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山东省日照市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类(含答案)
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这是一份山东省日照市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类(含答案)，共45页。试卷主要包含了化简，×，其中m＝4，三点，问题背景等内容，欢迎下载使用。
山东省日照市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2023•日照）（1）化简：﹣|1﹣|+2﹣2﹣2sin45°；
（2）先化简，再求值：（﹣x）÷，其中x＝﹣．
2．（2022•日照）（1）先化简再求值：（m+2﹣）×，其中m＝4．
（2）解不等式组并将解集表示在所给的数轴上．
3．（2021•日照）（1）若单项式xm﹣ny14与单项式﹣x3y3m﹣8n是一多项式中的同类项，求m、n的值；
（2）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝﹣1．
二．一元二次方程的应用（共1小题）
4．（2021•日照）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？
三．一次函数的应用（共1小题）
5．（2023•日照）要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为20cm的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为20cm，20cm，10cm的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为40cm×40cm的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．
（1）设制作A种木盒x个，则制作B种木盒 个；
若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材 张；
（2）该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数；
（3）包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为（20﹣a）元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润．
四．二次函数综合题（共3小题）
6．（2023•日照）在平面直角坐标系xOy内，抛物线y＝﹣ax2+5ax+2（a＞0）交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．
（1）求点C，D的坐标；
（2）当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线AD上方抛物线上一点，将直线PD沿直线AD翻折，交x轴于点M（4，0），求点P的坐标；
（3）坐标平面内有两点E（，a+1），F（5，a+1），以线段EF为边向上作正方形EFGH．
①若a＝1，求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标；
②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值．
7．（2021•日照）已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC于点E，设＝k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值．
（3）如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D．
①求△BDQ的周长及tan∠BDQ的值；
②点M是y轴负半轴上的点，且满足tan∠BMQ＝（t为大于0的常数），求点M的坐标．
8．（2022•日照）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2mx+3m，点A（3，0）．
（1）当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；
（2）证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；
（3）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S＝S△PAM﹣S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．
五．菱形的判定与性质（共1小题）
9．（2023•日照）如图，平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，DE，且BE＝DE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝10，tan∠BAC＝2，求四边形ABCD的面积．
六．四边形综合题（共2小题）
10．（2021•日照）问题背景：
如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．
实验探究：
（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①＝ ；②直线AE与DF所夹锐角的度数为 ．
（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
拓展延伸：
在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为 ．
11．（2022•日照）如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠C＝90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM＝a，CN＝b，若ab＝8．
（1）判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；
（2）①当a＝b时，求∠ECF的度数；
②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．
七．切线的判定与性质（共1小题）
12．（2022•日照）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若AC＝，求图中阴影部分的面积．
八．圆的综合题（共1小题）
13．（2023•日照）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题：
如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（60°＜α＜180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接BE．
（1）求证：A，E，B，D四点共圆；
（2）如图2，当AD＝CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；
（3）已知α＝120°，BC＝6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．
九．相似三角形的判定与性质（共1小题）
14．（2021•日照）如图，▱OABC的对角线相交于点D，⊙O经过A、D两点，与BO的延长线相交于点E，点F为上一点，且＝．连接AE、DF相交于点G，若AG＝3，EG＝6．
（1）求▱OABC对角线AC的长；
（2）求证：▱OABC为矩形．
一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
15．（2022•日照）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i＝1：2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB＝30°．若雪道AB长为270m，雪道BC长为260m．
（1）求该滑雪场的高度h；
（2）据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．
一十一．列表法与树状图法（共3小题）
16．（2023•日照）2023年3月22日至28日是第三十届“中国水周”，某学校组织开展主题为“节约用水，共护母亲河”的社会实践活动．A小组在甲，乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份用水量，分别将两个小区居民的用水量x（m3）分为5组，第一组：5≤x＜7，第二组：7≤x＜9，第三组：9≤x＜11，第四组：11≤x＜13，第五组：13≤x＜15，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息：
信息一：
甲小区3月份用水量频数分布表
用水量（x/m3）
频数（户）
5≤x＜7
4
7≤x＜9
9
9≤x＜11
10
11≤x＜13
5
13≤x＜15
2
信息二：甲、乙两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下：
甲小区
乙小区
平均数
9.0
9.1
中位数
9.2
a
信息三：乙小区3月份用水量在第三组的数据为：
9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝ ；
（2）在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为b1，在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为b2，比较b1，b2大小，并说明理由；
（3）若甲小区共有600户居民，乙小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于13m3的总户数；
（4）因任务安排，需在B小组和C小组分别随机抽取1名同学加入A小组，已知B小组有3名男生和1名女生，C小组有2名男生和2名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率．
17．（2022•日照）今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩（满分100分）进行整理（成绩得分用a表示），其中60≤a＜70记为“较差”，70≤a＜80记为“一般”，80≤a＜90记为“良好”，90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图．
请根据统计图提供的信息，回答如下问题：
（1）x＝ ，y＝ ，并将直方图补充完整；
（2）已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是 ，众数是 ；
（3）若该校共有1200人，估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数；
（4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率．
18．（2021•日照）为庆祝中国共产党建党100周年，某校加强了学生对党史知识的学习，并组织学生参加《党史知识》测试（满分100分）．为了解学生对党史知识的掌握程度，从七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，进行统计、分析，过程如下：
收集数据：
七年级：86 88 95 90 100 95 95 99 93 100
八年级：100 98 98 89 87 98 95 90 90 89
整理数据：
成绩x（分）
年级
