+四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校2023-2024学年九年级上学期入学数学试卷

这是一份+四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校2023-2024学年九年级上学期入学数学试卷，共36页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校九年级第一学期入学数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一个选项符合
1．剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，距今已经有三千多年的历史，剪纸文化起源于人民的社会生活，蕴含了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认识，生活理想和审美情趣，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．若a＜b，c＜0，则下列结论正确的是（　　）
A．﹣a＜﹣b B． C．a+c＞b+c D．ac2＞bc2
3．若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C． D．﹣
4．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．下列说法正确的是（　　）
A．三条边相等的四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD＝50°，则∠EFC的度数为（　　）

A．95° B．100° C．105° D．110°
7．如图，直线y＝﹣x+b和y＝kx﹣3交于点P，根据图象可知kx﹣3＜﹣x+b的解集为（　　）

A．x＞1 B．x＜1 C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜1
8．如图，菱形OABC的边长为2，∠AOC＝45°，则点B的坐标是（　　）
​

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．因式分解12abc2﹣3ab＝　 　．
10．一个n边形有20条对角线，则n＝　 　．
11．关于x的方程＝3有增根，则m的值为 　 　．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12．以AB为一边在△ABC的同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为 　 　．

13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若∠A＝30°，则＝　 　．

三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（1）解方程：2y2+4y＝y+2；
（2）解不等式组：．
15．为了解学生对“校园安全知识”的了解程度，某校随机抽取了七年级、八年级各20名学生进行问卷测试，并对得分情况进行整理和分析（得分用整数x表示，单位：分），且分为A，B，C三个等级，分别是：优秀为A等级：80≤x≤100；合格为B等级：60≤x＜80；不合格为C等级：x＜60．分别绘制成如下统计图表，其中七年级学生测试成绩数据的众数出现在A等级，A等级测试成绩情况分别为：81，87，89，90，96，96，96，96，97，97，99，100；八年级学生测试成绩数据在A等级的共有a个人．
七年级、八年级两组样本数据的平均数、中位数、众数和方差如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：

（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）根据以上数据，你认为该学校哪个年级的测试成绩更好，并说明理由；
（3）若从获得C等级的学生中随机抽取两名分享感受，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率．
成绩成
平均数
中位数
众数
方差
七年级
85
b
c
99.5
八年级
85
88
96
95.1
16．关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根x1和x2．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当x1•x2﹣x1﹣x2＝0时，求m的值．
17．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝25，OE＝7，求AE的长．

18．如图所示，在△ABC和△CDE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，将△CDE绕点C逆时针旋转．
（1）如图1所示，连结AD，BE，求证：∠CAD＝∠CBE；
（2）如图2所示，若AE＝AB，判断BD和CD的数量关系，并说明理由；
（3）如图3所示，O是斜边AB的中点，M点在BC右侧，在△BCM中，BM＝7，∠BMC＝45°，连结OM，OM＝13，求CM的长度．

一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．已知，则代数式（x+1）2﹣4（x+1）+4的值为 　 　．
20．若关于x的不等式组的解集是x≤3，且关于x的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的值之和为 　 　．
21．如图所示，A、B是边长为1的小正方形组成的网格的两个格点，在格点中任意放置点C，恰好能使△ABC的面积为1的概率是 　 　．

22．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于线段AB和直线l，A，B两端点到直线l的距离中的较小值称为线段AB到直线l的“最近距离”．
（1）如图，A（2，1），B（2，2），则AB到x轴的“最近距离”为 　 　；
（2）如图，正方形OABC的边长为4，点E、F均为正方形边上的动点，，记线段EF到直线y＝﹣x+10的“最近距离”为d2，则d2的取值范围是 　 　．

23．如图，在正方形纸片ABCD中，点E，F分别是边AD，BC上的中点，点G是AB上一点，沿着GF，GE剪两刀，将剪成的三片拼成一个无缝衔接的等腰三角形，若正方形的边长为4，则拼成的等腰三角形的腰长为 　 　．

二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．穿亲子装是近年来现代家庭中涌现出的一种流行趋势，不仅能表达那份久违的童真，过一把“孩童”瘾，同时也体现出“我们是亲密的一家人”的浓浓亲情．某商店抓住商机，在2020年至2022年这三年每年都销售“幸福牌”亲子装．2020年该商店用10500元购进了一批“幸福牌”亲子装并全部售完；2022年“幸福牌”亲子装的进价比2020年下降了11元/套，该商店用9400元购进了与2020年相同数量的“幸福牌”亲子装，也全部售完．已知“幸福牌”亲子装的售价均为130元/套．
（1）求2020年“幸福牌”亲子装的进价；
（2）若该商店每年销售“幸福牌”亲子装所获利润的年增长率相同，则年增长率是多少？
25．如图，直线l：y＝kx+b（k≠0）与坐标轴分别交于点A，B，以OA为边在y轴的右侧作正方形AOBC，且S△AOB＝8．

