（ 四年级 ）                                      备课教员：××× 

第12讲    和倍问题

一、教学目标：

1、让学生通过认真观察与思考，理解有关解和倍问题的基本方法。

2、通过例题的线段示意图，引导学生化抽象为具体，锻炼学生的逻辑思维能力。

3、通过数形结合的方式，使学生掌握将复杂问题简单化的能力，领会和倍问题的求解技巧，增强学生将数学知识应用于生活中去的意识。

4、通过师生互动，重点培养学生的语言表述能力、逻辑思维能力以及计算能力。进一步引导学生形成抽象与概括的思维能力。 

二、教学重点：

1、学会利用和倍问题的解题规律来求解相关问题。

2、引导学生掌握求解和倍问题的方法。

三、教学难点：

理解并掌握公式：

两数和÷(倍数+1)=小数（1倍数）

小数×倍数=大数（几倍数）    

两数和－小数=大数

四、教学准备：

PPT

五、教学过程：

第一课时（50分钟）

一、导入（6分)

师：同学们，元旦快要到了，欧拉正在布置班级的时候，遇到了阿派，正好欧拉听说最近阿派变得越来越勤奋了，于是就想考一考阿派。

师：欧拉对阿派说道：马上到元旦了我和卡尔一共准备了150个黄气球和红气球，黄气球的个数是红气球的2倍，你知道我们准备的黄气球和红气球各多少个吗？阿派想了想说到，红气球你们准备了50个，黄气球准备了100个。欧拉高兴地说道,看样子你说得没错，你最近进步确实很大嘛，不过你是怎么去计算的呢？

师：同学们，你们知道阿派是怎么计算的吗？

生：不知道。

师：看来，阿派学到的知识比你们多呢！想不想超越阿派？

生：想。

师：很好，学了今天的知识，你们就能超越阿派了，有信心吗？

生：有信心。

师：很好，那今天到底要学什么呢？

【出示课题“和倍问题”并板书。】

师：同学们，看了我们今天要学的课题，有没有什么想说的？

生：跟我们之前学的“和差问题”类似。

师：对了，之前我们学的是“和差问题”，还记得吗？

生：记得。

师：掌握了吗？

生：掌握了。

师：很好，既然掌握了，那我们今天学习的“和倍问题”也可以用之前所学的“和差问题”的解题思路来考虑问题，那样会变得容易了。接下来我们一起看下例题一。

二、探索发现授课（42分）

（一）例题一：（14分）

    芭啦啦动物园里有猴子和老虎共540只，猴子的只数是老虎的3倍，

 两种动物各有多少只？

【课件出示例题一】

师：同学们，请先认真地读一读这道题，然后找一找这道题中给出的已知信息有哪些。

生1：动物园里有猴子和老虎共540只。

师：也就是说猴子和老虎的总数是540只对吧。很好，请坐。还有其他的已知信息吗？

生2：猴子的只数是老虎的3倍。

师：这句话该怎么理解？能不能举个简单的例子来说说？

生2：就是说如果老虎只有1只，那猴子就有3只。

师：那按照你这个例子的说法，老虎和猴子一共有多少只？

生2：4只。

师：说的很好，请坐。不知道其他同学听懂了没有？

生：听懂了。

师：刚刚那位同学给我们举了一个很好的例子。如果老虎只有1只，那么猴子就有3只，这样的话，老虎和猴子的总数就是4只了。那我们把这个例子反过来看，1只老虎，3只猴子，总数4只。我们把老虎看成1份，那么，猴子有几份？

