河南省新乡市封丘县金瀚学校2023-2024学年九年级上学期入学数学试卷（含答案）

2023-2024学年河南省新乡市封丘县金瀚学校九年级（上）入学数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）下列一定是二次根式的是（　　）

A． B．2 C．﹣ D．

2．（3分）若代数式有意义，则x应满足的条件是（　　）

A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x≥﹣1

3．（3分）下列计算正确的是（　　）

A． B． C． D．

4．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

5．（3分）化简的结果是（　　）

A．3x﹣10 B．3x+10 C．10﹣3x D．10x﹣3

6．（3分）已知x，y是实数，且满足，则（　　）

A．1 B． C．2 D．

7．（3分）已知x＝﹣1，y＝，那么代数式的值是（　　）

A．2 B． C．4 D．2

8．（3分）一元二次方程x（x+1）＝3（x+1）的解是（　　）

A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．无实数解

9．（3分）用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

10．（3分）若方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m的值可以是（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．（3分）计算：＝　              　．

12．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，则k的值是　   　．

13．（3分）化简：a＝　               　．

14．（3分）代数式y2+6y+12的最小值是 　   　．

15．（3分）若实数范围内定义一种运算“*”，使a*b＝（a+1）2﹣ab，则方程（x+2）*5＝0的解为 　                  　．

三、解答题（共55分）

16．（10分）计算：

（1）；

（2）．

17．（12分）解方程：

（1）x2+8x﹣9＝0（用配方法）；

（2）x（x﹣1）+3（x﹣1）＝0．

18．（11分）小明同学解一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的过程如下所示．

解：x2﹣6x＝1 …①

x2﹣6x+9＝1 …②

（x﹣3）2＝1 …③

x﹣3＝±1 …④

x1＝4，x2＝2 …⑤

（1）小明解方程的方法是 　   　．

（A）直接开平方法 （B）因式分解法 （C）配方法 （D）

他的求解过程从第 　   　步开始出现错误．

（2）解这个方程．

19．（11分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）当k＝1时，求方程的解．

20．（11分）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当a＞0，b＞0时，有（﹣）2＝a﹣2+b，所以a+b≥2

请利用上述结论解决以下问题：

（1）当x＞0时，x+的最小值为 　   　；当x＜0时，x+的最大值为 　     　；

（2）当x＞0时，求函数y＝的最小值．

2023-2024学年河南省新乡市封丘县金瀚学校九年级（上）入学数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．（3分）下列一定是二次根式的是（　　）

A． B．2 C．﹣ D．

【分析】根据二次根式的定义，对题目中的四个选项逐一进行甄别即可得出答案．

【解答】解：∵ 是三次根式；

∵4是有理数，故选项B不是二次根式；

∵是二次根式；

∵当a＜1时，a﹣7＜0无意义．

故选：C．

【点评】此题主要考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解答此题的关键．

2．（3分）若代数式有意义，则x应满足的条件是（　　）

A．x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜﹣1 D．x≥﹣1

【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列不等式求解．

【解答】解：由题意可得：x+1＞0，

解得：x＞﹣5，

故选：B．

【点评】本题考查二次根式和分式有意义的条件，理解分式有意义的条件（分母不能为零）是解题关键．

3．（3分）下列计算正确的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据二次根式的性质对A选项和C选项进行判断；根据二次根式的加法运算对B选项计算判断；根据二次根式的减法运算对D选项计算判断．

