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山东省 济南市 历下区山东省实验初级中学2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷
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山东省济南实验中学2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷（解析版）
一.选择题（共10小题，4*10＝40分）
1．（4分）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（ ）
A．10 B．28 C．100 D．不能确定
2．（4分）如图，平面直角坐标系中点P的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣2，﹣1）
3．（4分）下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）
A．2，3，4 B．6，8，10 C．5，12，14 D．1，1，2
4．（4分）下列说法正确的个数为（ ）
①有理数与无理数的差都是有理数；
②无限小数都是无理数；
③无理数都是无限小数；
④两个无理数的和不一定是无理数；
⑤无理数分为正无理数、零、负无理数．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（4分）下列说法中，正确的是（ ）
A．0.09的平方根是0.3 B．＝±2
C．0的立方根是0 D．1的立方根是±1
6．（4分）若△ABC中，AB＝c，AC＝b，下列不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a＝32，b＝42，c＝52 B．a：b：c＝5：12：13
C．（c+b）（c﹣b）＝a2 D．∠A+∠B＝∠C
7．（4分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3a﹣5，a+1）．若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1 或 3
8．（4分）如图，正方体的棱长为4cm，A是正方体的一个顶点，从点A爬到点B的最短路径是（ ）
A．9 B．3+6 C．2 D．12
9．（4分）如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
10．（4分）设S1＝1，S2＝1，S3＝1，…，Sn＝1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二.填空题（共6小题，4*6＝24分）
11．（4分）一直角三角形两条直角边长分别为3和4，则该三角形的斜边长为 ．
12．（4分）如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形2，则图中所有的正方形的面积之和为 cm2．
13．（4分）已知a、b满足+|b+3|＝0，则（a+b）2021的值为 ．
14．（4分）已知P点坐标为（4﹣a，3a+9），且点P在x轴上，则点P的坐标是 ．
15．（4分）如图，实数﹣，，m在数轴上所对应的点分别为A，B，C，则m的值为 ．
16．（4分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝ ．
三.解答题（4小题，共计36分）
17．（16分）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．（6分）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），已知云梯长15米，云梯底部距地面3米
19．（7分）已知：在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）
（1）求△ABC的面积；
（2）设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．
20．（7分）在△ABC中，∠BAC＝90°，D为△ABC内一点，DC，延长DA到点E
（1）如图1，延长CA到点F，使得AF＝AC，EF．若BF⊥EF，求证：CD⊥BF；
（2）连接BE，交CD的延长线于点H，如图22＝BE2+CD2，试判断CD与BE的位置关系，并证明．
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，4*10＝40分）
1．（4分）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（ ）
A．10 B．28 C．100 D．不能确定
【分析】由勾股定理即可求出答案．
【解答】解：由勾股定理可知：SA＝36+64＝100，
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．
2．（4分）如图，平面直角坐标系中点P的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣2，﹣1）
【分析】根据点的坐标的定义判断即可．
【解答】解：由图可得，点P的横坐标是﹣2，故点P的坐标为（﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标，掌握点的坐标的定义是解答本题的关键．
3．（4分）下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）