85＜x≤90
90＜x≤95
95＜x≤100
七年级
3
4
3
八年级
5
a
b
分析数据：
统计量
年级
平均数
中位数
众数
七年级
94.1
95
d
八年级
93.4
c
98
应用数据：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ；
（2）若八年级共有200人参与答卷，请估计八年级测试成绩大于95分的人数；
（3）从测试成绩优秀的学生中选出5名语言表达能力较强的学生，其中八年级3名，七年级2名．现从这5名学生中随机抽取2名到当地社区担任党史宣讲员．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到同年级学生的概率．
山东省日照市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2023•日照）（1）化简：﹣|1﹣|+2﹣2﹣2sin45°；
（2）先化简，再求值：（﹣x）÷，其中x＝﹣．
【答案】（1）；
（2）2x﹣4，原式＝﹣5．
【解答】解：（1）﹣|1﹣|+2﹣2﹣2sin45°
＝2﹣（﹣1）+﹣2×
＝2﹣+1+﹣
＝；
（2）（﹣x）÷
＝•
＝•
＝•
＝2（x﹣2）
＝2x﹣4，
当x＝﹣时，原式＝2×（﹣）﹣4
＝﹣1﹣4
＝﹣5．
2．（2022•日照）（1）先化简再求值：（m+2﹣）×，其中m＝4．
（2）解不等式组并将解集表示在所给的数轴上．
【答案】（1）m2﹣4m+3，3；
（2）不等式组的解集是：2＜x≤4，
．
【解答】解：（1）原式＝×
＝×
＝（m﹣3）（m﹣1）
＝m2﹣4m+3，
当m＝4时，
原式＝42﹣4×4+3
＝3；
（2），
解①得：x＞2，
解②得：x≤4，
故不等式组的解集是：2＜x≤4，
解集在数轴上表示：
．
3．（2021•日照）（1）若单项式xm﹣ny14与单项式﹣x3y3m﹣8n是一多项式中的同类项，求m、n的值；
（2）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝﹣1．
【答案】（1）m的值为2，n的值为﹣1；（2）x2+1，4﹣2．
【解答】解：（1）由题意可得，
②﹣①×3，可得：﹣5n＝5，
解得：n＝﹣1，
把n＝﹣1代入①，可得：m﹣（﹣1）＝3，
解得：m＝2，
∴m的值为2，n的值为﹣1；
（2）原式＝[]•（x+1）（x﹣1）
＝•（x+1）（x﹣1）
＝x2+1，
当x＝﹣1时，
原式＝（﹣1）2+1＝2﹣2+1+1＝4﹣2．
二．一元二次方程的应用（共1小题）
4．（2021•日照）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将点（1，110）、（3，130）代入一次函数关系式得：，
解得：，
故函数的关系式为：y＝10x+100（0＜x＜20）；
（2）由题意得：（10x+100）×（55﹣x﹣35）＝1760，
整理，得x2﹣10x﹣24＝0．
解得x1＝12，x2＝﹣2（舍去）．
所以55﹣x＝43．
答：这种消毒液每桶实际售价43元．
三．一次函数的应用（共1小题）
5．（2023•日照）要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为20cm的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为20cm，20cm，10cm的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为40cm×40cm的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．
（1）设制作A种木盒x个，则制作B种木盒 （200﹣x） 个；
若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材 （200﹣y） 张；
（2）该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数；
（3）包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为（20﹣a）元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润．
【答案】（1）（200﹣x），（200﹣y）；
（2）制作A种木盒100个，B种木盒100个；使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板50张；
（3）A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元．
【解答】解：（1）∵要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，制作A种木盒x个，
故制作B种木盒（200﹣x）个；
∵有200张规格为40cm×40cm的木板材，使用甲种方式切割的木板材y张，
故使用乙种方式切割的木板材（200﹣y）张；
故答案为：（200﹣x），（200﹣y）；
（2）使用甲种方式切割的木板材y张，则可切割出4y个长、宽均为20cm的木板，
使用乙种方式切割的木板材（200﹣y）张，则可切割出8（200﹣y）个长为10cm、宽为20cm的木板；
设制作A种木盒x个，则需要长、宽均为20cm的木板5x个，
制作B种木盒（200﹣x）个，则需要长、宽均为20cm的木板（200﹣x）个，需要长为10cm、宽为20cm的木板4（200﹣x）个；
故，
解得：，
故制作A种木盒100个，制作B种木盒100个，
使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张，
（3）∵用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元，且使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张，
故总成本为150×5+8×50＝1150（元）；
∵两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元，
∴，
解得：7≤a≤18，
设利润为w元，则w＝100a+100（20﹣a）﹣1150，
整理得：w＝850+50a，
∵50＞0，
∴w随a的增大而增大，
故当a＝18时，有最大值，最大值为850+50×18＝1750（元），
则此时B种木盒的销售单价定为20﹣×18＝11（元），
即A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元．
四．二次函数综合题（共3小题）
6．（2023•日照）在平面直角坐标系xOy内，抛物线y＝﹣ax2+5ax+2（a＞0）交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．
（1）求点C，D的坐标；
（2）当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线AD上方抛物线上一点，将直线PD沿直线AD翻折，交x轴于点M（4，0），求点P的坐标；
（3）坐标平面内有两点E（，a+1），F（5，a+1），以线段EF为边向上作正方形EFGH．
①若a＝1，求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标；
②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值．
【答案】（1）C（0，2），D（5，2）；
（2）；
（3）①（1，6），（4，6），（5，2）；②a＝0.5．
【解答】解：（1）在 y＝﹣ax2+5ax+2（a＞0）中，当x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），
∵抛物线解析式为 y＝﹣ax2+5ax+2（a＞0），
∴抛物线对称轴为直线 ，
∵过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D，
∴C、D关于抛物线对称轴对称，
∴D（5，2）；
（2）当 时，抛物线解析式为 ，
当y＝0时，，
解得 x＝﹣1或 x＝6，
∴A（﹣1，0），
如图，设DP上与点M关于直线AD对称的点为N（m，n），
由轴对称的性质可得：AN＝AM，DN＝DM，
，
∴3m+n＝12，
∴n＝12﹣3m
∴m2+2m+1+144﹣72m+9m2＝25，
∴m2﹣7m+12＝0，
解得m＝3或m＝4（舍去），
∴n＝12﹣3m＝3，
∴N（3，3），
设直线DP的解析式为y＝kx+b1，
∴，
解得，
∴直线DP的解析式为 ，
联立，
解得或，
∴P（，）；
（3）①当a＝1时，抛物线解析式为 y＝﹣x2+5x+2，E（1，2），F（5，2），
∴EH＝EF＝FG＝4，
∴H（1，6），G（5，6），
当x＝1时，y＝﹣12+5×1+2＝6，
∴抛物线 y＝﹣x2+5x+2 恰好经过H（1，6）；
∵抛物线对称轴为直线 ，由对称性可知抛物线经过（4，6），
∴点（4，6）为抛物线与正方形的一个交点，
又∵点F与点D重合，
∴抛物线也经过点F（5，2）；
综上所述，正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标为（1，6），（4，6），（5，2）；
②如图，当抛物线与GH、GF分别交于T、D时，
∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为 ，
∴点T的纵坐标为2+2.5＝4.5，
∴，
∴a2+1.5a﹣1＝0，
解得a＝﹣2（舍去）或a＝0.5；
如图，当抛物线与GH、EF分别交于T、S，
∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为 ，
∴，
解得a＝0.4（舍去，因为此时点F在点D下方）
如图，当抛物线与EH、EF分别交于T、S，
∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，
∴﹣a（）2+5a•+2＝a+1+2.5，
解得 或 （舍去）；
当 时，y＝﹣ax2+5ax+2＝6.25a+2，
当时，，
∴ 不符合题意；
综上所述，a＝0.5．
7．（2021•日照）已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC于点E，设＝k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值．
（3）如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D．
①求△BDQ的周长及tan∠BDQ的值；
②点M是y轴负半轴上的点，且满足tan∠BMQ＝（t为大于0的常数），求点M的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）当t＝时，k取得最大值，此时，P（，）；
（3）①△BDQ的周长为2++3；tan∠BDQ＝；
②M（0，﹣t）或（0，﹣﹣t）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴设y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入，得a（0+1）（0﹣3）＝3，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，
∴△PEH∽△OEC，
∴＝，
∵＝k，OC＝3，
∴k＝PH，
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∵B（3，0），C（0，3），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P（t，﹣t2+2t+3），则H（t，﹣t+3），
∴PH＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
∴k＝（﹣t2+3t）＝（t﹣）2+，
∵＜0，
