2024长春东北师大附中高二上学期9月月考数学试题含答案

东北师大附中2023-2024上学期阶段考试

高二年级（数学）科试卷

考试说明：本试卷共4页，20小题，满分120分，考试时长90分钟．

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1．下列叙述正确的是（    ）

A．随着试验次数的增加，频率一定越来越接近一个确定数值

B．若随机事件A发生的概率为，则

C．若事件A与事件B互斥，则

D．若事件A与事件B对立，则

2．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0~9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为（    ）

A． B． C． D．

3．甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲、乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别如表：

则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为（    ）

A．0.24 B．0.28 C．0.30 D．0.32

4．下列结论正确的是（    ）

A．是，共线的充要条件

B．若，则存在唯一的实数，使得

C．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底

D．

5．长春市地铁1号线从工农广场站到人民广场站共有4个站点，它们是工农广场、东北师大、解放大路、人民广场．甲、乙二人同时从工农广场站上车，准备在东北师大站、解放大路站、人民广场站中的某个站点下车，假设他们在这3个站点中的某个站点下车是等可能的，则甲、乙二人在不同站点下车的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．已知空间中三点，，，则（    ）

A．与是共线向量  B．的单位向量是

C．与夹角的余弦值是 D．平面ABC的一个法向量是

7．同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，设事件“”，事件“xy为奇数”，事件“”，则下列结论正确的是（    ）

A．A与B对立 B． C．A与C相互独立 D．B与C相互独立

8．如图，在直三棱柱中，，，，M、N分别是线段、上的点，P是直线AC上的点，满足平面，，且M、N不是三棱柱的顶点，则MP长的最小值为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知一个不透明袋子中装有大小、质地完全一样的1个白球、1个红球、2个黑球，现从中依次不放回地随机抽取2个小球，事件“取到红球和黑球”，事件“第一次取到黑球”，事件“第二次取到黑球”，则下列结论正确的是（    ）

A．  B．

C．  D．

10．平行六面体的棱长都为1，，，则下列结论正确的是（    ）

A．  B．与平面所成角的正弦值为

C．在上的投影向量为 D．直线与之间的距离为

11．甲乙两队各派两名选手参加某次比赛，有一名选手过关即可晋级，各选手独立完成．若甲队两名选手过关的概率分别为，，乙队两名选手过关的概率分别为，，则（    ）

A．甲队不能晋级的概率为 B．两队都晋级的概率为

C．两队都不能晋级的概率为 D．至少有一队晋级的概率为

12．已知正方体的棱长为1，点P满足，其中，，以下结论正确的是（    ）

A．当时， B．当时，最小值是

C．当时，BP的最大值 D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．直线l的斜率k的取值范围是，则倾斜角的范围是______．

14．已知平面的一个法向量为，，，其中，，则点N到平面的距离为______．

15．若三棱锥中，，，，点E为BC中点，点F在棱AD上（包括端点），则异面直线AE与CF所成的角的余弦值的取值范围是______．

16．如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，并规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两人都上一个台阶．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为______．

四、解答题：本题共4小题，共计40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）袋中有7只大小形状相同颜色不全相同的小猫摆件，分别为黑猫、白猫、红猫，某同学从中任意取一只小猫摆件，得到黑猫或白猫的概率是，得到白猫或红猫的概率是，试求：

（1）某同学从中任取一只小猫摆件，得到黑猫、白猫、红猫的概率各是多少？

（2）某同学从中任取两只小猫摆件，得到的两只小猫颜色不相同的概率是多少？

18．（本小题满分10分）在长方体中，，，点M、N分别在线段，上，且，．

（1）求直线与平面所成角的正弦值；

（2）若直线与平面相交于点P，求线段DP的长度．

19．（本小题满分10分）某产品在出厂前需要经过质检，质检分为2个过程，第1个过程，将产品交给3位质检员分别进行检验，若3位质检员检验结果均为合格，则产品不需要进行第2个过程，可以出厂；若3位质检员检验结果均为不合格，则产品视为不合格产品，不可以出厂；若只有1位或2位质检员检验结果为合格，则需要进行第2个过程，第2个过程，将产品交给第4位和第5位质检员检验，若这2位质检员检验结果均为合格，则可以出厂，否则视为不合格产品，不可以出厂．设每位质检员检验结果为合格的概率均为，且每位质检员的检验结果相互独立．

（1）求产品需要进行第2个过程的概率；

（2）求产品不可以出厂的概率．

20．（本小题满分10分）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，，，，．