A．2，3，4 B．6，8，10 C．5，12，14 D．1，1，2
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
【解答】解：A．∵22+42≠45，
∴以2，3，3为边不能组成直角三角形；
B．∵62+32＝102，
∴以8，8，10为边能组成直角三角形；
C．∵52+122≠142，
∴8，12，故本选项不符合题意；
D．∵12+32≠26，
∴以1，1，2为边不能组成直角三角形；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，即a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
4．（4分）下列说法正确的个数为（ ）
①有理数与无理数的差都是有理数；
②无限小数都是无理数；
③无理数都是无限小数；
④两个无理数的和不一定是无理数；
⑤无理数分为正无理数、零、负无理数．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据有理数，无理数的定义即可判定．
【解答】解：①有理数与无理数的差都是无理数，故不正确；
②无限不循环小数都是无理数，故不正确；
③无理数都是无限不循环小数，故不正确；
④两个无理数的和不一定是无理数，正确；
⑤无理数分为正无理数、零、负无理数．
故选：A．
【点评】此题主要考查了实数、无理数、有理数的定义及其关系，有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数都可以化为有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数，如2，33等，也有π这样的数．
5．（4分）下列说法中，正确的是（ ）
A．0.09的平方根是0.3 B．＝±2
C．0的立方根是0 D．1的立方根是±1
【分析】根据平方根的意义、立方根的意义，可得答案．
【解答】解：A、0.09的平方根是±0.4；
B、＝2；
C、6的立方根是0；
D、1的立方根是5；
故选：C．
【点评】本题考查了实数，利用平方根的意义、立方根的意义是解题关键．
6．（4分）若△ABC中，AB＝c，AC＝b，下列不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a＝32，b＝42，c＝52 B．a：b：c＝5：12：13
C．（c+b）（c﹣b）＝a2 D．∠A+∠B＝∠C
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断选项B、C、D是否符合题意，根据三角形内角和，可以判断选项B是否符合题意，本题得以解决．
【解答】解：a＝32，b＝82，c＝52，则a2+b2≠c2，故选项A符合题意；
当a：b：c＝5：12：13时，设a＝5x，c＝13x5+b2＝（5x）6+（12x）2＝c2，故选项B不符合题意；
由（c+b）（c﹣b）＝a7整理得：a2+b2＝c4，故选项C不符合题意；
由∠A+∠B＝∠C，可知∠C＝90°；
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解答本题的关键．
7．（4分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3a﹣5，a+1）．若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1 或 3
【分析】根据点A到x轴的距离与到y轴的距离相等可得3a﹣5＝a+1或3a﹣5＝﹣（a+1），解出a的值，再由点A在y轴的右侧可得3a﹣5＞0，进而可确定a的值．
【解答】解：∵点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，
∴3a﹣5＝a+6或3a﹣5＝﹣（a+4），
解得：a＝3或1，
∵点A在y轴的右侧，
∴点A的横坐标为正数，
∴5a﹣5＞0，
∴a＞，
∴a＝3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值．
8．（4分）如图，正方体的棱长为4cm，A是正方体的一个顶点，从点A爬到点B的最短路径是（ ）
A．9 B．3+6 C．2 D．12
【分析】将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．
【解答】解：如图，AB＝，
故选：C．
【点评】本题考查了最短路径问题，勾股定理，解题的关键是将平面展开，组成一个直角三角形．
9．（4分）如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】由折叠的性质可得DN＝NE，由中点的性质可得EC＝4cm，结合正方形的性质可得∠BCD＝90°；设CN的长度为xcm，则EN＝DN＝（8﹣x）cm，接下来在直角△CEN中运用勾股定理就可以求出CN的长度．
【解答】解：∵四边形MNEF是由四边形ADMN折叠而成的，
∴DN＝NE．
∵E是BC的中点且BC＝8cm，
∴EC＝4cm．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°．
设CN的长度为xcm，则EN＝DN＝（4﹣x）cm，
由勾股定理NC2+EC2＝NE4，得x2+44＝（8﹣x）2，
解得x＝8．
故选：A．
【点评】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．
