数学九年级上册22.1 二次函数的图象和性质综合与测试优秀课后复习题

2023年人教版数学九年级上册

《二次函数的图象和性质》专项练习

一              、选择题

1.已知函数：①y＝ax2；②y＝3(x﹣1)2＋2；③y＝(x＋3)2﹣2x2；④y＝＋x.

其中，二次函数的个数为(     )

A.1个        B.2个       C.3个        D.4个

2.已知两点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是(　　)

A.若y1＝y2，则x1＝x2                B.若x1＝－x2，则y1＝－y2

C.若0＜x1＜x2，则y1＞y2          D.若x1＜x2＜0，则y1＞y2

3.二次函数y＝x2＋2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是(　　)

A.开口向上，顶点坐标为(﹣1，﹣4) 

B.开口向下，顶点坐标为(1，4)

C.开口向上，顶点坐标为(1，4)

D.开口向下，顶点坐标为(﹣1，﹣4)

4.如图所示，一次函数y1＝kx＋n与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于A(－1，5)，B(9，2)两点，则关于x的不等式kx＋n≥ax2＋bx＋c的解集为(　　)

A.－1≤x≤9    B.－1≤x＜9      C.－1＜x≤9      D.x≤－1或x≥9

5.下列抛物线中，与抛物线y＝x2﹣2x＋4具有相同对称轴的是(　   　)

A.y＝4x2＋2x＋1   B.y＝2x2﹣4x＋1     C.y＝2x2﹣x＋4     D.y＝x2﹣4x＋2

6.抛物线y=(x+2)2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是(                   )

A.先向左平移2个单位，再向上平移3个单位

B.先向左平移2个单位，再向下平移3个单位

C.先向右平移2个单位，再向下平移3个单位

D.先向右平移2个单位，再向上平移3个单位

7.抛物线y＝x2＋2x﹣3的最小值是(　　)

A.3    B.﹣3    C.4    D.﹣4

8.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：

点A(x1，y1)、B(x2，y2)在函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1 与y2的大小关系正确的是(　　)

A．y1＞y2              B．y1＜y2              C．y1≥y2              D．y1≤y2

9.一次函数y＝ax＋c(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)

A.               B.             

C.    D.

10.关于抛物线y＝－x2，给出下列说法：

①抛物线开口向下，顶点是原点；

②当x＞10时，y随x的增大而减小；

③当1＜x＜2时，－4＜y＜－1；

④若点(m，p)，(n，p)是该抛物线上的两点，则m＋n＝0.

其中正确的说法有(　 　)

A.1个       B.2个       C.3个       D.4个

11.已知二次函数y＝(x－h)2＋1(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为(　　)

A.1或－5       B.－1或5        C.1或－3       D.1或3

12.对于题目“一段抛物线L：y＝﹣x(x﹣3)＋c(0≤x≤3)与直线l：y＝x＋2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c＝1，乙的结果是c＝3或4，则(　　)

A.甲的结果正确

B.乙的结果正确

C.甲、乙的结果合在一起才正确

D.甲、乙的结果合在一起也不正确

二              、填空题

13.函数y＝(m＋1)x|m|＋1＋4x﹣5是二次函数，则m＝          .

14.将二次函数y＝x2﹣4x＋5化成y＝(x﹣h)2＋k的形式，则y＝　    　.

15.抛物线y＝x2＋mx＋m＋经过定点的坐标是　   　

16.将抛物线y＝x2﹣4x＋9向　　平移　　个单位，向　　平移　　个单位，得到抛物线y＝x2﹣6x＋5.

17.如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(－6，0)和原点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝x2交于点Q，则图中阴影部分面积为_____.

18.对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，有下列说法：

①如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m≥1；

②如果它的图象与x轴的两交点的距离是4，则m=±1；

③如果将它的图象向左平移3个单位后的函数的最小值是﹣4，则m=－1；

④如果当x=1时的函数值与x=2023时的函数值相等，则当x=2024时的函数值为－3.

其中正确的说法是      .

三              、解答题

19.若二次函数y＝ax2＋b的最大值为4，且该函数的图象经过点A(1，3).

(1)a＝　　　　　　，b＝　　　　　　，顶点D的坐标(　　　，　　　); 

(2)求此抛物线关于x轴对称后的函数解析式;

(3)是否在抛物线上存在点B，使得S△DOB＝2S△AOD?若存在，请求出B的坐标;若不存在，请说明理由.

20.如图，抛物线的顶点M在x轴上，抛物线与y轴交于点N，且OM＝ON＝4，矩形ABCD的顶点A、B在抛物线上，C、D在x轴上.

(1)求抛物线的解析式；

(2)设点A的横坐标为t(t＞4)，矩形ABCD的周长为l，求l与t之间函数关系式.

21.已知函数y＝x2＋2kx＋k2+1．

(1)求证：不论k取何值，函数y>0；

(2)若函数图象与y轴的交点坐标为(0，5)，求函数图象的顶点坐标．

22.已知抛物线y＝(x﹣m)2﹣(x﹣m)，其中m是常数.

(1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点.

(2)若该抛物线的对称轴为直线x＝.

①求该抛物线的函数表达式.

②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点？

23.已知二次函数y＝ax2＋bx＋16的图象经过点(﹣2，40)和点(6，﹣8)

(1)分别求a、b的值，并指出二次函数图象的顶点、对称轴；

(2)当﹣2≤x≤6时，试求二次函数y的最大值与最小值．

24.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx﹣3与x轴的一个交点为A(﹣1，0)，另一个交点为B，与y轴的交点为C，其顶点为D，对称轴为直线x＝1.

(1)求抛物线的解析式；

(2)已知点M为y轴上的一个动点，当△ACM是以AC为一腰的等腰三角形时，求点M的坐标.

25.在平面直角坐标系中，直线y＝4x＋4与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y＝ax2＋bx－3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C.

(1)求点C的坐标；

(2)求抛物线的对称轴；

(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.

答案

1.B

2.D.

3.A

4.A.

5.B

6.B.

7.D.

8.B

9.D

10.D.

11.B.

12.D

13.答案为：1.

14.答案为：y＝(x﹣2)2＋1.

15.答案为：(﹣1，1)

16.答案为：右，1，下，9.

17.答案为：13.5.

18.答案为：①②④.

19.解：(1)因为二次函数y＝ax2＋b的最大值为4，

所以b＝4.

所以y＝ax2＋4.

因为函数的图象经过点A(1，3)，

所以3＝a＋4，解得a＝﹣1.

所以y＝﹣x2＋4，

所以顶点D的坐标为(0，4).

(2)因为抛物线y＝﹣x2＋4关于x轴对称的抛物线为﹣y＝﹣x2＋4，

所以所求解析式为y＝x2﹣4.

(3)假设存在点B(x，y).

由题意得＝2，所以＝2， 所以x＝±2，

①当x＝2时，则有y＝﹣x2＋4＝0;

②当x＝﹣2时，则有y＝﹣x2＋4＝0.

所以在抛物线上存在点B，使得S△DOB＝2S△AOD，点B的坐标为(2，0)或(﹣2，0).

20.解：(1)∵OM＝ON＝4，

∴M点坐标为(4，0)，N点坐标为(0，4)，

设抛物线解析式为y＝a(x﹣4)2，

把N(0，4)代入得16a＝4，解得a＝，

所以抛物线的解析式为y＝(x﹣4)2＝x2﹣2x＋4；

(2)∵点A的横坐标为t，

∴DM＝t﹣4，

∴CD＝2DM＝2(t﹣4)＝2t﹣8，

把x＝t代入y＝x2﹣2x＋4得y＝t2﹣2t＋4，

∴AD＝t2﹣2t＋4，

∴l＝2(AD＋CD)＝2(t2﹣2t＋4＋2t﹣8)＝t2﹣8(t＞4).