（1）求直线l的解析式；
（2）如图1，点D是x轴上一动点，点E在AD的右侧，∠ADE＝90°，AD＝DE．
①当AE+CE最小时，求E点的坐标；
②如图2，点D是线段OB的中点，另一动点H在直线BE上，且∠HAC＝∠BAD，请求出点H的坐标．
26．（1）发现：如图1，正方形ABCD中，点E在CD边上，将△ADE沿AE对折得到△AFE，延长EF交BC边于点G，连接AG．证明：BG+DE＝EG．
（2）探究：如图2，矩形ABCD中AD＞AB，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，若△CDN的面积与△CMN的面积比为1：3，求的值．
（3）拓展：如图3，在菱形ABCD中，AB＝6，E为CD边上的三等分点，∠D＝60°．将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长．
​


参考答案
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一个选项符合
1．剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，距今已经有三千多年的历史，剪纸文化起源于人民的社会生活，蕴含了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认识，生活理想和审美情趣，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
解：A．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C．原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意；
D．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2．若a＜b，c＜0，则下列结论正确的是（　　）
A．﹣a＜﹣b B． C．a+c＞b+c D．ac2＞bc2
【分析】根据不等式的性质进行判断即可．
解：a＜b，两边同时乘以一个小于0的值﹣1，可得﹣a＞﹣b，故A错误，不符合要求；
a＜b，两边同时除以一个小于0的值c，可得，故B正确，符合要求；
a＜b，两边同时加上c，可得a+c＜b+c，故C错误，不符合要求；
a＜b，两边同时乘以一个大于0的值c2，可得ac2＜bc2，故D错误，不符合要求；
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质．解题的关键在于对不等式性质的熟练掌握与灵活运用．
3．若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．﹣3 B．3 C． D．﹣
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，据此可得x的值．
解：∵分式的值为0，
∴x﹣3＝0且2x﹣5≠0，
解得x＝3，
故选：B．
【点评】本题主要考查了分式值为零的条件，解题时注意：“分母不为零”这个条件不能少．
4．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180°•（n﹣2）＝3×360°
解得n＝8．
故选：C．
【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
5．下列说法正确的是（　　）
A．三条边相等的四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【分析】利用菱形、矩形、平行四边形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、四条边相等的四边形是菱形，故原命题错误；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，正确；
C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题错误；
D、一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故原命题错误，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形及特殊平行四边形的判定方法，解题的关键是了解有关的判定定理，难度不大．
6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD＝50°，则∠EFC的度数为（　　）

A．95° B．100° C．105° D．110°
【分析】由旋转的性质可知，BC＝CD，∠B＝∠EDC，∠A＝∠E，∠ACE＝∠BCD，可得∠B＝∠BDC＝65°，∠ACE＝50°，由三角形内角和可得，∠A＝90°﹣∠B＝25°．从而得到∠E＝25°．再由三角形内角和定理，即可求解．
解：由旋转的性质可知，BC＝CD，∠B＝∠EDC，∠A＝∠E，∠ACE＝∠BCD，
∵∠BCD＝50°，
∴，∠ACE＝50°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝25°．
∴∠E＝25°．
∴∠EFC＝180°﹣∠ECF﹣∠E＝105°．
故选：C．
【点评】本题主要考查旋转的性质，等边对等角，三角形内角和等相关内容，由旋转的性质得出∠E和∠ECF的角度是解题关键．
7．如图，直线y＝﹣x+b和y＝kx﹣3交于点P，根据图象可知kx﹣3＜﹣x+b的解集为（　　）

A．x＞1 B．x＜1 C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜1
【分析】观察图象，当x＜1时，函数y＝kx﹣3的图象位于函数y＝﹣x+b的图象下方，即可求解．
解：由图象知，当x＜1时，函数y＝kx﹣3的图象位于函数y＝﹣x+b的图象下方，表明当x＜1时，kx﹣3＜﹣x+b；
即不等式kx﹣3＜﹣x+b的解集为：x＜1；
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的交点与一元一次不等式的关系，数形结合是本题的最大特点．
8．如图，菱形OABC的边长为2，∠AOC＝45°，则点B的坐标是（　　）
​

