奥数三年级下册秋季课程第14讲《重叠问题》教案

（三年级）暑期                                      备课教员：* * *

第14讲   重叠问题

一、教学目标：

1. 知识与技能方面：使学生借助直观图，利用集合的思想方

   法解决简单的重叠问题，并能用数学语言表述。

2. 过程与方法方面：使学生感知集合图的产生过程，初步培

   养学生建模意识和能力，渗透多种方法解决问题的意识。

3. 情感态度价值观方面：培养学生初步养成善于观察、善于

   思考的学习习惯。

二、教学重点：

初步体会集合的有关思想方法，并能用之来解决实际问题。

三、教学难点：

对重复部分的理解。

四、教学准备：

PPT

五、教学过程：

第一课时（50分钟）

一、导入（6分)

师：同学们，我想试试你们的反应快不快，请大家猜个脑筋急转弯，好吗？

生：好。

师：有两个爸爸和两个儿子去动物园，每人买一张票，可是他们只买了三张票

    这是为什么？怎么会出现这2+2等于3的情况呢？

生：因为有一个人既是爸爸又是儿子。

师：真棒，用了一组非常恰当的关联词：“既……又……”。其实这两个爸爸

   和两个爷爷的身份分别是爷爷、爸爸、孙子对吧。

生：是的。  

师：因为爸爸有两个身份，重叠了，所以我们算人数时只能算一次。两个爸爸

加上两个儿子是等于4人，但是要减去重复算了的一个爸爸，所以最后就

等于3人，也就只需要买3张票了。

师：今天我们这节课要研究的就是与这有关的非常有趣的重叠问题。

（板书课题：重叠问题）

二、探索发现授课（40分）

（一）例题一：（12分）

    下列是参加学习小组的名单，语文小组有8人，数学小组有9人， 14人参加了学习小组，请问语文和数学都参加的有多少人？

师：同学们，请看例题一，说一说自己的困惑。

生：语文小组有8人，数学小组有9人，为什么总人数不是17人，是14人？

师：你真棒，一下子就找到了问题的关键。谁知道出现这种状况的原因？

生：我觉得应该是有的人重复参加了语文小组和数学小组，所以人数变少了。

师：其他同学觉得他说的有道理吗？

生：有。

师：恩，真棒，那我们就来看看是不是真的有人重复参加了这两个小组。

（课件出示表格）

生：有三个人重复了。

师：哈，同学们都在叫着“有三个人重复了”，是哪三个人啊？

生：杨明、李芳、刘红。

师：恩，没错，这三人是重复参加了语文小组和数学小组，所以在数语文小组

的人数时候他们被数了一次，而在数数学小组的时候他们又被数了一次，

他们总共被数了二次。因此多出来的部分就是他们被多数的一次，也就是

语文和数学小组都参加的人数了。明白了吗？

生：明白了。

师：那么该怎么列算式解答呢？

生：8加9减去14等于3人。

师：对吗？

生：对。

师：很好，那么接下来，你们就例题一的思路，解答下列问题吧，要注意解题的格式要规范。

板书：

    8+9-14=3（人）
答：语文和数学都参加的有3人。 

练习一：（8分）

    某校三年级学生共有100人，爱好数学的有72人，爱好音乐的有53人。每人至少爱好一项，那么这两样都爱好有几人?  

