奥数四年级下册秋季课程 第11讲《和差问题》教案

（ 四年级 ）                                      备课教员：××× 

第11讲    和差问题

一、教学目标：

1. 让学生通过认真观察与思考，理解有关解和差问题的基本方法。

2. 通过例题的线段示意图，引导学生化抽象为具体，锻炼学生的逻辑思维能力。

3. 通过数形结合的方式，使学生掌握将复杂问题简单化的能力，领会和差问题的求解技巧，增强学生将数学知识应用于生活中去的意识。

4. 通过师生互动，重点培养学生的口头表达能力、逻辑思维能力。进一步引导学生初步形成抽象与概括的思维力。 

二、教学重点：

1. 学会利用和差问题的解题规律来求解相关问题。

2. 引导学生掌握先求大数或先求小数的这两种解题方法。

三、教学难点：

1. 理解并掌握公式：大数 =（和＋差）÷ 2 。

2. 理解并掌握公式：小数 =（和－差）÷ 2 。

四、教学准备：

PPT

五、教学过程：

第一课时（50分钟）

一、导入（6分)

师：同学们，你们知道吗？欧拉生病了。所以米德和卡尔一起去了商场买了小饼干，准备去探望欧拉。可是不巧，他们俩刚出商场门口的时候，就遇见了超级吃货阿派。阿派看到米德和卡尔买了小饼干，就想吃。于是，米德为了不让阿派吃到饼干，就给他出了一道难题，请看。

【教师课件播放动画。】

师：米德说道我和卡尔一共买了128块小饼干，我买的比卡尔多6块，你要猜出我们两个各买了多少个小饼干，我就送你几块。同学们，你们觉得米德能难得住阿派吗？

生1：能。

生2：不能。

师：同学们，可别忘了，阿派可是个超级吃货啊，要知道吃货的力量是非常可怕的哦。阿派想了想，就笑了，他很自豪的说：“作为一个合格的吃货，你们是难不住我的，米德你买了67块，卡尔买了61块。”同学们，你们验证一下阿派说的到底对不对。