A． B． C． D．
【分析】作BH⊥x轴于H，由菱形的性质得到AO＝AB＝2，CO∥AB，推出∠BAH＝∠AOC＝45°，得到△ABH是等腰直角三角形，即可求出AH＝BH＝，得到OH＝2+，即可得到点B的坐标．
解：作BH⊥x轴于H，
∵四边形OABC是菱形，
∴AO＝AB＝2，CO∥AB，
∴∠BAH＝∠AOC＝45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴AH＝BH＝AB＝，
∴OH＝AO+AH＝2+，
∴点B的坐标是（2+，）．
故选：D．

【点评】本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形，关键是由菱形的性质，得到△ABH是等腰直角三角形．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．因式分解12abc2﹣3ab＝　3ab（2c+1）（2c﹣1）　．
【分析】直接提取公因式3ab，再利用平方差公式分解因式即可．
解：12abc2﹣3ab＝3ab（4c2﹣1）
＝3ab（2c+1）（2c﹣1）．
故答案为：3ab（2c+1）（2c﹣1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
10．一个n边形有20条对角线，则n＝　8　．
【分析】利用多边形的对角线公式列得方程，解方程即可．
解：由题意可得＝20，
解得：n＝8或n＝﹣5（舍去），
即n＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查多边形的对角线及解一元二次方程，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键．
11．关于x的方程＝3有增根，则m的值为 　﹣1　．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入整式方程算出未知字母的值．
解：方程两边都乘（x﹣2），得
2x﹣（3﹣m）＝3（x﹣2），
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣2＝0，即增根为x＝2，
把x＝2代入整式方程，得m＝﹣1．
【点评】增根问题可按如下步骤进行：
①让最简公分母为0，确定增根；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12．以AB为一边在△ABC的同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为 　139　．

【分析】首先利用勾股定理求得AB边的长度，然后由三角形的面积公式和正方形的面积公式解答．
解：如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝5，
由勾股定理知，AB＝＝13．
故S阴影＝S正方形ABDE﹣S△ABC＝132﹣×5×12＝169﹣30＝139．
故答案为：139．
【点评】本题主要考查了勾股定理，求阴影部分的面积时，采用了“分割法”．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若∠A＝30°，则＝　　．

【分析】利用基本作图得BD平分∠ABC，再计算出∠ABD＝∠CBD＝30°，所以DA＝DB，利用BD＝2CD得到AD＝2CD，然后根据三角形面积公式可得到的值．
解：由作法得BD平分∠ABC，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴DA＝DB，
在Rt△BCD中，BD＝2CD，
∴AD＝2CD，
∴＝．
故答案为．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（1）解方程：2y2+4y＝y+2；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）先将方程变形，然后根据因式分解法可以解答此方程；
（2）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
解：（1）2y2+4y＝y+2，
移项，得：2y2+3y﹣2＝0，
（2y﹣1）（y+2）＝0，
∴2y﹣1＝0或y+2＝0，
解得y1＝0.5，y2＝﹣2；
（2），
解不等式①，得：x≥﹣1，
解不等式②，得：x＜4，
∴该不等式组的解集为﹣1≤x＜4．
【点评】本题考查解一元二次方程、解一元一次不等式组，熟练掌握解一元二次方程和解一元一次不等式的方法是解答本题的关键．
15．为了解学生对“校园安全知识”的了解程度，某校随机抽取了七年级、八年级各20名学生进行问卷测试，并对得分情况进行整理和分析（得分用整数x表示，单位：分），且分为A，B，C三个等级，分别是：优秀为A等级：80≤x≤100；合格为B等级：60≤x＜80；不合格为C等级：x＜60．分别绘制成如下统计图表，其中七年级学生测试成绩数据的众数出现在A等级，A等级测试成绩情况分别为：81，87，89，90，96，96，96，96，97，97，99，100；八年级学生测试成绩数据在A等级的共有a个人．
七年级、八年级两组样本数据的平均数、中位数、众数和方差如下表所示：
根据以上信息，解答下列问题：

