巴蜀中学2024届高考适应性月考卷（二）数学试卷

这是一份巴蜀中学2024届高考适应性月考卷（二）数学试卷，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

巴蜀中学2024届高考适应性月考卷（二）数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单选题：本题共8题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2. 角的终边上一点的坐标为，且，则
A. B. C. D.
3. 变量，之间有如下对应数据：

4
4.5
5.5
6

12
11
10

已知变量对呈线性相关关系，且回归方程为，则的值是
A.10 B.9 C.8 D.7
4. 化简的结果是
A. B. C. D.
5. 若数列的前项和为,且,则
A.684 B.682 C.342 D.341
6. 定义在上的函数满足对任意都有,且,则下列命题错误的是
A.是偶函数 B.是周期函数
C. D.的图象关于点对称
7．已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，若，则的面积为
A.3 B. C. D.
8. 设，，，则
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是
A.第6项的二项式系数最大 B.第6项的系数最大
C.所有项的二项式系数之和为210 D.所有项的系数之和为1
10. 已知函数（是不为零的常数），则
A.函数的极大值点为负 B. 函数的极大值点为正
C.函数的极大值为正 D.函数的极大值为负
11. 已知，，则
A. B. C. D.
12. 若，则
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数，为的导函数，则的值为_______.
14. 函数为偶函数，则实数的值为_______.
15. 已知为双曲线的一个焦点，过平行于的一条渐近线的直线交 于点，（为坐标原点），则双曲线的离心率为_______.
16. 已知关于的不等式在上有唯一的整数解，则实数的取值范围为____.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知函数在处的切线斜率为
（1）求的值；
（2）求函数在上的最值.




18.（本小题满分12分）
已知等比数列和等差数列均为递增的数列，其前项和分别为，且满足：，

（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.


19.（本小题满分12分）
如图1所示，五边形ABCDE是正六边形ABCDME内一部分，将沿着对角线AD翻折到
的位置，使平面ADP平面ABCD，已知点F，G分别为PC，AD的中点.
（1）求证：AP平面BFG；
（2）求平面BFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.


20.（本小题满分12分）
2023年7月28日,第三十一届世界大学生夏季运动会在成都隆重开幕.为庆祝大运会的到来,有共10位跳水爱好者自发组建了跳水训练营,并邀请教练甲帮助训练.教练训练前对10位跳水员测试打分,得分情况如图2中虚线所示;集训后再进行测试,10位跳水员得分情况如图中实线所示,规定满分为10分,记得分在8分以上的为“优秀”.

优秀人数
非优秀人数
合计
训练前



训练后



合计



(1)将上面的列联表补充完整,并根据小概率值的独立性检验,判断跳水员的优秀情况与训练是否有关?并说明原因;
(2)从这10人中任选3人,在这3人中恰有2人训练后为“优秀”的条件下,求这3人中恰有1人是训练前也为“优秀”的概率;
(3)跳水员将对“5米、7.5米和10米”这三种高度进行集训,且在训练中进行了多轮测试.规定:
在每轮测试中,都会有这3种高度,且至少有2个高度的跳水测试达到“优秀”,则该轮测试才记为“优秀”.每轮测试中,跳水员在每个高度中达到“优秀”的概率均为,每个高度互不影响且每轮测试互不影响.如果跳水员在集训测试中要想获得“优秀”的次数平均值达到3次,那么理论上至少要进行多少轮测试?

附:,其中.

0.05
0.01
0.005
0.001

3.841
6.635
7.879
10.828
【解析】



21.（本小题满分12分）
如图3所示,点分别为椭圆的左焦点和右顶点,点为抛物线的焦点,且(为坐标原点).
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作直线交椭圆于B,D两点,连接,并延长交抛物线的准线于点M,N,求证:为定值.





