奥数五年级下册秋季课程 第14讲《最优化问题》教案

（ 五年级 ）                                      备课教员：××× 

第十四讲    最优化问题

一、教学目标：

1. 通过简单的生活事例，体会策略优化在解决实际问题中的

   作用。

2. 经历探索解决问题的过程，体验解决问题策略的多样性，

   在寻找解决问题的最优方案过程中积累生活经验。

3. 感受生活与数学的紧密联系，培养学生解决问题及寻找最

   优化方案的能力，使学生学会合理安排时间。

二、教学重点：

体会解决问题策略的多样性。

三、教学难点：

寻找解决问题的最优方案。

四、教学准备：

PPT

五、教学过程：

第一课时（50分钟）

一、导入（5分钟)

师：同学们，阿博士最近在学校里遇到了一些麻烦，但是他又忙不过来，所以

    打电话给卡尔，让卡尔帮助阿博士快速联系班里的54个同学。

【课件演示动画，可以让两个来学生读】

师：聪明的卡尔想了一会儿就想出了方法。同学们，你们想知道卡尔是怎么想

    出来的吗？

生：想。

师：嗯，今天我们就来学习最优化问题。在学完了这两个课程以后，相信同学

    们就知道卡尔是怎么解决问题了。

【课件展示课题：最优化问题】

二、探索发现授课（40分钟）

（一）例题一：（13分钟）

 有157吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡车和小卡车每运一次的耗油量分别为10升和5升。请问：如何选派车辆才能使耗油量最少？

师：同学们，如题，要使耗油量最少是什么意思呢？

生：用的油最少。

师：怎么样是油最少呢？

生1：如果我们都用大卡车来运的话，看看用了多少油；然后再算如果都用小卡

     车运的话，用多少油；最后比比哪种车用的油多。

师：嗯，很好，还有吗？

生2：我们可以直接用每运一次的耗油量除以载重量，然后比一比。

师：嗯，同学们这个方法和上个方法相比有什么优点吗？

生：更方便。

师：对，更方便，我们可以直观的比较哪个车更省油，每运一吨的耗油量是多

    少，对不对。

生：对。

师：那我们就来比一比哪个车辆更省油一些。

【教师配合课件讲解】

师：我们可以算出大卡车每吨的耗油量是2升，小卡车每吨的耗油量是2.5升，

    谁的耗油量少？

生：大卡车。

师：嗯，既然知道了大卡车更省油，那我们应该怎么派选车辆呢？

生：都用大卡车。

师：好，那我们就都用大卡车吧。怎么算呢？

生：157÷5。

师：这样算是没错，可是同学们会发现，最后有小数，对不对。小数应该怎么

    办呢？

生：不用除尽的，可以留余数。

师：嗯，留余数接下来呢？

生：余数可以再加一辆车。

师：加什么车？

生1：大卡车。

师：有不同意见吗？

生2：小卡车。

师：嗯，为什么用小卡车呢？

生2：小卡车刚好能载剩下的货物。

师：对，这样可以更好的节省资源。同学们非常棒，这道题到这里呢，就结束

    了。我们学到的可不止是这道题，同学们要学会用最好的办法来解决问题。

【学生自己在练习本上做一遍，教师巡视并指导】

板书：

    大卡车每吨耗油：

    10÷5＝2（升/吨）

    小卡车每吨耗油：

    5÷2＝2.5（升/吨）

大卡车耗油比小卡车省，所以尽可能选派大卡车，

157÷5＝31（辆）……2（吨）

2÷2＝1（辆）

答：应派大卡车31辆，小卡车1辆。

师：看来同学们都已经会做了，那我们就自己做一下例题挑战一下自己吧。

练习一：（6分钟）

    甲地有182吨货物要运到乙地，大卡车的载重是5吨，小卡车的载重是2吨。大卡车运一趟的耗油量是8升，小卡车运一趟的耗油量是4升。请问：如何租车使得耗油量最少？运这批货物，至少需要多少升油？