21.解：(1)∵a=1，b=2k，c=k2+1

∴b2－4ac=(2k)2－4×1×(k2+1)=－4<0

∴二次函数图像与x轴无交点

∵a=1>0  ∴图像开口向上

∴抛物线在x轴上方∴y>0

即不论k取何值，函数y>0

(2)∵二次函数图像与y轴交于点(0，5)

∴当x=0时，y=5

∴k2+1=5

∴k=±2

∴y＝x2±4x＋5=(x±2)2+1

∴顶点坐标为(2，1)或(－2，1).

22.解：(1)y＝(x﹣m)2﹣(x﹣m)＝x2﹣(2m＋1)x＋m2＋m，

 ∵Δ＝(2m＋1)2﹣4(m2＋m)＝1＞0，

∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点.

(2)①∵对称轴为直线x＝﹣＝，

∴m＝2，

∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣5x＋6.

②设抛物线沿y轴向上平移k个单位后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线的函数表达式为y＝x2﹣5x＋6＋k.

∵抛物线y＝x2﹣5x＋6＋k与x轴只有一个公共点，

∴Δ＝52﹣4(6＋k)＝0，

∴k＝，

∴把该抛物线沿y轴向上平移个单位后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点.

23.解：(1)根据题意，将点(﹣2，40)和点(6，﹣8)代入y＝ax2＋bx＋16，

得：，解得：，

∴二次函数解析式为：y＝x2﹣10x＋16＝(x﹣5)2﹣9，

该二次函数图象的顶点坐标为：(5，﹣9)，对称轴为x＝5；

(2)由(1)知当x＝5时，y取得最小值﹣9，

在﹣2≤x≤6中，当x＝﹣2时，y取得最大值40，

∴最大值y＝40，最小值y＝﹣9．

24.解：(1)∵点A(﹣1，0)和点B关于直线x＝1对称，

∴B(3，0)，

∴抛物线解析式为y＝a(x＋1)(x﹣3)＝ax2﹣2ax﹣3a，

∴﹣3a＝3，解得a＝1，

∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

(2)当AC＝AM时，点M1与点C关于x轴对称，则M1(0，3)，如图；

②当CM＝CA时，AC＝，

以C点为圆心，CA为半径画弧交y轴于M2，M3，如

图，则OM2＝﹣1，OM3＝OC＋CM3＝3＋，则M2(0，﹣3)，M3(0，﹣﹣3).

综上所述，满足条件的点M的坐标为(0，3)，(0，﹣3)，(0，﹣﹣3).

25.解：(1)令x＝0代入直线y＝4x＋4得y＝4，

∴B(0，4).

∵点B向右平移5个单位长度得到点C，

∴C(5，4).

(2)令y＝0代入直线y＝4x＋4得x＝－1，

∴A(－1，0).

将点A(－1，0)代入抛物线y＝ax2＋bx－3a中得

0＝a－b－3a，即b＝－2a，

∴抛物线对称轴为x＝－＝－＝1.

(3)∵抛物线始终过点A(－1，0)且对称轴为x＝1，

由抛物线对称性可知抛物线也一定过点A的对称点(3，0).

①如图，a＞0时，

将x＝0代入抛物线得y＝－3a.

∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，

∴－3a＜4，a＞－.

将x＝5代入抛物线得y＝12a，

∴12a≥4，a≥.

②如图，a＜0时，

将x＝0代入抛物线得y＝－3a.

∵抛物线与线段BC恰有一个公共点，

∴－3a＞4，∴a＜－.

③如图，当抛物线顶点在线段BC上时，则顶点为(1，4).

将点(1，4)代入抛物线得4＝a－2a－3a，

∴a＝－1.

综上所述，a≥或a＜－或a＝－1.