斜角为90°,所以直线l的斜率不存在,所以m+1=2m,所以m=1.
变式探究1本例条件不变,试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围.
解 因为直线l的倾斜角为锐角,所以直线的斜率大于0,即
故m的取值范围为(1,2).
变式探究2若将本例中的“N(2m,1)”改为“N(3m,2m)”,其他条件不变,结果如何?
解 (1)因为直线l的斜率是1,所以 =1,所以m=2.(2)因为直线l的倾斜角为90°,所以直线l的斜率不存在,所以m+1=3m,所以m= .
规律方法　通过本例的求解,一定要熟练地掌握直线的斜率与倾斜角的对应关系,若直线斜率存在,则除了斜率公式之外还可以应用k=tan α(其中α为直线的倾斜角,k为直线的斜率),斜率为零和斜率不存在时对应的情况要引起重视.
变式训练2(1)若过点P(1-a,1+a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围是　　　　. 
解析 因为直线的倾斜角为钝角,
所以-2(2)求证:A(1,5),B(0,2),C(2,8)三点共线.
证明 (方法一)利用斜率公式计算出AB和AC两条直线的斜率,
因为直线AB和AC的斜率相同,且直线AB和AC过同一点A,所以A,B,C三点共线.
即|AB|+|AC|=|BC|,所以A,B,C三点共线.
探究点三　求直线的方向向量和法向量
【例3】 已知直线过点A(-1,-2),B(3,2),试求:直线的一个方向向量a,一个法向量v,斜率k与倾斜角θ.
解 根据方向向量的定义可知直线的一个方向向量为 =(3-(-1),2-(-2))=(4,4),∴取a=(4,4).再根据a与v垂直,因此取v=(4,-4).直线的斜率k= =1,再由tan θ=k=1,得θ=45°.综上可知,该直线的一个方向向量为(4,4),一个法向量为(4,-4),斜率为1,倾斜角为45°.
规律方法　1.求解一条直线的方向向量、法向量、斜率、倾斜角问题,一定要明确其定义.2.利用相应的计算公式以及理解它们之间的内在联系,尤其是可以根据方向向量进而得出法向量,也可以根据方向向量求斜率.
变式训练3[北师大版教材习题]已知直线l的斜率为-2,求直线l的一个方向向量的坐标.
解 直线l的一个方向向量的坐标为(1,-2).
1.过点P(-2,m)和点Q(m,4)的直线的斜率为1,则m的值为(　　)A.1B.4C.1或3D.1或4
解析 由斜率公式,有1= ,得m+2=4-m,故m=1.
2.若直线l的斜率k=-2,又过点(3,2),则直线l也过点(　　)A.(0,4)B.(4,0)C.(0,-4)D.(-2,1)
3.(多选题)若两直线l1,l2的倾斜角分别为α1,α2,则下列四个命题是假命题的有(　 　)A.若α1<α2,则两直线的斜率k14.直线y=- x+9的斜率为　　　　,一个方向向量为　　　　,倾斜角为　　　　,一个法向量为　　　　. 
5.在y轴上有一点M,它与点(- ,1)连成的直线的倾斜角为60°,则点M的坐标为　　　　　. 
解析 设点M的坐标为(0,y),则tan 60°= ,解得y=4,所以点M的坐标为(0,4).
6.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则 的值等于　　　　　. 
解析 因为2≠0,所以直线AC的斜率kAC存在.