∴当t＝时，k取得最大值，此时，P（，）；
（3）①如图2，过点Q作QT⊥BD于点T，则∠BTQ＝∠DTQ＝90°，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∴Q（1，0），
∴OQ＝1，BQ＝OB﹣OQ＝3﹣1＝2，
∵点C关于x轴的对称点为点D，
∴D（0，﹣3），
∵B（3，0），
∴OB＝OD＝3，
∵∠BOD＝90°，
∴DQ＝＝＝，
BD＝＝＝3，
∴△BDQ的周长＝BQ+DQ+BD＝2++3；
在Rt△OBD中，∵∠BOD＝90°，OB＝OD，
∴∠DBO＝∠BDO＝45°，
∵∠BTQ＝90°，
∴△BQT是等腰直角三角形，
∴QT＝BT＝BQ•cos∠DBO＝2•cos45°＝，
∴DT＝BD﹣BT＝3﹣＝2，
∴tan∠BDQ＝＝＝；
②解法1：如图3，设M（0，﹣m），则OM＝m，
过点M作MF∥x轴，过点B作BN⊥BM交MQ于点N，
过点N作DN⊥y轴于点D，过点B作EF∥y轴交DN于E，交MF于F，
则∠MBN＝∠BEN＝∠MFB＝90°，
∵∠BMF+∠MBF＝∠MBF+∠NBE＝90°，
∴∠BMF＝∠NBE，
∴△MBF∽△BNE，
∴＝＝＝tan∠BMQ＝，
∴BE＝×MF＝，EN＝×BF＝，
∴DN＝DE﹣EN＝3﹣，
∵OQ∥DN，
∴△MQO∽△MND，
∴＝，即＝，
解得：m＝t±，
∴M（0，﹣t）或（0，﹣﹣t）．
解法2：如图4，设M（0，﹣m），则OM＝m，
BM＝＝＝，
MQ＝＝，
∵tan∠BMQ＝，
∴＝，
∴MT＝t•QT，
∵QT2+MT2＝MQ2，
∴QT2+（t•QT）2＝（）2，
∴QT＝，MT＝，
∵cos∠QBT＝cos∠MBO，
∴＝，即＝，
∴BT＝，
∵BT+MT＝BM，
∴+＝，
整理得，（m2+3）2＝4t2m2，
∵t＞0，m＞0，
∴m2+3＝2tm，即m2﹣2tm+3＝0，
当Δ＝（﹣2t）2﹣4×1×3＝4t2﹣12≥0，即t≥时，
m＝＝t±，
∴M（0，﹣t）或（0，﹣﹣t）．
解法3：如图5，取线段BQ的中点E，作EO′⊥BQ，使EO′＝t，且点O′在x轴下方，
∴O′（2，﹣t），
连接O′B，O′Q，以O′为圆心，O′B为半径作⊙O′，交y轴于点M，
则tan∠BO′E＝＝，
∵EB＝EQ，∠O′EB＝∠O′EQ＝90°，O′E＝O′E，
∴△O′EB≌△O′EQ（SAS），
∴∠QO′E＝∠BO′E，
∴∠BMQ＝∠BO′Q＝∠BO′E，
∴tan∠BMQ＝tan∠BO′E＝，
设M（0，m），
∵O′M＝O′B，
∴（2﹣0）2+（﹣t﹣m）2＝12+t2，
∴m2+2tm+3＝0，
解得：m＝＝﹣t±，
∴M（0，﹣t）或（0，﹣﹣t）．
8．（2022•日照）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2mx+3m，点A（3，0）．
（1）当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；
（2）证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；
（3）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S＝S△PAM﹣S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）D（﹣，﹣）；
（3）P（1，4）．
【解答】（1）解：把x＝3，y＝0代入y＝﹣x2+2mx+3m得，
﹣9+6m+3m＝0，
∴m＝1，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）证明：∵y＝﹣x2+m（2x+3），
∴当2x+3＝0时，即x＝﹣时，
y＝﹣，
∴D（﹣，﹣）；
（3）如图，
连接OP，
设P（m，﹣m2+2m+3），
设PD的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴ON＝﹣+3，
∵S＝S△PAM﹣S△BMN，
∴S＝（S△PAM+S四边形AONM）﹣（S四边形AONM+S△BMN）＝S四边形AONP﹣S△AOB，
∵S四边形AONP＝S△AOP+S△PON＝+＝+（﹣＝﹣+m+，S△AOB＝＝，
∴S＝﹣+m＝﹣（m﹣1）2+，
∴当m＝1时，S最大＝，
当m＝1时，y＝﹣12+2×1+3＝4，
∴P（1，4）．
五．菱形的判定与性质（共1小题）
9．（2023•日照）如图，平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，DE，且BE＝DE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝10，tan∠BAC＝2，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）80．
【解答】（1）证明：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，
在△BOE与△DOE中，
∴△BOE≌△DOE（SSS），
∴∠BEO＝∠DEO，
在△BAE与△DAE中，
，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：在Rt△ABO中，∵tan∠BAC＝＝2，
∴设AO＝x，BO＝2x，
∴AB＝＝x＝10，
∴x＝2，
∴AO＝2，BO＝4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2AO＝4，BD＝2BO＝8，
∴四边形ABCD的面积＝AC•BD＝＝80．
六．四边形综合题（共2小题）
10．（2021•日照）问题背景：
如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．
实验探究：
（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①＝ ；②直线AE与DF所夹锐角的度数为 30° ．
（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
拓展延伸：
在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为 或 ．
【答案】（1），30°；（2）结论仍然成立，理由见解析过程；拓展延伸：或．
【解答】解：（1）如图1，∵∠ABD＝30°，∠DAB＝90°，EF⊥BA，
∴cos∠ABD＝＝，
如图2，设AB与DF交于点O，AE与DF交于点H，
∵△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，
∴∠DBF＝∠ABE＝90°，
∴△FBD∽△EBA，
∴＝，∠BDF＝∠BAE，
又∵∠DOB＝∠AOF，
∴∠DBA＝∠AHD＝30°，
∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°，
故答案为：，30°；
（2）结论仍然成立，
理由如下：如图3，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H，
∵将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，
∴∠ABE＝∠DBF，
又∵＝，
∴△ABE∽△DBF，
∴＝，∠BDF＝∠BAE，
又∵∠DOH＝∠AOB，
∴∠ABD＝∠AHD＝30°，
∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°．
拓展延伸：如图4，当点E在AB的上方时，过点D作DG⊥AE于G，
∵AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，∠DAB＝90°，
∴BE＝，AD＝2，DB＝4，
∵∠EBF＝30°，EF⊥BE，
∴EF＝1，
∵D、E、F三点共线，
∴∠DEB＝∠BEF＝90°，
∴DE＝＝＝，
∵∠DEA＝30°，
∴DG＝DE＝，
由（2）可得：＝，
∴，
∴AE＝，
∴△ADE的面积＝×AE×DG＝××＝；
如图5，当点E在AB的下方时，过点D作DG⊥AE，交EA的延长线于G，
同理可求：△ADE的面积＝×AE×DG＝××＝；
故答案为：或．
11．（2022•日照）如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠C＝90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM＝a，CN＝b，若ab＝8．
（1）判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；
（2）①当a＝b时，求∠ECF的度数；
②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．
【答案】（1）线段AE，EF，BF组成的是直角三角形；
（2）①45°；
②①的结论仍然成立．
【解答】解：（1）线段AE，EF，BF组成的是直角三角形，理由如下：
∵AM＝AC﹣CM＝4﹣a，BN＝4﹣b，
∴AE＝，BF＝，
∴AE2+BF2＝2（4﹣a）2+2（4﹣b）2＝2（a2+b2﹣8a﹣8b+32），
∵AB＝＝4，
∴EF＝AB﹣AE﹣BF＝[4﹣（4﹣a）﹣（4﹣b）]＝（a+b﹣4），
∵ab＝8，
EF2＝2（a+b﹣4）2＝2（a2+b2﹣8a﹣8b+16+2ab）＝2（a2+b2﹣8a﹣8b+32），
∴AE2+BF2＝EF2，
∴线段AE，EF，BF组成的是直角三角形；
（2）①如图1，
连接PC交EF于G，
∵a＝b，
∴ME＝AM＝BN＝NF，
∵四边形CNPM是矩形，
∴矩形CNPM是正方形，
∴PC平分∠ACB，
∴CG⊥AB，
∴∠PGE＝90°，
∵CM＝CN＝PM＝PN，
∴PE＝PF，
∵△AEM，△BNF，△PEF是等腰直角三角形，
EF2＝AE2+BF2，EF2＝PE2+PF2，
∴PE＝AE＝PF＝BF，
∴ME＝EG＝FG＝FN，
∴∠MCE＝∠GCE，∠NCF＝∠GCF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECG+∠FCG＝，
∴∠ECF＝45°；
②如图2，
仍然成立，理由如下：
将△BCF逆时针旋转90°至△ACD，连接DE，
∴∠DAC＝∠B＝45°，AD＝BF，
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAB＝90°，
∴DE2＝AD2+AE2＝BF2+AE2
∵EF2＝BF2+AE2，
∴DE＝EF，
∵CD＝CF，CE＝CE，
∴△DCE≌△FCE（SSS），
∴∠ECF＝∠DCE＝．
七．切线的判定与性质（共1小题）
12．（2022•日照）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若AC＝，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）﹣．
【解答】（1）证明：连接OD，CD，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB，∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∵D为AB的中点，
∴BD＝AD＝AB，
∴AD＝AC，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ADC＝∠ACD＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCO＝90°﹣60°＝30°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠DCO＝30°，
∴∠ADO＝∠ADC+∠ODC＝60°+30°＝90°，
即OD⊥AB，
∵OD过圆心O，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知：AC＝AD＝BD＝AB，
又∵AC＝，
