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山东省济宁市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类(含答案)
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这是一份山东省济宁市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类(含答案)，共42页。试卷主要包含了﹣1+，计算，的图象经过点A，x﹣1与x轴有公共点等内容，欢迎下载使用。
山东省济宁市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
一．实数的运算（共2小题）
1．（2021•济宁）计算：|﹣1|+cos45°﹣（）﹣1+．
2．（2023•济宁）计算：．
二．二次根式的混合运算（共1小题）
3．（2022•济宁）已知a＝2+，b＝2﹣，求代数式a2b+ab2的值．
三．分式方程的应用（共1小题）
4．（2023•济宁）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
四．一次函数的应用（共1小题）
5．（2022•济宁）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如表：
货车类型
载重量（吨/辆）
运往A地的成本（元/辆）
运往B地的成本（元/辆）
甲种
16
1200
900
乙种
12
1000
750
（1）求甲、乙两种货车各用了多少辆；
（2）如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．
①写出w与t之间的函数解析式；
②当t为何值时，w最小？最小值是多少？
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
6．（2021•济宁）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C（2，0），点B（0，4），反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线OA向上平移m个单位后经过反比例函数y＝（x＞0）图象上的点（1，n），求m，n的值．
7．（2023•济宁）如图，正比例函数和反比例函数的图象交于点A（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线OA向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与的图象交于点C，连接AB，AC，求△ABC的面积．
六．二次函数的应用（共1小题）
8．（2021•济宁）某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．
（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？
七．二次函数综合题（共3小题）
9．（2021•济宁）如图，直线y＝﹣x+分别交x轴、y轴于点A，B，过点A的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一交点为C，与y轴交于点D（0，3），抛物线的对称轴l交AD于点E，连接OE交AB于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：OE⊥AB；
（3）P为抛物线上的一动点，直线PO交AD于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2022•济宁）已知抛物线C1：y＝﹣（m2+1）x2﹣（m+1）x﹣1与x轴有公共点．
（1）当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；
（2）将抛物线C1先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线C2（如图所示），抛物线C2与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值；
（3）在（2）的条件下，D为抛物线C2的顶点，过点C作抛物线C2的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线C2于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形．
11．（2023•济宁）如图，直线y＝﹣x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？
（3）若，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN＝2ME？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
八．三角形综合题（共1小题）
12．（2022•济宁）如图，△AOB是等边三角形，过点A作y轴的垂线，垂足为C，点C的坐标为（0，）．P是直线AB上在第一象限内的一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为D，交AO于点E，连接AD，作DM⊥AD交x轴于点M，交AO于点F，连接BE，BF．
（1）填空：若△AOD是等腰三角形，则点D的坐标为 ；
（2）当点P在线段AB上运动时（点P不与点A，B重合），设点M的横坐标为m．
①求m值最大时点D的坐标；
②是否存在这样的m值，使BE＝BF？若存在，求出此时的m值；若不存在，请说明理由．
九．切线的判定与性质（共1小题）
13．（2021•济宁）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是BC的中点，连接OD并延长交⊙O于点E，作∠EBP＝∠EBC，BP交OE的延长线于点P．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若AC＝2，PD＝6，求⊙O的半径．
一十．圆的综合题（共1小题）
14．（2023•济宁）如图，已知AB是⊙O的直径，CD＝CB，BE切⊙O于点B，过点C作CF⊥OE交BE于点F，EF＝2BF．
（1）如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；
（2）如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN＝60°，连接MN．请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．
一十一．作图—基本作图（共1小题）
15．（2023•济宁）如图，BD是矩形ABCD的对角线．
（1）作线段BD的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
（2）设BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF．
①判断四边形BEDF的形状，并说明理由；
②若AB＝5，BC＝10，求四边形BEDF的周长．
一十二．轴对称-最短路线问题（共1小题）
16．（2021•济宁）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．
（1）阅读材料
立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．
例如，正方体ABCD﹣A′B′C′D′（图1），因为在平面AA′C′C中，CC′∥AA'，AA′与AB相交于点A，所以直线AB与AA′所成的∠BAA′就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC′所成的角．
解决问题
如图1，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D'，求既不相交也不平行的两直线BA′与AC所成锐角的大小．
（2）如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点；
①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 ；
②在所选正确展开图中，若点M到AB，BC的距离分别是2和5，点N到BD，BC的距离分别是4和3，P是AB上一动点，求PM+PN的最小值．
一十三．相似三角形的判定与性质（共1小题）
17．（2022•济宁）如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在上取点F，使＝，连接BF，DF．
（1）求证：DF与半圆相切；
（2）如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．
一十四．解直角三角形的应用（共1小题）
18．（2022•济宁）知识再现
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
∵sinA＝，sinB＝，
∴c＝，c＝．
∴．
拓展探究
如图2，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
请探究，，之间的关系，并写出探究过程．
解决问题
如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．
一十五．列表法与树状图法（共3小题）
19．（2021•济宁）某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，并根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题．
（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校九年级共有学生1200人，则估计该校“良好”的人数是 ；
（4）已知“不及格”的3名学生中有2名男生、1名女生，如果从中随机抽取两名同学进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率是多少？
20．（2023•济宁）某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳人积分考核．学校抽取了部分学生的劳动积分（积分用x表示）进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图．
等级
劳动积分
人数
A
x≥90
4
B
80≤x＜90
m
C
70≤x＜80
20
D
60≤x＜70
8
E
x＜60
3
请根据图表信息，解答下列问题：
（1）统计表中m＝ ，C等级对应扇形的圆心角的度数为 ；