【解答】解：A． ÷2＝2，所以A选项不符合题意；

B． 与不能合并；

C． ＝3；

D．4﹣6＝；

故选：C．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．

4．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．

【解答】解：A．的被开方数中含有能开得尽方的因数，故本选项不符合题意；

B．是最简二次根式；

C．的被开方数的因数不是整数，故本选项不符合题意；

D．的被开方数的因数不是整数，故本选项不符合题意；

故选：B．

【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键．

5．（3分）化简的结果是（　　）

A．3x﹣10 B．3x+10 C．10﹣3x D．10x﹣3

【分析】先根据二次根式有意义得出x的取值范围，再根据二次根式的性质化简即可得出结果．

【解答】解：由题意得，2x﹣7≥5，

∴x≥3.5，

∴

＝

＝x﹣3+5x﹣7

＝3x﹣10，

故选：A．

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，求出x的取值范围并化简二次根式是解题的关键．

6．（3分）已知x，y是实数，且满足，则（　　）

A．1 B． C．2 D．

【分析】根据二次根式有意义的条件得出x﹣2≥0且2﹣x≥0，求出x＝2，再求出y，最后代入求出答案即可．

【解答】解：要使有意义，

解得：x≥2且x≤6，

即x＝2，

所以y＝0+3+＝，

即

＝

＝

＝

＝．

故选：B．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算和二次根式有意义的条件，能求出x、y的值是解此题的关键．

7．（3分）已知x＝﹣1，y＝，那么代数式的值是（　　）

A．2 B． C．4 D．2

【分析】先将分式化简，再代入值求解即可．

【解答】解：原式＝

＝x+y

当x＝﹣1+1，

原式＝﹣6+

＝2．

故选：D．

【点评】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是掌握分式的化简．

8．（3分）一元二次方程x（x+1）＝3（x+1）的解是（　　）

A．x＝﹣1 B．x＝3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．无实数解

【分析】方程移项后，利用因式分解法求出解即可．

【解答】解：方程整理得：x（x+1）﹣3（x+3）＝0，

分解因式得：（x+1）（x﹣2）＝0，

可得x+1＝6或x﹣3＝0，

解得：x3＝﹣1，x2＝2．

故选：C．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

9．（3分）用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】移项，系数化成1，再配方，即可得出选项．

【解答】解：2x2﹣3x﹣1＝0，

3x2﹣3x＝3，

x2﹣x＝，

x5﹣x+＝+，

（x﹣）4＝，

故选：C．

【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．

10．（3分）若方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则m的值可以是（　　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．

【分析】根据根的判别式和已知条件得出Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＜0，求出不等式的解集，再得出答案即可．

【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+m＝2没有实数根，

∴Δ＝（﹣2）2﹣8×1×m＝4﹣6m＜0，

解得：m＞1，

∴m只能为，

故选：D．

【点评】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，注意：已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），①当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，②当Δ＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根，③当Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．

二、填空题（每小题3分，共15分）

11．（3分）计算：＝　　．

【分析】先根据二次根式的乘法法则运算，然后把化简后合并即可．

【解答】解：原式＝3﹣

＝4﹣

＝4．

故答案为：2．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．

12．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝0的一个根是0，则k的值是　0　．

【分析】由于方程的一个根是0，把x＝0代入方程，求出k的值．因为方程是关于x的二次方程，所以未知数的二次项系数不能是0．

【解答】解：由于关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+k2﹣k＝0的一个根是4，

把x＝0代入方程，得k2﹣k＝3，

解得，k1＝1，k4＝0

当k＝1时，由于二次项系数k﹣8＝0，

方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k＝8不是关于x的二次方程，故k≠1．

所以k的值是0．

故答案为：5

【点评】本题考查了一元二次方程的解法、一元二次方程的定义．解决本题的关键是解一元二次方程确定k的值，过程中容易忽略一元二次方程的二次项系数不等于0这个条件．

13．（3分）化简：a＝　﹣　．

【分析】先判定出a的取值范围，然后依据二次根式的性质化简即可．

【解答】解：∵﹣＞0，

∴a＜7．

∴原式＝a＝a＝﹣．

故答案为：﹣．

【点评】本题主要考查的是二次根式化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．

14．（3分）代数式y2+6y+12的最小值是 　3　．

【分析】代数式配方变形后，利用非负数的性质：偶次幂确定出最小值即可．

【解答】解：原式＝（x2+6x+7）+3

＝（x+3）7+3，

∵（x+3）8≥0，

∴（x+3）7+3≥3，

则代数式x3+6x+12的最小值是3．

故答案为：8．

【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次幂，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