∴BD＝AC＝，
∵∠B＝30°，∠BDO＝∠ADO＝90°，
∴∠BOD＝60°，BO＝2DO，
由勾股定理得：BO2＝OD2+BD2，
即（2OD）2＝OD2+（）2，
解得：OD＝1（负数舍去），
所以阴影部分的面积S＝S△BDO﹣S扇形DOE＝﹣＝﹣．
八．圆的综合题（共1小题）
13．（2023•日照）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题：
如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（60°＜α＜180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接BE．
（1）求证：A，E，B，D四点共圆；
（2）如图2，当AD＝CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；
（3）已知α＝120°，BC＝6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析，
（3）．
【解答】（1）证明：由旋转的性质可得 AE＝AD，∠DAE＝α，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAD＝∠DAE﹣∠BAD，即∠BAE＝∠CAD，
又∵AB＝AC，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠AEB＝∠ADC，
∵∠ADC+∠ADB＝180°，
∴∠AEB+∠ADB＝180°，
∴A、B、D、E四点共圆；
（2）证明：如图所示，连接OA，OD，
∵AB＝AC，AD＝CD，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠DAC，
∵⊙O是四边形AEBD的外接圆，
∴∠AOD＝2∠ABC，
∴∠AOD＝2∠ABC＝2∠DAC，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝180°，
∴2∠DAC+2∠OAD＝180°，
∴∠DAC+∠OAD＝90°，即∠OAC＝90°，
∴OA⊥AC，
又∵OA是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（3）解：如图所示，作线段AB的垂直平分线，分别交AB、BC于G、F，连接AM，PM，如图：
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∵点M是边BC的中点，
∴，AM⊥BC，
∴，，
在Rt△BGF中，，
∴FM＝BM﹣BF＝3﹣2＝1，
∵⊙P是四边形AEBD的外接圆，
∴点P一定在AB的垂直平分线上，
∴点P在直线GF上，
∴当MP⊥GF时，PM有最小值，
∴∠PFM＝∠BFG＝90°﹣∠B＝60°，
在Rt△MPF中，PM＝MF•sin∠PFM＝1×sin60°＝，
∴圆心P与点M距离的最小值为 ．
九．相似三角形的判定与性质（共1小题）
14．（2021•日照）如图，▱OABC的对角线相交于点D，⊙O经过A、D两点，与BO的延长线相交于点E，点F为上一点，且＝．连接AE、DF相交于点G，若AG＝3，EG＝6．
（1）求▱OABC对角线AC的长；
（2）求证：▱OABC为矩形．
【答案】答案见解析．
【解答】（1）解：∵DE是直径，
∴∠EAD＝90°，
∵＝
∴∠ADF＝∠AFD＝∠AED，
又∵∠DAE＝∠GAD＝90°
∴△ADE∽△AGD
∴
∴AD2＝AG×AE＝3×9＝27，
∴AD＝3，
∴AC＝2AD＝6．
（2）证明：DE＝＝6，
∵▱OABC是平行四边形
∴OB＝2OD＝DE＝6，
∴▱OABC为矩形．
一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
15．（2022•日照）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i＝1：2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB＝30°．若雪道AB长为270m，雪道BC长为260m．
（1）求该滑雪场的高度h；
（2）据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．
【答案】（1）该滑雪场的高度h为235m；
（2）甲种设备每小时的造雪量是15m3，乙种设备每小时的造雪量是50m3．
【解答】解：（1）过B作BF∥AD，过A过AF⊥AD，两直线交于F，过B作BE垂直地面交地面于E，如图：
根据题知∠ABF＝∠DAB＝30°，
∴AF＝AB＝135（m），
∵BC的坡度i＝1：2.4，
∴BE：CE＝1：2.4，
设BE＝tm，则CE＝2.4tm，
∵BE2+CE2＝BC2，
∴t2+（2.4t）2＝2602，
解得t＝100（m），（负值已舍去），
∴h＝AF+BE＝235（m），
答：该滑雪场的高度h为235m；
（2）设甲种设备每小时的造雪量是xm3，则乙种设备每小时的造雪量是（x+35）m3，
根据题意得：＝，
解得x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，也符合题意，
∴x+35＝50，
答：甲种设备每小时的造雪量是15m3，乙种设备每小时的造雪量是50m3．
一十一．列表法与树状图法（共3小题）
16．（2023•日照）2023年3月22日至28日是第三十届“中国水周”，某学校组织开展主题为“节约用水，共护母亲河”的社会实践活动．A小组在甲，乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份用水量，分别将两个小区居民的用水量x（m3）分为5组，第一组：5≤x＜7，第二组：7≤x＜9，第三组：9≤x＜11，第四组：11≤x＜13，第五组：13≤x＜15，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息：
信息一：
甲小区3月份用水量频数分布表
用水量（x/m3）
频数（户）
5≤x＜7
4
7≤x＜9
9
9≤x＜11
10
11≤x＜13
5
13≤x＜15
2
信息二：甲、乙两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下：
甲小区
乙小区
平均数
9.0
9.1
中位数
9.2
a
信息三：乙小区3月份用水量在第三组的数据为：
9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝ 9.1 ；
（2）在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为b1，在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为b2，比较b1，b2大小，并说明理由；
（3）若甲小区共有600户居民，乙小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于13m3的总户数；
（4）因任务安排，需在B小组和C小组分别随机抽取1名同学加入A小组，已知B小组有3名男生和1名女生，C小组有2名男生和2名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率．
【答案】（1）9.1；
（2）b1＜b2；理由见解答过程；
（3）两个小区3月份用水量不低于13m3的总户数为90；
（4）所抽取的两名同学都是男生的概率是．
【解答】解：（1）由统计图知，乙小区3月份用水量小于9m3的14户，
∵乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6，
∴第15个数据为9，第16个数据为9.2，
∴a＝＝9.1，
故答案为：9.1；
（2）∵甲小区平均用水量为9.0m3，低于平均用水量的户数为13户，
∴b1＝，
∵乙小区平均用水量为9.1m3，低于平均用水量的户数为15户，
∴b2＝，
∴b1＜b2；
（3）∵（600+750）×＝90（户），
∴两个小区3月份用水量不低于13m3的总户数为90；
（4）根据题意列表得：
男
男
男
女
男
（男，男）
（男，男）
（男，男）
（女，男）
男
（男，男）
（男，男）
（男，男）
（女，男）
女
（男，女）
（男，女）
（男，女）
（女，女）
女
（男，女）
（男，女）
（男，女）
（女，女）
共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生有6种，
∴所抽取的两名同学都是男生的概率是＝．
17．（2022•日照）今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩（满分100分）进行整理（成绩得分用a表示），其中60≤a＜70记为“较差”，70≤a＜80记为“一般”，80≤a＜90记为“良好”，90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图．
请根据统计图提供的信息，回答如下问题：
（1）x＝ 30% ，y＝ 16% ，并将直方图补充完整；
（2）已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是 95 ，众数是 94 ；
（3）若该校共有1200人，估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数；
（4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率．
【答案】（1）30%，16%．
（2）95、94；
（3）192人；
（4）．
【解答】解：（1）被调查的总人数为4÷8%＝50（人），
∴优秀对应的百分比y＝×100%＝16%，
则一般对应的人数为50﹣（4+23+8）＝15（人），
∴其对应的百分比x＝×100%＝30%，
补全图形如下：
故答案为：30%，16%．
（2）将这组数据重新排列为91，93，94，94，96，98，99，100，
所以其中位数为＝95，众数为94，
故答案为：95、94；
（3）估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数为1200×16%＝192（人）；
（4）画树状图为：
共有12种等可能情况，其中被抽取的2人恰好是女生的有6种结果，
所以恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率为＝．
18．（2021•日照）为庆祝中国共产党建党100周年，某校加强了学生对党史知识的学习，并组织学生参加《党史知识》测试（满分100分）．为了解学生对党史知识的掌握程度，从七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，进行统计、分析，过程如下：
收集数据：
七年级：86 88 95 90 100 95 95 99 93 100
八年级：100 98 98 89 87 98 95 90 90 89
整理数据：
成绩x（分）
年级
85＜x≤90
90＜x≤95
95＜x≤100
七年级
3
4
3
八年级
5
a
b
分析数据：
统计量
年级
平均数
中位数
众数
七年级
94.1
95
d
八年级
93.4
c
98
应用数据：
（1）填空：a＝ 1 ，b＝ 4 ，c＝ 92.5 ，d＝ 95 ；
（2）若八年级共有200人参与答卷，请估计八年级测试成绩大于95分的人数；
（3）从测试成绩优秀的学生中选出5名语言表达能力较强的学生，其中八年级3名，七年级2名．现从这5名学生中随机抽取2名到当地社区担任党史宣讲员．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到同年级学生的概率．
【答案】（1）1，4，94.5，95；
（2）80；
（3）．
【解答】解：（1）a＝1，b＝4，
八年级成绩按由小到大排列为：87，89，89，90，90，95，98，98，98，100，
所以八年级成绩的中位数c＝＝92.5，
七年级成绩中95出现的次数最多，则d＝95；