生：对。

师：阿派他说对了，这让米德十分得吃惊，他没想到阿派居然这么厉害。那同学们，你们知道阿派是怎么算出这个答案的吗？

生：不知道。

师：既然不知道，那我们今天就来学习一下阿派这个超级吃货对待这种有和有差的超级算法吧。

【课件继续播放米德与阿派的对话，然后引出课题，并板书“和差问题”。】

二、探索发现授课（42分）

（一）例题一：（14分）

    米德和欧拉在超市一共买了246元的零食，欧拉比米德少买12元。两人各买了多少钱的零食？ 

【课件出示例题一。】

师：同学们，请先认真地读一读这道题，然后再找一找这道题中已经给出的已知信息。

生1：米德和欧拉一共买了246元的零食。

师：也就是说，题中给我们的一个已知信息是两人所买零食的总价是246元对吧。很好，请坐。还有其他已知信息吗？

生2：欧拉比米德少买12元。

师：哦，那就是两人所花的钱相差12元对吧？

师：那请问谁花的钱比较多？

生2：米德花的比较多。

师：嗯，很好，也就是说米德所花的钱数比较大。这个要先记住，等会需要用到这个信息。

师：那么，面对这种类型的题目，我们该怎么将找到的已知信息利用起来呢？这类题目需要很强的逻辑思维能力，那么，我们可以通过画线段图的方式来加以理解。

师：首先，要将主人公米德和欧拉表示出来，然后，我们先画一条线段来表示米德所花的钱数，接下来我们该怎么办呢？

生：接下来画欧拉所花的钱数。

师：很好，那欧拉所花钱数应该怎么画呢？

生：画的比米德要短一点。

师：他说的对嘛？

生：对。

师：为什么要画的比米德的短啊？

生：因为欧拉花的钱比米德的少。

师：少多少？

生：少12元。

师：没错，所以，我们在画欧拉的线段的时候，一定要比米德的线段要短。这样才符合要求。

师：画好之后，我们还有一个已知信息没有使用到，是什么？

生：还有两人一共花的钱没有表示出来。

师：哦，也就是说，两人的总价钱还没有表示出来对吧？

师：那我们可以这样给这两条线段加个大括号，说明这两条线段表示的是两人所花的总价钱。可以理解了吗？

生：可以。

师：很好。那么，根据这个，你们有什么办法可以求出两人分别花了多少钱吗？

师：来，我对这个示意图再做个小变动，你们就可以容易想的到了。请看，说说发现了什么。

生：增加虚线之后，两个线段一样长了。

师：说得真棒，那你知道，这条虚线表示多少钱吗？

生：表示12元钱。

师：为什么？

生：因为欧拉花的钱比米德花的要少12元，只有再加上12元，才会跟米德的钱一样多。

师：其他同学听明白了吗？

生：明白了。

师：对，刚刚这位同学解释得非常清楚，只有把欧拉和米德之间相差的价钱补给欧拉，这样欧拉的钱数就跟米德一样多了。那么，在我们补齐了这12元之后，两人所花的总钱数有变化吗？

生：有。增加了12元。

师：没错，给欧拉增加12元后，两人原来的总钱数也要增加12元，就变成了多少钱？

生：258元。

师：很好。那么，总价钱算出来之后，现在我们能求出其中一个人所花的钱数吗？

生：可以，可以求出米德所花的钱。

师：怎么求？

生：用258除以2。

师：为什么这么求？

生：因为总钱数变了之后，是米德钱数的两倍。

师：没错，你发现了一个特别重要的信息。不知道其他同学发现没有？

生：发现了。

师：恩，真厉害。直接看图，我们可以发现这两条线段的长度相等，而这线段的长度所表示的是米德所花的钱数。所以，我们就可以用总价钱除以2，就可以求得米德所花的钱数了。那么，我们既然可以求出米德所花的钱数，欧拉的也就很容易求的出来了，对吧？

生：是的。

师：很好，那么现在，请你们拿出课堂作业本，把这道题的解题步骤写出来，要注意解题过程要写完整哦。

【教师在讲解这部分内容时，要配合课件演示画图的过程，引导学生化抽象为具体，加以理解。思路讲解完毕可让学生将例题一解答在课堂练习本上，教师下台巡视，适时指导。最后再核对答案。】

师：这就是我们今天要学习的，面对例题一这种题型的解题思路。对于只知道两数和与两数差的时候，我们就可以将两数和加上两数差，再除以2，便可求出两数中较大的那个数。可以将这句话用一个式子来表示就是：大数 =（和＋差）÷ 2 。可以明白吗？

生：可以明白。

师：很好，那为了加深大家对这种题型的印象，现在请你们用同样的思路，来解答一下这一道题，一样的，解答在课堂练习本上，我请一位同学上台板书。

【出示练习一。请一位中等程度的学生上台板书，教师下台巡视。】     

                     246+12=258（元）

                     258÷2=129（元）

                     129-12=117（元）

       答：米德买了129元钱的零食，欧拉买了117元的零食。

练习一：（6分）

    两筐水果共重158千克，第一筐水果比第二筐水果重8千克。两筐水果各重多少千克？

分析：

第一小题旨在让学生熟悉例题一的这种解题思路，难度不大，只要例题一听明白了，就能很快的解答出来。

                     158+8=166（千克）

                     166÷2=83（千克）

                     83-8=75（千克）

       答：第一筐水果有83千克，第二筐水果有75千克。

（二）例题二：（14分）

    阿派期末考试时语文和数学的平均成绩是96分，数学比语文多得了2分。阿派的语文和数学各得了多少分？

【课件出示例题二。】

师：同学们，有了前面例题一的经验，现在看到例题二，你们觉得应该怎么办？

生：画示意图。

师：对，画示意图。那这次由你们说，我来画好吗？

生：好。

师：好的。请开始。

生1：先把语文跟数学表示出来。

生2：画一条线段表示数学的分数，画另一条线段表示语文的分数，语文的线段要比数学的短。

师：为什么这么画？

生2：因为数学的分数比语文的多2分，所以语文的线段比数学的短。

师：说得非常好。那么，其他同学请继续。

生3：用大括号表示平均数。

师：唉？为什么表示的是平均数啊？我们刚刚可是用大括号表示总数的哦。为什么这里不一样呢？

生3：因为已知的信息里面只已知平均数。

师：说得没错，题目给了我们什么信息，我们就用什么信息，如果需要一些未知的信息，我们就得想办法利用已知的求出未知的。这是应对这类应用题的解题技巧。

【这部分的讲解，教师要根据学生的说法来演示课件，尽可能的将话语权交给学生，这样子有助于学生理解整道题的意思。】

师：通过大家的努力，我们把已知的信息，用线段图的形式表示出来了。那么，就像刚刚我所说的，如果我们要用例题一的解题方法来解答这道题，我们需要知道什么？

生：需要知道两科的总分数。

师：他说的你们同意嘛？

生：同意。

师：没错，那我们该怎么求总分数呢？

生：用平均数96乘以2。

师：对啦，因为题中已经告诉我们两科的平均数了，所以我们就可以求出两科的总分数。

师：那么，我们知道了总分数了，就可以运用什么公式来解题啦？

生：用大数 =（和＋差）÷ 2 这个公式来解题。

师：很好，那现在请你们解到课堂练习本上。

【对学生加以引导之后再请学生解题，再核对答案，教师要利用课件来演示整个解题过程。注意提醒学生规范答题。】

师：看来，同学们基本上都能领会解答这种应用题的思路了。但是我觉得并不是所有的孩子都能理解透彻，所以，我要请你们最后再解答一下这一道练习题，加深一下印象，这次我要请两位同学上来板书了。

【课件出示练习题二，教师请两位同学上台板书，其他学生自觉解答在课堂练习本上。教师下台巡视。最后讲解的时候，要请板书的同学来复述一下自己的解题思路。】

                     96×2=192（分）

                     192+2=194（分）

                     194÷2=97（分）

                     97-2=95（分）

           答：阿派的语文得95分，数学得97分。

练习二：（8分）

    四年级男、女生的平均人数是126人，其中女生比男生少4人。男、女生各有多少人？

分析：

    这道题难度中下，主要是让学生能熟练掌握并运用两数和差问题的基本解题思路。只要学生认真听讲，领会了例题二的解题思路，就能很快完成这道练习题。

                     126×2=252（人）

                     252+4=256（人）

                     256÷2=128（人）

                     128-4=124（人）

           答：男生人数为128人，女生人数为124人。

三、小结：（2分）

师：今天，我们被超级大吃货阿派的惊人计算能力所吸引，深入了解了已知两数和与两数差的解题思路。其实主要是根据哪个公式来求的啊？

生：大数 =（和＋差）÷ 2 。

师：真棒！看来都记住了，不过啊，这种类型的题目我们只学习了先求大数的方法，肯定还会有……

生：先求小数的。

师：没错，那先求小数的解题方法，我们下节课再继续了解，这节课我们就上到这里。

第二课时（50分）

一、复习导入（5分）

师：孩子们，还记的上节课，我们学习了什么吗？

生：学习了两数和与两数差的问题。

师：嗯，看来你们上节课都能认真听课。那你们还记得有一个很实用的工具吗？

生：大数 =（和＋差）÷ 2 。

师：非常好。不过上节课我就说过，光从大数入手来解决这类问题并不全面，所以，我们今天要学习的就是从……

生：小数入手。

师：没错，你们头脑真是灵光。请看例题三。

【课件出示例题三。】

二、探索发现授课（42分）

（一）例题三：（13分）

    欧拉和阿派两人共有卡片90张，如果欧拉给阿派5张，则他们俩卡片就同样多。欧拉和阿派原来各有卡片多少张？

师：同学们，请先认真读一下这道例题，找出这道题中的已知信息，然后跟上节课一样，想一想我们可以用这些已知信息求出什么。

生1：总共有90张卡片。

生2：欧拉的卡片比阿派的卡片多5张。

师：唉？这个信息你是怎么得出来的？

生2：因为题目中说欧拉给阿派5张，两人就一样多了。

师：好的，其他同学同意吗？

生：同意。/ 不同意。

师：好，既然出现了分歧，那我就用课件来演示给你们看，看一下到底他们俩人所持有的卡片相差多少张。请认真看屏幕哦。

师：首先，让阿派和欧拉各自站队。然后，由题中的信息，我们可以知道欧拉所有的卡片肯定比阿派的多，对吧？

生：没错。

师：很好，那么，我们让欧拉和阿派的卡片各自排一排，请问这两排卡片一共有多少张啊？

生：90张。

师：没错，因为题中已经给了我们这一个信息了。然后，题目中还说了，如果欧拉给阿派5张，则他们俩卡片就同样多，那我就让欧拉拿出5张卡片给阿派，这样的话，正好，两排卡片就一样多了，对吧。