（2）学校规定劳动积分大于等于80的学生为“劳动之星”．若该学校共有学生2000人，请估计该学校“劳动之星”大约有多少人；
（3）A等级中有两名男同学和两名女同学，学校从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用列表法或画树状图法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率．
21．（2022•济宁）6月5日是世界环境日．某校举行了环保知识竞赛，从全校学生中随机抽取了n名学生的成绩进行分析，并依据分析结果绘制了不完整的统计表和统计图（如图所示）．
学生成绩分布统计表
成绩/分
组中值
频率
75.5≤x＜80.5
78
0.05
80.5≤x＜85.5
83
a
85.5≤x＜90.5
88
0.375
90.5≤x＜95.5
93
0.275
95.5≤x＜100.5
98
0.05
请根据图表信息，解答下列问题：
（1）填空：n＝ ，a＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）求这n名学生成绩的平均分；
（4）从成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5的学生中任选两名学生．请用列表法或画树状图的方法，求选取的学生成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5中各一名的概率．
山东省济宁市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共2小题）
1．（2021•济宁）计算：|﹣1|+cos45°﹣（）﹣1+．
【答案】3﹣1．
【解答】解：原式＝﹣1+﹣+2
＝﹣1+2
＝3﹣1．
2．（2023•济宁）计算：．
【答案】．
【解答】解：
＝2
＝
＝．
二．二次根式的混合运算（共1小题）
3．（2022•济宁）已知a＝2+，b＝2﹣，求代数式a2b+ab2的值．
【答案】﹣4．
【解答】解：∵a＝2+，b＝2﹣，
∴a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝（2+）（2﹣）（2++2﹣）
＝（4﹣5）×4
＝﹣1×4
＝﹣4．
三．分式方程的应用（共1小题）
4．（2023•济宁）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价少（x+0.3）万元，根据题意得＝，解得x＝0.9，经检验x＝0.9是原方程的解，x+0.3＝1.2．
答：A型充电桩的单价为0.9万元，则B型充电桩的单价为1.2万元；
（2）设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩（25﹣m）个，
根据题意，得：，
解得：≤m≤．
∵m为整数，
∴m＝14，15，16．
∴该停车场有3种购买机床方案，方案一：购买14个A型充电桩、11个B型充电桩；方案二：购买15个A型充电桩、10个B型充电桩；方案三：购买16个A型充电桩、9个B型充电桩．
∵A型机床的单价低于B型机床的单价，
∴购买方案三总费用最少，最少费用＝16×0.9+1.2×9＝25.2（万元）．
四．一次函数的应用（共1小题）
5．（2022•济宁）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如表：
货车类型
载重量（吨/辆）
运往A地的成本（元/辆）
运往B地的成本（元/辆）
甲种
16
1200
900
乙种
12
1000
750
（1）求甲、乙两种货车各用了多少辆；
（2）如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．
①写出w与t之间的函数解析式；
②当t为何值时，w最小？最小值是多少？
【答案】（1）甲种货车用了10辆，乙种货车用了14辆；
（2）①w＝50t+22500；
②当t为4时，w最小，最小值是22700元．
【解答】解：（1）设甲种货车用了x辆，则乙种货车用了（24﹣x）辆，
根据题意得：16x+12（24﹣x）＝328，
解得x＝10，
∴24﹣x＝24﹣10＝14，
答：甲种货车用了10辆，乙种货车用了14辆；
（2）①根据题意得：
w＝1200t+1000（12﹣t）+900（10﹣t）+750[14﹣（12﹣t）]＝50t+22500
∴w与t之间的函数解析式是w＝50t+22500；
②∵，
∴0≤t≤10，
∵前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，
∴16t+12（12﹣t）≥160，
解得t≥4，
∴4≤t≤10，
在w＝50t+22500中，
∵50＞0，
∴w随t的增大而增大，
∴t＝4时，w取最小值，最小值是50×4+22500＝22700（元），
答：当t为4时，w最小，最小值是22700元．
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
6．（2021•济宁）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C（2，0），点B（0，4），反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线OA向上平移m个单位后经过反比例函数y＝（x＞0）图象上的点（1，n），求m，n的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）过A作AD⊥x轴于D，如图：
∵∠ACB＝90°，
∴∠OBC＝90°﹣∠BCO＝∠ACD，
在△BOC和△CDA中，
，
∴△BOC≌△CDA（AAS），
∴OB＝CD，OC＝AD，
∵C（2，0），B（0，4），
∴AD＝2，CD＝4，
∴A（6，2），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，
∴2＝，解得k＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）由（1）得A（6，2），
设直线OA解析式为y＝tx，
则2＝6t，解得t＝，
∴直线OA解析式为y＝x，
将直线OA向上平移m个单位后所得直线解析式为y＝x+m，
∵点（1，n）在反比例函数y＝（x＞0）图象上，
∴n＝＝12，
∴直线OA向上平移m个单位后经过的点是（1，12），
∴12＝+m，
∴m＝．
7．（2023•济宁）如图，正比例函数和反比例函数的图象交于点A（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线OA向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与的图象交于点C，连接AB，AC，求△ABC的面积．
【答案】（1）；
（2）3．
【解答】解：（1）把A（m，2）代入 得：
，
解得m＝4，
∴A（4，2），
把A（4，2）代入 得：
，
解得k＝8，
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）过点C作CM⊥x轴于M，交AB于点N，如图：
将直线OA向上平移3个单位后，其函数解析式为 ，
当x＝0时，y＝3，
∴点B的坐标为（0，3），
设直线AB的函数解析式为y＝mx+n，
将A（4，2），B（0，3）代入可得：
，
解得：，
∴直线AB的函数解析式为y＝﹣x+3，
联立解析式得：
解得：，
∴C点坐标为（2，4），
在y＝﹣x+3中，当 x＝2时，，
∴CN＝4﹣＝，
∴S△ABC＝××4＝3；
∴△ABC的面积为3．
六．二次函数的应用（共1小题）
8．（2021•济宁）某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．
（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；（2）当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．
【解答】解：（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x﹣5）元，
根据题意得：+＝100，
整理得：x2﹣18x+45＝0，
解得：x＝15或x＝3（舍去），
经检验，x＝15是原分式方程的解，符合实际，
∴x﹣5＝15﹣5＝10（元），
答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；
（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，
由题意得：w＝（15﹣a）（100+20a）＝﹣20a2+200a+1500＝﹣20（a﹣5）2+2000，
∵﹣20＜0，
∴当a＝5时，函数有最大值，最大值是2000元，
答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．
七．二次函数综合题（共3小题）
9．（2021•济宁）如图，直线y＝﹣x+分别交x轴、y轴于点A，B，过点A的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一交点为C，与y轴交于点D（0，3），抛物线的对称轴l交AD于点E，连接OE交AB于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：OE⊥AB；
（3）P为抛物线上的一动点，直线PO交AD于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+分别交x轴、y轴于点A，B，
∴A（3，0），B（0，），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（3，0），D（0，3），
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
设直线AD的解析式为y＝kx+a，将A（3，0），D（0，3）代入，
得：，
解得：，
∴直线AD的解析式为y＝﹣x+3，
∴E（1，2），
∵G（1，0），∠EGO＝90°，
∴tan∠OEG＝＝，
∵OA＝3，OB＝，∠AOB＝90°，
∴tan∠OAB＝＝＝，
∴tan∠OAB＝tan∠OEG，
∴∠OAB＝∠OEG，
∵∠OEG+∠EOG＝90°，
∴∠OAB+∠EOG＝90°，
∴∠AFO＝90°，
∴OE⊥AB；
（3）存在．
∵A（3，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴C（﹣1，0），
∴AC＝3﹣（﹣1）＝4，
∵OA＝OD＝3，∠AOD＝90°，
∴AD＝OA＝3，
设直线CD解析式为y＝mx+n，
∵C（﹣1，0），D（0，3），
∴，
解得：，