分析：

   本题难度不高，与例题一的区别在于数字的变化，只要学生将例题一理解透彻了，就能很快将练习一解答出来。教师在讲解时要提醒学生注意书写格式。板书：

    72+53-100=25（人）
答：这两样都爱好的有25人。

（二）例题二：（12分）

 两块木板各长54厘米,中间重叠部分是18厘米，求连接后的木板长多少厘米？

师：接下来请看例题二，大家一起把例题二的题目大声朗读一遍吧。

师：读完题目，你们觉得这道题难不难？

生：难。

师：这么难的题目，该怎么解决呢？你们同桌之间先互相讨论谈论。

（学生讨论，教师下台聆听，适时加入讨论，引导学生理解）

师：好的，停。有哪个小组讨论出结果了吗？

生：重叠的部分多算了一次，所以要减去重叠的部分。

师：说得对吗？

生：对。

师：没错，题目说把两块一样长的木板重叠起来，那我们就让它们重叠起来。

（课件演示木板重叠动画）

师：这样重叠起来之后，这个重叠部分是多少厘米？

生：18厘米。

师：没错，那左边这块木板没有重叠的部分有多长？

生：54减去18。

师：真棒，声音真响亮。所以这样我们能算出这两块木板重叠之后的长度了吗？

生：可以。

师：那你们就动手算一算吧。

（课件演示计算过程）

师：算出结果了吗？

生：90厘米。

师：没错。真厉害。

师：这道题难不难？

生：不难。

师：只要把题目理解透彻了，就由难题转变得很简单了，接下来你们需要做练

    习来熟悉这种解题思路，请看练习二。

（课件出示练习二，教师请两位学生上台板书，其他学生解答在课堂练习本上，教师下台巡视）

板书：

    54-18+54=90（厘米）

答：连接后的木板长90厘米。

练习二：（8分）

两张纸一样长，米德把它们整齐地粘在一起，连成了一张有71厘米的纸，重叠部分是9厘米，求一张纸长多少厘米？

分析：

本题难度中等，与例题二相比题目类型没有变化，解题思路一样，只要学生有认真听课，熟悉了例题二解题方法，就能很快求出练习二的结果。教师要注意引导学生利用迁移的思维来求解。

板书：

   （71+9）÷2=40（厘米）

答：一张纸长40厘米。

三、小结：（4分）

师：这节课，我们学了有关重叠问题的解题方法。你们有什么感受？

生1：有些题目看起来很难，其实分析之后很简单。

生2：只要弄明白哪些部分是重复的，就能变得简单了。

师：总结得真精辟。大家都很棒！其实数学就是这样的一个学科，数学中隐藏

着很多跟生活息息相关的问题，只要你们善于发现，喜爱动脑，就能发现

一个不一样的，精彩的数学世界。

第二课时（50分）

一、复习导入（3分）

师：还记得上节课，我们学习了什么吗？

生：重叠问题。

师：没错，面对重叠问题，我们最主要的是要干嘛？

生：理解清楚重叠的部分是什么。

师：没错。那么这节课，我们就要继续深入了解重叠问题的解题方法。

二、探索发现授课（42分）

（一）例题三：（13分）

      同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。卡尔的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第4个。跳舞的共有多少人？

师：大家读完题目，发现什么？

生：只有一个数字4。

师：没错，整道题只给了一个数字，就是4，这该怎么求总人数呢？

生：可以先把方阵每排的人数算出来。

师：恩，没错，条理非常清晰，只要我们知道了是多少行多少列的方阵，就可

    以求出总人数了。

师：那我们一点点来看，题目说了，从前从后从左从右看都是第四位，那我们

    就用红色的五角星来代替卡尔的位置。我们先从前面看。卡尔是排第几？

生：第四。

师：那就说明卡尔前面有多少人？

生：三人。

师：从后面看，卡尔排第几？

生：也是第四。

师：那卡尔后面有多少人？

生：也是三人。

师：这么说卡尔所在的这一列，总共有多少人？

生：七人。

师：没错，同理，我们还要从左看从右看。谁来说说？

生：从左边看，卡尔排第四，她的左边有三人。

生：从右边看，卡尔排第四，她的右边有三人。

师：所以卡尔所在的这一行总共有多少人？

生：7人。

师：那我刚刚说过这是一个方阵，所以我们要补齐这个方针，变成几行几列的

    方阵？

生：7行7列。

师：所以总人数怎么求？

生：7×7=49（人）。

（教师配合学生演示动画，辅助学生理解）

师：真棒。这种题目理解了吗？

生：理解了。

师：那就动动笔，做做题，熟悉熟悉吧。

（课件出示练习三。请两位学生上台板书，其他学生解答在课堂练习本上。教师下台巡视，适时指导学生完成）

板书：

    4×2-1=7（人）

    7×7=49（人）

答：跳舞的共有49人。

练习三：（7分）

学校组织看文艺演出，米德的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。从前数起是第3个，从后数起是第4个，求共有座位多少个？

