湖南省常德市汉寿县2023届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

2022年九年级   数学

考生注意：

1.请考生在试题卷首填写好准考证号及姓名．

2.请将答案填写在答题卡上，填写在试题卷上的无效．

3.本学科试题卷共6页，七道大题，满分120分，考试时量120分钟．

一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）

1．一元二次方程的二次项系数是（   ）

A． B． C． D．

2．如图，在Rt中，，，，则的值为（   ）

A． B． C． D．

3．用配方法解方程，时，原方程应变形为（　　）

A． B． C． D．

4．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（    ）

A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9

5．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

6．年“房住不炒”第三次出现在政府报告中，明确了要稳地价、稳房价、稳预期．为响应中央“房住不炒”的基本政策，某房企业连续降价两次后的平均价格是降价之前的81%，则平均每次降价的百分率为（   ）

A． B． C． D．

7．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　）

A． B． C． D．

8．如图，二次函数的图象与轴负半轴交于点，对称轴为直线．有以下结论：①；②；③若点，，均在函数图象上，则；④；其中结论正确的有（　　）

A．个 B．个 C．个 D．个

二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）

9．若，则       ．

10．甲、乙、丙三位选手各10次射击,成绩的平均数均为93环,方差(单位:环)依次分别为0.026、0.015、0.032,则射击成绩最稳定的选手是          (填“甲”、“乙”、“丙”中的一个).

11．如图，在中，点是边的中点，过点作交边于点，若，则       ．

12．将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得到的抛物线为               ．

13．若，则      ．

14．若二次函数的图象与轴有两个不相同的交点，则的取值范围是    ．

15．如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则的距离为        千米．

16．如图，在反比例函数的图像上任取一点，过点作轴的垂线交反比例函数的图像于点，连接，．则的面积为________．

三、（本题共2个小题，每小题5分，共10分）

17．解方程：.

18．计算：．

四、（本题共2个小题，每小题6分，共12分）

19．已知二次函数．

(1)将化成的形式；

(2)写出该二次函数图象的对称轴、顶点坐标，并求最大值．

20．为深入开展青少年毒品预防教育工作，增强学生禁毒意识，某校联合禁毒办组织开展了“青少年禁毒知识竞赛”活动，并随机抽查了部分同学的成绩，整理并制作成图表如下：

根据以上图表提供的信息，回答下列问题：

(1)此次调查抽查了多少名学生？并求；

(2)请补全频数分布直方图；

(3)若成绩在80分以上（包括80分）为“优秀”，请你估计该校名学生中竞赛成绩是“优秀”的有多少名？

五、（本题共2个小题，每小题7分，共14分）

21．某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作．已知该品牌运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示：

(1)观察表中数据，x，y满足什么关系式？并写出用表示的函数表达式；

(2)若商场计划每天的销售利润为元，则每双运动鞋的售价应定为多少元？

22．如图，在矩形中，为的中点，交于点．

(1)求证：；

(2)当时，求的长度．

六、（本题共2个小题，每小题8分，共16分）

23．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点，与轴交于点C（1，0），若，且．

(1)求反比例函数与一次函数的表达式；

(2)根据图象直接写出不等式的解集．

24．如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡攀行了26米到达点A，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为．

(1)求坡顶A到地面的距离；

(2)计算古塔的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，）

七、（本题共2个小题，每小题10分，共20分）

25．如图，直线与，轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，且交轴于另一点．

(1)求，两点的坐标及该抛物线所表示的二次函数的表达式；

(2)如图1，若直线为抛物线的对称轴，请在直线上找一点，使得最小，求出点的坐标；

(3)如图2，若在直线上方的抛物线上有一动点（与，两点不重合），过点作轴于点，与线段交于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标．

26．在中，于点，点为线段上任一点（点除外），连接，将线段绕点顺时针方向旋转角，且，得到，连接．

(1)如图1，当，且时，求证：，；

(2)如图2，当，且时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．

1．B

解析：解：一元二次方程的二次项系数是，

故选：B

2．C

解析：解：∵，，，

∴

∴．

故选C．

3．B

解析：解：，

，

，

，

故选：B．

4．A

解析：解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．

∴△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2，

∴△ABC与△DEF的周长比是：1：2．

故选：A．

5．D

解析：∵点，，在反比例函数的图象上，

∴，，，

则，

故选：D．

6．A

解析：解：设平均每次降价的百分率为，

依题意得：，

解得：，（不合题意，舍去）．

故选：A

7．B

解析：根据勾股定理，AB=，

BC=，

AC=，

所以△ABC的三边之比为=，

A、三角形的三边分别为2，，，三边之比为2：=，故本选项错误，不符合题意;