∴直线CD解析式为y＝3x+3，
①当△AOM∽△ACD时，∠AOM＝∠ACD，如图2，
∴OM∥CD，
∴直线OM的解析式为y＝3x，
结合抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，得：3x＝﹣x2+2x+3，
解得：x1＝，x2＝，
②当△AMO∽△ACD时，如图3，
∴＝，
∴AM＝＝＝2，
过点M作MG⊥x轴于点G，则∠AGM＝90°，
∵∠OAD＝45°，
∴AG＝MG＝AM•sin45°＝2×＝2，
∴OG＝OA﹣AG＝3﹣2＝1，
∴M（1，2），
设直线OM解析式为y＝m1x，将M（1，2）代入，
得：m1＝2，
∴直线OM解析式为y＝2x，
结合抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，得：2x＝﹣x2+2x+3，
解得：x＝±，
综上所述，点P的横坐标为±或．
10．（2022•济宁）已知抛物线C1：y＝﹣（m2+1）x2﹣（m+1）x﹣1与x轴有公共点．
（1）当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；
（2）将抛物线C1先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线C2（如图所示），抛物线C2与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值；
（3）在（2）的条件下，D为抛物线C2的顶点，过点C作抛物线C2的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线C2于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形．
【答案】（1）x＜﹣1；
（2）n＝2；
（3）证明过程详见解答．
【解答】（1）解：∵抛物线与x轴有公共点，
∴[﹣（m+1）]2﹣4×≥0，
∴﹣（m﹣1）2≥0，
∴m＝1，
∴y＝﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大；、
（2）解：由题意得，抛物线C2的解析式为：y＝﹣（x+1﹣n）2+4，
当x＝0时，y＝﹣（1﹣n）2+4，
∴OC＝﹣（1﹣n）2+4，
当y＝0时，﹣（x+1﹣n）2+4＝0，
∴x1＝n+1，x2＝n﹣3，
∵点A在B点右侧，
∴OA＝n+1，
由OC＝OA得，
﹣（1﹣n）2+4＝n+1，
∴n＝2或n＝﹣1（舍去），
∴n＝2；
（3）证明：由（2）可得，
y＝﹣（x﹣1）2+4，B（﹣1，0），C（0，3），
∴E（2，3），D（1，4），
设直线BE的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x+1，
∴当x＝1时，y＝1+1＝2，
∴CG＝EG＝DG＝FG＝1，
∴四边形CDEF是矩形，
∵DF⊥CE，
∴四边形CDEF是正方形．
11．（2023•济宁）如图，直线y＝﹣x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？
（3）若，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN＝2ME？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；
（2）当m为时，四边形CDNP是平行四边形；
（3）存在这样的m值，使MN＝2ME，此时m的值为．
【解答】解：（1）在直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，
∴点B（4，0），点C（0，4），
设抛物线的解析式为 ，
把点B（4，0），点C（0，4）代入可得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为 y＝＝﹣x2+3x+4；
（2）由题意，P（m，﹣m2+3m+4），
∴PN＝﹣m2+3m+4，
当四边形CDNP是平行四边形时，PN＝CD，
∴OD＝﹣m2+3m+4﹣4＝﹣m2+3m，
∴D（0，m2﹣3m） N（m，0），
设直线MN的解析式为 ，
把 N（m，0）代入可得 ，
解得：k1＝3﹣m，
∴直线MN的解析式为 y＝（3﹣m）x+m2﹣3m，
又∵过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，且抛物线对称轴为 ，
∴，
∴（3﹣m）2+m2﹣3m＝﹣m2+3m+4，
解得m1＝ （不合题意，舍去），m2＝；
∴当m为时，四边形CDNP是平行四边形；
（3）存在，理由如下：
∵对称轴为x＝，
设P点坐标为（m，﹣m2+3m+4），
∴m点横坐标为：×2﹣m＝3﹣m，
∴N（m，0），M（3﹣m，﹣m2+3m+4），
∵MN＝2ME，即E是MN的中点，点E在对称轴x＝上，
∴E（，），
又点E在直线BCy＝﹣x+4，代入得：
＝﹣+4，
解得：m＝或（舍去），
故此时m的值为．
八．三角形综合题（共1小题）
12．（2022•济宁）如图，△AOB是等边三角形，过点A作y轴的垂线，垂足为C，点C的坐标为（0，）．P是直线AB上在第一象限内的一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为D，交AO于点E，连接AD，作DM⊥AD交x轴于点M，交AO于点F，连接BE，BF．
（1）填空：若△AOD是等腰三角形，则点D的坐标为 （0，）或（0，2） ；
（2）当点P在线段AB上运动时（点P不与点A，B重合），设点M的横坐标为m．
①求m值最大时点D的坐标；
②是否存在这样的m值，使BE＝BF？若存在，求出此时的m值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（0，）或（0，2）；
（2）①D（0，）；
②．
【解答】解：（1）∵△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
当点P在线段AB上时，AD＝OD，
∴∠DAO＝∠AOD＝∠BOC﹣∠AOB＝30°，
∵AC⊥y轴，
∴∠CAO＝∠AOB＝60°，
∴∠CAD＝∠OAC﹣∠DAO＝60°﹣30°＝30°，
在Rt△AOC中，
AC＝OC•tan∠AOC＝＝1，OA＝2AC＝2，
在Rt△ACD中，
AD＝＝，
∴DO＝，
∴D（0，），
当点P在BA的延长线上时，OD＝OA＝2，
∴D（0，2），
故答案为：（0，）或（0，2）；
（2）①设OD＝x，则CD＝﹣x，
∵∠ACD＝∠DOM＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°，
∵DM⊥AD，
∴∠ADM＝90°，
∴∠ADC+∠ODM＝90°，
∴∠CAD＝∠ODM，
∴△ACD∽△DOM，
∴，
∴＝，
∴m＝x•（）＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，m最大＝，
∴当m最大＝时，D（0，）；
②如图，
假设存在m，使BE＝BF，
作BG⊥OA于G，作AQ⊥DP于Q，作HF⊥OD于H，
∵BE＝BF，
∴GE＝GF，
∵△AOB是等边三角形，
∴AB＝OB，
∴AG＝OG，
∴AG﹣GE＝OG﹣GF，
即：AE＝OF，
由①知：m＝x，
∵∠ACD＝∠CDQ＝∠AQD＝90°，
∴四边形ACDQ是矩形，
∴AQ＝CD＝﹣x，
在Rt△AEQ中，
AE＝＝＝，
∴OF＝AE＝，
在Rt△OFH中，
HF＝＝，OH＝OF＝﹣x，
∴DH＝OD﹣OH＝x﹣（﹣x），
∵HF∥OM，
∴△DHF∽△DOM，
∴，
∴＝，
∴x＝，
∴m＝＝2﹣＝．
九．切线的判定与性质（共1小题）
13．（2021•济宁）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是BC的中点，连接OD并延长交⊙O于点E，作∠EBP＝∠EBC，BP交OE的延长线于点P．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若AC＝2，PD＝6，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解答】解：（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
又D为BC中点，O为AB中点，
故OD＝，OD∥AC，
∴∠ODB＝∠ACB＝90°．
∵OB＝OE，
∴∠OEB＝∠OBE，
又∵∠OEB＝∠P+∠EBP，∠OBE＝∠OBD+∠EBC，
∴∠P+∠EBP＝∠OBD+∠EBC，
又∠EBP＝∠EBC，
∴∠P＝∠OBD．
∵∠BOD+∠OBD＝90°，
∴∠BOD+∠P＝90°，
∴∠OBP＝90°．
又OB为半径，
故PB是⊙O的切线．
（2）∵AC＝2，
由（1）得OD＝＝1，
又PD＝6，
∴PO＝PD+OD＝6+1＝7．
∵∠P＝∠P，∠BDP＝∠OBP＝90°，
∴△BDP∽△OBP．
∴，即BP2＝OP•DP＝7×6＝42，
∴BP＝．
∴OB＝＝＝．
故⊙O的半径为．
一十．圆的综合题（共1小题）
14．（2023•济宁）如图，已知AB是⊙O的直径，CD＝CB，BE切⊙O于点B，过点C作CF⊥OE交BE于点F，EF＝2BF．
（1）如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；
（2）如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN＝60°，连接MN．请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）MN＝BM+DN，理由见解答．
【解答】（1）证明：∵CF⊥OE，OC是半径，
∴CF是圆O的切线，
∵BE是圆O的切线，
∴BF＝CF，
∵EF＝2BF，
∴EF＝2CF，
sinE＝＝，
∴∠E＝30°，∠EOB＝60°，
∵CD＝CB，
∴＝，
∴OC⊥BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°＝∠EBO，
∵∠E+∠EBD＝90°，∠ABD+∠EBD＝90°，
∴∠E＝∠ABD＝30°，
∴AD＝BO＝AB，
∴△ABD≌△OEB（AAS）；
（2）解：MN＝BM+DN，理由如下：
延长ND至H使得DH＝BM，连接CH，BD，如图2所示，
∵∠CBM+∠NDC＝180°，∠HDC+∠NDC＝180°，
∴∠HDC＝∠MBC，
∵CD＝CB，DH＝BM，
∴△HDC≌△MBC（SAS），
∴∠BCM＝∠DCH，CM＝CH，
由（1）可得∠ABD＝30°，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A＝60°，
∴∠DCB＝180°﹣∠A＝120°，
∵∠MCN＝60°，