生：对。

师：好，那你们认真观察一下这个图，回想一下，欧拉拿出5张卡片，阿派收进5张卡片，这样之后，两人的卡片才一样多，那他们俩原来到底相差多少呢？

生：是相差10张。

师：嗯，这回回答得很干脆。因为一个出，一个进才达到平衡，那么原来的两数差肯定就是变化数量的两倍了。理解了吗？

生：理解了。

师：嗯，很好。

【课件演示卡片移动的效果，帮助学生理解原来两数之间到底相差多少。】

师：那现在，我们知道了两数差是10，还知道了两数和是90。那我们就可以利用和差问题来解决这道题了。

师：那又该怎么解答呢？

生：用90减去10再除以2。

师：为什么这么算？先说90减去10是什么意思？

生：90减去10是阿派卡片数量的两倍。

师：其他同学明白了吗？

生：明白了。

师：没错啊，因为卡片移动前后两人卡片的总数量是不变的，那这道题，我们很容易可以看出把总数量减去两数差，就可以得到较小的数的两倍了，所以才有了这位同学的说法了。理解了吗？

生：理解了。

师：很好，那你们就依照这个思路，把最后的解题过程写出来吧。

【学生自主解题，教师下台指导。解题完毕后教师要运用课件梳理整个解题思路，重点讲给仍未理解的孩子听。】

师：很好，大部分同学都理解了。那我再梳理一下这个解题思路，这道题只在要我们明白“两数和减去两数差，再除以2，可求出小数”的这个方法。同样的这句话我们可以归结为一个公式就是：小数 =（和－差）÷ 2 。

