陕西省榆林市府谷中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题

这是一份陕西省榆林市府谷中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题，共13页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，已知直线等内容，欢迎下载使用。
府谷中学高二年级第一次月考数学试卷考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色，黑水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答亲答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答亲标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章第二章第2节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在棱柱中，（    ）A. B. C. D.2.直线，，，的图象如图所示，则斜率最小的直线是（    ）A. B. C. D.3.已知是坐标原点，空间向业，，，若线段的中点为，则（    ）A.9 B.8 C.3 D.4.在空间直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则点的坐标为（    ）A. B. C. D.5.已知直线：与：，则“”是“”的（    ）A.充分不必要条件  B.必要不充分条件C.充要条件  D.既不充分也不必要条件6.已知点，，过点的直线与线段相交，则的斜率的取值范围为（    ）A.  B.C. D.7.如图，在三棱锥中，是边长为3的正三角形，是上一点，，为的中点，为上一点且，则（    ）A. B. C.3 D.58.在长方体中，，，为的中点，则点到平面的距离为（    ）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在空间直角坐标系中，点的坐标为，则下列说法正确的是（    ）A.点关于原点对称的点是B.点关于轴对称的点是C.点关于平面对称的点是D.点关于点对称的点是10.已知，，是空间中三个向量，则下列说法错误的是（    ）A.对于空间中的任意一个向量，总存在实数，，，使得B.若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底C.若，，则D.若，，所在直线两两共面，则，，共面11.已知直线过点，若与，轴的正半轴围成的三角形的面积为，则的值可以是（    ）A.3 B.5 C.7 D.912.如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（    ）A.，，，四点共面B.与所成角的大小为C.在线段上存在点，使得平面D.在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点，在直线上，则直线的倾斜角的大小为______.14.若直线与直线垂直，则实数______.15.试写出一个点的坐标：，使之与点，三点共线（与，不重合）.16.有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长都相等的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.已知点为线段上一点且，若直线与直线所成角的余弦值为，则______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知点，直线过点且斜率为.（1）求直线的方程；（2）若直线过点，且倾斜角是直线的一半，求直线的方程.18.（本小题满分12分）已知，.（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值.19.（本小题满分12分）已知的三个顶点分别为，，.（1）求边上的高所在直线的方程；（2）求边上的中线所在直线的方程.20.（本小题满分12分）如图，在四面体中，，，，，点，分别在棱，上，且，.（1）用，，表示，；（2）求异面直线，所成角的余弦值.21.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.22.（本小题满分12分）如图，在三棱台中，是等边三角形，，，侧棱平面，点是棱的中点，点是棱上的动点（不含端点）.（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成角的余弦值的最小值.  
府谷中学高二年级第一次月考·数学试卷参考答案、提示及评分细则1. B  .故选B.2. B  设直线，，，的斜率分别为，，，，由图可得直线，的斜率为负值，直线，的斜率为正值，因为直线越陡峭，斜率的绝对值越大，所以，，所以，所以斜率最小的直线是.故选B.3. C  由题意得，所以，所以.故选C.4. A  不妨设，由题意可知，所以，所以，解得，所以点的坐标为.故选A.5. C  当时，直线的方程为，直线的方程为，即，所以与平行，故充分性成立；若，则解得，所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件.故选C.6. D  易求直线和直线的斜率分别为-4和，当的斜率不存在时，直线与线段相交，故的斜率的取值范围为.故选D.7. A  ，所以，所以.故选A.8. D  如图，以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，所以，，，，则，，设是平面的一个法向量，则令，则，又，所以点到平面的距离为.故选D.9. AC  点关于原点对称的点是，A正确；点关于轴对称的点是，B错误；点关于平面对称的点是，C正确；点关于点对称的点是，D错误.故选AC.10. ACD  由空间向量基本定理，可知只有当，，不共面时，，，才能作为基底，才能得到，故A错误；若是空间的一个基底，则，，不共面，，，也不共面，所以也是空间的一个基底，故B正确；若，，则，不一定平行，故C错误；若，，所在直线两两共面，则，，不一定共面，故D错误.故选ACD.11. CD  由题意知直线在，轴上的截距存在且大于0，可设的方程为（，），由直线过点，得，所以，当且仅当，即，时，等号成立，即，所以.故选CD.12. AD  以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，设，则，所以解得故，即，，，四点共面，故A正确；因为，，所以，所以与所成角的大小为，故B错误；假设在线段上存在点，符合题意.设（），则，若平面，则，.因为，，所以，此方程组无解，所以在线段上不存在点，使得平面，故C错误；因为，所以，又平面，平面，所以平面，故上的所有点到平面的距离即为到平面的距离，是定值，又的面积是定值，所以在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值，故D正确.故选AD.13.  直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，因为，所以.14.  因为直线与直线垂直，所以，解得.15.  （满足（）即可）设，由，，三点共线，得，即，故，，，即，，，不妨令，则，，，故此时点的坐标为.16.  将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.设半正多面体的棱长为，则正方体的棱长为2，所以，，，，，，，所以，，则，.设直线与直线所成角为，则，即，解得或（舍）.17.解：（1）因为直线过点且斜率为，所以由点斜式知直线的方程为，即.………………4分（2）设直线，的倾斜角分别是，，，，所以.因为直线的斜率为，所以，解得，，所以.………………7分又直线经过点，所以由点斜式知直线的方程为，即.………………10分18.解：（1），，………………3分若，则，即，，，解得，.………………6分（2），，………………9分若，则，即，化简可得，解得或.………………12分19.解：（1）直线的斜率.………………2分因为，所以直线的斜率.………………4分因为直线过点，由点斜式方程可得边上的高所在直线的方程为，即.………………6分（2）因为，，所以的中点的坐标为.………………8分因为，由两点式方程可得边上的中线所在直线的方程为，即.………………12分20.解：（1）因为点，分别在棱，上，且，，所以，所以，………………2分.………………4分（2）因为，，，，所以，，……6分所以，………………7分，………………8分，………………10分所以，即异面直线，所成角的余弦值为.………………12分21.（1）证明：取的中点，连接，，因为，分别为，的中点，所以，，………………1分又为的中点，，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以.………………3分又平面，平面，所以平面.………………5分（2）解：在直三棱柱中，平面，又，平面，所以，，又，故以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，所以，，.………………7分设平面的法向量为，则令，得，，所以平面的一个法向量为，………………9分设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.………………12分22.（1）证明：因为是等边三角形，点是棱的中点，所以，………………1分又平面，平面，所以，………………2分又，，平面，所以平面，………………3分又平面，所以平面平面.………………4分（2）解：在平面中，过点作，所以，，又平面，平面，所以，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示.因为是等边三角形，，，所以，，，因为，所以.………………5分设（），所以，所以.………………6分设平面的法向量为，，，因为所以令，得，，所以平面的一个法向量为，………………7分设平面的法向量为，，因为所以令，得，，所以平面的一个法向量为.………………8分设平面与平面所成角为，所以（），………………10分设，则，所以，所以，所以当，即时，取到最小值.………………12分