∴∠BCM+∠NCD＝120°﹣∠NCM＝120°﹣60°＝60°，
∴∠DCH+∠NCD＝∠NCH＝60°，
∴∠NCH＝∠NCM，
∵NC＝NC，
∴△CNH≌△CNM（SAS），
∴NH＝MN，
∴MN＝DN+DH＝DN+BM，
∴MN＝BM+DN．
一十一．作图—基本作图（共1小题）
15．（2023•济宁）如图，BD是矩形ABCD的对角线．
（1）作线段BD的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
（2）设BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF．
①判断四边形BEDF的形状，并说明理由；
②若AB＝5，BC＝10，求四边形BEDF的周长．
【答案】（1）见解答；
（2）①四边形BEDF是平行四边形，理由见解答；
②25．
【解答】解：（1）如图，直线MN就是线段BD的垂直平分线，
（2）①四边形BEDF是菱形，理由如下：如图，
由作图可知OB＝OD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
∵∠EOD＝∠FOB，
∴△EOD≌△FOB（ASA），
∴ED＝FB，
∴四边形BEDF是平行四边形；
②∵四边形ABCD是矩形，BC＝10，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝10，
由①可设BE＝ED＝x，则AE＝10﹣x，
∵AB＝5，
∴AB2+AE2＝BE2，即25+（10﹣x）2＝x2，
解得x＝6.25，
∴四边形BEDF的周长为：6.25×4＝25．
一十二．轴对称-最短路线问题（共1小题）
16．（2021•济宁）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．
（1）阅读材料
立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．
例如，正方体ABCD﹣A′B′C′D′（图1），因为在平面AA′C′C中，CC′∥AA'，AA′与AB相交于点A，所以直线AB与AA′所成的∠BAA′就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC′所成的角．
解决问题
如图1，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D'，求既不相交也不平行的两直线BA′与AC所成锐角的大小．
（2）如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点；
①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 丙 ；
②在所选正确展开图中，若点M到AB，BC的距离分别是2和5，点N到BD，BC的距离分别是4和3，P是AB上一动点，求PM+PN的最小值．
【答案】（1）60°．
（2）①丙．
②10．
【解答】解：（1）如图1中，连接BC′．
∵A′B＝BC′＝A′C′，
∴△A′BC′是等边三角形，
∴∠BA′C′＝60°，
∵AC∥A′C′，
∴∠C′A′B是两条直线AC与BA′所成的锐角，
∴两直线BA′与AC所成角为60°．
（2）①观察图形可知，图形丙是图2的展开图，
故答案为：丙．
②如图丙中，作点N关于AD的对称点K，连接MK交AD于P，连接PN，此时PM+PN的值最小，最小值为线段MK的值，过点M作MJ⊥NK于J．
由题意在Rt△MKJ中，∠MJK＝90°，MJ＝5+3＝8，JK＝8﹣（4﹣2）＝6，
∴MK＝＝＝10，
∴PM+PN的最小值为10．
一十三．相似三角形的判定与性质（共1小题）
17．（2022•济宁）如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在上取点F，使＝，连接BF，DF．
（1）求证：DF与半圆相切；
（2）如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）矩形ABCD的面积是．
【解答】（1）证明：连接OF，如图：
∵＝，
∴∠DOA＝∠FOD，
∵OA＝OF，OD＝OD，
∴△DAO≌△DFO（SAS），
∴∠DAO＝∠DFO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAO＝90°＝∠DFO，
∴OF⊥DF，
又OF是半圆O的半径，
∴DF与半圆O相切；
（2）解：连接AF，如图：
∵AO＝FO，∠DOA＝∠DOF，
∴DO⊥AF，
∵AB为半圆直径，
∴∠AFB＝90°，
∴BF⊥AF，
∴DO∥BF，
∴∠AOD＝∠ABF，
∵∠OAD＝∠AFB＝90°，
∴△AOD∽△FBA，
∴＝，即＝，
∴DO＝，
在Rt△AOD中，AD＝＝＝，
∴矩形ABCD的面积为AD•AB＝×10＝，
答：矩形ABCD的面积是．
一十四．解直角三角形的应用（共1小题）
18．（2022•济宁）知识再现
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
∵sinA＝，sinB＝，
∴c＝，c＝．
∴．
拓展探究
如图2，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
请探究，，之间的关系，并写出探究过程．
解决问题
如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．
【答案】拓展研究：；
解决问题：30m．
【解答】解：拓展探究
如图，作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，
在Rt△ABE中，sinB＝，
同理：sinB＝，
sin，
sin，
∴AE＝csinB，AE＝bsin∠BCA，CD＝asinB，CD＝bsin∠BAC，
∴，，
∴；
解决问题
在△ABC中，∠CBA＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
∵，
∴，
∴AB＝30，
∴点A到点B的距离为30m．
一十五．列表法与树状图法（共3小题）
19．（2021•济宁）某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，并根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题．
（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是 108° ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校九年级共有学生1200人，则估计该校“良好”的人数是 510人 ；
（4）已知“不及格”的3名学生中有2名男生、1名女生，如果从中随机抽取两名同学进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是：360°×30%＝108°，
故答案为：108°；
（2）这次调查的人数为：12÷30%＝40（人），
则及格的人数为：40﹣3﹣17﹣12＝8（人），补全条形统计图如下：
（3）估计该校“良好”的人数为：1200×＝510（人），
故答案为：510人；
（4）画树状图如图：
共有6种等可能的结果，抽到两名男生的结果有2种，
∴抽到两名男生的概率为＝．
20．（2023•济宁）某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳人积分考核．学校抽取了部分学生的劳动积分（积分用x表示）进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图．
等级
劳动积分
人数
A
x≥90
4
B
80≤x＜90
m
C
70≤x＜80
20
D
60≤x＜70
8
E
x＜60
3
请根据图表信息，解答下列问题：
（1）统计表中m＝ 15 ，C等级对应扇形的圆心角的度数为 144° ；
（2）学校规定劳动积分大于等于80的学生为“劳动之星”．若该学校共有学生2000人，请估计该学校“劳动之星”大约有多少人；
（3）A等级中有两名男同学和两名女同学，学校从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用列表法或画树状图法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率．
【答案】（1）15，144°；
（2）估计该学校“劳动之星”大约有760人；
（3）．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：8÷16%＝50（人），
∴m＝50﹣4﹣20﹣8﹣3＝15，
C等级对应扇形的圆心角的度数为：360°×＝144°，
故答案为：15，144°；
（2）2000×＝760（人），
答：估计该学校“劳动之星”大约有760人；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽取一名男同学和一名女同学的结果有8种，
∴恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率为＝．
21．（2022•济宁）6月5日是世界环境日．某校举行了环保知识竞赛，从全校学生中随机抽取了n名学生的成绩进行分析，并依据分析结果绘制了不完整的统计表和统计图（如图所示）．
学生成绩分布统计表
成绩/分
组中值
频率
75.5≤x＜80.5
78
0.05
80.5≤x＜85.5
83
a
85.5≤x＜90.5
88
0.375
90.5≤x＜95.5
93
0.275
95.5≤x＜100.5
98
0.05
请根据图表信息，解答下列问题：
（1）填空：n＝ 40 ，a＝ 0.25 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）求这n名学生成绩的平均分；
（4）从成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5的学生中任选两名学生．请用列表法或画树状图的方法，求选取的学生成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5中各一名的概率．
【答案】（1）40，0.25；
（2）频数分布直方图见解答；
（3）88.125；
（4）树状图见解答，概率为：．
【解答】解：（1）a＝1﹣0.05﹣0.375﹣0.275﹣0.05＝0.25；
n＝2÷0.05＝40；
故答案为：40，0.25；
（2）频数分布直方图如图示：
（3）78×0.05+83×0.25+88×0.375+93×0.275+98×0.05＝88.125，
所以这n名学生成绩的平均分为88.125分；
（4）用a，b表示成绩在75.5≤x＜80.5的学生，用m，n表示成绩在95.5≤x＜100.5的学生，树状图如下：