22.（本小题满分12分）
已知函数
（1）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；
（2）若函数有两个不同的极值点，当时，求证：









巴蜀中学2024届高考适应性月考卷（二）数学解析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单选题：本题共8题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，故选C．
2. 角的终边上一点的坐标为，且，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解得：所以，故选A．
3. 变量，之间有如下对应数据：

4
4.5
5.5
6

12
11
10

已知变量对呈线性相关关系，且回归方程为，则的值是
A.10 B.9 C.8 D.7
【答案】B
【解析】，故选B．
4. 化简的结果是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】化简为，故选D．
5. 若数列的前项和为,且,则
A.684 B.682 C.342 D.341
【答案】B
【解析】
所以，故选B．
6. 定义在上的函数满足对任意都有,且,则下列命题错误的是
A.是偶函数 B.是周期函数
C. D.的图象关于点对称
【答案】D
【解析】令，则
再令，则为偶函数，A正确；
又令，则
为周期是4的周期函数，B正确；
C正确；
若D正确，则又为周期是4的周期函数，
为奇函数，则与已知中“”矛盾，D错误，故选D．
7．已知点为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，若，则的面积为
A.3 B. C. D.
【答案】C
【解析】设，则，如图1所示，不妨设AB的倾斜角为锐角，
过A，B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则
过B作于D，则
的倾斜角为60°，
由结论有：
当AB倾斜角为钝角时，一样推导出C成立，故选C．
8. 设，，，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】显然，
设
则，所以在上单调递增，
∴．
设，则．
又设，在上单调递增，

所以q(x)在(0，t)上单调递减，在上单调递增.
因为，所以在上恒成立，所以在上单调递减，
所以，所以，即，所以故，故选B．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是
A.第6项的二项式系数最大 B.第6项的系数最大
C.所有项的二项式系数之和为210 D.所有项的系数之和为1
【答案】ACD
【解析】通项公式为其二项式系数为，
故第6项的二项式系数是最大的，二项式系数和为，所以A，C正确；
令得所有项的系数和为1，故D正确；
因为展开式中第六项的系数为负数，所以第六项的系数不可能为最大，故B选项错误，故选ACD．
10. 已知函数（是不为零的常数），则
A.函数的极大值点为负 B. 函数的极大值点为正
C.函数的极大值为正 D.函数的极大值为负
【答案】ACD
【解析】设
一定有两根，设则的极大值点为负，A正确；
可正可负，的极小值点可正可负，B错误；
在且极小值，D正确；
时，，时，恒成立，极大值，C正确，
故选ACD．
11. 已知，，则
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】


若则
而
这样符合．
若则而矛盾，
舍去，这样A错误，B正确；
，C正确;

解得，D错误，故选BC．
12. 若，则
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】A选项中，，所以正确；
B选项中，由于，而已知，所以B不正确；
C选项中，，
设，则，
设，则，
所以在上递增，这样，故C正确；
D选项中，取，则，
又，故，所以D错误，
故选AC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 函数，为的导函数，则的值为_______.
【答案】
【解析】
14. 函数为偶函数，则实数的值为_______.
【答案】
【解析】．
当时，为偶函数，符合.
15. 已知为双曲线的一个焦点，过平行于的一条渐近线的直线交 于点，（为坐标原点），则双曲线的离心率为_______.
【答案】
【解析】设点，则
∴，∴双曲线的离心率为.
16. 已知关于的不等式在上有唯一的整数解，则实数的取值范围为____.
【答案】
【解析】显然不符合题意，所以只能，这样由于，所以，
令，，其定义域为， 则，
令，即，解得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以在处取极大值也是最大值.
又由，当时，，如图2，画出函数的大致图象，
又由函数的图象是恒过点的直线，所以作出函数和的大致图象（如图），过点的直线介于之间时满足条件，
直线过点时，的值为2；该直线过点时，的值为，

由图知的取值范围是．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知函数在处的切线斜率为
（1）求的值；
（2）求函数在上的最值.
【解析】
（1）
由题：故．………………………………………………………（4分）
（2）
故最小值为，最大值为．…………………………………………（10分）
18.（本小题满分12分）
已知等比数列和等差数列均为递增的数列，其前项和分别为，且满足：，

（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【解析】
（1）设的公比为，的公差为，由题：
故
又，即故：………（6分）
（2）
……（12分）
19.（本小题满分12分）
如图1所示，五边形ABCDE是正六边形ABCDME内一部分，将沿着对角线AD翻折到
的位置，使平面ADP平面ABCD，已知点F，G分别为PC，AD的中点.
（1）求证：AP平面BFG；
（2）求平面BFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.