（1）填空：a＝　13　，b＝　86　，c＝　95　；
（2）根据以上数据，你认为该学校哪个年级的测试成绩更好，并说明理由；
（3）若从获得C等级的学生中随机抽取两名分享感受，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率．
成绩成
平均数
中位数
众数
方差
七年级
85
b
c
99.5
八年级
85
88
96
95.1
【分析】（1）用20乘65%可得a的值；根据中位数和众数的定义可得b、c的值；
（2）可从平均数、中位数、众数、方差角度分析求解；
（3）画树状图（七年级的三名学生用甲、乙、丙表示，八年级的一名学生用丁表示）展示所有12种等可能的结果，找出一名来自七年级、一名来自八年级的结果数，然后根据概率公式求解．
解：（1）a＝20×（1﹣30%﹣5%）＝13，b＝＝88，c＝96；
故答案为：13，88，96；
（2）八年级测试成绩更好，（答案不唯一）．
理由如下：七年级学生测试成绩的平均数85等于八年级学生测试成绩的平均数85，七年级学生测试成绩的方差99.5大于八年级学生测试成绩的方差95．
（3）20×5%＝1（人），1+3＝4（人）．
画树状图为：（七年级的三名学生用甲、乙、丙表示，八年级的一名学生用丁表示．）

共有12种等可能的结果，其中一名来自七年级、一名来自八年级的结果数为6，
所以抽中两名学生均来自八年级的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．会画树状图是解题的关键．
16．关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根x1和x2．
（1）求实数m的取值范围；
（2）当x1•x2﹣x1﹣x2＝0时，求m的值．
【分析】（1）根据根的判别式得出Δ＝（2m﹣1）2﹣4×1×m2＝﹣4m+1≥0，再求出答案即可；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣（2m﹣1）＝1﹣2m，x1•x2＝m2，根据x1•x2﹣x1﹣x2＝0得出m2﹣（1﹣2m）＝0，再求出方程的解即可．
解：（1）x2+（2m﹣1）x+m2＝0，
∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根x1和x2，
∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4×1×m2＝﹣4m+1≥0，
解得：m≤，
即实数m的取值范围是m≤；

（2）x2+（2m﹣1）x+m2＝0，
由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣（2m﹣1）＝1﹣2m，x1•x2＝m2，
∵x1•x2﹣x1﹣x2＝0，
∴m2﹣（1﹣2m）＝0，
解得：m＝﹣1±，
∵m，
∴m＝﹣1+舍去，
∴m＝﹣1﹣．
【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式，能熟记根与系数的关系和根的判别式的内容是解此题的关键，①已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝，②已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．
17．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝25，OE＝7，求AE的长．

【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到AC⊥BD，AO＝CO，BC＝AB＝25，求得∠AEB＝∠AEC＝90°，得到AC＝2OE＝14，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BC＝AD＝25，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∴AC＝2OE＝14，
∵AB2﹣BE2＝AC2﹣CE2＝AE2
∴252﹣BE2＝142﹣（25﹣BE）2，
∴BE＝，
∴AE＝＝＝．
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．
18．如图所示，在△ABC和△CDE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，将△CDE绕点C逆时针旋转．
（1）如图1所示，连结AD，BE，求证：∠CAD＝∠CBE；
（2）如图2所示，若AE＝AB，判断BD和CD的数量关系，并说明理由；
（3）如图3所示，O是斜边AB的中点，M点在BC右侧，在△BCM中，BM＝7，∠BMC＝45°，连结OM，OM＝13，求CM的长度．

【分析】（1）通过SAS证明△ACD≌△BCE，从而证明结论；
（2）连接AD，BE交于点K，AD与BC交于点R，由（1）可知∠CAD＝∠CBE，证出DE＝BD，由等腰直角三角形的性质可得出结论；
（3）过点O作OP⊥OM，且OP＝OM，连接PM、PC，并延长PC交BM于点Q，交QM于点H，连接OC，证△POC≌△MOB（SAS），得CP＝BM，∠OPC＝∠OMB，再证∠PQM＝∠POM＝90°，则△CMQ是等腰直角三角形，设CQ＝MQ＝x，则PQ＝x+5，然后在Rt△PQM中，由勾股定理得出方程，解方程即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CAD＝∠CBE；
（2）解：BD＝CD．

理由：连接AD，BE交于点K，AD与BC交于点R，
由（1）可知∠CAD＝∠CBE，
∵∠ARC＝∠BRD，
∴∠ACR＝∠BKR＝90°，
∴AD⊥BE，
∵AB＝AE，
∴AD垂直平分BE，
∴DE＝BD，
又∵△CDE是等腰直角三角形，
∴DE＝CD，
∴BD＝CD；
（3）解：过点O作OP⊥OM，且OP＝OM，连接PM、PC，并延长PC交BM于点Q，交QM于点H，连接OC，