选取的学生成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5中各一名的概率为：＝．
山东省济宁市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
一．实数的运算（共2小题）
1．（2021•济宁）计算：|﹣1|+cos45°﹣（）﹣1+．
2．（2023•济宁）计算：．
二．二次根式的混合运算（共1小题）
3．（2022•济宁）已知a＝2+，b＝2﹣，求代数式a2b+ab2的值．
三．分式方程的应用（共1小题）
4．（2023•济宁）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
四．一次函数的应用（共1小题）
5．（2022•济宁）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如表：
货车类型
载重量（吨/辆）
运往A地的成本（元/辆）
运往B地的成本（元/辆）
甲种
16
1200
900
乙种
12
1000
750
（1）求甲、乙两种货车各用了多少辆；
（2）如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．
①写出w与t之间的函数解析式；
②当t为何值时，w最小？最小值是多少？
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
6．（2021•济宁）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C（2，0），点B（0，4），反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线OA向上平移m个单位后经过反比例函数y＝（x＞0）图象上的点（1，n），求m，n的值．
7．（2023•济宁）如图，正比例函数和反比例函数的图象交于点A（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线OA向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与的图象交于点C，连接AB，AC，求△ABC的面积．
六．二次函数的应用（共1小题）
8．（2021•济宁）某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．
（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？
七．二次函数综合题（共3小题）
9．（2021•济宁）如图，直线y＝﹣x+分别交x轴、y轴于点A，B，过点A的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一交点为C，与y轴交于点D（0，3），抛物线的对称轴l交AD于点E，连接OE交AB于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：OE⊥AB；
（3）P为抛物线上的一动点，直线PO交AD于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2022•济宁）已知抛物线C1：y＝﹣（m2+1）x2﹣（m+1）x﹣1与x轴有公共点．
（1）当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；
（2）将抛物线C1先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线C2（如图所示），抛物线C2与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值；
（3）在（2）的条件下，D为抛物线C2的顶点，过点C作抛物线C2的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线C2于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形．
11．（2023•济宁）如图，直线y＝﹣x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？
（3）若，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN＝2ME？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
八．三角形综合题（共1小题）
12．（2022•济宁）如图，△AOB是等边三角形，过点A作y轴的垂线，垂足为C，点C的坐标为（0，）．P是直线AB上在第一象限内的一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为D，交AO于点E，连接AD，作DM⊥AD交x轴于点M，交AO于点F，连接BE，BF．
（1）填空：若△AOD是等腰三角形，则点D的坐标为 ；
（2）当点P在线段AB上运动时（点P不与点A，B重合），设点M的横坐标为m．
①求m值最大时点D的坐标；
②是否存在这样的m值，使BE＝BF？若存在，求出此时的m值；若不存在，请说明理由．
九．切线的判定与性质（共1小题）
13．（2021•济宁）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是BC的中点，连接OD并延长交⊙O于点E，作∠EBP＝∠EBC，BP交OE的延长线于点P．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若AC＝2，PD＝6，求⊙O的半径．
一十．圆的综合题（共1小题）
14．（2023•济宁）如图，已知AB是⊙O的直径，CD＝CB，BE切⊙O于点B，过点C作CF⊥OE交BE于点F，EF＝2BF．
（1）如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；
（2）如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN＝60°，连接MN．请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．
一十一．作图—基本作图（共1小题）
15．（2023•济宁）如图，BD是矩形ABCD的对角线．
（1）作线段BD的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
（2）设BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF．
①判断四边形BEDF的形状，并说明理由；
②若AB＝5，BC＝10，求四边形BEDF的周长．
一十二．轴对称-最短路线问题（共1小题）
16．（2021•济宁）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．
（1）阅读材料
立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．
例如，正方体ABCD﹣A′B′C′D′（图1），因为在平面AA′C′C中，CC′∥AA'，AA′与AB相交于点A，所以直线AB与AA′所成的∠BAA′就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC′所成的角．
解决问题
如图1，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D'，求既不相交也不平行的两直线BA′与AC所成锐角的大小．
（2）如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点；
①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 ；
②在所选正确展开图中，若点M到AB，BC的距离分别是2和5，点N到BD，BC的距离分别是4和3，P是AB上一动点，求PM+PN的最小值．
一十三．相似三角形的判定与性质（共1小题）
17．（2022•济宁）如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在上取点F，使＝，连接BF，DF．
（1）求证：DF与半圆相切；
（2）如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．
一十四．解直角三角形的应用（共1小题）
18．（2022•济宁）知识再现
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
∵sinA＝，sinB＝，
∴c＝，c＝．
∴．
拓展探究
如图2，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
请探究，，之间的关系，并写出探究过程．
解决问题
如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．
一十五．列表法与树状图法（共3小题）
19．（2021•济宁）某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，并根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题．
（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校九年级共有学生1200人，则估计该校“良好”的人数是 ；
（4）已知“不及格”的3名学生中有2名男生、1名女生，如果从中随机抽取两名同学进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率是多少？
20．（2023•济宁）某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳人积分考核．学校抽取了部分学生的劳动积分（积分用x表示）进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图．
等级
劳动积分
人数
A
x≥90
4
B
80≤x＜90
m
C
70≤x＜80
20
D
60≤x＜70
8
E
x＜60
3
请根据图表信息，解答下列问题：
（1）统计表中m＝ ，C等级对应扇形的圆心角的度数为 ；
（2）学校规定劳动积分大于等于80的学生为“劳动之星”．若该学校共有学生2000人，请估计该学校“劳动之星”大约有多少人；
（3）A等级中有两名男同学和两名女同学，学校从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用列表法或画树状图法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率．