生：3份。

师：很好，那老虎和猴子总共是几份？

生：4份。

师：没错，猴子和老虎总共是4份，而他们的总数是4只，这就说明两种动物的总数，和它们之间的倍数关系是有相互联系的，对吧？

师：那好，那我们回头再来看看例题一。有没有这种类似的关系呢？

生：老虎和猴子总共有4份……

师：请等一下，你把我说迷糊了。猴子的只数是老虎的3倍，怎么跑出一个4份呢？

生：因为加上老虎本身那一份，就是4份了。

师：你太厉害了，说得真棒！因为猴子是老虎的3倍，所以猴子是3份，那么，还有老虎这一份呢，所以总共是4份。其他同学明白了吗？

生：明白了。

【课件演示画线段示意图的过程，教师要结合学生的思路，一步一引导学生，配合课件演示，加深学生理解。】

师：那我们知道了老虎和猴子总共有4份，还知道什么？

生：还知道老虎和猴子总共540只。

师：那我们可以求出什么？

生：可以求出一份的数量。

师：求出一份的数量，也就是什么的数量？

生：老虎的数量。

师：没错。根据这个线段示意图，我们可以发现4份共540只老虎和猴子中，有一份是老虎，有3份是猴子，所以，我们就可以先求出老虎的数量了。

师：那么，请你们现在拿出课堂练习本动笔解一解，求完老虎的数量，再求猴子的数量，就比较容易了。要注意解题的规范哦。

【学生自行解答在课堂练习本上，教师下台巡视，然后讲解。注意，求解猴子的数量，有两种思路，教师要注意引导学生一题多解，锻炼学生的创新意识。】

师：很好，大部分同学都能理解了，那我现在再给你们总结一下，求解这种“和倍问题”的解题思路。

师：解答和倍应用题的关键是要找出两数的和以及对应的倍数和，从而先求出1倍数。数量关系可以这样表示: 两数和÷(倍数+1)=小数（1倍数）； 小数×倍数=大数（几倍数）；  两数和－小数=大数。

师：这种就是我们这节课所要讲的精髓所在，所以请你们一定要好好记住。

师：现在，为了加深大家对这种题型的印象，请你们运用这个公式，来解答一下这一道题，一样的，解答在课堂练习本上，我请一位同学上台板书。

【出示练习一，请一位中等程度的学生上台板书，教师下台巡视。】     

                     540÷（1+3）=135（只）

                     135×3=405（只）

                 或：540-135=405（只）

               答：有老虎有135只，猴子有405只。

练习一：（6分）

    卡尔和米德共有压岁钱800元，卡尔的压岁钱数是米德的3倍。卡尔和米德分别有压岁钱多少元？

分析：

练习一旨在让学生熟悉例题一的这种解题思路，难度不大，只要例题一听明白了，就能很快地解答出来。

                     800 ÷（ 1＋3 ）= 200（元）

                     800 － 200 = 600（元）

                 或：200 × 3 = 600（元）

              答：米德有200元压岁钱，卡尔有600元压岁钱。

（二）例题二：（14分）

     欧拉有纪念硬币45个，阿派有纪念硬币18个，问阿派把多少个纪

 念硬币给欧拉后，欧拉的纪念硬币个数是阿派的8倍？

【课件出示例题二。】

师：同学们，有了前面例题一的经验，现在看看例题二，认真读一读题目，然后说一说，例题二跟刚刚我们做的例题一和练习一相比有什么不同。

生：这道题跟之前做的不同的是这道题已经知道每个人有多少个硬币了。

师：没错，那题目要我们求的是什么呢？

生：求的是阿派把多少个纪念硬币给欧拉后，欧拉的纪念硬币个数是阿派的8倍。

师：没错，很好，请坐。这题目一变化，可就难坏我们了。大家想想看，我们为了求出阿派给欧拉的硬币数，该怎么利用这个题目给的已知条件呢？

生1：因为欧拉有纪念硬币45个，阿派有纪念硬币18个，所以我们可以求出硬币的总数。

师：哦，很好，我们可以知道总数了！再找找，还有吗？

生2：因为欧拉的纪念硬币个数是阿派的8倍，所以欧拉和阿派的硬币总共有9份。

师：这个9怎么来的？

生2：8加1等于9。

师：这个1 是指谁的硬币？

生2：1是指阿派的硬币。

师：真是一点都难不倒你啊，真棒，请坐。刚刚两位同学给我们分析出了两人硬币的总数，以及总份数，那么，由这两个信息，我们可以求出什么？

生：可以求出一份硬币的数量。

师：真棒。求出了这一份硬币的数量，其他的求得出来吗？

生：可以。

师：怎么求？

生：求出一份之后，用18减去求出来的这一份，就是阿派要给欧拉的硬币数了。

师：其他同学明白吗？

师：因为我们用总硬币数除以9，求出来的是两人硬币变化之后的每一份的数量，也就是说，这一份就是阿派给了欧拉之后，自己手中剩下的硬币数了，所以，拿原来所有的硬币数减去现在剩下的硬币数，就得到了阿派拿出的硬币数量了。

师：好，那你们现在就动笔求一求吧。

【这部分的讲解，教师要根据学生的说法来通过课件演示整个解题思路，尽可能的将话语权交给学生，这样子有助于学生理解整道题的意思。学生在自行解答时，教师下台巡视，指导。学生写完之后讲解解题思路以及解题过程。】

师：看来，同学们基本上都能领会解答这种应用题的思路了。但是我觉得并不是所有的孩子都能理解透彻，所以，我要请你们最后再解答一下这一道练习题，加深一下印象，这次我要请两位同学上来板书了。

【课件出示练习题二，教师请两位同学上台板书，其他学生自觉解答在课堂练习本上。教师下台巡视。最后讲解的时候，要请板书的同学来复述一下自己的解题思路。】

                     45＋18 = 63（个）

                     63÷（8＋1）=7（个）

                     18－7 = 11（个）

    答：阿派把11个纪念币给欧拉后，欧拉的纪念币个数是阿派的8倍。

练习二：（8分）

    甲水池有水68吨，乙水池有水67吨，问甲水池倒入多少吨水到乙水池后，乙水池的水是甲水池的2倍？

分析：

    这道题难度中上，主要是让学生能掌握并运用对和倍问题变式的解题思路。要正确解答练习二，前提是学生完全领会了例题二的解题思路，以及具备一定的知识迁移能力。

                     68＋67 = 135（吨）

                     135 ÷（2＋1）= 45（吨）

                     68 － 45 = 23（吨）

      答：甲水池倒入23吨水到乙水池后，乙水池的水是甲水池的2倍。

三、小结：（2分）

师：今天课前我们发现阿派在勤奋了一段时间后，数学知识有了很大的进步。为了超越他，我们学习了与之相关的“和倍问题”的解题思路。还记得我们主要是根据哪个公式来求解的吗？

生：两数和÷(倍数+1)=小数（1倍数）； 小数×倍数=大数（几倍数）；  两数和－小数=大数。

师：真棒！记得真牢固，不过啊，这种类型的题目我们还没有学完，剩下的我们下节课再继续深入探究。

第二课时（50分）

一、复习导入（6分）

师：孩子们，还记得上节课，我们学习了什么吗？

生：学习了和倍问题。

师：嗯，看来你们上节课都能认真听课。那你们还记得有哪几个很实用的公式吗？

生：两数和÷(倍数+1)=小数（1倍数）； 小数×倍数=大数（几倍数）；  两数和－小数=大数。

师：非常好。上节课，我们为了超越阿派，进行了知识强化，但是，我们还没有强化完毕呢。所以，这节课我们就要继续深入学习“和倍问题”。学完这节课，你们肯定会有更多更好的收获。现在请看例题三。

【课件出示例题三。】

二、探索发现授课（41分）

（一）例题三：（12分）

    商店有红气球、黄气球共260只，如果卖出20只红气球后，红气球的只数就是黄气球只数的2倍。这两种气球各有多少只？

师：同学们，请先把这道题读懂，找出这道题中的已知信息，然后回想一下上节课我们是怎么分析例题二的，找一找我们可以用哪些方法把这些已知信息运用起来。

师：有谁有想法了吗？

生1：卖出20只红气球之后，红气球和黄气球的总数变成了240只了。

生2：把红气球卖出去之后，红气球和黄气球总共有3份。

师：他们说的对吗？

生：对。

师：很好，那我们一步步来。首先，题目中给我们的信息是，红、黄两种气球一共有260只，但是我们不知道它们分别有多少只，这也是我们所要求的。然后，我们知道，店家卖出20只红气球之后，红气球的只数就是黄气球只数的2倍，由我们之前的经验，就可以想到，卖掉红气球之后，两种气球的数量共可以分为3份。

