2023-2024学年浙江省金华市金东区八年级（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省金华市金东区八年级（上）开学数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了仔细选一选，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023-2024学年浙江省金华市金东区八年级第一学期开学数学试卷
一、仔细选一选（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不得分．）
1．要调查某校七年级学生周日的睡眠时间，选取调查对象最合适的是（　　）
A．选取七年级一个班级的学生
B．选取50名七年级男生
C．选取50名七年级女生
D．随机选取50名七年级学生
2．航空工业作为“现代工业之花”，对航空材料的选取有极高的要求．我国科研人员攻克技术难题，已经能将航空发动机风扇叶片关键曲面轮廓误差控制在0.000007m以内．0.000007用科学记数法表示为（　　）
A．7×10﹣6 B．7×10﹣5 C．0.7×10﹣6 D．0.7×10﹣5
3．计算a2+3a2的结果是（　　）
A．3a2 B．4a2 C．3a4 D．4a4
4．是下面哪个二元一次方程的解（　　）
A．y＝﹣x+2 B．x﹣2y＝1 C．x＝y﹣2 D．2x﹣3y＝1
5．若a＞b，则下列式子中一定成立的是（　　）
A．a﹣2＜b﹣2 B．＞ C．2a＞b D．3﹣a＞3﹣b
6．一个直尺和一个含45°的直角三角板按如图方式叠合在一起（三角板的两个顶点分别在直尺的边上），若∠1＝20°，则∠2的度数是（　　）

A．20° B．65° C．70° D．75°
7．下列多项式中能用完全平方公式分解的是（　　）
A．x2﹣x+1 B．1﹣2x+x2 C．a2+a+ D．﹣a2+b2﹣2ab
8．如图，△ABC以每秒2cm的速度沿着射线BC向右平移，平移2秒后所得图形是△DEF，如果AD＝2CE，那么BC的长是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．9
9．如图，点B，F，E，D共线，∠B＝∠D，BE＝DF，添加一个条件，不能判定△ABF≌△CDE的是（　　）

A．AF∥CE B．∠A＝∠C C．AF＝CE D．AB＝CD
10．为迎接亚运，某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元，设足球的单价为x元，根据题意，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．分解因式：2m2﹣18＝　 　．
12．计算：+的结果是 　 　．
13．为推广全民健身运动，某单位组织员工进行爬山比赛，其中青年组有20人，中年组有17人，老年组有13人，则中年组的频率是 　 　．
14．满足方程组的x，y互为相反数，则m＝　 　．
15．如图，将长方形ABCD沿EF翻折，点B的对应点G恰好落在DC边上，若∠1＝20°，则∠DEF的度数为 　 　．

16．在△ABC中，AB＝AC，且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，则∠BAC的度数为 　 　．
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．计算：
（1）（16xy2﹣4xy）÷4xy；
（2）（a+3）（a﹣3）+a（1﹣a）．
18．解方程（组）：
（1）；
（2）．
19．解不等式（组）：
（1）5x﹣2＞x+1；
（2）．
20．在6×5的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点都在格点上）．
（1）在图1中画出将△ABC向右平移3个单位后得到的△A1B1C1；
（2）在图2中画出△ABC关于直线MN成轴对称的△A2B2C2．
21．学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术，科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）本次调查中，一共调查了多少名同学；
（2）求条形统计图中m，n的值；
（3）扇形统计图中，求艺术类读物所在扇形的圆心角的度数．
22．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AC与DE相交于点O，AC∥DF，AB∥DE，BE＝CF．
（1）求证：AC＝DF；
（2）若∠EOC＝80°，∠F＝36°，求∠B的度数．

23．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计板材裁切方案？
素材1
图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为40cm×15cm，座垫尺寸为40cm×35cm．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．

素材2
因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为40cm． （裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一
拟定裁切方案
若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法．
方法一：裁切靠背16张和座垫0张．
方法二：裁切靠背 　 　张和坐垫 　 　张．
方法三：裁切靠背 　 　张和坐垫 　 　张．
任务二
确定搭配数量
若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？
任务三
解决实际问题
现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有1张座垫和11张靠背，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案．
24．在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，BP是AC边上的高线，将一块三角板的直角顶点放在点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AB、BC于D、E两点．图1和图2是旋转三角板得到的图形中的两种情况．
（1）求证：BP＝CP；
（2）猜想线段PD与PE之间的数量关系，并结合图1证明你的结论；
（3）在三角板绕点P旋转的整个过程中，当△PEC为等腰三角形时，求BE的长．