21．（2022•济宁）6月5日是世界环境日．某校举行了环保知识竞赛，从全校学生中随机抽取了n名学生的成绩进行分析，并依据分析结果绘制了不完整的统计表和统计图（如图所示）．
学生成绩分布统计表
成绩/分
组中值
频率
75.5≤x＜80.5
78
0.05
80.5≤x＜85.5
83
a
85.5≤x＜90.5
88
0.375
90.5≤x＜95.5
93
0.275
95.5≤x＜100.5
98
0.05
请根据图表信息，解答下列问题：
（1）填空：n＝ ，a＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）求这n名学生成绩的平均分；
（4）从成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5的学生中任选两名学生．请用列表法或画树状图的方法，求选取的学生成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5中各一名的概率．
山东省济宁市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共2小题）
1．（2021•济宁）计算：|﹣1|+cos45°﹣（）﹣1+．
【答案】3﹣1．
【解答】解：原式＝﹣1+﹣+2
＝﹣1+2
＝3﹣1．
2．（2023•济宁）计算：．
【答案】．
【解答】解：
＝2
＝
＝．
二．二次根式的混合运算（共1小题）
3．（2022•济宁）已知a＝2+，b＝2﹣，求代数式a2b+ab2的值．
【答案】﹣4．
【解答】解：∵a＝2+，b＝2﹣，
∴a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝（2+）（2﹣）（2++2﹣）
＝（4﹣5）×4
＝﹣1×4
＝﹣4．
三．分式方程的应用（共1小题）
4．（2023•济宁）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划共购买25个A，B型充电桩，购买总费用不超过26万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价少（x+0.3）万元，根据题意得＝，解得x＝0.9，经检验x＝0.9是原方程的解，x+0.3＝1.2．
答：A型充电桩的单价为0.9万元，则B型充电桩的单价为1.2万元；
（2）设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩（25﹣m）个，
根据题意，得：，
解得：≤m≤．
∵m为整数，
∴m＝14，15，16．
∴该停车场有3种购买机床方案，方案一：购买14个A型充电桩、11个B型充电桩；方案二：购买15个A型充电桩、10个B型充电桩；方案三：购买16个A型充电桩、9个B型充电桩．
∵A型机床的单价低于B型机床的单价，
∴购买方案三总费用最少，最少费用＝16×0.9+1.2×9＝25.2（万元）．
四．一次函数的应用（共1小题）
5．（2022•济宁）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如表：
货车类型
载重量（吨/辆）
运往A地的成本（元/辆）
运往B地的成本（元/辆）
甲种
16
1200
900
乙种
12
1000
750
（1）求甲、乙两种货车各用了多少辆；
（2）如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．
①写出w与t之间的函数解析式；
②当t为何值时，w最小？最小值是多少？
【答案】（1）甲种货车用了10辆，乙种货车用了14辆；
（2）①w＝50t+22500；
②当t为4时，w最小，最小值是22700元．
【解答】解：（1）设甲种货车用了x辆，则乙种货车用了（24﹣x）辆，
根据题意得：16x+12（24﹣x）＝328，
解得x＝10，
∴24﹣x＝24﹣10＝14，
答：甲种货车用了10辆，乙种货车用了14辆；
（2）①根据题意得：
w＝1200t+1000（12﹣t）+900（10﹣t）+750[14﹣（12﹣t）]＝50t+22500
∴w与t之间的函数解析式是w＝50t+22500；
②∵，
∴0≤t≤10，
∵前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，
∴16t+12（12﹣t）≥160，
解得t≥4，
∴4≤t≤10，
在w＝50t+22500中，
∵50＞0，
∴w随t的增大而增大，
∴t＝4时，w取最小值，最小值是50×4+22500＝22700（元），
答：当t为4时，w最小，最小值是22700元．
五．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
6．（2021•济宁）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C（2，0），点B（0，4），反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线OA向上平移m个单位后经过反比例函数y＝（x＞0）图象上的点（1，n），求m，n的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）过A作AD⊥x轴于D，如图：
∵∠ACB＝90°，
∴∠OBC＝90°﹣∠BCO＝∠ACD，
在△BOC和△CDA中，
，
∴△BOC≌△CDA（AAS），
∴OB＝CD，OC＝AD，
∵C（2，0），B（0，4），
∴AD＝2，CD＝4，
∴A（6，2），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，
∴2＝，解得k＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）由（1）得A（6，2），
设直线OA解析式为y＝tx，
则2＝6t，解得t＝，
∴直线OA解析式为y＝x，
将直线OA向上平移m个单位后所得直线解析式为y＝x+m，
∵点（1，n）在反比例函数y＝（x＞0）图象上，
∴n＝＝12，
∴直线OA向上平移m个单位后经过的点是（1，12），
∴12＝+m，
∴m＝．
7．（2023•济宁）如图，正比例函数和反比例函数的图象交于点A（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线OA向上平移3个单位后，与y轴交于点B，与的图象交于点C，连接AB，AC，求△ABC的面积．
【答案】（1）；
（2）3．
【解答】解：（1）把A（m，2）代入 得：
，
解得m＝4，
∴A（4，2），
把A（4，2）代入 得：
，
解得k＝8，
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）过点C作CM⊥x轴于M，交AB于点N，如图：
将直线OA向上平移3个单位后，其函数解析式为 ，
当x＝0时，y＝3，
∴点B的坐标为（0，3），
设直线AB的函数解析式为y＝mx+n，
将A（4，2），B（0，3）代入可得：
，
解得：，
∴直线AB的函数解析式为y＝﹣x+3，
联立解析式得：
解得：，
∴C点坐标为（2，4），
在y＝﹣x+3中，当 x＝2时，，
∴CN＝4﹣＝，
∴S△ABC＝××4＝3；
∴△ABC的面积为3．
六．二次函数的应用（共1小题）
8．（2021•济宁）某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．
（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？
（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；（2）当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．
【解答】解：（1）设甲种商品每箱盈利x元，则乙种商品每箱盈利（x﹣5）元，
根据题意得：+＝100，
整理得：x2﹣18x+45＝0，
解得：x＝15或x＝3（舍去），
经检验，x＝15是原分式方程的解，符合实际，
∴x﹣5＝15﹣5＝10（元），
答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；
（2）设甲种商品降价a元，则每天可多卖出20a箱，利润为w元，
由题意得：w＝（15﹣a）（100+20a）＝﹣20a2+200a+1500＝﹣20（a﹣5）2+2000，
∵﹣20＜0，
∴当a＝5时，函数有最大值，最大值是2000元，
答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．
七．二次函数综合题（共3小题）
9．（2021•济宁）如图，直线y＝﹣x+分别交x轴、y轴于点A，B，过点A的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一交点为C，与y轴交于点D（0，3），抛物线的对称轴l交AD于点E，连接OE交AB于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：OE⊥AB；
（3）P为抛物线上的一动点，直线PO交AD于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+分别交x轴、y轴于点A，B，
∴A（3，0），B（0，），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（3，0），D（0，3），
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
设直线AD的解析式为y＝kx+a，将A（3，0），D（0，3）代入，
得：，
解得：，
∴直线AD的解析式为y＝﹣x+3，
∴E（1，2），
∵G（1，0），∠EGO＝90°，
∴tan∠OEG＝＝，
∵OA＝3，OB＝，∠AOB＝90°，
∴tan∠OAB＝＝＝，
∴tan∠OAB＝tan∠OEG，
∴∠OAB＝∠OEG，
∵∠OEG+∠EOG＝90°，
∴∠OAB+∠EOG＝90°，
∴∠AFO＝90°，
∴OE⊥AB；
（3）存在．
∵A（3，0），抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴C（﹣1，0），
∴AC＝3﹣（﹣1）＝4，
∵OA＝OD＝3，∠AOD＝90°，
∴AD＝OA＝3，
设直线CD解析式为y＝mx+n，
∵C（﹣1，0），D（0，3），
∴，
解得：，
∴直线CD解析式为y＝3x+3，
①当△AOM∽△ACD时，∠AOM＝∠ACD，如图2，
∴OM∥CD，
∴直线OM的解析式为y＝3x，
结合抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，得：3x＝﹣x2+2x+3，
解得：x1＝，x2＝，