10．（4分）设S1＝1，S2＝1，S3＝1，…，Sn＝1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】观察第一步的几个计算结果，得出一般规律．
【解答】解：，，，＝，…，
，
∴
＝1+1…+1+﹣
＝24+1﹣
＝．
故选：A．
【点评】本题考查了数字算式的变化规律．关键是观察几个结果的结果，由特殊到一般，得出规律．
二.填空题（共6小题，4*6＝24分）
11．（4分）一直角三角形两条直角边长分别为3和4，则该三角形的斜边长为 5 ．
【分析】此题直接利用勾股定理解答即可．
【解答】解：这个直角三角形的斜边长＝＝5，
故答案为：3．
【点评】此题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
12．（4分）如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形2，则图中所有的正方形的面积之和为 27 cm2．
【分析】根据勾股定理有S正方形2+S正方形3＝S正方形1，S正方形C+S正方形D＝S正方形2，S正方形A+S正方形B＝S正方形3，等量代换即可求所有正方形的面积之和．
【解答】解：如图所示，
根据勾股定理可知，
S正方形2+S正方形3＝S正方形5，
S正方形C+S正方形D＝S正方形，
S正方形A+S正方形E＝S正方形2，
∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形E＝S正方形1，
则S正方形4+S正方形2+S正方形3+S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形E＝2S正方形1＝3×6＝27（cm2）．
故答案为：27．
【点评】本题考查了勾股定理．有一定难度，注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
13．（4分）已知a、b满足+|b+3|＝0，则（a+b）2021的值为 ﹣1 ．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：由题意得，a﹣2＝0，
解得a＝5，b＝﹣3，
所以，（a+b）2021＝（2﹣2）2021＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
14．（4分）已知P点坐标为（4﹣a，3a+9），且点P在x轴上，则点P的坐标是 （7，0） ．
【分析】直接利用x轴上点的坐标特点得出3a+9＝0，求出a的值，进而得出答案．
【解答】解：∵P点坐标为（4﹣a，3a+6），
∴3a+9＝8，
解得：a＝﹣3，
∴4﹣a＝6，
故点P的坐标是：（7，0）．
故答案为：（2，0）．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出a的值是解题关键．
15．（4分）如图，实数﹣，，m在数轴上所对应的点分别为A，B，C，则m的值为 ﹣3 ．
【分析】先求出点D表示的数，然后确定点C的取值范围，根据m为整数，即可得到m的值．
【解答】解：∵点B表示的数是，点B关于原点O的对称点是点D，
∴点D表示的数是﹣，
∵点C在点A、D之间，
∴﹣＜m＜﹣，
∵﹣4＜﹣＜﹣8＜﹣2，
∴﹣＜﹣7＜﹣，
∵m为整数，
∴m的值为﹣3．
答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查了对称的性质和估算无理数的大小，解答本题的关键是确定无理数的整数部分．
16．（4分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝ 2.5 ．
【分析】设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，S△ABG＝m，S△ACH＝n，由a2+b2＝c2，可得S△ABD+S△ACE＝S△BCF，由此构建关系式，可得结论．
【解答】解：∵△ABD、△ACE，
∴AB＝BD，AC＝CE，
设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，S△ABG＝m，S△ACH＝n，
∵a2+b2＝c6，
∴S△ABD+S△ACE＝S△BCF，
∴S1+m+n+S4＝S5+S3+m+n，
∴S4＝3.5+5.7﹣6.5＝7.5
故答案为：2.2．
【点评】本题考查了勾股定理在几何计算中的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三.解答题（4小题，共计36分）
17．（16分）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）从左到右依次计算即可；
（3）先算乘法，再算加减即可；
（4）先根据数的开方法则及绝对值的性质分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝3+3+5
＝8+；
（2）原式＝÷×
＝×
＝
＝6；
（3）原式＝3++6﹣
＝4+2﹣
＝6+；
（4）原式＝2+﹣1+3
＝6+．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
18．（6分）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），已知云梯长15米，云梯底部距地面3米
【分析】根据AB和AC的长度，构造直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边BC的长．
【解答】解：过点A作AC⊥BD，垂足为C，
由题意可知：AE＝CD＝3米，AC＝9米；