分析：

    本题难度一般，解题过程和例题相同。先比较大小卡车每顿货物的耗油量，再用总货物量÷耗油量少的车的载重量，然后多余的货物用尽量能装满的原则来装车。

【课件出示练习一，学生自己在练习本上做一做，然后邀请两位同学上台板演，并讲解，让同学指正】

板书：

    大卡车每吨耗油：

    8÷5＝1.6（升/吨）

    小卡车每吨耗油：

    4÷2＝2（升/吨）

    大卡车耗油比小卡车省，所以尽可能选派大卡车，

    182÷5＝36（辆）……2（吨）

    2÷2＝1（辆）

    36×8＋1×4＝292（升）

答：应派大卡车36辆，小卡车1辆，至少需要292升油。

（二）例题二：（13分钟）

 用10尺长的竹竿来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根，至少要用去原材料几根？怎样截法最合算？

师：看来卡车的问题已经难不倒同学们了，接下来老师想要难倒同学们，同学

    们对老师有信心吗？

生：没有。

师：很好，老师对你们拭目以待。请看题。

师：用10尺长的竹竿来截取3尺、4尺长的短竹竿有几种截法？

生1：两段3尺的，一段四尺的。

师：嗯，很好，这种办法截取办法是没有浪费的。还有吗？

生2：三段3尺的。

师：嗯，三段3尺的，我们会剩下多少？

生：1尺。

师：对，1尺的就没用了，也就是说我们会浪费1尺的竹竿。还有吗？

生3：两段4尺的。

师：没错，我们还可以截取两段4尺的短竹竿，但是这种截法我们会发现浪费

    是最多的。而浪费最少的是？

生：第一种截法。

师：没错，所以我们应该采用哪种截法呢？

生：第一种。

师：很好，我们先用第一种截法。要截取100根的甲乙两种短竹竿，但是第一

种截法中一根长竹竿能截取两段甲竹竿，一段乙竹竿，所以当我们截取100

根甲竹竿的时候，乙竹竿有几根？

生：50根。

师：所以我们还需要截取几根乙竹竿呢？

生：50根。

师：接下来我们只需要截取4尺长的乙竹竿就行了，我们可以用哪种截法呢？

生：第三种。

师：第三种截法是把10尺长的竹竿截取两段4尺长的乙竹竿，所以我们只需要

    用几根长竹竿呢？

生：25根。

师：很好，所以我们一共用了几根竹竿？

生：50加25等于75根。

师：很棒，我们只需要用75根竹竿就够了，并且这种截法的浪费是最少的。所

    以这种截法是不是很合算？

生：是。

师：看来同学们都是很有经济头脑的人。

【课件再次演示解题过程，加深学生的印象】

板书：

    第一种截法：3尺、3尺、4尺，残留0尺。

    第二种截法：3尺、3尺、3尺，残留1尺。

    第三种截法：4尺、4尺，残留2尺。

    先取50根竹竿按第一种方法截，可以得到100根3尺长的竹竿和50根4尺长的竹竿。

    还差50根4尺长的竹竿，可以按第三种方法截取，用去25根竹竿。

    至少使用75根竹竿。

练习二：（8分钟）

    有甲、乙两个裁缝，甲5天可以完成10条裤子或20件上衣，乙7天可以完成21条裤子或7件上衣。甲、乙两人合作20套衣服（一件上衣和一条裤子为一套），至少要用几天？

分析：

本题难度一般。需要理解题意，是甲5天可以完成10条裤子或20件上衣，还是5天完成10条裤子和20件上衣。甲乙可以先各完成自己擅长的工作，然后根据工作完成度，再协调两人的工作。