②当△AMO∽△ACD时，如图3，
∴＝，
∴AM＝＝＝2，
过点M作MG⊥x轴于点G，则∠AGM＝90°，
∵∠OAD＝45°，
∴AG＝MG＝AM•sin45°＝2×＝2，
∴OG＝OA﹣AG＝3﹣2＝1，
∴M（1，2），
设直线OM解析式为y＝m1x，将M（1，2）代入，
得：m1＝2，
∴直线OM解析式为y＝2x，
结合抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，得：2x＝﹣x2+2x+3，
解得：x＝±，
综上所述，点P的横坐标为±或．
10．（2022•济宁）已知抛物线C1：y＝﹣（m2+1）x2﹣（m+1）x﹣1与x轴有公共点．
（1）当y随x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；
（2）将抛物线C1先向上平移4个单位长度，再向右平移n个单位长度得到抛物线C2（如图所示），抛物线C2与x轴交于点A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．当OC＝OA时，求n的值；
（3）在（2）的条件下，D为抛物线C2的顶点，过点C作抛物线C2的对称轴l的垂线，垂足为G，交抛物线C2于点E，连接BE交l于点F．求证：四边形CDEF是正方形．
【答案】（1）x＜﹣1；
（2）n＝2；
（3）证明过程详见解答．
【解答】（1）解：∵抛物线与x轴有公共点，
∴[﹣（m+1）]2﹣4×≥0，
∴﹣（m﹣1）2≥0，
∴m＝1，
∴y＝﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大；、
（2）解：由题意得，抛物线C2的解析式为：y＝﹣（x+1﹣n）2+4，
当x＝0时，y＝﹣（1﹣n）2+4，
∴OC＝﹣（1﹣n）2+4，
当y＝0时，﹣（x+1﹣n）2+4＝0，
∴x1＝n+1，x2＝n﹣3，
∵点A在B点右侧，
∴OA＝n+1，
由OC＝OA得，
﹣（1﹣n）2+4＝n+1，
∴n＝2或n＝﹣1（舍去），
∴n＝2；
（3）证明：由（2）可得，
y＝﹣（x﹣1）2+4，B（﹣1，0），C（0，3），
∴E（2，3），D（1，4），
设直线BE的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x+1，
∴当x＝1时，y＝1+1＝2，
∴CG＝EG＝DG＝FG＝1，
∴四边形CDEF是矩形，
∵DF⊥CE，
∴四边形CDEF是正方形．
11．（2023•济宁）如图，直线y＝﹣x+4交x轴于点B，交y轴于点C，对称轴为的抛物线经过B，C两点，交x轴负半轴于点A，P为抛物线上一动点，点P的横坐标为m，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，作x轴的垂线PN，垂足为N，直线MN交y轴于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，当m为何值时，四边形CDNP是平行四边形？
（3）若，设直线MN交直线BC于点E，是否存在这样的m值，使MN＝2ME？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；
（2）当m为时，四边形CDNP是平行四边形；
（3）存在这样的m值，使MN＝2ME，此时m的值为．
【解答】解：（1）在直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，
∴点B（4，0），点C（0，4），
设抛物线的解析式为 ，
把点B（4，0），点C（0，4）代入可得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为 y＝＝﹣x2+3x+4；
（2）由题意，P（m，﹣m2+3m+4），
∴PN＝﹣m2+3m+4，
当四边形CDNP是平行四边形时，PN＝CD，
∴OD＝﹣m2+3m+4﹣4＝﹣m2+3m，
∴D（0，m2﹣3m） N（m，0），
设直线MN的解析式为 ，
把 N（m，0）代入可得 ，
解得：k1＝3﹣m，
∴直线MN的解析式为 y＝（3﹣m）x+m2﹣3m，
又∵过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，且抛物线对称轴为 ，
∴，
∴（3﹣m）2+m2﹣3m＝﹣m2+3m+4，
解得m1＝ （不合题意，舍去），m2＝；
∴当m为时，四边形CDNP是平行四边形；
（3）存在，理由如下：
∵对称轴为x＝，
设P点坐标为（m，﹣m2+3m+4），
∴m点横坐标为：×2﹣m＝3﹣m，
∴N（m，0），M（3﹣m，﹣m2+3m+4），
∵MN＝2ME，即E是MN的中点，点E在对称轴x＝上，
∴E（，），
又点E在直线BCy＝﹣x+4，代入得：
＝﹣+4，
解得：m＝或（舍去），
故此时m的值为．
八．三角形综合题（共1小题）
12．（2022•济宁）如图，△AOB是等边三角形，过点A作y轴的垂线，垂足为C，点C的坐标为（0，）．P是直线AB上在第一象限内的一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为D，交AO于点E，连接AD，作DM⊥AD交x轴于点M，交AO于点F，连接BE，BF．
（1）填空：若△AOD是等腰三角形，则点D的坐标为 （0，）或（0，2） ；
（2）当点P在线段AB上运动时（点P不与点A，B重合），设点M的横坐标为m．
①求m值最大时点D的坐标；
②是否存在这样的m值，使BE＝BF？若存在，求出此时的m值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（0，）或（0，2）；
（2）①D（0，）；
②．
【解答】解：（1）∵△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
当点P在线段AB上时，AD＝OD，
∴∠DAO＝∠AOD＝∠BOC﹣∠AOB＝30°，
∵AC⊥y轴，
∴∠CAO＝∠AOB＝60°，
∴∠CAD＝∠OAC﹣∠DAO＝60°﹣30°＝30°，
在Rt△AOC中，
AC＝OC•tan∠AOC＝＝1，OA＝2AC＝2，
在Rt△ACD中，
AD＝＝，
∴DO＝，
∴D（0，），
当点P在BA的延长线上时，OD＝OA＝2，
∴D（0，2），
故答案为：（0，）或（0，2）；
（2）①设OD＝x，则CD＝﹣x，
∵∠ACD＝∠DOM＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°，
∵DM⊥AD，
∴∠ADM＝90°，
∴∠ADC+∠ODM＝90°，
∴∠CAD＝∠ODM，
∴△ACD∽△DOM，
∴，
∴＝，
∴m＝x•（）＝﹣（x﹣）2+，
∴当x＝时，m最大＝，
∴当m最大＝时，D（0，）；
②如图，
假设存在m，使BE＝BF，
作BG⊥OA于G，作AQ⊥DP于Q，作HF⊥OD于H，
∵BE＝BF，
∴GE＝GF，
∵△AOB是等边三角形，
∴AB＝OB，
∴AG＝OG，
∴AG﹣GE＝OG﹣GF，
即：AE＝OF，
由①知：m＝x，
∵∠ACD＝∠CDQ＝∠AQD＝90°，
∴四边形ACDQ是矩形，
∴AQ＝CD＝﹣x，
在Rt△AEQ中，
AE＝＝＝，
∴OF＝AE＝，
在Rt△OFH中，
HF＝＝，OH＝OF＝﹣x，
∴DH＝OD﹣OH＝x﹣（﹣x），
∵HF∥OM，
∴△DHF∽△DOM，
∴，
∴＝，
∴x＝，
∴m＝＝2﹣＝．
九．切线的判定与性质（共1小题）
13．（2021•济宁）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是BC的中点，连接OD并延长交⊙O于点E，作∠EBP＝∠EBC，BP交OE的延长线于点P．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若AC＝2，PD＝6，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解答】解：（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
又D为BC中点，O为AB中点，
故OD＝，OD∥AC，
∴∠ODB＝∠ACB＝90°．
∵OB＝OE，
∴∠OEB＝∠OBE，
又∵∠OEB＝∠P+∠EBP，∠OBE＝∠OBD+∠EBC，
∴∠P+∠EBP＝∠OBD+∠EBC，
又∠EBP＝∠EBC，
∴∠P＝∠OBD．
∵∠BOD+∠OBD＝90°，
∴∠BOD+∠P＝90°，
∴∠OBP＝90°．
又OB为半径，
故PB是⊙O的切线．
（2）∵AC＝2，
由（1）得OD＝＝1，
又PD＝6，
∴PO＝PD+OD＝6+1＝7．
∵∠P＝∠P，∠BDP＝∠OBP＝90°，
∴△BDP∽△OBP．
∴，即BP2＝OP•DP＝7×6＝42，
∴BP＝．
∴OB＝＝＝．
故⊙O的半径为．
一十．圆的综合题（共1小题）
14．（2023•济宁）如图，已知AB是⊙O的直径，CD＝CB，BE切⊙O于点B，过点C作CF⊥OE交BE于点F，EF＝2BF．
（1）如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；
（2）如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN＝60°，连接MN．请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）MN＝BM+DN，理由见解答．
【解答】（1）证明：∵CF⊥OE，OC是半径，
∴CF是圆O的切线，
∵BE是圆O的切线，
∴BF＝CF，
∵EF＝2BF，
∴EF＝2CF，
sinE＝＝，
∴∠E＝30°，∠EOB＝60°，
∵CD＝CB，
∴＝，
∴OC⊥BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°＝∠EBO，
∵∠E+∠EBD＝90°，∠ABD+∠EBD＝90°，
∴∠E＝∠ABD＝30°，
∴AD＝BO＝AB，
∴△ABD≌△OEB（AAS）；
（2）解：MN＝BM+DN，理由如下：
延长ND至H使得DH＝BM，连接CH，BD，如图2所示，
∵∠CBM+∠NDC＝180°，∠HDC+∠NDC＝180°，
∴∠HDC＝∠MBC，
∵CD＝CB，DH＝BM，
∴△HDC≌△MBC（SAS），
∴∠BCM＝∠DCH，CM＝CH，
由（1）可得∠ABD＝30°，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A＝60°，
∴∠DCB＝180°﹣∠A＝120°，
∵∠MCN＝60°，
∴∠BCM+∠NCD＝120°﹣∠NCM＝120°﹣60°＝60°，
∴∠DCH+∠NCD＝∠NCH＝60°，
∴∠NCH＝∠NCM，
∵NC＝NC，
∴△CNH≌△CNM（SAS），
∴NH＝MN，
∴MN＝DN+DH＝DN+BM，
∴MN＝BM+DN．
一十一．作图—基本作图（共1小题）