分析：

这个题目主要是要先知道一行和一列的座位数。根据题意，一行座位数应该是12+21-1=32（个），一列座位数应该是3+4-1=6（个）。再用32乘6就能求出座位总数。

板书：

   12+21-1=32（个）

   3+4-1=6（个）

   32×6=192（个）

答：共有座位192个。

（二）例题四：（13分）

三（4）班做完语文作业的有37人，做完数学作业的有42人，两种作业都完成的有31人，有3人一项作业都没完成。三（4）班共有学生多少人？

师：刚刚我们了解了跳舞方阵等的一些问题，现在，我们来看看同学们完成作

    业的情况了，请看例题四。

师：想一想，我们该怎么求出三（4）班的人数呢？小组之间讨论讨论。

（小组讨论，教师下台聆听）

师：好，停，有结果了吗？

生：先算出至少完成一种作业的人数，再用至少完成一种作业的人数加上一种都没有完成的人数就是三（4）班的人数了。

师：其他小组也是这么认为的吗？

生：是的。

师：很好，但我们怎么求出至少完成一项的人数呢，来我们一起画图看看。

师：首先。我用蓝色的椭圆代表完成数学的，总共有多少人？

生：42人。

师：接着，我用黄色的椭圆代表完成语文的，有多少人呢？

生：37人。

师：那中间这个重叠的部分表示什么？

生：表示既完成语文作业又完成数学作业的31人。

师：说得非常棒，我们用一个长方形表示的是三（4）的总人数，那么灰色部分

    就是两种作业都没完成的人数。

师：那至少完成一项作业的人数怎么求呢？

生：42加上37再减去31。

师：为什么要减去31？

生：因为31是重叠的部分。

师：没错，这样我们就求出了至少完成一项作业的人数了。哪全班人数怎么求？

生：把刚才算出来的数加上3。

师：没错，这样就能得出三（4）班的人数了。

（课件配合演示解题思路及解题过程）

师：所以，有些看起来复杂的问题，我们只要用心的画图就能解答。那么接下

    来，请你们用自己喜欢的方法来求解一下这道题。

（课件出示练习四。请两位同学上台板书。教师下台巡视，指导学生完成练习）

板书： 

    37+42-31=48（人）

    48+3=51（人）

答：三（4）班共有学生51人。

练习四：（7分）

某班学生在一次共出了二道题的数学测验中，结果做对第一题的有38人，做对第二题的有41人，全对的有17人，全错的有4人。求全班人数是多少人?

分析：

   本题中关键是用画图来解决问题，通过画图，我们可以看出，至少做对一道题的人数加上全错的人数就是全班的人数，老师在讲解的过程中一定要让学生动手学会画图，养成画图的好习惯。

板书：

    38+41-17=62（人）

    62+4=66（人）

答：全班人数是66人。

（三）例题五（选讲）：

阿博士对一些同学进行才艺小调查，调查的结果是：会吹竖笛的有22人，会拉小提琴的有8人，其中既会吹竖笛又会拉小提琴的有4人。全班31人，请问竖笛和小提琴都不会的有多少人？