【这一部分的讲解需要配合课件演示两种气球数量变化的线段示意图，以引导学生思考领会。】

师：这样，我们知道了总数，知道了总共分成的份数，可以求出什么？

生：可以求出一份的数量。

师：这一份是指红气球，还是黄气球啊？

生：黄气球。

师：没错，那可以求出黄气球了，红气球该怎么求呢？

生1：用黄气球的数量乘以2，再加上20。

师：为什么还要加上20？

生1：因为红气球被卖出去了20只。

师：没错，说的很好很有条理。只有这种方法求红气球的数量了吗？还有没有其他方法？

生2：用260减去黄气球的数量，就是红气球的数量了。

师：对吗？

生：对。

师：好，那请你们就用自己喜欢的方法来解答一下这道题吧。

【学生自行解答，教师巡视学生的完成情况，适时指导。最后通过课件与学生核对整道题的解题过程，注意偏向为还未理解透彻的学生讲解。】

师：这种解题思路领会了吗？

生：领会了。

师：恩，不，我觉得还不一定呢，所以现在请你们继续完成练习三。同时我要请一位同学上台板书，并要求会讲解，以此来考验你们，接受我的考验吗？

生：接受。

师：很好，那么请开始吧！

【课件出示练习题三。教师下台巡视指导学生完成。】

                     260 － 20= 240（只）

                     240 ÷ （2＋1）= 80（只）

                     260 － 80 = 180（只）

                 或：80 × 2 ＋ 20= 180（只）

               答：黄气球有80只，红气球有180只。

练习三：（7分）

   学校图书室有故事书和连环画共920本，如果借出20本故事书后，故事书的本数就是连环画的2倍。这两种书各有多少本？

分析：

    这道练习题难度中下，题目的主干与例题三是一致的，因此，只要学生理解了例题三的解题过程，就能很容易地求解出本道练习题的结果。教师在巡视的时候要多注意指导学生结合所学知识的渗透与转化。