【解析】
（1）证明：如图3，连接AC交BG于点O，连接CG，ABCG为平行四边形，则O为AC的中点，
连接OF，则.
又，故……（5分）
（2）如图4，取AG的中点H，连接PH，BH，
则.
图3
又平面平面ABCD，且平面平面ABCD=AD，
故
以分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
设，则平面ABCD的法向量为

设平面BFG的法向量为
图4

取
所求值为. ………………………………………（12分）
20.（本小题满分12分）
2023年7月28日,第三十一届世界大学生夏季运动会在成都隆重开幕.为庆祝大运会的到来,有共10位跳水爱好者自发组建了跳水训练营,并邀请教练甲帮助训练.教练训练前对10位跳水员测试打分,得分情况如图2中虚线所示;集训后再进行测试,10位跳水员得分情况如图中实线所示,规定满分为10分,记得分在8分以上的为“优秀”.

优秀人数
非优秀人数
合计
训练前



训练后



合计



(1)将上面的列联表补充完整,并根据小概率值的独立性检验,判断跳水员的优秀情况与训练是否有关?并说明原因;
(2)从这10人中任选3人,在这3人中恰有2人训练后为“优秀”的条件下,求这3人中恰有1人是训练前也为“优秀”的概率;
(3)跳水员将对“5米、7.5米和10米”这三种高度进行集训,且在训练中进行了多轮测试.规定:
在每轮测试中,都会有这3种高度,且至少有2个高度的跳水测试达到“优秀”,则该轮测试才记为“优秀”.每轮测试中,跳水员在每个高度中达到“优秀”的概率均为,每个高度互不影响且每轮测试互不影响.如果跳水员在集训测试中要想获得“优秀”的次数平均值达到3次,那么理论上至少要进行多少轮测试?

附:,其中.

0.05
0.01
0.005
0.001

3.841
6.635
7.879
10.828
【解析】
（1）零假设：假设跳水员的优秀情况与训练无关.列联表为

优秀人数
非优秀人数
合计
训练前
2
8
10
训练后
8
2
10
合计
10
10
20




故根据小概率值的独立性检验，零假设不成立，即跳水员的优秀情况与训练有关，此推断犯错误的概率不超过0.01．………………………………………………………（4分）
（2）由图可知：训练前后均不优秀的有C，F共2人，训练前后均优秀的有D，G共2人，训练前不优秀而训练后优秀的有6人，
设“所选3人中恰有2人训练后为优秀”，“所选3人中恰有1人训练前为优秀”，则．…………（8分）
（3）设跳水员A每轮测试为优秀的概率为P，则
设A测试次数为n，则优秀的次数
故故至少需进行12轮测试．………………（12分）
21.（本小题满分12分）
如图3所示,点分别为椭圆的左焦点和右顶点,点为抛物线的焦点,且(为坐标原点).
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作直线交椭圆于B,D两点,连接,并延长交抛物线的准线于点M,N,求证:为定值.

【解析】
（1）解：由题：
椭圆E的方程为．………………………………………………………（4分）
（2）证明：由（1）可知：
设显然直线l的斜率不为0，故可设为
由得：
A，B，M三点共线，
同理：

故即：．…………………………（12分）
22.（本小题满分12分）
已知函数
（1）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；
（2）若函数有两个不同的极值点，当时，求证：
【解析】
（1）由题意知，方程在上有两个不同根，即方程在上有两个不同根，
即方程在上有两个不同根.
令，，则，则当时，，时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，所以
又因为，当时，，当时，，所以的取值范围为．（5分）
（2）证明：即证，两边取对数，等价于要证，
由（1）可知分别是方程的两个根，即，
所以原式等价于.
因为，，所以原式等价于要证明.
又由，作差得，，即，
所以原式等价于，令，，
则不等式在上恒成立.
令，，又，
当时，时，，所以在上单调递增.又，，
所以在恒成立，所以原不等式恒成立.……（12分）