师：现在，我们要说说各自的才艺了。请看例题五。

师：想一想，我们该怎么帮助阿博士求出竖笛和小提琴都不会的人数呢？小组

    之间讨论讨论。

（小组讨论，教师下台聆听）

师：好，有结果了吗？

生：先算出至少会一种才艺的人数，再用全班的总人数减去至少会一种才艺的

    人数，就得到不会才艺的人数了。

师：其他小组也是这么认为的吗？

生：是的。

师：很好，这个方法可行。但是怎么求出至少会一种才艺的人数呢？我们一起

    探究探究。

师：首先。我用黄色的椭圆代表会吹竖笛的，总共有多少人？

生：22人。

师：接着，我用蓝色的椭圆代表会拉小提琴的，有多少人呢？

生：8人。

师：那中间这个重叠的部分表示什么？

生：表示既会吹竖笛又会拉小提琴的4人。

师：说的非常棒，那最后，我们一个长方形表示全班人数，那紫色部分表示的

是什么？

生：表示的是两种都不会的人数。

师：那至少会一种才艺的人数该怎么求？

生：22加上8再减去4。

师：为什么要减去4？

生：因为4是重叠的部分。

师：没错，这样我们就求出了有才艺的人数了，最后再怎么做？

生：用31减去这部分人数。

师：没错，最后我们再用31减去26，得到了有5人是竖笛和小提琴都不会的。

（课件配合演示解题思路及解题过程）

师：所以，有些看起来很复杂的问题，只要经过透彻的分析，就能变得很简单，

    那么接下来，请你们用自己喜欢的方法来求解一下这道题。

（课件出示练习五。请两位同学上台板书。教师下台巡视，指导学生完成练习）

板书： 

    22+8-4=26（人）

    31-26=5（人）

答：竖笛和小提琴都不会的有5人。

练习五：（7分）

    在100个学生中，音乐爱好者有56人，体育爱好者有75人，那么既爱好音乐，又爱好体育的人最少有多少人，最多有多少人？

分析：

   这道题难度中上，一部分学生理解能力较差，对于例题五这种题型还是不能完全明白，所以要让学生明白如果每人只能有一个爱好，那么总人数应该是56＋75=131（人），但是总人数只有100人，少掉的人数就是同时有这两个爱好的人数。因为学生的人数是固定的，所以少掉的人数就是在这100人中最少同时有这两种爱好的人。最多就是爱好音乐的人都爱好体育，所以最多是56人。

板书：

   （56+75）-100=31（人）

答：既爱好音乐，又爱好体育的人最少有31人，最多有56人。

三、总结：（5分）

师：这一部分重叠问题的知识就讲到了这里，来说说你的收获吧。

生：我学会了可以用画图方法来分析重叠问题。

……

师：同学们真棒，都能总结出自己的收获，既然学习了那么多，大家就一定要

    牢牢记住，多加练习。别让我们新学的知识偷偷溜走了。

四、随堂练习。

1. 同学们排队去参观展览，无论从前数还是从后数，米德都排在第8个。这一

   排共有多少个同学？ 

   8+（8-1）=15（个）

答：这一排共有15个同学。

2. 把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这段更长的纸条长

   34厘米，中间重叠部分是6厘米，原来两段纸条各长多少厘米？

    （34-6）÷2=14（厘米）

     14＋6=20（厘米）

答：原来两段纸条各长20厘米。

3. 三（4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，卡尔的位置从前数

   是第6个，从后数是第5个；从左数、从右数都是第3个。三（4）班共有

   学生多少人？

    3+（3-1）=5（个）

    6+（5-1）=10（个）

    5×10=50（人）

答：三（4）班共有学生50人。

4. 三（5）班同学参加了音乐、美术这两个课外兴趣小组。已知参加音乐组的

   有32人，参加美术组的有30人，两个小组都参加的有10人，都不参加的

   有4人。三（5）班共有学生多少人？

    32+30-10=52（人）

    52+4=56（人）

答：三（5）班有学生56人。

5. 同学们，我们芭啦啦小学夏季运动会即将开始了，看看我们班的报名单，参

   加跑步比赛的同学15人，参加跳绳比赛的同学12人，跑步和跳绳都参加的

   有7人，全班有25人，那么有多少人没有报名参加比赛呢？

    15+12-7=20（人）

    25-20=5（人）

答：有5人没有报名参加比赛。

家庭作业

主管评价

主管评分

课后反思

（不少于60字）

整体效果

设计不足之处

设计优秀之处