                     920 － 20= 900（本）

                     900 ÷ （2＋1）= 300（本）

                     920 － 300 = 620（本）

                 或：300 × 2 ＋ 20= 620（本）

               答：连环画有300本，故事书有620本。

（二）例题四：（12分）

    被除数与除数的和为320，商是7。被除数和除数各是几？

师：同学们，请看下例题四。说一说，这道题，跟我们之前遇到的哪些题目有哪些特别之处。

【课件展示例题四。】

生：特别之处在于没有具体的事例，直接出示被除数和除数。

师：说得非常准确。没有了具体事例，而是给了被除数和除数来直接让你计算了。这该怎么办啊？用我们之前学的方法能解答得出来吗？

生：能。/ 不能。

师：好的，先不探求能不能解的出来，我们先来试着分析一下。可以吧？

生：可以。

师：好。首先，我们知道被除数和除数的和是320，这说明什么？

生：说明被除数加上除数等于320。

师：哎，对了，说白一点就是，有两个数相加的和是320，只是正好这两个数是有倍数关系的，所以才会一个是被除数，一个是除数，这个能理解吗？

生：可以。

师：很好。那既然说到了这两个数有倍数关系，那我们知道它们俩是几倍关系吗？

生：7倍。

师：你是怎么知道的？

生：因为两数的商是7。

师：哦，这两个数的商是7，就说明，其中一个数乘以7会等于……

生：另一个数。

师：真棒！那么，我们现在能计算这道题了吗？

生：可以。

师：怎么算？

生：先用320除以8就可以得到除数了。

师：为什么？

生：因为商是7，所以被除数和除数就一共有8份了，

师：没错，因为商是7，这就说明了我们有一份除数，却有7份跟除数一样的被除数，这样的话，总共就有了8份了。然后呢？

生：然后，再用320除以8的商，乘以7就可以得到被除数了。

师：其他同学听明白了吗？

生：听明白了。

师：很好，你们真是太厉害了，那现在你们就根据你们自己的算法来计算一下这道题吧。

【教师根据学生的讲解，演示课件中的线段示意图，待学生理解透彻之后让学生自行解答，教师下台巡视。最后运用课件演示解题过程。】

师：同学们，你学会这种题型的解题方法了吗？

生：学会了。

师：光会说可不行，我还要考考你们呢！现在请你们看看这道练习四，动笔写在课堂练习本上。我请两位同学上台板演。

【课件出示练习四，请两位中上的学生上台板书，并请他们讲解自己的思路，台下学生解答时，教师应多走动走动，指导不会的学生领会、理解。】

                     320 ÷ 8 = 40                

                     40 × 7= 280

                 或：320 － 40= 280

              答：被除数是280，除数是40。

练习四：（6分）

    被除数与除数的和为120，商是7。被除数和除数各是几？

分析：

    这两道题难度中下，旨在让学生能更熟悉和倍问题的解题方法，能够更灵活地运用画线段图的方法对应用题进行分析求解，培养学生严谨的逻辑思维能力。    

                     120 ÷ 8 = 15

                     15 × 7 = 105

                 或：120 － 15 = 105

             答：被除数是105，除数是15。

（三）例题五（选讲）：

    卡尔和欧拉共有邮票70张。如果卡尔增加15张，欧拉拿出5张，卡尔的张数就是欧拉的3倍。两人原来各有邮票多少张？

师：同学们，为了提升你们对和倍问题这类知识的认识，请看下例题五。

师：认真审题，并找出有用的已知信息。

生1：已知欧拉和阿派共有邮票70张。

师：很好，请坐。还有其他信息吗？

生2：还知道如果卡尔增加15张，欧拉拿出5张，卡尔的张数就是欧拉的3倍。

师：说得真棒！请坐。同学们，找出了已知的信息之后，你们觉得这道题复杂吗？

生：复杂。

师：嗯，我也觉得很复杂。那它复杂在哪儿呢？

生：复杂在先是卡尔的邮票要增加，然后欧拉的邮票又要减少。

师：嗯，概括得很完整。先是卡尔的邮票增加了，再是欧拉的邮票减少了，这就说明，卡尔和欧拉的卡片都在……

生：变化。

师：对，都在变化。但是我们光想，可不太容易想得明白，我们可以……

生：画图。

师：画什么图？

生：线段示意图。

师：很好。现在请看屏幕。首先我们先表示出欧拉和卡尔原先各自所持有的邮票数量，当然，具体多少张，我们还不知道。现在，我们就根据题目的要求来将卡尔和欧拉的邮票进行变化了。