B、三角形的三边分别为2，4，，三边之比为2：4：2=1：2：，故本选项正确，符合题意；

C、三角形的三边分别为2，3，，三边之比为2：3：，故本选项错误，不符合题意；

D、三角形的三边分别为，，4，三边之比为：4，故本选项错误，不符合题意．

故选：B．

8．C

解析：∵根据题意，该二次函数的图像的对称轴为，

∴，

∴，

由图像可知，，

∴，

∴，故结论①正确；

根据图象可知，当时，，故②正确；

∵抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，值越大，

又∵，

∴，故结论③正确；

∵二次函数的图象与轴负半轴交于点，

∴

又

∴

即

∴

故④不正确

故选：C．

9．

解析：解：∵

则

∴；

故答案为：．

10．乙

解析：∵甲、乙、丙三位选手各10次射击,方差依次分别为0.026、0.015、0.032,

0.015＜0.026＜0.032,

则射击成绩最稳定的选手是乙

11．3

解析：解：∵点是边的中点

∴

∵

∴

∴

∴

∴．

故答案为3．

12．

解析：解：将抛物线向右平移1个单位长度得到的解析式为，再向下平移4个单位长度得到的解析式为．

故答案为：．

13．

解析：解：设，则，

∴原方程可以化为，

解得：或（舍去）

即

故答案为：．

14．

解析：解：∵二次函数的图象与x轴有两个不相同的交点，

∴b2-4ac＞0，22-4×a×1＞0，

解得，a＜1

故答案为：a＜1

15．2

解析：解：由题意知：，，

，

，

，

在中，

千米，

千米，

在中，

，

（千米），

千米；

故答案为：2．

16．

解析：解：设点横坐标为

∵点在上

∴

∵轴

∴

∵在上

∴，则

∴．

故填：5．

17．，.

解析：

∴或

∴，

18．

解析：解：原式=

=．

19．(1)

(2)对称轴是直线，顶点坐标是，最大值是3

解析：（1）解：(1)配方：

（2）由（1）可知该二次函数图象的对称轴是直线，

顶点坐标是，

当时，达到最大值3.

20．(1)300人，

(2)补全频数分布直方图见解析

(3)1860人

解析：（1）根据题意，调查的总人数为：（人）

∴；

（2）∵的频数为：

∴补图如图：

（3）由题意可知，优秀率为，

∴估计该校名学生中竞赛成绩为“优秀”的人数约为：（人）

21．(1)，

(2)若商场计划每天的销售利润为元，则每双运动鞋的售价应定为元

解析：（1）（1）由表中数据得：，

，

是的反比例函数，

故所求函数关系式为；

（2）由题意得：，

把代入得：，

解得：；

经检验，是原方程的根，符合题意.

答：若商场计划每天的销售利润为元，则每双运动鞋的售价应定为元．

22．(1)见解析

(2)

解析：（1）证明：在矩形中，，

∴，

∴；

（2）解：在矩形中，，，

∵为的中点，

∴，

∵，

∴，

即，

∵，

∴，解得：，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴

即，

∴．

23．(1)反比例函数的表达式为：，一次函数的表达式为：

(2)或

解析：（1）解：过点作轴于点，如图

∵，

∴

∴

∴，代入得：

∴反比例函数的表达式为：；

将，代入得：

，解得：

∴一次函数的表达式为：；

（2）解：联立

解得：得，或，

∴

故由图象可知不等式的解集为：或；

24．(1)米

(2)约19米

解析：（1）解：过点A作于H，如图所示：

∵斜坡的坡度为，

∴，

设，则，

则，

，解得：，

，

坡顶A到地面的距离为米．

（2）解：延长交于D，如图所示：

，，

，

∴，

四边形是矩形，，，

，

∴为等腰直角三角形，

，

设，则，

，

在中，，

即，解得：，

古塔的高度约19米．

25．(1)，，抛物线的解析式为

(2)

(3)或

解析：（1）令，得，即：

令，得，解得，

即：，

把两点坐标代入得，，

解得，

∴抛物线的解析式为；

（2）设直线交直线于点，由对称性可知，当三点共线时，取得最小值，故直线与直线的交点即为所求，

联立，解得

∴

（3）设，则，，

∴，

由题意可知：点是线段的三等分点

∴或

①当时，，即：

解得：

经检验：不合题意舍去

∴

②当时，，即：

解得：，

经检验：不合题意舍去

∴

由①②可知：当点是线段的三等分点时，点的坐标为或

26．(1)见解析

(2)结论仍然成立，不成立，结论是，理由见解析

解析：（1）证明：如图所示，连接，

∵，，

∴是等边三角形，

∴，，

由旋转的性质得，，，

∴是等边三角形，∴，，

∴，即，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，

∵，是等边三角形，

∴，

∴，

∴，

∴；

即：，；

（2）由（1）中结论仍然成立，不成立，结论是，理由如下：

如图所示，连接，

∵，，

∴，，

由旋转的性质得，，，

∴，，

∴，即，

∵，

∴，

∴，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴；