广东省阳江市2023-2024学年高三上学期第一次阶段调研考试数学试题

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2024届高三第一次阶段调研试题

数学试题

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

2．设函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C．         D．

3．已知函数在区间内没有零点，但有极值点，则的取值范围（    ）

A． B． C． D．

4．三棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值是（    ）

A． B．

C． D．

5．四棱柱中，侧棱底面，，，，侧面为正方形，设点O为四棱锥外接球的球心，E为上的动点，则直线与所成的最小角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

6．已知双曲线（）的左焦点为F，过F的直线交E的左支于点P，交E的渐近线于点M，N，且P，M恰为线段FN的三等分点，则双曲线E的离心率为（    ）

A．2 B． C． D．

7．已知实数满足：，则（    ）

A． B． C． D．

8．直角中，，，D是斜边AC上的一动点，沿BD将翻折到，使二面角为直二面角，当线段的长度最小时，四面体的外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．若函数（）的最小正周期为，则（    ）

A． B．在上单调递减

C．在内有5个零点 D．在上的值域为

10．在边长为2的菱形ABCD中，，将菱形ABCD沿对角线BD折成空间四边形A'BCD，使得．设E，F分别为棱BC，A'D的中点，则（    ）

A． B．直线A'C与EF所成角的余弦值为

C．直线A'C与EF的距离为 D．四面体A'BCD的外接球的表面积为

11．抛物线C：，AB是C的焦点弦（    ）

A．点P在C的准线上，则的最小值为0

B．以AB为直径的所有圆中，圆面积的最小值为9π

C．若AB的斜率，则△ABO的面积

D．存在一个半径为的定圆与以AB为直径的圆都内切

12．设定义在R上，若对任意实数t，存在实数，使得成立，则称满足“性质T”，下列函数不满足“性质T”的有（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．设函数，若存在最大值，则实数a的取值范围为 ．

14．在菱形ABCD中，，，AC与BD的交点为G，点M，N分别在线段AD，CD上，且，，将沿MN折叠到，使，则三棱锥的外接球的表面积为．

15．已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，圆与直线相交于两点，与线段相交于点，且．若是线段上靠近的四等分点，则抛物线的方程为．

16．已知函数，若在区间上有零点，则的最大值为.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

在中，为边上一点，且平分．

(1)若，求与；

(2)若，设，求．

18．（12分）

已知数列满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，数列的前项和为，证明：.

19．（12分）

如图，四棱锥的底面为直角梯形，底面，，，，为棱上一点.

(1)证明：平面平面；

(2)若，求点到平面的距离.

20．（12分）

已知椭圆的中心为O，左、右焦点分别为，，M为椭圆C上一点，线段与圆相切于该线段的中点N，且的面积为4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)椭圆C上是否存在三个点A，B，P，使得直线AB过椭圆C的左焦点，且四边形是平行四边形？若存在，求出直线AB的方程；若不存在.请说明理由.

21．（12分）

部分高校开展基础学科招生改革试点工作（强基计划）的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节.已知两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立.若某考生报考大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，，其中.

(1)若，分别求出该考生报考两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；

(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更有希望进入大学的面试环节，求的范围.

22．（12分）

已知函数．

(1)若，证明：恒成立．

(2)若存在零点，求a的取值范围．

 2024届高三第一次阶段调研试题

数学试题参考答案及评分细则

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．14．15．16．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．

【解析】（1）如下图所示：

因为平分，所以，又因为在上，所以，因此，又，所以．

在中，，可得．

在中，由余弦定理可得，故．.........................................（4分）

（2）如下图所示：

因为平分，，又，

所以，在中，由正弦定理可得

，又，所以，

展开并整理得，解得．.........................................（6分）

18．【解析】（1），又，

是以为首项，1为公差的等差数列，

..........................................（4分）

（2）由（1），，

，

，

..........................................（8分）

19．【解析】（1）由题意可知，

因为底面，平面，

所以，又，

所以平面，又平面，

所以平面平面..........................................（4分）

（2）由题意可知，所以为等边三角形，且，

连接，设中点为，作，作于交AC于H，

连接，，EF，因为，且，

可知平面EFH，故平面EFH平面PAD，

从而，，所以有平面ABCD，，

又因为，所以H是AB中点，进而E、F分别是PC、AC中点，...................................（6分）

在中，，

的面积，

的面积，

设点到平面的距离为，

由，得，则，

故点到平面的距离为............................................................................（8分）

20．【解析】（1）连接，则，

因为为的中点，为的中点，所以，

故，，.........................................（2分）

，解得，

由椭圆定义可知，，解得，

由勾股定理得，即，解得，

故，

故椭圆方程为；.........................................（4分）

（2）由题意得，当直线的斜率不存在时，即，

此时，解得，设，

由于，由对称性可知，为椭圆左顶点，但，故不合要求，舍去，

当直线的斜率存在时，设为，

联立得，，

，.........................................（4分）

设，则，

，

则中点坐标为，

假设存在点P，使得四边形是平行四边形，则，

将代入椭圆中，得，

解得，此时直线AB的方程为..........................................（8分）

21．【解析】（1）设该考生报考大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，

则；

该考生报考大学恰好有一门笔试科目优秀为事件，

则..........................................（4分）

（2）该考生报考大学达到优秀科目的个数设为，则，；

该考生报考大学达到优秀科目的个数设为，则所有可能的取值为，

；；

；；......................（4分）

随机变量的分布列：

；

该考生更有希望进入大学的面试环节，，即，

解得：，的范围为..........................................（8分）

22．

【解析】（1）证明：当时，，可得，

当时，；当时，．

所以在上单调递增，在上单调递减，可得，

所以当时，恒成立．.........................................（4分）

（2）令，可得，

令函数，可得．.........................................（2分）

令函数，则，所以在上单调递增，

又因为，所以当时，；当时，，

当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，所以．

当时，；当时，，

因为存在零点，所以，故实数a的取值范围为．.........................................（8分）

解法2：由函数，可得，

由，可得，其判别式，

由一元二次方程根与系数的关系知，关于x的方程有唯一正根，

设的唯一正根为m，则有，

当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，

当时，；当时，．

因为存在零点，所以，

设，则，则，所以在上是增函数，

所以，即，由，可得，

由，得，故a的取值范围为．.........................................（8分）