【课件演示线段图的变化过程，教师配合引导学生理解。】

师：现在，线段图是画好了，那这俩人的邮票总张数还是70吗？

生：不是。

师：那到底是多少呢？现在，请你们动手算一算，顺便运用我们已学的知识来完整地解答这一道题吧。

【学生试着求解例题五，教师下台巡视。适时指导。】

师：我发现有些同学们能解得出这道题，但是有些同学还有点疑惑。所以，现在，我们来整体的梳理一遍吧。

师：首先，我们已经知道，卡尔和欧拉的邮票变化之后的总数量是变了的，而且变化后的数量是求的出来的，请问怎么求？

生：用70加上15减去5。

师：对，简要来说就是加上增加的，减去减少的，就是变化后的总数了。既然已经知道了变化后的总数，我们还知道什么？

生：变化后的倍数。

师：几倍？

生：3倍。

师：3倍，那共有几份？

生：4份。

师：非常好。其他同学听明白了吗？

生：明白了。

师：现在，我们就知道变化后的总数，变化后的总份数，那么，就可以求出什么？

生：变化后一份的数量。

师：这一份的数量，其实是什么？

生：是变化后欧拉的邮票数量。

师：没错，所以我们可以求出欧拉原本拥有的邮票数吗？

生：可以。

师：可以求出卡尔原本拥有的邮票数吗？

生：可以。

师：那现在请动手做一做，改一改吧。

【教师下台巡视，指导未理解透彻的学生，然后课件演示计算过程，与学生核对结果。】

师：看来这种题，你们还是不太熟悉，所以现在需要你们继续练一练这种题型了。请看练习五，我请一位同学上台板演。其他同学解答在课堂作业本上。

【课件出示练习五，请学生先自行解答，教师请学生上台板演。最后再讲解。】

             （70＋15－5）÷（1＋3）= 20（张）

              20 × 3 － 15 = 45（张）

              20 ＋ 5 = 25（张）

      答：原来欧拉有邮票25张，卡尔有邮票45张。

练习五：

甲、乙两个数之和是400。如果甲数增加45，乙数减少20，甲数就是乙数的4倍。甲、乙两数各是多少？

分析：

这道题难度中等，与例题五的差别仅仅是数字与倍数的变化，这道题旨在让学生能熟悉例题五这类和倍问题的解题方法，能够更灵活的运用画线段图的方法对应用题进行分析求解，能够熟练的进行知识间的迁移，着重培养学生严谨的逻辑思维能力。

                （400＋45－20）÷（1＋4）= 85

                 85 × 4 － 45 = 295

                 85 ＋ 20 = 105

              答：甲数是295，乙数是105。

三、总结：（5分）

师：同学们，这两天，我们主要学习了对于和倍问题的主要解题方法，谁能帮我回顾一下求解这种问题我们所需要用到的工具是什么？

生：两数和÷(倍数+1)=小数（1倍数）； 小数×倍数=大数（几倍数）；  两数和－小数=大数。

师：很好，这个公式在我们生活中运用得十分广泛，请大家一定要记住。当然，对于和倍问题，也不仅仅只有这两种方法可以求解，等你们学到了更深层次的知识的时候，就知道了。

师：课堂结尾，我悄悄地告诉你们一个好消息，想知道吗？

生：想。

师：好，那我就告诉你们吧。其实阿派啊，他并没有学到“和倍问题”的变式哦，这就说明，我们对于“和倍问题”知识的了解，已经远远超过阿派了。开心吗？

生：开心。

师：但是不能太得意哦，接下来还有更大的难题等着我们去破解呢！同学们一起继续加油吧！

四、随堂练习

1. 阿派和米德帮助果农共收橘子680千克，阿派收的橘子的质量是米德的4倍。阿派和米德两人各收了多少千克橘子？

             米德：680÷（4+1）=136（千克）

             阿派：136×4=544（千克）

     答：米德收了136千克的橘子，阿派收了544千克的橘子。

2. 卡尔有39元钱，米德有25元钱，米德要给卡尔多少钱，卡尔的钱数才正好是米德钱数的3倍？

                     39+25=64（元）

                     64÷（3+1）=16（元）

                     25-16=9（元）

                   答：米德要给卡尔9元钱。

3. 盒子里红球和黑球共有215个，已知红球的个数比黑球的个数的3倍多15个。红球和黑球分别有多少个？

                       215-15=200（个）

                  黑球：200÷（3+1）=50（个）

                  红球：50×3+15=165（个）

                  答：黑球有50个，红球有165个。

4. 两数相除商3余5，已知被除数、除数、商和余数的和是141，求被除数？

                         141-3-5=133

                         133-5=128

                   除数：128÷（3+1）=32

                   被除数：32×3+5=101

                   答：被除数是101。

5. 食堂有大米和面粉共6300千克。如果再运进大米200千克，运出面粉100千克，大米的质量就是面粉的7倍。食堂的大米和面粉原来各有多少千克？

                   6300+200-100=6400（千克）

             面粉：6400÷（7+1）=800（千克）

                   800+100=900（千克）

             大米：800×7=5600（千克）

                   5600-200=5400（千克）

          答：食堂的大米原来有5400千克，面粉有900千克。

家庭作业

主管评价

主管评分

课后反思

（不少于60字）

整体效果

设计不足之处

设计优秀之处