则∠POM＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，O是斜边AB的中点，
∴CO⊥AB，CO＝AB＝OB，
∴∠COB＝∠POM＝90°，
∴∠POC＝∠MOB，
∴△POC≌△MOB（SAS），
∴CP＝BM＝7，∠OPC＝∠OMB，
又∵∠OHP＝∠QHM，
∴∠PQM＝∠POM＝90°，
∵∠BMC＝45°，
∴△CMQ是等腰直角三角形，
∴CQ＝MQ，
在Rt△POM中，PM＝OM＝13，
设CQ＝QM＝x，则PQ＝x+7，
在Rt△PQM中，由勾股定理得：x2+（x+5）2＝（13）2，
解得：x＝5（x＝﹣12舍去），
∴QM＝5，
∴CM＝QM＝10．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19．已知，则代数式（x+1）2﹣4（x+1）+4的值为 　5　．
【分析】先根据完全平方公式得出（x+1）2﹣4（x+1）+4＝（x+1﹣2）2＝（x﹣1）2，再代入求出答案即可．
解：∵，
∴（x+1）2﹣4（x+1）+4
＝（x+1﹣2）2
＝（x﹣1）2
＝（+1﹣1）2
＝（）2
＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
20．若关于x的不等式组的解集是x≤3，且关于x的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的值之和为 　10　．
【分析】表示出不等式组的解集，确定出a的范围，根据分式方程有整数解确定出a的值，即可得到符合条件的a的所有值的和．
解：关于x的不等式组整理得，
而不等式组的解集为x≤3，
∴a+1＞3
∴a＞2，
解分式方程得x＝且≠2，
∵关于x的分式方程有整数解，且a为整数，
∴符合条件的所有整数a为3，7，
∴符合条件的所有整数a的和为：3+7＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，再在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键．
21．如图所示，A、B是边长为1的小正方形组成的网格的两个格点，在格点中任意放置点C，恰好能使△ABC的面积为1的概率是 　　．

【分析】在5×5的网格中共有36个格点，找到能使得三角形ABC的面积为1的格点即可利用概率公式求解．
解：在5×5的网格中共有36个格点，而使得三角形面积为1的格点有8个，
故使得三角形面积为1的概率为＝，
故答案为：．

【点评】本题考查了概率的公式，将所有情况都列举出来是解决此题的关键．
22．在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于线段AB和直线l，A，B两端点到直线l的距离中的较小值称为线段AB到直线l的“最近距离”．
（1）如图，A（2，1），B（2，2），则AB到x轴的“最近距离”为 　1　；
（2）如图，正方形OABC的边长为4，点E、F均为正方形边上的动点，，记线段EF到直线y＝﹣x+10的“最近距离”为d2，则d2的取值范围是 　≤d2≤　．

【分析】（1）由A（2，1）到x轴的距离为1，B（2，2）到x轴的距离为2，可得AB到x轴的“最近距离”为1；
（2）设直线y＝﹣x+10交x轴于T，交y轴于K，当EF∥KT时，“最近距离”为d2最大，过E作EG⊥KT于G，过F作MH⊥KT于H，交x轴于M，过B作QN⊥KT于N，交EF于Q，由y＝﹣x+10可得OK＝OT＝10，∠OTK＝∠OKT＝45°，而EF∥KT，故△BEF是等腰直角三角形，可得BE＝BF＝1，BQ＝EF＝，有CF＝BC﹣BF＝3＝CM，OM＝OC﹣CM＝1，MF＝CF＝3，MT＝OT﹣OM＝9，即知MH＝＝，故FH＝MH﹣MF＝，QN＝FH＝，求得BN＝QN﹣BQ＝，即可知≤d2≤．
解：（1）∵A（2，1）到x轴的距离为1，B（2，2）到x轴的距离为2，
∴AB到x轴的“最近距离”为1；
故答案为：1；
（2）设直线y＝﹣x+10交x轴于T，交y轴于K，当EF∥KT时，“最近距离”为d2最大，过E作EG⊥KT于G，过F作MH⊥KT于H，交x轴于M，过B作QN⊥KT于N，交EF于Q，如图：