15．（2023•济宁）如图，BD是矩形ABCD的对角线．
（1）作线段BD的垂直平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；
（2）设BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF．
①判断四边形BEDF的形状，并说明理由；
②若AB＝5，BC＝10，求四边形BEDF的周长．
【答案】（1）见解答；
（2）①四边形BEDF是平行四边形，理由见解答；
②25．
【解答】解：（1）如图，直线MN就是线段BD的垂直平分线，
（2）①四边形BEDF是菱形，理由如下：如图，
由作图可知OB＝OD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
∵∠EOD＝∠FOB，
∴△EOD≌△FOB（ASA），
∴ED＝FB，
∴四边形BEDF是平行四边形；
②∵四边形ABCD是矩形，BC＝10，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝10，
由①可设BE＝ED＝x，则AE＝10﹣x，
∵AB＝5，
∴AB2+AE2＝BE2，即25+（10﹣x）2＝x2，
解得x＝6.25，
∴四边形BEDF的周长为：6.25×4＝25．
一十二．轴对称-最短路线问题（共1小题）
16．（2021•济宁）研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．
（1）阅读材料
立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．
例如，正方体ABCD﹣A′B′C′D′（图1），因为在平面AA′C′C中，CC′∥AA'，AA′与AB相交于点A，所以直线AB与AA′所成的∠BAA′就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC′所成的角．
解决问题
如图1，已知正方体ABCD﹣A′B′C′D'，求既不相交也不平行的两直线BA′与AC所成锐角的大小．
（2）如图2，M，N是正方体相邻两个面上的点；
①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图2的展开图，这个图形是 丙 ；
②在所选正确展开图中，若点M到AB，BC的距离分别是2和5，点N到BD，BC的距离分别是4和3，P是AB上一动点，求PM+PN的最小值．
【答案】（1）60°．
（2）①丙．
②10．
【解答】解：（1）如图1中，连接BC′．
∵A′B＝BC′＝A′C′，
∴△A′BC′是等边三角形，
∴∠BA′C′＝60°，
∵AC∥A′C′，
∴∠C′A′B是两条直线AC与BA′所成的锐角，
∴两直线BA′与AC所成角为60°．
（2）①观察图形可知，图形丙是图2的展开图，
故答案为：丙．
②如图丙中，作点N关于AD的对称点K，连接MK交AD于P，连接PN，此时PM+PN的值最小，最小值为线段MK的值，过点M作MJ⊥NK于J．
由题意在Rt△MKJ中，∠MJK＝90°，MJ＝5+3＝8，JK＝8﹣（4﹣2）＝6，
∴MK＝＝＝10，
∴PM+PN的最小值为10．
一十三．相似三角形的判定与性质（共1小题）
17．（2022•济宁）如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在上取点F，使＝，连接BF，DF．
（1）求证：DF与半圆相切；
（2）如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）矩形ABCD的面积是．
【解答】（1）证明：连接OF，如图：
∵＝，
∴∠DOA＝∠FOD，
∵OA＝OF，OD＝OD，
∴△DAO≌△DFO（SAS），
∴∠DAO＝∠DFO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAO＝90°＝∠DFO，
∴OF⊥DF，
又OF是半圆O的半径，
∴DF与半圆O相切；
（2）解：连接AF，如图：
∵AO＝FO，∠DOA＝∠DOF，
∴DO⊥AF，
∵AB为半圆直径，
∴∠AFB＝90°，
∴BF⊥AF，
∴DO∥BF，
∴∠AOD＝∠ABF，
∵∠OAD＝∠AFB＝90°，
∴△AOD∽△FBA，
∴＝，即＝，
∴DO＝，
在Rt△AOD中，AD＝＝＝，
∴矩形ABCD的面积为AD•AB＝×10＝，
答：矩形ABCD的面积是．
一十四．解直角三角形的应用（共1小题）
18．（2022•济宁）知识再现
如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
∵sinA＝，sinB＝，
∴c＝，c＝．
∴．
拓展探究
如图2，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．
请探究，，之间的关系，并写出探究过程．
解决问题
如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．
【答案】拓展研究：；
解决问题：30m．
【解答】解：拓展探究
如图，作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，
在Rt△ABE中，sinB＝，
同理：sinB＝，
sin，
sin，
∴AE＝csinB，AE＝bsin∠BCA，CD＝asinB，CD＝bsin∠BAC，
∴，，
∴；
解决问题
在△ABC中，∠CBA＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
∵，
∴，
∴AB＝30，
∴点A到点B的距离为30m．
一十五．列表法与树状图法（共3小题）
19．（2021•济宁）某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，并根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请回答下列问题．
（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是 108° ；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校九年级共有学生1200人，则估计该校“良好”的人数是 510人 ；
（4）已知“不及格”的3名学生中有2名男生、1名女生，如果从中随机抽取两名同学进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率是多少？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是：360°×30%＝108°，
故答案为：108°；
（2）这次调查的人数为：12÷30%＝40（人），
则及格的人数为：40﹣3﹣17﹣12＝8（人），补全条形统计图如下：
（3）估计该校“良好”的人数为：1200×＝510（人），
故答案为：510人；
（4）画树状图如图：
共有6种等可能的结果，抽到两名男生的结果有2种，
∴抽到两名男生的概率为＝．
20．（2023•济宁）某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳人积分考核．学校抽取了部分学生的劳动积分（积分用x表示）进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图．
等级
劳动积分
人数
A
x≥90
4
B
80≤x＜90
m
C
70≤x＜80
20
D
60≤x＜70
8
E
x＜60
3
请根据图表信息，解答下列问题：
（1）统计表中m＝ 15 ，C等级对应扇形的圆心角的度数为 144° ；
（2）学校规定劳动积分大于等于80的学生为“劳动之星”．若该学校共有学生2000人，请估计该学校“劳动之星”大约有多少人；
（3）A等级中有两名男同学和两名女同学，学校从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用列表法或画树状图法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率．
【答案】（1）15，144°；
（2）估计该学校“劳动之星”大约有760人；
（3）．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：8÷16%＝50（人），
∴m＝50﹣4﹣20﹣8﹣3＝15，
C等级对应扇形的圆心角的度数为：360°×＝144°，
故答案为：15，144°；
（2）2000×＝760（人），
答：估计该学校“劳动之星”大约有760人；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽取一名男同学和一名女同学的结果有8种，
∴恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率为＝．
21．（2022•济宁）6月5日是世界环境日．某校举行了环保知识竞赛，从全校学生中随机抽取了n名学生的成绩进行分析，并依据分析结果绘制了不完整的统计表和统计图（如图所示）．
学生成绩分布统计表
成绩/分
组中值
频率
75.5≤x＜80.5
78
0.05
80.5≤x＜85.5
83
a
85.5≤x＜90.5
88
0.375
90.5≤x＜95.5
93
0.275
95.5≤x＜100.5
98
0.05
请根据图表信息，解答下列问题：
（1）填空：n＝ 40 ，a＝ 0.25 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）求这n名学生成绩的平均分；
（4）从成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5的学生中任选两名学生．请用列表法或画树状图的方法，求选取的学生成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5中各一名的概率．
【答案】（1）40，0.25；
（2）频数分布直方图见解答；
（3）88.125；
（4）树状图见解答，概率为：．
【解答】解：（1）a＝1﹣0.05﹣0.375﹣0.275﹣0.05＝0.25；
n＝2÷0.05＝40；
故答案为：40，0.25；
（2）频数分布直方图如图示：
（3）78×0.05+83×0.25+88×0.375+93×0.275+98×0.05＝88.125，
所以这n名学生成绩的平均分为88.125分；
（4）用a，b表示成绩在75.5≤x＜80.5的学生，用m，n表示成绩在95.5≤x＜100.5的学生，树状图如下：
选取的学生成绩在75.5≤x＜80.5和95.5≤x＜100.5中各一名的概率为：＝．
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