故答案为1，4，92.5，95；
（2）200×＝80（人），
估计八年级测试成绩大于95分的人数为80人；
（3）画树状图为：
共有20种等可能的结果，其中两同学为同年级的结果数为8，
所以抽到同年级学生的概率＝＝．
山东省日照市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2023•日照）（1）化简：﹣|1﹣|+2﹣2﹣2sin45°；
（2）先化简，再求值：（﹣x）÷，其中x＝﹣．
2．（2022•日照）（1）先化简再求值：（m+2﹣）×，其中m＝4．
（2）解不等式组并将解集表示在所给的数轴上．
3．（2021•日照）（1）若单项式xm﹣ny14与单项式﹣x3y3m﹣8n是一多项式中的同类项，求m、n的值；
（2）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝﹣1．
二．一元二次方程的应用（共1小题）
4．（2021•日照）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？
三．一次函数的应用（共1小题）
5．（2023•日照）要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为20cm的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为20cm，20cm，10cm的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为40cm×40cm的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．
（1）设制作A种木盒x个，则制作B种木盒 个；
若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材 张；
（2）该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数；
（3）包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为（20﹣a）元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润．
四．二次函数综合题（共3小题）
6．（2023•日照）在平面直角坐标系xOy内，抛物线y＝﹣ax2+5ax+2（a＞0）交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．
（1）求点C，D的坐标；
（2）当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线AD上方抛物线上一点，将直线PD沿直线AD翻折，交x轴于点M（4，0），求点P的坐标；
（3）坐标平面内有两点E（，a+1），F（5，a+1），以线段EF为边向上作正方形EFGH．
①若a＝1，求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标；
②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值．
7．（2021•日照）已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC于点E，设＝k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值．
（3）如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D．
①求△BDQ的周长及tan∠BDQ的值；
②点M是y轴负半轴上的点，且满足tan∠BMQ＝（t为大于0的常数），求点M的坐标．
8．（2022•日照）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2mx+3m，点A（3，0）．
（1）当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；
（2）证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；
（3）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S＝S△PAM﹣S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．
五．菱形的判定与性质（共1小题）
9．（2023•日照）如图，平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，DE，且BE＝DE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝10，tan∠BAC＝2，求四边形ABCD的面积．
六．四边形综合题（共2小题）
10．（2021•日照）问题背景：
如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．
实验探究：
（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①＝ ；②直线AE与DF所夹锐角的度数为 ．
（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
拓展延伸：
在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为 ．
11．（2022•日照）如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠C＝90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM＝a，CN＝b，若ab＝8．
（1）判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；
（2）①当a＝b时，求∠ECF的度数；
②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．
七．切线的判定与性质（共1小题）
12．（2022•日照）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若AC＝，求图中阴影部分的面积．
八．圆的综合题（共1小题）
13．（2023•日照）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题：
如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（60°＜α＜180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接BE．
（1）求证：A，E，B，D四点共圆；
（2）如图2，当AD＝CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；
（3）已知α＝120°，BC＝6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．
九．相似三角形的判定与性质（共1小题）
14．（2021•日照）如图，▱OABC的对角线相交于点D，⊙O经过A、D两点，与BO的延长线相交于点E，点F为上一点，且＝．连接AE、DF相交于点G，若AG＝3，EG＝6．
（1）求▱OABC对角线AC的长；
（2）求证：▱OABC为矩形．
一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
15．（2022•日照）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i＝1：2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB＝30°．若雪道AB长为270m，雪道BC长为260m．
（1）求该滑雪场的高度h；
（2）据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．
一十一．列表法与树状图法（共3小题）
16．（2023•日照）2023年3月22日至28日是第三十届“中国水周”，某学校组织开展主题为“节约用水，共护母亲河”的社会实践活动．A小组在甲，乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份用水量，分别将两个小区居民的用水量x（m3）分为5组，第一组：5≤x＜7，第二组：7≤x＜9，第三组：9≤x＜11，第四组：11≤x＜13，第五组：13≤x＜15，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息：
信息一：
甲小区3月份用水量频数分布表
用水量（x/m3）
频数（户）
5≤x＜7
4
7≤x＜9
9
9≤x＜11
10
11≤x＜13
5
13≤x＜15
2
信息二：甲、乙两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下：
甲小区
乙小区
平均数
9.0
9.1
中位数
9.2
a
信息三：乙小区3月份用水量在第三组的数据为：
9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝ ；
（2）在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为b1，在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为b2，比较b1，b2大小，并说明理由；
（3）若甲小区共有600户居民，乙小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于13m3的总户数；
（4）因任务安排，需在B小组和C小组分别随机抽取1名同学加入A小组，已知B小组有3名男生和1名女生，C小组有2名男生和2名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率．
17．（2022•日照）今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩（满分100分）进行整理（成绩得分用a表示），其中60≤a＜70记为“较差”，70≤a＜80记为“一般”，80≤a＜90记为“良好”，90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图．
请根据统计图提供的信息，回答如下问题：
（1）x＝ ，y＝ ，并将直方图补充完整；
（2）已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是 ，众数是 ；
（3）若该校共有1200人，估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数；
（4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率．
18．（2021•日照）为庆祝中国共产党建党100周年，某校加强了学生对党史知识的学习，并组织学生参加《党史知识》测试（满分100分）．为了解学生对党史知识的掌握程度，从七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，进行统计、分析，过程如下：
收集数据：
七年级：86 88 95 90 100 95 95 99 93 100
八年级：100 98 98 89 87 98 95 90 90 89
整理数据：
成绩x（分）
年级
85＜x≤90
90＜x≤95
95＜x≤100
七年级
3
4
3
八年级
5
a
b
分析数据：
统计量
年级
平均数
中位数
众数
七年级
94.1
95
d
八年级
93.4
c
98
应用数据：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ；
（2）若八年级共有200人参与答卷，请估计八年级测试成绩大于95分的人数；
（3）从测试成绩优秀的学生中选出5名语言表达能力较强的学生，其中八年级3名，七年级2名．现从这5名学生中随机抽取2名到当地社区担任党史宣讲员．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到同年级学生的概率．
山东省日照市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2023•日照）（1）化简：﹣|1﹣|+2﹣2﹣2sin45°；
（2）先化简，再求值：（﹣x）÷，其中x＝﹣．
【答案】（1）；
（2）2x﹣4，原式＝﹣5．
【解答】解：（1）﹣|1﹣|+2﹣2﹣2sin45°
＝2﹣（﹣1）+﹣2×
＝2﹣+1+﹣
＝；
（2）（﹣x）÷
＝•
＝•
＝•
＝2（x﹣2）
＝2x﹣4，
当x＝﹣时，原式＝2×（﹣）﹣4
＝﹣1﹣4
＝﹣5．
2．（2022•日照）（1）先化简再求值：（m+2﹣）×，其中m＝4．
（2）解不等式组并将解集表示在所给的数轴上．
【答案】（1）m2﹣4m+3，3；
（2）不等式组的解集是：2＜x≤4，
．
【解答】解：（1）原式＝×
＝×
＝（m﹣3）（m﹣1）
＝m2﹣4m+3，
当m＝4时，
原式＝42﹣4×4+3
＝3；
（2），
解①得：x＞2，
解②得：x≤4，
故不等式组的解集是：2＜x≤4，
解集在数轴上表示：
．
3．（2021•日照）（1）若单项式xm﹣ny14与单项式﹣x3y3m﹣8n是一多项式中的同类项，求m、n的值；
（2）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝﹣1．
【答案】（1）m的值为2，n的值为﹣1；（2）x2+1，4﹣2．
【解答】解：（1）由题意可得，
②﹣①×3，可得：﹣5n＝5，
解得：n＝﹣1，
把n＝﹣1代入①，可得：m﹣（﹣1）＝3，
解得：m＝2，
∴m的值为2，n的值为﹣1；
（2）原式＝[]•（x+1）（x﹣1）
＝•（x+1）（x﹣1）
＝x2+1，
当x＝﹣1时，
原式＝（﹣1）2+1＝2﹣2+1+1＝4﹣2．
二．一元二次方程的应用（共1小题）
4．（2021•日照）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量y（桶）与每桶降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b，
将点（1，110）、（3，130）代入一次函数关系式得：，
解得：，
故函数的关系式为：y＝10x+100（0＜x＜20）；
（2）由题意得：（10x+100）×（55﹣x﹣35）＝1760，
整理，得x2﹣10x﹣24＝0．
解得x1＝12，x2＝﹣2（舍去）．
所以55﹣x＝43．
答：这种消毒液每桶实际售价43元．
三．一次函数的应用（共1小题）
5．（2023•日照）要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为20cm的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为20cm，20cm，10cm的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为40cm×40cm的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．
（1）设制作A种木盒x个，则制作B种木盒 （200﹣x） 个；
若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材 （200﹣y） 张；
（2）该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数；
（3）包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为（20﹣a）元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润．
【答案】（1）（200﹣x），（200﹣y）；
（2）制作A种木盒100个，B种木盒100个；使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板50张；
（3）A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元．
【解答】解：（1）∵要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，制作A种木盒x个，
故制作B种木盒（200﹣x）个；
∵有200张规格为40cm×40cm的木板材，使用甲种方式切割的木板材y张，
故使用乙种方式切割的木板材（200﹣y）张；
故答案为：（200﹣x），（200﹣y）；
（2）使用甲种方式切割的木板材y张，则可切割出4y个长、宽均为20cm的木板，
使用乙种方式切割的木板材（200﹣y）张，则可切割出8（200﹣y）个长为10cm、宽为20cm的木板；
设制作A种木盒x个，则需要长、宽均为20cm的木板5x个，
制作B种木盒（200﹣x）个，则需要长、宽均为20cm的木板（200﹣x）个，需要长为10cm、宽为20cm的木板4（200﹣x）个；
故，
解得：，
故制作A种木盒100个，制作B种木盒100个，
使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张，
（3）∵用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元，且使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张，
故总成本为150×5+8×50＝1150（元）；
∵两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元，
∴，
解得：7≤a≤18，
设利润为w元，则w＝100a+100（20﹣a）﹣1150，
整理得：w＝850+50a，
∵50＞0，
∴w随a的增大而增大，
故当a＝18时，有最大值，最大值为850+50×18＝1750（元），
则此时B种木盒的销售单价定为20﹣×18＝11（元），
即A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元．
四．二次函数综合题（共3小题）
6．（2023•日照）在平面直角坐标系xOy内，抛物线y＝﹣ax2+5ax+2（a＞0）交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．
（1）求点C，D的坐标；
（2）当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线AD上方抛物线上一点，将直线PD沿直线AD翻折，交x轴于点M（4，0），求点P的坐标；
（3）坐标平面内有两点E（，a+1），F（5，a+1），以线段EF为边向上作正方形EFGH．
①若a＝1，求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标；
②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值．
【答案】（1）C（0，2），D（5，2）；
（2）；
（3）①（1，6），（4，6），（5，2）；②a＝0.5．
【解答】解：（1）在 y＝﹣ax2+5ax+2（a＞0）中，当x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），
∵抛物线解析式为 y＝﹣ax2+5ax+2（a＞0），
∴抛物线对称轴为直线 ，
∵过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D，
∴C、D关于抛物线对称轴对称，
∴D（5，2）；
（2）当 时，抛物线解析式为 ，
当y＝0时，，
解得 x＝﹣1或 x＝6，
∴A（﹣1，0），
如图，设DP上与点M关于直线AD对称的点为N（m，n），
由轴对称的性质可得：AN＝AM，DN＝DM，
，
∴3m+n＝12，
∴n＝12﹣3m
∴m2+2m+1+144﹣72m+9m2＝25，
∴m2﹣7m+12＝0，
解得m＝3或m＝4（舍去），
∴n＝12﹣3m＝3，
∴N（3，3），
设直线DP的解析式为y＝kx+b1，
∴，
解得，
∴直线DP的解析式为 ，
联立，
解得或，
∴P（，）；
（3）①当a＝1时，抛物线解析式为 y＝﹣x2+5x+2，E（1，2），F（5，2），
∴EH＝EF＝FG＝4，
∴H（1，6），G（5，6），
当x＝1时，y＝﹣12+5×1+2＝6，
∴抛物线 y＝﹣x2+5x+2 恰好经过H（1，6）；
∵抛物线对称轴为直线 ，由对称性可知抛物线经过（4，6），
∴点（4，6）为抛物线与正方形的一个交点，
又∵点F与点D重合，
∴抛物线也经过点F（5，2）；
综上所述，正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标为（1，6），（4，6），（5，2）；
②如图，当抛物线与GH、GF分别交于T、D时，
∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为 ，
∴点T的纵坐标为2+2.5＝4.5，
∴，
∴a2+1.5a﹣1＝0，
解得a＝﹣2（舍去）或a＝0.5；
如图，当抛物线与GH、EF分别交于T、S，
∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为 ，
∴，
解得a＝0.4（舍去，因为此时点F在点D下方）
如图，当抛物线与EH、EF分别交于T、S，
∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，
∴﹣a（）2+5a•+2＝a+1+2.5，
解得 或 （舍去）；
当 时，y＝﹣ax2+5ax+2＝6.25a+2，
当时，，
∴ 不符合题意；
综上所述，a＝0.5．
7．（2021•日照）已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上任意一点，连PC、PB、PO，PO交直线BC于点E，设＝k，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值．
（3）如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D．
①求△BDQ的周长及tan∠BDQ的值；
②点M是y轴负半轴上的点，且满足tan∠BMQ＝（t为大于0的常数），求点M的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）当t＝时，k取得最大值，此时，P（，）；
（3）①△BDQ的周长为2++3；tan∠BDQ＝；
②M（0，﹣t）或（0，﹣﹣t）．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴设y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入，得a（0+1）（0﹣3）＝3，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，
∴△PEH∽△OEC，
∴＝，
∵＝k，OC＝3，
∴k＝PH，
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∵B（3，0），C（0，3），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P（t，﹣t2+2t+3），则H（t，﹣t+3），
∴PH＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
∴k＝（﹣t2+3t）＝（t﹣）2+，
∵＜0，
∴当t＝时，k取得最大值，此时，P（，）；
（3）①如图2，过点Q作QT⊥BD于点T，则∠BTQ＝∠DTQ＝90°，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∴Q（1，0），
∴OQ＝1，BQ＝OB﹣OQ＝3﹣1＝2，
∵点C关于x轴的对称点为点D，
∴D（0，﹣3），
∵B（3，0），
∴OB＝OD＝3，
∵∠BOD＝90°，
∴DQ＝＝＝，
BD＝＝＝3，
∴△BDQ的周长＝BQ+DQ+BD＝2++3；
在Rt△OBD中，∵∠BOD＝90°，OB＝OD，
∴∠DBO＝∠BDO＝45°，
∵∠BTQ＝90°，
∴△BQT是等腰直角三角形，
∴QT＝BT＝BQ•cos∠DBO＝2•cos45°＝，
∴DT＝BD﹣BT＝3﹣＝2，
∴tan∠BDQ＝＝＝；
②解法1：如图3，设M（0，﹣m），则OM＝m，
过点M作MF∥x轴，过点B作BN⊥BM交MQ于点N，
过点N作DN⊥y轴于点D，过点B作EF∥y轴交DN于E，交MF于F，
则∠MBN＝∠BEN＝∠MFB＝90°，
∵∠BMF+∠MBF＝∠MBF+∠NBE＝90°，
∴∠BMF＝∠NBE，
∴△MBF∽△BNE，
∴＝＝＝tan∠BMQ＝，
∴BE＝×MF＝，EN＝×BF＝，
∴DN＝DE﹣EN＝3﹣，
∵OQ∥DN，
∴△MQO∽△MND，
∴＝，即＝，
解得：m＝t±，
∴M（0，﹣t）或（0，﹣﹣t）．
解法2：如图4，设M（0，﹣m），则OM＝m，
BM＝＝＝，
MQ＝＝，
∵tan∠BMQ＝，
∴＝，
∴MT＝t•QT，
∵QT2+MT2＝MQ2，
∴QT2+（t•QT）2＝（）2，
∴QT＝，MT＝，
∵cos∠QBT＝cos∠MBO，
∴＝，即＝，
∴BT＝，
∵BT+MT＝BM，
∴+＝，
整理得，（m2+3）2＝4t2m2，
∵t＞0，m＞0，
∴m2+3＝2tm，即m2﹣2tm+3＝0，
当Δ＝（﹣2t）2﹣4×1×3＝4t2﹣12≥0，即t≥时，
m＝＝t±，
∴M（0，﹣t）或（0，﹣﹣t）．
解法3：如图5，取线段BQ的中点E，作EO′⊥BQ，使EO′＝t，且点O′在x轴下方，
∴O′（2，﹣t），
连接O′B，O′Q，以O′为圆心，O′B为半径作⊙O′，交y轴于点M，
则tan∠BO′E＝＝，
∵EB＝EQ，∠O′EB＝∠O′EQ＝90°，O′E＝O′E，
∴△O′EB≌△O′EQ（SAS），
∴∠QO′E＝∠BO′E，
∴∠BMQ＝∠BO′Q＝∠BO′E，
∴tan∠BMQ＝tan∠BO′E＝，
设M（0，m），
∵O′M＝O′B，
∴（2﹣0）2+（﹣t﹣m）2＝12+t2，
∴m2+2tm+3＝0，
解得：m＝＝﹣t±，
∴M（0，﹣t）或（0，﹣﹣t）．
8．（2022•日照）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2mx+3m，点A（3，0）．
（1）当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；
（2）证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；
（3）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S＝S△PAM﹣S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）D（﹣，﹣）；
（3）P（1，4）．
【解答】（1）解：把x＝3，y＝0代入y＝﹣x2+2mx+3m得，
﹣9+6m+3m＝0，
∴m＝1，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）证明：∵y＝﹣x2+m（2x+3），
∴当2x+3＝0时，即x＝﹣时，
y＝﹣，
∴D（﹣，﹣）；
（3）如图，
连接OP，
设P（m，﹣m2+2m+3），
设PD的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴ON＝﹣+3，
∵S＝S△PAM﹣S△BMN，
∴S＝（S△PAM+S四边形AONM）﹣（S四边形AONM+S△BMN）＝S四边形AONP﹣S△AOB，
∵S四边形AONP＝S△AOP+S△PON＝+＝+（﹣＝﹣+m+，S△AOB＝＝，
∴S＝﹣+m＝﹣（m﹣1）2+，
∴当m＝1时，S最大＝，
当m＝1时，y＝﹣12+2×1+3＝4，
∴P（1，4）．
五．菱形的判定与性质（共1小题）
9．（2023•日照）如图，平行四边形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，DE，且BE＝DE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝10，tan∠BAC＝2，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）80．
【解答】（1）证明：连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝OD，
在△BOE与△DOE中，
∴△BOE≌△DOE（SSS），
∴∠BEO＝∠DEO，
在△BAE与△DAE中，
，
∴△BAE≌△DAE（SAS），
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：在Rt△ABO中，∵tan∠BAC＝＝2，
∴设AO＝x，BO＝2x，
∴AB＝＝x＝10，
∴x＝2，
∴AO＝2，BO＝4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2AO＝4，BD＝2BO＝8，
∴四边形ABCD的面积＝AC•BD＝＝80．
六．四边形综合题（共2小题）
10．（2021•日照）问题背景：
如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，过点E作EF⊥AB交BD于点F．
实验探究：
（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，如图2所示，得到结论：①＝ ；②直线AE与DF所夹锐角的度数为 30° ．
（2）小王同学继续将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
拓展延伸：
在以上探究中，当△BEF旋转至D、E、F三点共线时，则△ADE的面积为 或 ．
【答案】（1），30°；（2）结论仍然成立，理由见解析过程；拓展延伸：或．
【解答】解：（1）如图1，∵∠ABD＝30°，∠DAB＝90°，EF⊥BA，
∴cos∠ABD＝＝，
如图2，设AB与DF交于点O，AE与DF交于点H，
∵△BEF绕点B按逆时针方向旋转90°，
∴∠DBF＝∠ABE＝90°，
∴△FBD∽△EBA，
∴＝，∠BDF＝∠BAE，
又∵∠DOB＝∠AOF，
∴∠DBA＝∠AHD＝30°，
∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°，
故答案为：，30°；
（2）结论仍然成立，
理由如下：如图3，设AE与BD交于点O，AE与DF交于点H，
∵将△BEF绕点B按逆时针方向旋转，
∴∠ABE＝∠DBF，
又∵＝，
∴△ABE∽△DBF，
∴＝，∠BDF＝∠BAE，
又∵∠DOH＝∠AOB，
∴∠ABD＝∠AHD＝30°，
∴直线AE与DF所夹锐角的度数为30°．
拓展延伸：如图4，当点E在AB的上方时，过点D作DG⊥AE于G，
∵AB＝2，∠ABD＝30°，点E是边AB的中点，∠DAB＝90°，
∴BE＝，AD＝2，DB＝4，
∵∠EBF＝30°，EF⊥BE，
∴EF＝1，
∵D、E、F三点共线，
∴∠DEB＝∠BEF＝90°，
∴DE＝＝＝，
∵∠DEA＝30°，
∴DG＝DE＝，
由（2）可得：＝，
∴，
∴AE＝，
∴△ADE的面积＝×AE×DG＝××＝；
如图5，当点E在AB的下方时，过点D作DG⊥AE，交EA的延长线于G，
同理可求：△ADE的面积＝×AE×DG＝××＝；
故答案为：或．
11．（2022•日照）如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠C＝90°，M，N分别是边AC，BC上的点，以CM，CN为邻边作矩形PMCN，交AB于E，F．设CM＝a，CN＝b，若ab＝8．
（1）判断由线段AE，EF，BF组成的三角形的形状，并说明理由；
（2）①当a＝b时，求∠ECF的度数；
②当a≠b时，①中的结论是否成立？并说明理由．
【答案】（1）线段AE，EF，BF组成的是直角三角形；
（2）①45°；
②①的结论仍然成立．
【解答】解：（1）线段AE，EF，BF组成的是直角三角形，理由如下：
∵AM＝AC﹣CM＝4﹣a，BN＝4﹣b，
∴AE＝，BF＝，
∴AE2+BF2＝2（4﹣a）2+2（4﹣b）2＝2（a2+b2﹣8a﹣8b+32），
∵AB＝＝4，
∴EF＝AB﹣AE﹣BF＝[4﹣（4﹣a）﹣（4﹣b）]＝（a+b﹣4），
∵ab＝8，
EF2＝2（a+b﹣4）2＝2（a2+b2﹣8a﹣8b+16+2ab）＝2（a2+b2﹣8a﹣8b+32），
∴AE2+BF2＝EF2，
∴线段AE，EF，BF组成的是直角三角形；
（2）①如图1，
连接PC交EF于G，
∵a＝b，
∴ME＝AM＝BN＝NF，
∵四边形CNPM是矩形，
∴矩形CNPM是正方形，
∴PC平分∠ACB，
∴CG⊥AB，
∴∠PGE＝90°，
∵CM＝CN＝PM＝PN，
∴PE＝PF，
∵△AEM，△BNF，△PEF是等腰直角三角形，
EF2＝AE2+BF2，EF2＝PE2+PF2，
∴PE＝AE＝PF＝BF，
∴ME＝EG＝FG＝FN，
∴∠MCE＝∠GCE，∠NCF＝∠GCF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECG+∠FCG＝，
∴∠ECF＝45°；
②如图2，
仍然成立，理由如下：
将△BCF逆时针旋转90°至△ACD，连接DE，
∴∠DAC＝∠B＝45°，AD＝BF，
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAB＝90°，
∴DE2＝AD2+AE2＝BF2+AE2
∵EF2＝BF2+AE2，
∴DE＝EF，
∵CD＝CF，CE＝CE，
∴△DCE≌△FCE（SSS），
∴∠ECF＝∠DCE＝．
七．切线的判定与性质（共1小题）
12．（2022•日照）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若AC＝，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）﹣．
【解答】（1）证明：连接OD，CD，
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB，∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∵D为AB的中点，
∴BD＝AD＝AB，
∴AD＝AC，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ADC＝∠ACD＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCO＝90°﹣60°＝30°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠DCO＝30°，
∴∠ADO＝∠ADC+∠ODC＝60°+30°＝90°，
即OD⊥AB，
∵OD过圆心O，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：由（1）可知：AC＝AD＝BD＝AB，
又∵AC＝，
∴BD＝AC＝，
∵∠B＝30°，∠BDO＝∠ADO＝90°，
∴∠BOD＝60°，BO＝2DO，
由勾股定理得：BO2＝OD2+BD2，
即（2OD）2＝OD2+（）2，
解得：OD＝1（负数舍去），
所以阴影部分的面积S＝S△BDO﹣S扇形DOE＝﹣＝﹣．
八．圆的综合题（共1小题）
13．（2023•日照）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题：
如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（60°＜α＜180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接BE．