在y＝﹣x+10中，令x＝0得y＝10，令y＝0得x＝10，
∴OK＝OT＝10，
∴∠OTK＝∠OKT＝45°，
∵EF∥KT，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∵EF＝，
∴BE＝BF＝1，BQ＝EF＝，
∴CF＝BC﹣BF＝3＝CM，
∴OM＝OC﹣CM＝1，MF＝CF＝3，
∴MT＝OT﹣OM＝9，
∴MH＝＝，
∴FH＝MH﹣MF＝，
∴QN＝FH＝，
∴BN＝QN﹣BQ＝，
∴≤d2≤；
故答案为：≤d2≤．
【点评】本题考查一次函数图象上点坐标的特征，涉及正方形性质及应用，新定义，解题的关键是读懂题意，求出∠OTK＝∠OKT＝45°．
23．如图，在正方形纸片ABCD中，点E，F分别是边AD，BC上的中点，点G是AB上一点，沿着GF，GE剪两刀，将剪成的三片拼成一个无缝衔接的等腰三角形，若正方形的边长为4，则拼成的等腰三角形的腰长为 　4或8　．

【分析】分三种情况进行讨论：①当GP＝GQ时，此时点G为AB的中点，则AG＝BG＝2，由勾股定理求出GE＝，再由由剪拼可知PE＝GE，PD＝AG，据此可得求出GP的长；②当PG＝PQ时，由剪拼可知PD＝AG，QC＝BG，进而得PQ＝AB+CD，据此可得出答案；③当QG＝QP时，同②可得出答案．
解：分三种情况讨论如下：
①当GP＝GQ时，此时点G为AB的中点，则AG＝BG＝2，如图：

∵四边形ABCD为正方形，且边长为4，点E为AD的中点
∴∠A＝90°，AE＝ED＝2，
在Rt△AGE中，由勾股定理得：GE＝＝2，
由剪拼可知：PE＝GE，PD＝AG，
∴GP＝2GE＝4；
②当PG＝PQ时，如图：

∵四边形ABCD为正方形，且边长为4，
∴AB＝CD＝4，
由剪拼可知：PD＝AG，QC＝BG，
∴PQ＝PD+DC+QC＝AG+DC+BG＝AB+CD＝8；
③当QG＝QP时，如图：

同②可得QP＝8．
综上所述：拼成的等腰三角形的腰长为4或8．
【点评】此题主要考查了图形的剪拼，正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，找准剪拼后图形各部分之间的关系是解答此题的关键，分类讨论是解答此题的难点，漏解是解答此题的易错点．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24．穿亲子装是近年来现代家庭中涌现出的一种流行趋势，不仅能表达那份久违的童真，过一把“孩童”瘾，同时也体现出“我们是亲密的一家人”的浓浓亲情．某商店抓住商机，在2020年至2022年这三年每年都销售“幸福牌”亲子装．2020年该商店用10500元购进了一批“幸福牌”亲子装并全部售完；2022年“幸福牌”亲子装的进价比2020年下降了11元/套，该商店用9400元购进了与2020年相同数量的“幸福牌”亲子装，也全部售完．已知“幸福牌”亲子装的售价均为130元/套．
（1）求2020年“幸福牌”亲子装的进价；
（2）若该商店每年销售“幸福牌”亲子装所获利润的年增长率相同，则年增长率是多少？
【分析】（1）设2020年“幸福牌”亲子装的进价是x元/套，则2022年“幸福牌”亲子装的进价是（x﹣11）元/套，根据数量＝总价÷单价结合2020年和2022年购入数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用数量＝总价÷单价可求出2020年及2022年购进的数量，设该商店每年销售“幸福牌”亲子装所获利润的年增长率为y，根据2010年及2022年获得的利润，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：（1）设2020年“幸福牌”亲子装的进价是x元/套，则2022年“幸福牌”亲子装的进价是（x﹣11）元/套，
根据题意，得＝，
解得：x＝105，
经检验，x＝105是原方程的解，且符合题意．
答：2020年“幸福牌”亲子装的进价是105元/套；
（2）2020年及2022年购进“幸福牌”亲子装的数量为10500÷105＝100（套）．
设该商店每年销售这种“幸福牌”亲子装所获利润的年增长率为y，
依题意，得：（130﹣105）×100（1+y）2＝（130﹣105+11）×100，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商店每年销售“幸福牌”亲子装所获利润的年增长率为20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25．如图，直线l：y＝kx+b（k≠0）与坐标轴分别交于点A，B，以OA为边在y轴的右侧作正方形AOBC，且S△AOB＝8．