参考答案
一、仔细选一选（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不得分．）
1．要调查某校七年级学生周日的睡眠时间，选取调查对象最合适的是（　　）
A．选取七年级一个班级的学生
B．选取50名七年级男生
C．选取50名七年级女生
D．随机选取50名七年级学生
【分析】抽样要具有随机性和代表性，比每个层次都要考虑到，并且每个被调查的对象被抽到的机会相同．
解：因为要调查某校七年级学生周日的睡眠时间，所以选取调查对象是随机选取50名七年级学生，
故选：D．
【点评】本题考查了调查的对象的选择，要读懂题意，分清调查的内容所对应的调查对象是什么是解题的关键．注意所选取的对象要具有代表性．
2．航空工业作为“现代工业之花”，对航空材料的选取有极高的要求．我国科研人员攻克技术难题，已经能将航空发动机风扇叶片关键曲面轮廓误差控制在0.000007m以内．0.000007用科学记数法表示为（　　）
A．7×10﹣6 B．7×10﹣5 C．0.7×10﹣6 D．0.7×10﹣5
【分析】根据科学记数法的形式改写0.000007即可．
解：0.000007＝7×10﹣6，
故选：A．
【点评】本题主要考查科学记数法的知识，熟练掌握科学记数法的形式是解题的关键．
3．计算a2+3a2的结果是（　　）
A．3a2 B．4a2 C．3a4 D．4a4
【分析】本题考查整式的加法运算，实质上就是合并同类项，根据运算法则计算即可．
解：a2+3a2＝4a2．故选B．
【点评】整式的加减运算实际上就是合并同类项，这是各地中考的常考点．
4．是下面哪个二元一次方程的解（　　）
A．y＝﹣x+2 B．x﹣2y＝1 C．x＝y﹣2 D．2x﹣3y＝1
【分析】把解代入各个选项中，满足方程成立的符合条件．
解：把x＝5代入A，得y＝﹣5+2＝﹣3，所以不是二元一次方程A的解；
把x＝5代入B，得y＝（5﹣1）÷2＝2，所以不是二元一次方程B的解；
把x＝5代入C，得y＝5+2＝7，所以不是二元一次方程C的解；
把x＝5代入D，得y＝（10﹣1）÷3＝3，所以是二元一次方程D的解．
故选：D．
【点评】本题考查了方程解的定义，掌握二元一次方程解的定义是解决本题的关键．
5．若a＞b，则下列式子中一定成立的是（　　）
A．a﹣2＜b﹣2 B．＞ C．2a＞b D．3﹣a＞3﹣b
【分析】依据不等式的基本性质解答即可．
解：A、由不等式的性质1可知A错误；
B、由不等式的性质2可知B正确；
C、不符合不等式的基本性质，故C错误；
D、先由不等式的性质3得到﹣a＜﹣b，然后由不等式的性质1可知3﹣a＜2﹣b，故D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题的关键．
6．一个直尺和一个含45°的直角三角板按如图方式叠合在一起（三角板的两个顶点分别在直尺的边上），若∠1＝20°，则∠2的度数是（　　）

A．20° B．65° C．70° D．75°
【分析】根据两直线平行，内错角相等得出∠3，进而解答即可．
解：如图：
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝20°，
∴∠2＝90°﹣20°＝70°，
故选：C．

【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
7．下列多项式中能用完全平方公式分解的是（　　）
A．x2﹣x+1 B．1﹣2x+x2 C．a2+a+ D．﹣a2+b2﹣2ab
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．
解：能用完全平方公式分解的是1﹣2x+x2＝（x﹣1）2，
故选：B．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
8．如图，△ABC以每秒2cm的速度沿着射线BC向右平移，平移2秒后所得图形是△DEF，如果AD＝2CE，那么BC的长是（　　）