板书：

    10÷5＝2（条） 20÷5＝4（件）

    21÷7＝3（条） 7÷7＝1（件）

甲1天完成2条裤子或4件衣服，乙1天完成3条裤子或1件衣服，

所以让甲做衣服，乙做裤子，做20件衣服需要20÷4＝5（天），五天后，乙做裤子3×5＝15（条），还剩裤子20－15＝5（条），

由两个裁缝一起做要：5÷（2＋3）＝1（天），

一共：5＋1＝6（天）

答：至少要6天。

三、小结：（5分钟）

最优化：

1. 节约时间、工作效率高；
2. 节约资源；
3. 经济。

……

第二课时（50分）

一、复习导入（3分钟）

师：同学们，回顾一下上节课我们学习了什么内容？

生：上节课我们学习了最优化问题。

师：恩，同学们记得不错。其实最优化问题无处不在，只要同学们善于思考，

善于观察，最优化问题一定难不倒大家。但是这节课，老师还是想要考考

大家，相信同学们一定不会被老师难倒了。

二、探索发现授课（42分钟）

（一）例题三：（13分钟）

    由于天气原因，原定明天的春游取消，打一个电话要1分钟，如果用打电话的最佳方式，王老师至少需要多少时间才能使全部30名同学都知道这一消息？

师：同学们，你们去春游过吗？

生：去过。

师：嗯，很好，春游是一个观察大自然的好机会。但是呢，常常会因为天气原

    因而取消春游。王老师呢就遇到了这样一个难题。

【课件出示例题三】

师：同学们看题，王老师至少要多少时间才能通知到每一个同学呢？

生：30分钟。

师：有同学们说30分钟，也就是一个一个打电话给给一个人。这样是最快的吗？

    其他同学还有更快的方法吗？

生：打电话给一个同学帮忙联系。

师：很好，我们可以打电话给一个同学让他也帮王老师打电话给别的同学。还

    有更快的吗？

生：多让几个同学帮忙。

师：离答案越来越近了，同学们还能怎么想呢？

生：可以每打一个电话让下一个同学帮忙联系。

师：很，很好，方法已经出来了。王老师每打一个电话都可以让接电话的同学

帮忙，接电话的同学再联系下一个同学时还可以让下一个同学也打电话联

系其他同学，这样就快了很多。那我们要怎么来算时间呢？

【课件演示动画过程，教师配合课件讲解】

师：同学们一下子想不到的话，我们就先一个一个来看吧。首先是1分钟后，

    有几个同学被王老师联系到了？

生：1个。

师：2分钟后呢？

生：4个。

师：是4个吗？同学们再好好想想，是不是算上了老师了？如果去掉老师，应

    该是几个？

生：3个。

师：嗯，对了，3分钟后呢？

生：7个人。

师：4分钟后呢？

生：15个人。

师：5分钟后呢？

生：31个人。

师：31个对吗？

生：不对，应该是30个人。

师：嗯，一共才30个人，所以5分钟就能联系到所有人了。同学们能发现什么

    规律吗？

生：后面一分钟知道的人数等于前面一分钟知道的人数乘2加1。

师：同学们算得不错。同学们会做了吗？

生：会了。

师：那我们动手自己做一做吧。

【整个教学及讲解过程需要配合课件一步步演示思路及过程，引导学生发现，理解，从而能够自己解决问题。学生先自行完成，教师下台巡视指导】

板书：

    1分钟后，1名同学知道；

2分钟后，3名同学知道；

3分钟后，7名同学知道；

4分钟后，15名同学知道；

5分钟后，30名同学知道；

所以5分钟就足够了。

答：王老师至少需要5分钟。

练习三：（7分）

一个执委会的6名成员要召开一次会议。于是这6名成员给各自的6个下属打电话，每个下属又给各自的6个下属再打电话。若每个人都只被通知了一次，那么有多少人知道要开会？

分析：

    本题难度一般。注意提议，是6名成员负责通知各自的6个下属，6个下属再负责通知自己的6个下属，并且每个人只被通知了一次，所以每个人只通知一次。

板书：

    1名执委会成员通知的人数：

第一次执委会成员通知的人数是：6人，知道开会的一共有：6＋1人；

第二次6名下属通知：6×6＝36（人），知道开会的一共有：36＋6＋1＝43（人）；

所以，6名执委会成员通知的人数：43×6＝258（人）；

答：有258人知道要开会。

（二）例题四：（13分钟）

    一天，某诊所只有王大夫值班。三个病人同时来诊所，甲量血压需3分钟，乙拿药需2分钟，丙打针需5分钟。王大夫怎样安排就诊的顺序，才能使他们等候时间的总和最短？最短是多少分钟？