15．（3分）若实数范围内定义一种运算“*”，使a*b＝（a+1）2﹣ab，则方程（x+2）*5＝0的解为 　＝或x＝　．

【分析】根据新运算，x+2相当于公式中的a，5相当于公式中的b，代入公式，解方程即可．

【解答】解：把（x+2）●5＝5转化为：（x+3）2﹣6（x+2）＝0，

即x3+6x+9﹣3x﹣10＝0，

∴x2+x﹣7＝0，

∴x＝或x＝，

∴x＝或，

故答案为：x＝或x＝，

【点评】本题是一道新运算的题目，考查了一元二次方程的解法﹣公式法．

三、解答题（共55分）

16．（10分）计算：

（1）；

（2）．

【分析】（1）先计算负整数指数幂、绝对值和算术平方根，再计算加减；

（2）先计算零次幂、负整数指数幂和立方根，再计算加减．

【解答】解：（1）

＝3﹣5+

＝；

（2）．

＝3﹣3+

＝．

【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．

17．（12分）解方程：

（1）x2+8x﹣9＝0（用配方法）；

（2）x（x﹣1）+3（x﹣1）＝0．

【分析】（1）利用配方法求解即可；

（2）利用因式分解法求解即可．

【解答】解：（1）x2+8x﹣6＝0，

x2+2x＝9，

x2+6x+16＝9+16，即（x+4）8＝25，

∴x+4＝±5，

∴x8＝﹣9，x2＝6；

（2）x（x﹣1）+3（x﹣2）＝0，

（x+3）（x﹣2）＝0，

∴x+3＝3或x﹣1＝0，

∴x6＝﹣3，x2＝7．

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

18．（11分）小明同学解一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的过程如下所示．

解：x2﹣6x＝1 …①

x2﹣6x+9＝1 …②

（x﹣3）2＝1 …③

x﹣3＝±1 …④

x1＝4，x2＝2 …⑤

（1）小明解方程的方法是 　C　．

（A）直接开平方法 （B）因式分解法 （C）配方法 （D）

他的求解过程从第 　②　步开始出现错误．

（2）解这个方程．

【分析】（1）根据小明的解答过程可知小明解答此方程的方法以及他在第几步出现错误；

（2）根据配方法可以解答此方程．

【解答】解：（1）由小明的解答过程可知，他采用的是配方法解方程，

故选：C，

他的求解过程从第②步开始出现错误，

故答案为：②；

（2）∵x2﹣6x＝5

∴x2﹣6x+3＝1+9

∴（x﹣5）2＝10，

∴x﹣3＝

∴x＝+5

∴x1＝+3，x2＝﹣+3．

【点评】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法．

19．（11分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）当k＝1时，求方程的解．

【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；

（2）代入k＝1，再利用公式法解该方程即可得出结论．

【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝5有两个不相等的实数根，

∴Δ＝22﹣6×1×（﹣k）＝4+5k＞0，

解得：k＞﹣1，

∴k的取值范围为k＞﹣3．

（2）当k＝1时，原方程为x2+2x﹣1＝0，

解得：x8＝﹣1+，x5＝﹣1﹣，

∴方程的解为﹣7+和﹣1﹣．

【点评】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入k＝1，利用公式法解方程．

20．（11分）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当a＞0，b＞0时，有（﹣）2＝a﹣2+b，所以a+b≥2

请利用上述结论解决以下问题：

（1）当x＞0时，x+的最小值为 　2　；当x＜0时，x+的最大值为 　﹣2　；

（2）当x＞0时，求函数y＝的最小值．

【分析】（1）根据“a+b≥2”求解；

（2）先把代数式变形，再根据“a+b≥2”求解．

【解答】解：（1）x+≥2，

x+＝﹣（﹣x+＝﹣2，

故答案为：2，﹣7；

（2）∵x＞0

∴≥2，

当且仅当，即x＝5时取等号

∴当x＝4时，函数．

【点评】本题考查了配方法的应用，理解“a+b≥2”的应用是解题的关键．