A．4 B．6 C．8 D．9
【分析】根据平行的性质即可得到结论．
解：∵△ABC以每秒2cm的速度沿着射线BC向右平移，平移2秒后所得图形是△DEF，
∴AD＝BE＝2×2＝4（cm），
∵AD＝2CE，
∴CE＝2cm，
∴BC＝BE+CE＝6（cm），
故选：B．
【点评】本题考查了平移的性质，解题的关键是理解平移的方向，由图形判断平移的方向和距离．注意数形结合思想的应用．
9．如图，点B，F，E，D共线，∠B＝∠D，BE＝DF，添加一个条件，不能判定△ABF≌△CDE的是（　　）

A．AF∥CE B．∠A＝∠C C．AF＝CE D．AB＝CD
【分析】根据全等三角形的判定定理判断求解即可．
解：∵BE＝DF，
∴BF+EF＝DE+EF，
即BF＝DE，
A．∵AF∥CE，
∴∠AFE＝∠CEF，
∴∠AFB＝∠CED，
又∠B＝∠D，BF＝DE，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABF≌△CDE，故本选项不符合题意；
B．∠A＝∠C，∠B＝∠D，BF＝DE，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABF≌△CDE，故本选项不符合题意；
C．AF＝CE，BF＝DE，∠B＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABF≌△CDE，故本选项符合题意；
D．AB＝CD，∠B＝∠D，BF＝DE，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABF≌△CDE，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了全等三角形的判定定理，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
10．为迎接亚运，某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元，设足球的单价为x元，根据题意，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设足球的单价为x元，则篮球的单价为（x+30）元，根据购买足球的数量是篮球的2倍，其中足球花费5000元，篮球花费4000元，列方程即可．
解：根据题意得，＝2×．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．分解因式：2m2﹣18＝　2（m+3）（m﹣3）　．
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
解：原式＝2（m2﹣9）
＝2（m+3）（m﹣3）．
故答案为：2（m+3）（m﹣3）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．计算：+的结果是 　2　．
【分析】先将分母变成相同的，然后分母不变，分子相减，再约分化简可得结果．
解：+
＝
＝
＝
＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要是考查了分式的加减法，能够熟练掌握分式的加减运算法则是解答此题的关键．
13．为推广全民健身运动，某单位组织员工进行爬山比赛，其中青年组有20人，中年组有17人，老年组有13人，则中年组的频率是 　0.34　．
【分析】根据频率＝进行计算即可．
解：17÷（20+17+13）＝0.34，
故答案为：0.34．
【点评】本题考查频数与频率，掌握频率＝是正确解答的关键．
14．满足方程组的x，y互为相反数，则m＝　1　．
【分析】由x与y互为相反数，得到y＝﹣x，代入方程组计算即可求出m的值．
解：由题意得：y＝﹣x，
代入方程组得：，
消去x得：3m＝m+2，
解得：m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
15．如图，将长方形ABCD沿EF翻折，点B的对应点G恰好落在DC边上，若∠1＝20°，则∠DEF的度数为 　80°　．

【分析】根据轴对称性质得出∠BFE＝∠GFE，根据∠1＝20°求出∠BFG＝160°，求出∠BFE，根据长方形的性质得出AD∥BC，根据平行线的性质得出∠DEF＝∠BFE即可．
解：∵将长方形ABCD沿EF翻折，点B的对应点G恰好落在DC边上，
∴∠BFE＝∠GFE，
∵∠1＝20°，
∴∠BFG＝180°﹣∠1＝160°，
∴∠BFE＝∠GFE＝＝80°，
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠BFE＝80°．
故答案为：80°．
【点评】本题考查了轴对称的性质和长方形的性质，能根据轴对称的性质得出∠BFE＝∠GFE是解此题的关键．
16．在△ABC中，AB＝AC，且过△ABC某一顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，则∠BAC的度数为 　　．
【分析】因为题中没有指明是过顶角的顶点还是过底角的顶点，故应该分四情况进行分析，利用等腰三角形的性质求解即可．
解：①如图①，∵AB＝AC，BD＝CD，CD＝AD，
∴∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴4∠B＝180°，
∴∠B＝45°，∠C＝45°，∠BAC＝90°．
②如图②，∵AB＝AC，AD＝BD，AC＝CD，
∴∠B＝∠C＝∠BAD，∠CAD＝∠CDA，
∵∠CDA＝∠B+∠BAD＝2∠B，
∴∠BAC＝3∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°，∠C＝36°，∠BAC＝108°．
③如图③，∵AB＝AC，AD＝BD＝BC，
∴∠B＝∠C，∠A＝∠ABD，∠BDC＝∠C，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，
∴∠ABC＝∠C＝2∠A，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴5∠A＝180°，
∴∠A＝36°，∠C＝72°，∠ABC＝72°．
④如图④，∵AB＝AC，AD＝BD，CD＝BC，
∴∠ABC＝∠C，∠A＝∠ABD，∠CDB＝∠CBD，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝2∠A，
∴∠ABC＝∠C＝3∠A，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴7∠A＝180°，
∴∠A＝（）°，∠C＝（）°，∠ABC＝（）°．
故答案为：．




【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，解决问题的关键是分类思想的运用．
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．计算：
（1）（16xy2﹣4xy）÷4xy；
（2）（a+3）（a﹣3）+a（1﹣a）．
【分析】（1）根据多项式除以单项式可以解答本题；
（2）根据平方差公式和单项式乘多项式可以将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．
解：（1）（16xy2﹣4xy）÷4xy
＝16xy2÷4xy﹣4xy÷4xy
＝4y﹣1；
（2）（a+3）（a﹣3）+a（1﹣a）
＝a2﹣9+a﹣a2
＝a﹣9．
【点评】本题考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．解方程（组）：
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）利用解分式方程的步骤解方程即可．
解：（1），
②×2﹣①得：5x＝10，
解得：x＝2，
将x＝2代入①得：2+2y＝8，
解得：y＝3，
故原方程组的解为；
（2）原方程两边同乘（x2﹣1），去分母得：2x（x﹣1）﹣2（x2﹣1）＝3，
去括号得：2x2﹣2x﹣2x2+2＝3，
移项，合并同类项得：﹣2x＝1，
系数化为1得：x＝﹣，
检验：把x＝﹣代入（x2﹣1）得：﹣1＝﹣≠0，
则原方程的解为：x＝﹣．
【点评】本题考查解二元一次方程组及解分式方程，熟练掌握解方程组及方程的方法是解题的关键．
19．解不等式（组）：
（1）5x﹣2＞x+1；
（2）．
【分析】（2）不等式去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解集即可；
（3）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
解：（1）5x﹣2＞x+1，
移项得：5x﹣x＞1+2，
合并得：4x＞3，
解得：x＞；
（2）
由不等式①，得：x＞﹣3，
由不等式②，得：x＜，
∴原不等式组的解集为﹣﹣3＜x＜．
【点评】此题考查了一元一次不等式，以及一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．在6×5的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点都在格点上）．
（1）在图1中画出将△ABC向右平移3个单位后得到的△A1B1C1；
（2）在图2中画出△ABC关于直线MN成轴对称的△A2B2C2．
【分析】（1）根据平移的性质即可在图1中画出将△ABC向右平移3个单位后得到的△A1B1C1；
（2）根据轴对称的性质即可在图2中画出△ABC关于直线MN成轴对称的△A2B2C2．
解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求；

（2）如图2，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，平移变换，解决本题的关键是掌握轴对称和平移的性质．
21．学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术，科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：

（1）本次调查中，一共调查了多少名同学；
（2）求条形统计图中m，n的值；
（3）扇形统计图中，求艺术类读物所在扇形的圆心角的度数．
【分析】（1）先利用最喜爱文学类读物的人数除以最喜爱文学类读物的人数所占的百分比，可得总人数，
（2）总人数乘以30%，可得最喜爱科普类读物的人数；然后用总人数减去喜爱其他的人数，可得m的值，即可求解；
（3）用360度乘以艺术类读物所占的百分比，即可求解．
解：（1）70÷35%＝200，
∴一共调查了200名同学；
（2）最喜爱科普类读物的人数为200×30%＝60，
∴n＝60，
∴m＝200﹣70﹣60﹣30＝40；
（3）艺术类读物所在扇形的圆心角的度数为．
【点评】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，明确题意，能准确从统计图中获取信息是解题的关键．
22．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AC与DE相交于点O，AC∥DF，AB∥DE，BE＝CF．
（1）求证：AC＝DF；
（2）若∠EOC＝80°，∠F＝36°，求∠B的度数．