师：记住了吗？

生：记住了。

师：好，为了巩固一下这种解题思路，请你们继续完成练习三。我要请一位同学上台板书，并讲解。

【课件出示练习题三。教师下台巡视指导学生完成】

                     90－10=80（张）

                     80÷2=40（张）

                     40＋10=50（张）

           答：欧拉原来有卡片50张，阿派原来有卡片40张。

练习三：（7分）

   一个两层书架共放书112本，若从上层书架拿出8本书给下层，则两层书架上的书同样多。上、下层书架各放书多少本？

分析：

    这道练习题难度中上，对于知识的迁移，学生并不能很灵活的运用，因此，教师在巡视的时候要多注意指导学生结合所学的知识一点点渗透进来。

                     112－16=96（本）

                     96÷2=48（本）

                     48＋16=64（本）

           答：上层书架原来放64本书，下层书架原来放48本书。

（二）例题四：（13分）

    甲、乙两筐香蕉共重102千克，从甲筐取出8千克放入乙筐中，结果甲筐还比乙筐重2千克。甲、乙两筐原来有香蕉各多少千克？

师：同学们，对于和差问题我们只有最后一关要破了。请看一下例题四。找一找，这道题，跟我们之前遇到的有哪些特别之处。

【课件展示例题四。】

师：找出你认为的特别之处，跟我说一说。

生：特别之处在于把香蕉从甲筐移到乙筐之后，两筐没有一样重。

师：说得非常好，也说得非常准确。居然出现了不一样重的情况了，这该怎么办啊？

师：你们也不明白了？那没事，跟着我来，我们一步步分析。

师：首先，我们已知有甲、乙两筐香蕉。他们一样重吗？

生：不一样。

师：对，虽然不一样重，但是我们知道他们的总重量是……

生：102千克。

师：没错。接下来，我们要根据题意来搬香蕉了。从甲筐搬8千克香蕉放入筐内，这时候，发现甲筐的香蕉比乙筐的香蕉还要多……

生：多2千克。

师：没错，那这种情况下，你们能求出甲、乙两筐原来相差多少千克吗？动手算一算。

生：原来相差18千克。

师：你是怎么算的？

生：我用8乘以2，再加上2就得到18千克了。

师：为什么这么算，乘以2是什么意思？

生：因为如果把香蕉搬过来之后两筐的重量一样，那原来就相差8乘2等于16千克了，然后再加2千克，就是现在相差了18千克。

师：真是太厉害了，解释得非常清楚。那我们就根据你的算法来计算一下吧。

【教师根据学生的讲解，演示课件，并让学生自行解答，最后运用课件演示解题过程。】

师：解到这里，有同学肯定发现了，我这里写的是解法一，那有解法一，就肯定有……

生：解法二。

师：没错。那解法二又该怎求呢？

师：来，大家跟我一起回到刚刚的例题四。

师：你们看，这是我们搬完香蕉之后的示意图。如果，我把这个多出来的2千克香蕉给拿走了。那变成了什么情况？

生：变成了两筐一样多的了。

师：没错，那这种两筐一样多的情况，我们会解吗？

生：会。

师：好，那你们就试着解一解吧。

【请学生动手试写出解法二的解题过程，教师下台巡视指导。最后再核对解法二的解题思路以及解题过程。】

师：一道例题，居然有两种解法，有趣吧。

生：有趣。

师：那你们就来看看这道练习四，看看它有没有两种解法呢。请动笔写在课堂练习本上。我请两位同学上台板演。

【课件出示练习四，请两位中上的学生上台板书，并请他们讲解自己的思路，台下学生解答时，教师应多走动走动，指导不会的学生领会、理解。】

解法一：8×2＋2=18（千克）            解法二：（102－2）÷2=50（千克）                   

       （102＋18）÷2=60（千克）              50－8=42（千克）

        102－60=42（千克）                   102－42=60（千克）

   答：甲筐原有香蕉60千克，             答：甲筐原有香蕉60千克，

       乙筐原有香蕉42千克。                 乙筐原有香蕉42千克。

练习四：（7分）

    甲、乙两个办公室共有职员96人，甲办公室若有3人调到乙办公室工作，这样，乙办公室就比甲办公室多2人。甲、乙两个办公室原来各有多少个职员？

分析：

    这两道题难度中等，旨在让学生能更熟悉和差问题的解题方法，能够更灵活地运用画线段图的方法对应用题进行分析求解，能够熟练地进行知识间的迁移，以培养学生严谨的逻辑思维能力。

                     96－2=94（人）

                     94÷2=47（人）

                     47＋3=50（人）

                     96－50=46（人）

          答：甲办公室原来有50人，乙办公室原来有46人。

（三）例题五（选讲）：

    欧拉把一条100米长的绳子剪成三段，要求第二段比第一段多16米，第三段比第一段少18米。三段绳子各长多少米？

师：同学们，为了提升你们对和差问题这类知识的认识，请看例题五。

师：认真审题，并找出有用的已知信息。

生1：绳子的总长度是100米。

师：没错，我们可以从题中了解到绳子的总长是100米。还有其他信息吗？

生2：第二段比第一段多16米，第三段比第一段少18米。

师：说得真棒！那根据这条信息，我们以什么为标准来画线段示意图呢？

生3：以第一段的长度为标准画。

师：为什么？

生3：因为第二段跟第三段都是跟第一段来比较的。

师：没错，因为题中都是拿第一段的长度来比较的，那么我们就可以用第一段的长度为标准画示意图了。

师：首先，把第一段用线段表示出来，然后用红色的虚线来表示以第一段为标准。紧接着，我们要画第二段，该怎么画？

生：第二段要画的比第一段要长一点。

师：长多少？

生：长16米。

师：没错，那我们可以先画出一条跟第一段一样长的线段，然后再延长16米，这就是第二段的长度了。那么，第三段应该怎么画？

生：第三段要画的比第一段短18米。

师：说的真棒，真是一点就通啊。

师：在要画第三段线段的时候，我们可以先用虚线表示出第三段跟第一段相差的18米，然后再画出用以表示第三段的线段。这样就比较清楚了。

【这部分讲解，教师需要配合课件演示整个画图的过程，注重培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。】

师：示意图，我们是画出来了，但是这题该怎么解呢？我们之前是两两相比较的，现在出现了三个对象，这该怎么比较呢？想一想，我们刚刚找到了一个标准，这个标准能不能用得上呢？