在Rt△ABC中，根据勾股定理4+BC2＝AB2，
即，BC7+92＝155，BC2＝152﹣82＝144，
∴BC＝12（米），
∴BD＝BC+CD＝12+3＝15（米）；
答：发生火灾的住户窗口距离地面15米．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练记忆勾股定理公式是解题关键．
19．（7分）已知：在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）
（1）求△ABC的面积；
（2）设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．
【分析】（1）过点C向x、y轴作垂线，垂足分别为D、E，然后依据S△ABC＝S四边形CDEO﹣S△AEC﹣S△ABO﹣S△BCD求解即可．
（2）设点P的坐标为（x，0），于是得到BP＝|x﹣2|，然后依据三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：（1）过点C作CD⊥x轴，CE⊥y、E．
S△ABC＝S四边形CDEO﹣S△AEC﹣S△ABO﹣S△BCD
＝3×4﹣×2×2﹣×2×4
＝12﹣4﹣1﹣5
＝4．
（2）设点P的坐标为（x，0）．
∵△ABP与△ABC的面积相等，
∴×1×|x﹣3|＝4．
解得：x＝10或x＝﹣6．
所以点P的坐标为（10，3）或（﹣6．
【点评】本题主要考查的是坐标与图形的性质，利用割补法求得△ABC的面积是解题的关键．
20．（7分）在△ABC中，∠BAC＝90°，D为△ABC内一点，DC，延长DA到点E
（1）如图1，延长CA到点F，使得AF＝AC，EF．若BF⊥EF，求证：CD⊥BF；
（2）连接BE，交CD的延长线于点H，如图22＝BE2+CD2，试判断CD与BE的位置关系，并证明．
【分析】（1）证明△ACD≌△AFE（SAS），由全等三角形的性质得出∠DCA＝∠EFA，证出CD∥EF，则可得出结论；
（2）延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，证出∠AEF＝90°，得出∠DHE＝90°，由直角三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：在△ACD和△AFE中，
，
∴△ACD≌△AFE（SAS），
∴∠DCA＝∠EFA，
∴CD∥EF，
∵BF⊥EF，
∴CD⊥BF；
（2）解：CD⊥BE，理由如下：
延长CA到F，使AF＝AC，
∵BA⊥CF，AC＝AF，
∴BC＝BF，
由（1）可知CD∥EF，CD＝EF，
∵BC2＝BE2+CD2，
∴BF2＝BE2+EF2，
∴∠BEF＝90°，
∴BE⊥EF，
∴CD⊥BE，
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，证明△BCD≌△FCE是解题的关键．
山东省济南实验中学2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷（解析版）
一.选择题（共10小题，4*10＝40分）
1．（4分）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（ ）
A．10 B．28 C．100 D．不能确定
2．（4分）如图，平面直角坐标系中点P的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣2，﹣1）
3．（4分）下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）
A．2，3，4 B．6，8，10 C．5，12，14 D．1，1，2
4．（4分）下列说法正确的个数为（ ）
①有理数与无理数的差都是有理数；
②无限小数都是无理数；
③无理数都是无限小数；
④两个无理数的和不一定是无理数；
⑤无理数分为正无理数、零、负无理数．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（4分）下列说法中，正确的是（ ）
A．0.09的平方根是0.3 B．＝±2
C．0的立方根是0 D．1的立方根是±1
6．（4分）若△ABC中，AB＝c，AC＝b，下列不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a＝32，b＝42，c＝52 B．a：b：c＝5：12：13
C．（c+b）（c﹣b）＝a2 D．∠A+∠B＝∠C
7．（4分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3a﹣5，a+1）．若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1 或 3
8．（4分）如图，正方体的棱长为4cm，A是正方体的一个顶点，从点A爬到点B的最短路径是（ ）
A．9 B．3+6 C．2 D．12
9．（4分）如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
10．（4分）设S1＝1，S2＝1，S3＝1，…，Sn＝1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二.填空题（共6小题，4*6＝24分）
11．（4分）一直角三角形两条直角边长分别为3和4，则该三角形的斜边长为 ．
12．（4分）如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形2，则图中所有的正方形的面积之和为 cm2．
13．（4分）已知a、b满足+|b+3|＝0，则（a+b）2021的值为 ．
14．（4分）已知P点坐标为（4﹣a，3a+9），且点P在x轴上，则点P的坐标是 ．
15．（4分）如图，实数﹣，，m在数轴上所对应的点分别为A，B，C，则m的值为 ．
16．（4分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝ ．
三.解答题（4小题，共计36分）
17．（16分）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．（6分）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），已知云梯长15米，云梯底部距地面3米
19．（7分）已知：在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）
（1）求△ABC的面积；
（2）设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．
20．（7分）在△ABC中，∠BAC＝90°，D为△ABC内一点，DC，延长DA到点E
（1）如图1，延长CA到点F，使得AF＝AC，EF．若BF⊥EF，求证：CD⊥BF；
（2）连接BE，交CD的延长线于点H，如图22＝BE2+CD2，试判断CD与BE的位置关系，并证明．
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，4*10＝40分）
1．（4分）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为（ ）
A．10 B．28 C．100 D．不能确定
【分析】由勾股定理即可求出答案．
【解答】解：由勾股定理可知：SA＝36+64＝100，
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于基础题型．
2．（4分）如图，平面直角坐标系中点P的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣2，﹣1）
【分析】根据点的坐标的定义判断即可．
【解答】解：由图可得，点P的横坐标是﹣2，故点P的坐标为（﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标，掌握点的坐标的定义是解答本题的关键．
3．（4分）下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）
A．2，3，4 B．6，8，10 C．5，12，14 D．1，1，2
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
【解答】解：A．∵22+42≠45，
∴以2，3，3为边不能组成直角三角形；
B．∵62+32＝102，
∴以8，8，10为边能组成直角三角形；
C．∵52+122≠142，
∴8，12，故本选项不符合题意；
D．∵12+32≠26，
∴以1，1，2为边不能组成直角三角形；
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，即a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
4．（4分）下列说法正确的个数为（ ）
①有理数与无理数的差都是有理数；
②无限小数都是无理数；
③无理数都是无限小数；
④两个无理数的和不一定是无理数；
⑤无理数分为正无理数、零、负无理数．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据有理数，无理数的定义即可判定．
【解答】解：①有理数与无理数的差都是无理数，故不正确；
②无限不循环小数都是无理数，故不正确；
③无理数都是无限不循环小数，故不正确；
④两个无理数的和不一定是无理数，正确；
⑤无理数分为正无理数、零、负无理数．
故选：A．
【点评】此题主要考查了实数、无理数、有理数的定义及其关系，有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数都可以化为有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数，如2，33等，也有π这样的数．
5．（4分）下列说法中，正确的是（ ）
A．0.09的平方根是0.3 B．＝±2
C．0的立方根是0 D．1的立方根是±1
【分析】根据平方根的意义、立方根的意义，可得答案．
【解答】解：A、0.09的平方根是±0.4；
B、＝2；
C、6的立方根是0；
D、1的立方根是5；
故选：C．
【点评】本题考查了实数，利用平方根的意义、立方根的意义是解题关键．
6．（4分）若△ABC中，AB＝c，AC＝b，下列不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a＝32，b＝42，c＝52 B．a：b：c＝5：12：13
C．（c+b）（c﹣b）＝a2 D．∠A+∠B＝∠C
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断选项B、C、D是否符合题意，根据三角形内角和，可以判断选项B是否符合题意，本题得以解决．
【解答】解：a＝32，b＝82，c＝52，则a2+b2≠c2，故选项A符合题意；
当a：b：c＝5：12：13时，设a＝5x，c＝13x5+b2＝（5x）6+（12x）2＝c2，故选项B不符合题意；
由（c+b）（c﹣b）＝a7整理得：a2+b2＝c4，故选项C不符合题意；
由∠A+∠B＝∠C，可知∠C＝90°；
故选：A．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解答本题的关键．
7．（4分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3a﹣5，a+1）．若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1 或 3
【分析】根据点A到x轴的距离与到y轴的距离相等可得3a﹣5＝a+1或3a﹣5＝﹣（a+1），解出a的值，再由点A在y轴的右侧可得3a﹣5＞0，进而可确定a的值．
【解答】解：∵点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，
∴3a﹣5＝a+6或3a﹣5＝﹣（a+4），
解得：a＝3或1，
∵点A在y轴的右侧，
∴点A的横坐标为正数，
∴5a﹣5＞0，
∴a＞，
∴a＝3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值．
8．（4分）如图，正方体的棱长为4cm，A是正方体的一个顶点，从点A爬到点B的最短路径是（ ）
A．9 B．3+6 C．2 D．12
【分析】将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．
【解答】解：如图，AB＝，
故选：C．
【点评】本题考查了最短路径问题，勾股定理，解题的关键是将平面展开，组成一个直角三角形．
9．（4分）如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】由折叠的性质可得DN＝NE，由中点的性质可得EC＝4cm，结合正方形的性质可得∠BCD＝90°；设CN的长度为xcm，则EN＝DN＝（8﹣x）cm，接下来在直角△CEN中运用勾股定理就可以求出CN的长度．
【解答】解：∵四边形MNEF是由四边形ADMN折叠而成的，
∴DN＝NE．
∵E是BC的中点且BC＝8cm，
∴EC＝4cm．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°．
设CN的长度为xcm，则EN＝DN＝（4﹣x）cm，
由勾股定理NC2+EC2＝NE4，得x2+44＝（8﹣x）2，
解得x＝8．
故选：A．
【点评】本题考查翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．
10．（4分）设S1＝1，S2＝1，S3＝1，…，Sn＝1，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】观察第一步的几个计算结果，得出一般规律．
【解答】解：，，，＝，…，
，
∴
＝1+1…+1+﹣
＝24+1﹣
＝．
故选：A．
【点评】本题考查了数字算式的变化规律．关键是观察几个结果的结果，由特殊到一般，得出规律．
二.填空题（共6小题，4*6＝24分）
11．（4分）一直角三角形两条直角边长分别为3和4，则该三角形的斜边长为 5 ．
【分析】此题直接利用勾股定理解答即可．
【解答】解：这个直角三角形的斜边长＝＝5，
故答案为：3．
【点评】此题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
12．（4分）如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形2，则图中所有的正方形的面积之和为 27 cm2．
【分析】根据勾股定理有S正方形2+S正方形3＝S正方形1，S正方形C+S正方形D＝S正方形2，S正方形A+S正方形B＝S正方形3，等量代换即可求所有正方形的面积之和．
【解答】解：如图所示，
根据勾股定理可知，
S正方形2+S正方形3＝S正方形5，
S正方形C+S正方形D＝S正方形，
S正方形A+S正方形E＝S正方形2，
∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形E＝S正方形1，
则S正方形4+S正方形2+S正方形3+S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形E＝2S正方形1＝3×6＝27（cm2）．
故答案为：27．
【点评】本题考查了勾股定理．有一定难度，注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
13．（4分）已知a、b满足+|b+3|＝0，则（a+b）2021的值为 ﹣1 ．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：由题意得，a﹣2＝0，
解得a＝5，b＝﹣3，
所以，（a+b）2021＝（2﹣2）2021＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
14．（4分）已知P点坐标为（4﹣a，3a+9），且点P在x轴上，则点P的坐标是 （7，0） ．
【分析】直接利用x轴上点的坐标特点得出3a+9＝0，求出a的值，进而得出答案．
【解答】解：∵P点坐标为（4﹣a，3a+6），
∴3a+9＝8，
解得：a＝﹣3，
∴4﹣a＝6，
故点P的坐标是：（7，0）．
故答案为：（2，0）．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出a的值是解题关键．
15．（4分）如图，实数﹣，，m在数轴上所对应的点分别为A，B，C，则m的值为 ﹣3 ．
【分析】先求出点D表示的数，然后确定点C的取值范围，根据m为整数，即可得到m的值．
【解答】解：∵点B表示的数是，点B关于原点O的对称点是点D，
∴点D表示的数是﹣，
∵点C在点A、D之间，
∴﹣＜m＜﹣，
∵﹣4＜﹣＜﹣8＜﹣2，
∴﹣＜﹣7＜﹣，
∵m为整数，
∴m的值为﹣3．
答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查了对称的性质和估算无理数的大小，解答本题的关键是确定无理数的整数部分．
16．（4分）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝ 2.5 ．
【分析】设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，S△ABG＝m，S△ACH＝n，由a2+b2＝c2，可得S△ABD+S△ACE＝S△BCF，由此构建关系式，可得结论．
【解答】解：∵△ABD、△ACE，
∴AB＝BD，AC＝CE，
设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，S△ABG＝m，S△ACH＝n，
∵a2+b2＝c6，
∴S△ABD+S△ACE＝S△BCF，
∴S1+m+n+S4＝S5+S3+m+n，
∴S4＝3.5+5.7﹣6.5＝7.5
故答案为：2.2．
【点评】本题考查了勾股定理在几何计算中的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三.解答题（4小题，共计36分）
17．（16分）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）从左到右依次计算即可；
（3）先算乘法，再算加减即可；
（4）先根据数的开方法则及绝对值的性质分别计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝3+3+5
＝8+；
（2）原式＝÷×
＝×
＝
＝6；
（3）原式＝3++6﹣
＝4+2﹣
＝6+；
（4）原式＝2+﹣1+3
＝6+．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
18．（6分）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），已知云梯长15米，云梯底部距地面3米
【分析】根据AB和AC的长度，构造直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边BC的长．
【解答】解：过点A作AC⊥BD，垂足为C，
由题意可知：AE＝CD＝3米，AC＝9米；
在Rt△ABC中，根据勾股定理4+BC2＝AB2，
即，BC7+92＝155，BC2＝152﹣82＝144，
∴BC＝12（米），
∴BD＝BC+CD＝12+3＝15（米）；
答：发生火灾的住户窗口距离地面15米．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练记忆勾股定理公式是解题关键．
19．（7分）已知：在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）
（1）求△ABC的面积；
（2）设点P在x轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．
【分析】（1）过点C向x、y轴作垂线，垂足分别为D、E，然后依据S△ABC＝S四边形CDEO﹣S△AEC﹣S△ABO﹣S△BCD求解即可．
（2）设点P的坐标为（x，0），于是得到BP＝|x﹣2|，然后依据三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：（1）过点C作CD⊥x轴，CE⊥y、E．
S△ABC＝S四边形CDEO﹣S△AEC﹣S△ABO﹣S△BCD
＝3×4﹣×2×2﹣×2×4
＝12﹣4﹣1﹣5
＝4．
（2）设点P的坐标为（x，0）．
∵△ABP与△ABC的面积相等，
∴×1×|x﹣3|＝4．
解得：x＝10或x＝﹣6．
所以点P的坐标为（10，3）或（﹣6．
【点评】本题主要考查的是坐标与图形的性质，利用割补法求得△ABC的面积是解题的关键．
20．（7分）在△ABC中，∠BAC＝90°，D为△ABC内一点，DC，延长DA到点E
（1）如图1，延长CA到点F，使得AF＝AC，EF．若BF⊥EF，求证：CD⊥BF；
（2）连接BE，交CD的延长线于点H，如图22＝BE2+CD2，试判断CD与BE的位置关系，并证明．
【分析】（1）证明△ACD≌△AFE（SAS），由全等三角形的性质得出∠DCA＝∠EFA，证出CD∥EF，则可得出结论；
（2）延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，证出∠AEF＝90°，得出∠DHE＝90°，由直角三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：在△ACD和△AFE中，
，
∴△ACD≌△AFE（SAS），
∴∠DCA＝∠EFA，
∴CD∥EF，
∵BF⊥EF，
∴CD⊥BF；
（2）解：CD⊥BE，理由如下：
延长CA到F，使AF＝AC，
∵BA⊥CF，AC＝AF，
∴BC＝BF，
由（1）可知CD∥EF，CD＝EF，
∵BC2＝BE2+CD2，
∴BF2＝BE2+EF2，
∴∠BEF＝90°，
∴BE⊥EF，
∴CD⊥BE，
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，证明△BCD≌△FCE是解题的关键．
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