【分析】（1）根据平行线的性质及线段的和差得出∠F＝∠ACB，∠B＝∠DEF，BC＝EF，利用ASA证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）根据平行线的性质及三角形内角和定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵AC∥DF，AB∥DE，
∴∠F＝∠ACB，∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AC＝DF；
（2）解：∵AC∥DF，
∴∠F＝∠ACB，
∵∠F＝36°，
∴∠ACB＝36°．
∵∠EOC＝80°，
∴∠DEF＝180°﹣36°﹣80°＝64°，
∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF＝64°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用ASA证明△ABC≌△DEF是解题的关键．
23．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计板材裁切方案？
素材1
图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为40cm×15cm，座垫尺寸为40cm×35cm．图2是靠背与座垫的尺寸示意图．

素材2
因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅．经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制做该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为240cm，宽为40cm． （裁切时不计损耗）
我是板材裁切师
任务一
拟定裁切方案
若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法．
方法一：裁切靠背16张和座垫0张．
方法二：裁切靠背 　9　张和坐垫 　3　张．
方法三：裁切靠背 　6　张和坐垫 　2　张．
任务二
确定搭配数量
若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？
任务三
解决实际问题
现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有1张座垫和11张靠背，还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？并给出一种裁切方案．
【分析】任务一：设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，可得：15m+35n＝240，求出非负整数解即可；
任务二：列式计算得能制作成240张学生椅；
任务三：设用x张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背2张和坐垫6张，可得：，解方程组可得答案．
解：任务一：
设一张该板材裁切靠背m张，坐垫n张，
根据题意得：15m+35n＝240，
∴n＝，
∵m，n为非负整数，
∴或或，
∴方法二：裁切靠背9张和坐垫3张；
方法三：裁切靠背2张和坐垫6张；
故答案为：9，3；2，6；
任务二：
∵＝240（张），
∴该工厂购进50张该型号板材，能制作成240张学生椅；
任务三：
设用x张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用y张板材裁切靠背2张和坐垫6张，
根据题意得：，
解得：，
∵57+88＝145（张），
∴需要购买该型号板材145张，用其中57张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用88张板材裁切靠背2张和坐垫6张．
【点评】本题考查二元一次方程（组）的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程和二元一次方程组．
24．在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，BP是AC边上的高线，将一块三角板的直角顶点放在点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AB、BC于D、E两点．图1和图2是旋转三角板得到的图形中的两种情况．
（1）求证：BP＝CP；
（2）猜想线段PD与PE之间的数量关系，并结合图1证明你的结论；
（3）在三角板绕点P旋转的整个过程中，当△PEC为等腰三角形时，求BE的长．

【分析】（1）由直角三角形的性质可得出结论；
（2）证明△PBD≌△PCE（ASA），由全等三角形的性质可得出PD＝PE；
（3）分四种情况，由等腰三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，BP是AC边上的高线，
∴AP＝CP，
∴BP＝CP；
（2）解：PD＝PE，
证明：∵△ABC是等腰直角三角形，P是AC的中点，
∴CP＝PB，∠ABP＝∠ABC＝45°，
∴∠ABP＝∠C＝45°．
又∵∠DPB+∠BPE＝∠CPE+∠BPE＝90°，
∴∠DPB＝∠CPE．
∴△PBD≌△PCE（ASA）．
∴PD＝PE；
（3）解：当BE＝0时，即点B和点E重合，故可知△PEC是等腰三角形，如图，

当BE＝时，即E是BC的中点，可得△PEC是等腰三角形，如图，

∵AB＝BC＝2，P是AC的中点，
∴PC＝，
当CP＝CE时，△PEC是等腰三角形，如图，

∴BE＝2﹣；
当E在BC的延长线上时，CE＝CP，△PEC是等腰三角形，BE＝2+，如图，

综上所述，当△PEC为等腰三角形时，BE的长为0或或2﹣或2+．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论思想，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．