师：想想看，因为我们用第一段为标准，如果我们把第二段比第一段多的16米减去，再把第三段比第一段少的18米加上的话，会出现什么情况？

生：会出现三段一样长。

师：跟哪一段一样长？

生：跟第一段一样长。

师：没错，所以，我们可以先求出哪一段的长度呢？

生：可以先求出第一段的长度。

师：怎么求？

生：用100减去16再加上18，最后再除以3就可以得到第一段的长度。

师：说的非常好。其他同学明白了吗？

生：明白了。

师：很好，整条思路就是我们以第一段为标准，把总长度减去多的数，再加上少的数，就可以得到标准的也就是第一段的三倍了，那么最后再除以3就可以得到第一段的长度了。

师：那么求出第一段的长度之后，剩下的第二段跟第三段的长度能求出来吗？

生：能。

师：很好，那你们现在就动笔试着求一下吧。

【学生试着求解例题五，教师下台巡视。适时指导。最后讲解。】

师：很好，看来同学们都能理解这道题的解题思路了，那么现在请你们实战一番，提升一下自己对这种较难习题的应对能力。

【课件出示练习五，请学生先自行解答，教师可请学生上台板演。最后再讲解。】

          第一段：（100-16+18）÷ 3 = 34（米）

          第二段：  34 + 16 = 50（米）

          第三段：  34 － 18 = 16（米）

     答：三段绳子分别长34米、50米、16米。

练习五：

芭拉拉学校一、二、三年级共有280人，一年级比二年级多12人，二年级比三年级多14人。三个年级各有学生多少人？

分析：

这道题难度中等，旨在让学生能熟悉例题五这类和差问题的解题方法，能够更灵活地运用画线段图的方法对应用题进行分析求解，能够熟练地进行知识间的迁移，这着重培养学生严谨的逻辑思维能力。

          二年级：（280-12+14）÷ 3 = 94（人）

          一年级：  94 + 12 = 106（人）

          三年级：  94 － 14 = 80（人）

     答：一年级有106人，二年级有94人，三年级有80人。

三、总结：（3分）

师：同学们，这两天，我们主要学习了对于和差问题的主要解题方法，谁能帮我回顾一下求大数和小数的公式？

生1：求大数的公式是：大数 =（和＋差）÷ 2 。

生2：求小数的公式是：小数 =（和－差）÷ 2 。

师：很好，这两个公式在我们生活中运用的十分广泛，请大家一定要记住。当然，对于和差问题，也不仅仅只有这两种方法可以求解，等你们学到了更深层次的知识的时候，一定能发现更多、更有效、更方便的解和差问题的方法，希望你们继续努力吧！加油！

师：好的，这节课就上到这里。

四、随堂练习

1. 卡尔与阿派身高的总和是264厘米，已知卡尔比阿派矮8厘米。两人身高分别是多少厘米？

                        264+8=272（厘米）

                  阿派：272÷2=136（厘米）

                  卡尔：136-8=128（厘米）

             答：阿派的身高是136厘米，卡尔的身高是128厘米。

2. 卡尔和阿派4分钟共跳绳688下，已知卡尔平均每分钟比阿派少跳4下。卡尔和阿派平均每分钟各跳多少下？

                        688÷4=172（下）

                       （172+4）÷2=88（下）

                        88-4=84（下） 

           答：阿派平均每分钟跳88下，卡尔平均每分钟跳84下。

3. 卡尔和阿派共有糖果60块，如果卡尔给阿派9块糖果，则两人的糖果一样多。卡尔和阿派原来各有糖果多少块？

                        60÷2=30（块）

                  卡尔：30+9=39（块）

                  阿派：30-9=21（块）

            答：卡尔原来有糖果39块，阿派原来有糖果21块。

4. 甲、乙两校共有学生432人，为了照顾学生就近入学，经协商由甲校调入乙校16人，这样甲校比乙校还多24人，则原来甲、乙两校各有学生多少人？

                      16×2+24=56（人）                

                     （432-56）÷2=188（人）

                      432-188=244（人）           

           答：原来甲校有244人，乙校有188人。

5. 阿派期末测试语文、数学和英语的平均分数是95分，数学比语文多得6分，英语比语文多得9分。求阿派三门功课各得多少分？

                       95×3=285（分）

                       285-6-9=270（分）

                 语文：270÷3=90（分）

                 数学：90+6=96（分）

                 英语：90+9=99（分）

        答：阿派的语文得90分，数学得96分，英语得99分。

家庭作业

主管评价

主管评分

课后反思

（不少于60字）

整体效果

设计不足之处

设计优秀之处