（1）求直线l的解析式；
（2）如图1，点D是x轴上一动点，点E在AD的右侧，∠ADE＝90°，AD＝DE．
①当AE+CE最小时，求E点的坐标；
②如图2，点D是线段OB的中点，另一动点H在直线BE上，且∠HAC＝∠BAD，请求出点H的坐标．
【分析】（1）由S△AOB＝×OA•OB＝a2＝8，得到A（0，4），B（4，0），即可求解；
（2）①证明点E在定直线y＝x﹣4上，作点A关于直线y＝x﹣4的对称点T，交直线y＝x﹣4于点T，则此时AE+CE＝ET+EC＝CT最小，即可求解；
②连当点H与点E重合，符合题设条件；证明点H为直线AN与BE的交点，进而求解．
解：（1）∵四边形AOBC为正方形，
设OA＝OB＝AC＝BC＝a，
∵S△AOB＝×OA•OB＝a2＝8，
解得：a＝2（负值已舍去）．
即A（0，4），B（4，0），
由点A、B的坐标得，直线l的表达式为：y＝﹣x+4；

（2）①过点E作EF⊥x轴，如图，

由题意可得：∠AOD＝∠DFE＝∠ADE＝90°，
∴∠ADO+∠EDF＝∠ADO+∠OAD＝90°，
∴∠OAD＝∠EDF，
∴△AOD≌△DFE（AAS），
∴DF＝OA＝4，EF＝OD，
∴BF＝DF﹣DB＝OA﹣DB＝OB﹣DB＝OD，
∴EF＝BF，
设E（x，y），则D（y，0），F（x，0），
由题意可得：OF＝OD+DF＝OD+OA，
即y＝x﹣4，
∴点E在定直线y＝x﹣4上，如下图：

作点A关于直线y＝x﹣4的对称点T，交直线y＝x﹣4于点T，则此时AE+CE＝ET+EC＝CT最小，
根据图象的对称性，点A关于x轴的对称点G（0，﹣4），则点T（8，﹣4），
由点A、T的坐标得，直线AT的表达式为：y＝﹣2x+12，
联立y＝x﹣4和上式并解得：x＝，
则点E（，）；

②连接AE，由题意可得△ADE为等腰直角三角形，∠DAE＝45°，

∵四边形OACB为正方形，
∴∠BAC＝∠DAE＝45°，
∴∠EAC＝∠BAD，此时点H与点E重合，
由①可得E（6，2），
∴H（6，2），
由点A、E的坐标得：直线AE为y＝﹣x+4，
当x＝4时，y＝，
∴点M（4，），
作点M关于直线AC的对称点N，
∴N（4，），
此时∠NAC＝∠EAC＝∠BAD，
∴点H为直线AN与BE的交点，
∴直线AN为y＝x+4，
联立y＝x+4和y＝x﹣4并解得：x＝12，
即H（12，8）．
综上，点H坐标为（12，8）或（6，2）．
【点评】本题考查了一次函数的综合应用，涉及了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，点的对称性，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
26．（1）发现：如图1，正方形ABCD中，点E在CD边上，将△ADE沿AE对折得到△AFE，延长EF交BC边于点G，连接AG．证明：BG+DE＝EG．
（2）探究：如图2，矩形ABCD中AD＞AB，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交BC、AD于点M、N，四边形AMNE是由四边形CMND沿MN翻折得到的，连接CN，若△CDN的面积与△CMN的面积比为1：3，求的值．
（3）拓展：如图3，在菱形ABCD中，AB＝6，E为CD边上的三等分点，∠D＝60°．将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长．
​
【分析】（1）由正方形的性质得∠D＝∠B＝90°，AD＝AB，再由翻折的性质得AD＝AF，DE＝EF，∠AFE＝∠D＝90°，则AB＝AF，∠B＝∠AFG，然后证Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），得BG＝GF，即可得出结论；
（2）由翻折的性质得到AM＝CM，AE＝CD，∠E＝∠D，∠AMN＝∠CMN，证△ANE≌△CND（AAS），得AN＝CN，再由矩形的性质得∠ANM＝∠CMN，证得AM＝AN＝CM＝CN，根据已知条件和三角形的面积公式得到DN：CM＝1：3，设DN＝k，则CN＝CM＝3k，过N作NG⊥MC于点G，则CG＝DN＝k，MG＝2k，求出NG＝2k，MN＝2k，即可得出答案；
（3）①当DE＝DC＝2时，延长FE交AD于点Q，过点Q作QH⊥CD于点H，过点E作EM⊥AQ于点M，作EN⊥AF于点N，过点A作AR⊥FQ于点R，设DQ＝x，QE＝y，则AQ＝6﹣x，再证△CPE∽△DQE，推出CP＝2DQ＝2x，由翻折的性质得EF＝DE＝2，AF＝AD＝6，∠QAE＝∠FAE，然后由面积法证得＝，得出y＝2﹣x，求出HE＝2﹣x，HQ＝x，由勾股定理得（2﹣x）2+（x）2＝y2，解出x的值，即可得出答案；②当CE＝DC＝2时，延长FE交AD于点Q′，过点Q′作Q′H′⊥CD于点H′，则DE＝4，设DQ′＝x′，Q′E＝y′，则AQ′＝6+x′，同理求出CP＝DQ′＝x′，＝，得出y′＝4+x′，再求出H′E＝4+x′，H′Q′＝x′，由勾股定理得（x′）2+（4+x′）2＝y′2，解出x′的值，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠B＝90°，AD＝AB，
由翻折的性质得：AD＝AF，DE＝EF，∠AFE＝∠D＝90°，
∴AB＝AF，∠AFG＝∠AFE＝90°，
∴∠B＝∠AFG＝90°，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴BG＝GF，
∴BG+DE＝GF+EF＝EG；
（2）解：由翻折的性质得，AM＝CM，AE＝CD，∠E＝∠D，∠AMN＝∠CMN，
在△ANE与△CND中，
，
∴△ANE≌△CND（AAS），
∴AN＝CN，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，
∴∠ANM＝∠CMN，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴AM＝AN＝CM＝CN，
∴S△AMN＝S△CMN＝CM•CD，
又∵S△CDN：S△CMN＝1：3，S△CDN＝DN•CD，
∴＝＝，
设DN＝k，则CN＝CM＝3k，
如图2，过点N作NG⊥MC于点G，

