浙江省宁波市五校联盟2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题

这是一份浙江省宁波市五校联盟2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题，共12页。试卷主要包含了答题前，考生务必用0，第II卷必须用0，如右图，在长方体中，，，，已知直线，下面四个结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
2022学年第一学期宁波五校联盟期中联考高二数学试卷本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号、班级和科类填写在答题卡和答题纸规定的位置上。2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第I卷（共60分）一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线的一个方向向量是（    ）A. B. C. D.2.设是空间一定点，为空间内任一非零向量，满足条件的点构成的图形是（    ）A.圆 B.线段 C.直线 D.平面3.在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线方程为（    ）A. B. C. D.4.圆：与圆：的公共弦所在直线方程为（    ）A.  B.C.  D.5.以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（    ）A. B. C. D.5.如右图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点是的中点，若记，，，则（    ）A.  B.C.  D.7.已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是（    ）A.13 B.16 C.17 D.188.如右图，在长方体中，，，.一质点从顶点射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第次到第次反射点之间的线段记为，，将线段，，，竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（    ）A. B. C. D.二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.已知直线：和直线：，下列说法正确的是（    ）A.当时，B.当时，C.直线过定点，直线过定点D.当，平行时，两直线的距离为10.下面四个结论正确的是（    ）A.若，，三点不共线，面外的任一点，有，则，，，四点共面B.有两个不同的平面，的法向量分别为，，且，，则C.已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则与所成角为D.已知向量，，若，则为钝角11.有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体。如右图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是（    ）A.该半正多面体的外接球与原正方体的外接球半径相等B.与所成的角是的棱共有18条C.与平面所成的角D.直线与直线所成角的余弦值的取值范围为12.已知双曲线：与直线交于，两点，点为上一动点，记直线，的斜率分别为，，曲线的左、右焦点分别为，.若，且的焦点到渐近线的距离为1，则下列说法正确的是（    ）A.B.的离心率为C.若，则的面积为2D.若的面积为，则为钝角三角形第II卷（非选择题，共90分）三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.其中第15、16题有一空正确得3分.把正确答案填在答题卡相应题的横线上）13.在空间直角坐标系中，已知，，则的中点到坐标原点的距离为______.14.经过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程是______.15.已知圆：，若圆：与圆内切，则______；若点是圆上一动点，满足“点到直线的距离等于2”的点，在圆上有且仅有三个，则______.16.如右图，已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若，，则______，椭圆的离心率为______.四、解答题：（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知点，及点.（1）若直线经过点且，求直线的方程；（2）求的面积.18.（本小题满分12分）已知向量，，.（1）求；（2）求在方向上的投影向量；（3）若，求，的值.19.（本小题满分12分）如图，在五面体中，四边形是矩形，，，，平面.（1）若点是的中点，求证：平面；（2）求点到平面的距离.20.（本小题满分12分）已知点，为坐标原点，圆：.（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）已知点在圆上运动，线段的中点为，设动点的轨迹为曲线；若直线：上存在点，过点作曲线的两条切线，，切点为，，且，求实数的取值范围.21.（本小题满分12分）如图，已知矩形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面.（1）求证：平面平面；（2）若点是线段上的一动点，且，当二面角的余弦值为时，求的值.22.（本小题满分12分）椭圆：的右焦点是，且经过点；直线与椭圆交于，两点，以为直径的圆过原点.（1）求椭圆的方程；（2）若过原点的直线与椭圆交于，两点，且，求四边形面积的范围.  2022学年第一学期宁波五校联盟期中联考高二数学参考答案一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案ADBCDABA二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号9101112答案ADACCDABD三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.其中第15、16题有一空正确得3分）13. 14.和；15.18，7； 16.，四、解答题：（共70分，其中第17题10分，第18-22题每题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.解：（1）由题意可得：，∴直线的方程为，即则直线的方程为（2）由题意可得直线的方程为：，即，∴点到直线的距离为，，∴的面积18.（1）∵，，，（2）或采用求得（3）∵，∴存在实数，使得，，，19.（1）方法一：∵平面，，∴，，两两垂直，故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系∵，，∴面的一个法向量，故，∴又∵面，∴平面（2），，设面的一个法向量为，故方法二：（1）取中点，连接，因为，分别为，的中点，所以，且，因为四边形是矩形，，所以，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）证明：平面.因为，平面，平面，所以平面所以到平面的距离为到平面的距离，所以，设到平面的距离，所以，因为，，，所以，所以，所以所以点到平面的距离为20.（1）解：由题意，圆：，可得圆心，半径，因为直线被圆截得的弦长为，则圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，则，解得，即，综上可得，所求直线的方程为或.（2）设点，因为点，线段的中点为，可得，解得，又因为在圆上，可得，即，∴点的轨迹即曲线的方程为圆：.易得，在中，，∴到直线距离∴21.证明：（1）因为在矩形中，，，为的中点，所以，因为，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，，所以平面，又因为平面，所以平面平面；（2）解：取中点，连接，则平面，过做的垂线，交于点，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，平面的一个法向量为，由且，所以，，设平面的一个法向量为则即取，得，所以，解得，所以22.（1）解：焦点为，则，点在椭圆：上，即，解得，所以椭圆的方程为；（2）解：当直线斜率存在时，设其方程为，，，联立，可得，则①，②，③以为直径的圆过原点即，化简可得，代入②③两式，整理得，即④，将④式代入①式，得恒成立，则，设线段中点为，由，，，又由，则点坐标为，化简可得，代回椭圆方程可得，即，则，当直线斜率不存在时，方程为，直线过中点，即为轴，易得，，，综上，四边形面积的取值范围为.