师：同学们，为了使等待时间的总和最短，根据生活常识，我们应该让哪个病

    人先就诊呢？

生：乙。

师：对，就诊时间短的病人先就诊可以让等待时间最短。那么乙要等几分钟呢？

生：2分钟。

师：嗯，乙就诊完离开后，接下来轮到谁就诊了呢？

生：甲。

师：没错，甲和丙相比，就诊时间更短，所以让甲先就诊。那么甲要等多久呢？

生：5分钟。

师：2＋3＝5（分钟）。最后就是轮到？

生：丙。

师：对，最后轮到丙就诊。丙的等待时间为？

生：2＋3＋5＝10（分钟）。

师：很棒，所以一共要等待17分钟。同学们真聪明，自己动手做一做吧。

【讲解过程配合课件演示，做到语言与动画相统一，能更加深学生理解、记忆】

板书：

    按乙甲丙的就诊顺序，

乙需要等待：2分钟；

甲需要等待：（2＋3）分钟；

丙需要等待：（2＋3＋5）分钟；

一共需要：2×3＋3×2＋5＝17（分钟）

答：按乙甲丙的就诊顺序等待时间的总和最短，等待17分钟。

练习四：（7分钟）

    加油站同时来了A、B、C三辆车，而且三辆车加满油的时间依次为8分钟，5分钟和10分钟。现在只有一个加油泵，怎样安排加油顺序才能使加油和等待的总时间最短？最短是多少分钟？

分析：

    本题难度中等。为使等待总时间最短，可以让加油时间少的车先加油。

【练习四同样需要学生先解答在课堂练习本上，然后请学生上台板演过程，重点在于需要学生对全班同学讲解自己的解答思路评优补漏，加深全班同学的记忆力】

板书：

    按BAC的加油顺序，

B需要等待：5分钟；

A需要等待：（5＋8）分钟；

C需要等待：（5＋8＋10）分钟；

一共需要：

5×3＋8×2＋10＝41（分钟）

答：按BAC的加油顺序等候的总时间最短，最短是41分钟。

（三）例题五（选讲）：

阿派骑在牛背上过河，他共有甲、乙、丙、丁4头牛，甲过河要20分钟，乙过河要30分钟，丙过河要40分钟，丁过河要50分钟。阿派每次只能赶2头牛过河，要把4头牛都赶到对岸去，最少要多少分钟？