则四边形CDNG为矩形，
∴CG＝DN＝k，MG＝CM﹣CG＝3k﹣k＝2k，
NG＝＝＝2k，
∴MN＝＝＝2k，
∴＝＝2；
（3）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝DC＝6，AD∥BC，
①如图3，当DE＝DC＝×6＝2时，延长FE交AD于点Q，过点Q作QH⊥CD于点H，过点E作EM⊥AQ于点M，作EN⊥AF于点N，过点A作AR⊥FQ于点R，

设DQ＝x，QE＝y，
则AQ＝AD﹣DQ＝6﹣x，
∵CP∥DQ，
∴△CPE∽△DQE，
∴＝＝2，
∴CP＝2DQ＝2x，
由翻折的性质得：EF＝DE＝2，AF＝AD＝6，∠QAE＝∠FAE，
∴AE是平分∠QAF，
∴EM＝EN，
∵S△AQE＝AQ•EM＝QE•AR，S△AEF＝AF•EN＝EF•AR，
∴＝，
∴＝，
即＝，
∴y＝2﹣x，
∵∠D＝60°，
∴DH＝DQ＝x，
∴HE＝DE﹣DH＝2﹣x，HQ＝＝DH＝x，
在Rt△HQE中，由勾股定理得：HE2+HQ2＝EQ2，
即（2﹣x）2+（x）2＝y2，
∵y＝2﹣x，
解得：x1＝，x2＝0（不合题意，舍去），
∴PC＝2×＝；
②如图4，当CE＝DC＝×6＝2时，延长FE交AD于点Q′，过点Q′作Q′H′⊥CD于点H′，
则DE＝4，

设DQ′＝x′，Q′E＝y′，
则AQ′＝AD+DQ′＝6+x′，
∵CP∥DQ′，
∴△CPE∽△DQ′E，
∴＝＝，
∴CP＝DQ′＝x′，
由翻折的性质得：EF＝DE＝4，AF＝AD＝6，∠Q′AE＝∠EAF，
同理：＝，
即＝，
∴y′＝4+x′，
∵∠CDA＝∠Q′DH′＝60°，
∴DH′＝DQ′＝x，
∴H′E＝DE+DH′＝4+x′，H′Q′＝DH′＝x′，
在Rt△H′Q′E中，由勾股定理得：H′Q′2+H′E2＝EQ′2，
即（x′）2+（4+x′）2＝y′2，
∵y′＝4+x′，
解得：x′1＝，x′2＝0（不合题意，舍去），
∴PC＝×＝；
综上所述，PC的长为或．
【点评】本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、翻折的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质、正方形的性质、矩形的性质、菱形的性质、平行线的性质、角平分线的性质、分类讨论等知识，综合性强，难度大，熟练掌握翻折的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．