（1）求证：A，E，B，D四点共圆；
（2）如图2，当AD＝CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；
（3）已知α＝120°，BC＝6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析，
（3）．
【解答】（1）证明：由旋转的性质可得 AE＝AD，∠DAE＝α，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠BAD＝∠DAE﹣∠BAD，即∠BAE＝∠CAD，
又∵AB＝AC，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠AEB＝∠ADC，
∵∠ADC+∠ADB＝180°，
∴∠AEB+∠ADB＝180°，
∴A、B、D、E四点共圆；
（2）证明：如图所示，连接OA，OD，
∵AB＝AC，AD＝CD，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠DAC，
∵⊙O是四边形AEBD的外接圆，
∴∠AOD＝2∠ABC，
∴∠AOD＝2∠ABC＝2∠DAC，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝180°，
∴2∠DAC+2∠OAD＝180°，
∴∠DAC+∠OAD＝90°，即∠OAC＝90°，
∴OA⊥AC，
又∵OA是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（3）解：如图所示，作线段AB的垂直平分线，分别交AB、BC于G、F，连接AM，PM，如图：
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∵点M是边BC的中点，
∴，AM⊥BC，
∴，，
在Rt△BGF中，，
∴FM＝BM﹣BF＝3﹣2＝1，
∵⊙P是四边形AEBD的外接圆，
∴点P一定在AB的垂直平分线上，
∴点P在直线GF上，
∴当MP⊥GF时，PM有最小值，
∴∠PFM＝∠BFG＝90°﹣∠B＝60°，
在Rt△MPF中，PM＝MF•sin∠PFM＝1×sin60°＝，
∴圆心P与点M距离的最小值为 ．
九．相似三角形的判定与性质（共1小题）
14．（2021•日照）如图，▱OABC的对角线相交于点D，⊙O经过A、D两点，与BO的延长线相交于点E，点F为上一点，且＝．连接AE、DF相交于点G，若AG＝3，EG＝6．
（1）求▱OABC对角线AC的长；
（2）求证：▱OABC为矩形．
【答案】答案见解析．
【解答】（1）解：∵DE是直径，
∴∠EAD＝90°，
∵＝
∴∠ADF＝∠AFD＝∠AED，
又∵∠DAE＝∠GAD＝90°
∴△ADE∽△AGD
∴
∴AD2＝AG×AE＝3×9＝27，
∴AD＝3，
∴AC＝2AD＝6．
（2）证明：DE＝＝6，
∵▱OABC是平行四边形
∴OB＝2OD＝DE＝6，
∴▱OABC为矩形．
一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
15．（2022•日照）2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为AB，BC两部分，小明同学在C点测得雪道BC的坡度i＝1：2.4，在A点测得B点的俯角∠DAB＝30°．若雪道AB长为270m，雪道BC长为260m．
（1）求该滑雪场的高度h；
（2）据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少35m3，且甲设备造雪150m3所用的时间与乙设备造雪500m3所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．
【答案】（1）该滑雪场的高度h为235m；
（2）甲种设备每小时的造雪量是15m3，乙种设备每小时的造雪量是50m3．
【解答】解：（1）过B作BF∥AD，过A过AF⊥AD，两直线交于F，过B作BE垂直地面交地面于E，如图：
根据题知∠ABF＝∠DAB＝30°，
∴AF＝AB＝135（m），
∵BC的坡度i＝1：2.4，
∴BE：CE＝1：2.4，
设BE＝tm，则CE＝2.4tm，
∵BE2+CE2＝BC2，
∴t2+（2.4t）2＝2602，
解得t＝100（m），（负值已舍去），
∴h＝AF+BE＝235（m），
答：该滑雪场的高度h为235m；
（2）设甲种设备每小时的造雪量是xm3，则乙种设备每小时的造雪量是（x+35）m3，
根据题意得：＝，
解得x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，也符合题意，
∴x+35＝50，
答：甲种设备每小时的造雪量是15m3，乙种设备每小时的造雪量是50m3．
一十一．列表法与树状图法（共3小题）
16．（2023•日照）2023年3月22日至28日是第三十届“中国水周”，某学校组织开展主题为“节约用水，共护母亲河”的社会实践活动．A小组在甲，乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份用水量，分别将两个小区居民的用水量x（m3）分为5组，第一组：5≤x＜7，第二组：7≤x＜9，第三组：9≤x＜11，第四组：11≤x＜13，第五组：13≤x＜15，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息：
信息一：
甲小区3月份用水量频数分布表
用水量（x/m3）
频数（户）
5≤x＜7
4
7≤x＜9
9
9≤x＜11
10
11≤x＜13
5
13≤x＜15
2
信息二：甲、乙两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下：
甲小区
乙小区
平均数
9.0
9.1
中位数
9.2
a
信息三：乙小区3月份用水量在第三组的数据为：
9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6
根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝ 9.1 ；
（2）在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为b1，在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为b2，比较b1，b2大小，并说明理由；
（3）若甲小区共有600户居民，乙小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于13m3的总户数；
（4）因任务安排，需在B小组和C小组分别随机抽取1名同学加入A小组，已知B小组有3名男生和1名女生，C小组有2名男生和2名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率．
【答案】（1）9.1；
（2）b1＜b2；理由见解答过程；
（3）两个小区3月份用水量不低于13m3的总户数为90；
（4）所抽取的两名同学都是男生的概率是．
【解答】解：（1）由统计图知，乙小区3月份用水量小于9m3的14户，
∵乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6，
∴第15个数据为9，第16个数据为9.2，
∴a＝＝9.1，
故答案为：9.1；
（2）∵甲小区平均用水量为9.0m3，低于平均用水量的户数为13户，
∴b1＝，
∵乙小区平均用水量为9.1m3，低于平均用水量的户数为15户，
∴b2＝，
∴b1＜b2；
（3）∵（600+750）×＝90（户），
∴两个小区3月份用水量不低于13m3的总户数为90；
（4）根据题意列表得：
男
男
男
女
男
（男，男）
（男，男）
（男，男）
（女，男）
男
（男，男）
（男，男）
（男，男）
（女，男）
女
（男，女）
（男，女）
（男，女）
（女，女）
女
（男，女）
（男，女）
（男，女）
（女，女）
共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生有6种，
∴所抽取的两名同学都是男生的概率是＝．
17．（2022•日照）今年是中国共产主义青年团成立100周年，某校组织学生观看庆祝大会实况并进行团史学习．现随机抽取部分学生进行团史知识竞赛，并将竞赛成绩（满分100分）进行整理（成绩得分用a表示），其中60≤a＜70记为“较差”，70≤a＜80记为“一般”，80≤a＜90记为“良好”，90≤a≤100记为“优秀”，绘制了不完整的扇形统计图和频数分布直方图．
请根据统计图提供的信息，回答如下问题：
（1）x＝ 30% ，y＝ 16% ，并将直方图补充完整；
（2）已知90≤a≤100这组的具体成绩为93，94，99，91，100，94，96，98，则这8个数据的中位数是 95 ，众数是 94 ；
（3）若该校共有1200人，估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数；
（4）本次知识竞赛超过95分的学生中有3名女生，1名男生，现从以上4人中随机抽取2人去参加全市的团史知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率．
【答案】（1）30%，16%．
（2）95、94；
（3）192人；
（4）．
【解答】解：（1）被调查的总人数为4÷8%＝50（人），
∴优秀对应的百分比y＝×100%＝16%，
则一般对应的人数为50﹣（4+23+8）＝15（人），
∴其对应的百分比x＝×100%＝30%，
补全图形如下：
故答案为：30%，16%．
（2）将这组数据重新排列为91，93，94，94，96，98，99，100，
所以其中位数为＝95，众数为94，
故答案为：95、94；
（3）估计该校学生对团史掌握程度达到优秀的人数为1200×16%＝192（人）；
（4）画树状图为：
共有12种等可能情况，其中被抽取的2人恰好是女生的有6种结果，
所以恰好抽中2名女生参加知识竞赛的概率为＝．
18．（2021•日照）为庆祝中国共产党建党100周年，某校加强了学生对党史知识的学习，并组织学生参加《党史知识》测试（满分100分）．为了解学生对党史知识的掌握程度，从七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩，进行统计、分析，过程如下：
收集数据：
七年级：86 88 95 90 100 95 95 99 93 100
八年级：100 98 98 89 87 98 95 90 90 89
整理数据：
成绩x（分）
年级
85＜x≤90
90＜x≤95
95＜x≤100
七年级
3
4
3
八年级
5
a
b
分析数据：
统计量
年级
平均数
中位数
众数
七年级
94.1
95
d
八年级
93.4
c
98
应用数据：
（1）填空：a＝ 1 ，b＝ 4 ，c＝ 92.5 ，d＝ 95 ；
（2）若八年级共有200人参与答卷，请估计八年级测试成绩大于95分的人数；
（3）从测试成绩优秀的学生中选出5名语言表达能力较强的学生，其中八年级3名，七年级2名．现从这5名学生中随机抽取2名到当地社区担任党史宣讲员．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到同年级学生的概率．
【答案】（1）1，4，94.5，95；
（2）80；
（3）．
【解答】解：（1）a＝1，b＝4，
八年级成绩按由小到大排列为：87，89，89，90，90，95，98，98，98，100，
所以八年级成绩的中位数c＝＝92.5，
七年级成绩中95出现的次数最多，则d＝95；
故答案为1，4，92.5，95；
（2）200×＝80（人），
估计八年级测试成绩大于95分的人数为80人；
（3）画树状图为：
共有20种等可能的结果，其中两同学为同年级的结果数为8，
所以抽到同年级学生的概率＝＝．
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