师：同学们，看到这个题，我们首先要想一下，怎么才能让所有牛的过河时间

    最短呢？

师：同学们可能一下子想不出来，那就让阿派提醒一下大家吧。过河的时间取

    决于最慢的牛，回来的时间取决于最快的牛。那么同学们能想到什么呢？

生：过河的时候让慢的牛一起过去，回来的时候让快的牛回来。

师：非常棒，我们就是要这样做。但是我们具体应该怎么赶牛呢？为了让最快

的牛回来，所以我们先要把最快的牛赶过去，也就是让甲乙两头牛先过去。

甲乙两头牛过去花了多少时间？

生：20分钟。

师：还有不同答案吗？

生：30分钟。

师：哪个是正确答案呢？是不是应该是30分钟呢？因为乙牛慢，所以在赶甲乙

牛过去的时候，要等乙。因此时间是30分钟。然后我们应该让一只牛先回

来，我们就让乙先回来，花了多少时间？

【配合课件动画讲解】

生：30分钟。

师：嗯，然后我们应该让哪两头牛过去呢？

生：乙和丙。

师：还有呢？

生：丙和丁。

师：说丙和丁的同学来说一下理由。

生：应该让最慢的两头牛一起过去，这样可以让很慢的两头牛在一起过去的等

    待时间可以少很多。

师：这位同学说得很棒，其他同学们听懂了吗？

生：听懂了。

师：那么丙和丁过去后，花了多少时间。

生：50分钟。

师：没错，然后我们让哪头牛回来，并说说理由。

生：让甲回来，因为这样可以让回来的时间最短，并且过河的时间也短。

师：太棒了，我们就让甲回来，花了多少时间？

生：20分钟。

师：没错，最后阿派再赶着甲和乙过河，还是花了30分钟。接下来一共花了多

    少时间同学们就会算了吧？

生：会。

师：那我们自己来做一做吧！

【小组讨论，互相叙述一遍，加深理解】

板书：

    30＋30＋50＋20＋30＝160（分钟）

答：最少要160分钟。

练习五：

    阿派、米德、欧拉、卡尔四人要从河的东岸到西岸。现在只有一条木船且无船工，木船一次最多只能载两人；已知阿派渡河需要7分钟，米德需要3分钟，欧拉需要2分钟，卡尔需要5分钟；那么他们至少需要多少分钟才能都安全地渡过河？

分析：

    本题难度中上。解题思路和例题相同，必须让最慢的两人一同过河，可以比最慢的两人分开过河节省很多时间。所以先让米德和欧拉过河，再让卡尔和阿派过河。

板书：

    3＋3＋7＋2＋3＝18（分钟）

答：最少需要18分钟。

三、总结：（5分钟）

最优化：

4. 节约时间、工作效率高；
5. 节约资源；
6. 经济。

……

四、随堂练习

1. 19个同学要去河对面，只有一条小船，船上只能坐4人。问：至少要几次才

   能渡完？（来回算一次）

    19÷（4－1）＝6（次）……1（人）

因为最后一次过去四人不用再回来一人，所以渡6次就够了。

答：至少要6次才能渡完。

2. 某建筑队租用两种货车，将76吨水泥从仓库运往工地，大货车每次可运5吨，

   每次运费85元；小货车每次可运3吨，每次运费60元。要使得运费最节约，

   需租用大货车、小货车各运多少次？

    大货车：85÷5＝17（元/吨）

小货车：60÷3＝20（元/吨）

大货车更便宜，所以尽量选用大货车运水泥。

76÷5＝15（次）……1（吨）

小货车每次运3吨，两次运6吨，所以大货车可以少运一次，给小货车运。

大货车：15－1＝14（次）

小货车：6÷3＝2（次）

答：需租用大货车运14次，小货车运2次。

3. 用一张12×18的长方形纸片，剪出5×7的小长方形纸片，最多能剪出多少

   张？

    18÷5＝3（张）……3

12－7＝5

18÷7＝2（张）……4

3＋2＝5（张）

答：最多能剪出5张。

4. 仓库内有一批14米长的钢材，现要取出若干根，把它们切割成3米和5米长的

   各50根。如果不计切割时的损耗，最少要从仓库取出多少根钢材？

    第一种切割法：4段3米长，余2米；

第二种切割法：3段3米长，1段5米长，余0米；

第三种切割法：1段3米长，2段5米长，余1米。

先用第二种切割法，切10根，可以得到10根5米长的，30根3米长的；

再用第三种切割法，切20根，可以得到40根5米长的，20根3米长的。

答：最少要从仓库取出30根钢材。

5. 暑假快要到了，阿博士与五（1）班的同学们讨论这样一个问题：如果假期

   中有急事需要打电话（每打一个电话需要1分钟）通知大家，那么阿博士至

   少要花多少分钟才能尽快通知全班的45名同学？

    2×2×2×2×2＝32（名）<46名<2×2×2×2×2×2＝64（名）

答：至少要花6分钟。

家庭作业

主管评价

主管评分

课后反思

（不少于60字）

整体效果

设计不足之处

设计优秀之处