湖北省武汉市江夏区部分学校2023-2024学年九年级上学期9月月考数学试题

2023—2024 学年度武汉市部分学校九年级 9 月月考

数 学 试 题

(时间：120 分钟, 总分: 120 分)

一、选择题（共 10 小题, 每小题 3 分, 共 30 分)

1. 下列二次根式是最简二次根式的是（  ）

A.   B.  C.   D.

2. 现实世界中, 对称现象无处不在, 中国的方块字中有些也具有对称性. 下列汉字是轴对称图形的是 (   )

A. 劳  B. 动  C. 光  D. 荣

3. 方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（  ）

A.  B.  C.   D.

4. 将 进行配方变形, 下列正确的是（   ）

A.  B.  C.  D.

5. 下列说法中, 正确的是 (   )

A. 一组对边平行, 另一组对边相等的四边形是平行四边形;

B. 两条对角线相等的平行四边形是矩形;

C. 两边相等的平行四边形是菱形;

D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形.

6. 对于抛物线 , 下列说法中错误的是 (   )

A. 抛物线与 轴没有交点 B. 抛物线开口向下

C. 顶点坐标是   D. 函数有最大值, 且最大值为 1

7. 已知 是一元二次方程 的根, 则代数式 的值是 ( )

A. 3  B. 1  C. -3  D. -1

8. 设 是抛物线 为常数 上的三点, 则 的大小关系为

A.  B.  C.  D.

9. 如图 1 是某石拱桥, 每个拱形都是相同形状的抛物线, 且抛物线的顶点与水面距离都相同. 在其中一个桥洞中, 水面宽度为 12 米, 如图 2, 拱顶距离水面 4 米, 并建立平面直角坐标系. 若水位上涨 2 米, 则每个拱桥内水面的宽度是(  ).

A. 4 米 B. 米 C. 6 米 D. 米

10. 如图, 在平行四边形 中, 点 分别是边 的中点, 连接 , 点 分别是 的中点, 连接 , 若 , , 则 的长度为 (   )

A.   B.

C.   D. 2

二、填空题 (共 6 小题, 每小题 3 分, 共 18 分)

11. 抛物线 的顶点坐标是____________.

12. 某种型号的芯片每片的出厂价为 400 元, 经科研攻关实现国产化后, 成本下降, 进行两次降价, 若每次降价的百分率都为 , 降价后的出厂价为 144 元. 依题意可列方程为:_________________________.

13. 关于 的方程 有实数根, 则 的取值范围____________.

14. 我国古代数学经典著作《九章算术》记载: “今有善行者行一百步, 不善行者行六十步, 今不善行者先行二百步, 善行者追之. 问几何步及之? ”如图是善行者与不善行者行走路程 (单位:步)关于善行者的行走时间 的函数图象,则两图象交点 的纵坐标是________.

15. 抛物线 过点 , 对称轴为直线 , 部分图象如图所示, 下列判断中: ① ; ② ; ③ ; ④若函数图像上有两点 和 , 且 , 则 . 其中判断正确的序号是___________.

16. 如图, 在平面直角坐标系中, 已知 , 点 为线段 上任意一点. 在直线 上取点 , 使 , 延长 到点 , 使 , 分别取 中点 , 连接 , 则 的最小值是________.

三、解答题 (共 8 小题, 共 72 分)

17. (本题 8 分)

(1)计算: ;

(2)解方程:

18. (本题 8 分) 已知关于 的一元二次方程 .

(1) 若方程有实数根, 求实数 的取值范围;

(2) 若 满足 . 求 的值.

19. (本题 8 分) 某校为了解学生参加家务劳动的情况, 随机抽取了部分学生在某个休息日做家务的劳动时间 (单位: ) 作为样本, 将收集的数据整理后分为 五个组别, 其中 组的数据分别为: , 绘制成如下不完整的统计图表.

请根据以上信息解答下列问题.

(1) 组数据的中位数是________.

(2) 本次调查的样本容量是_______, 组所在扇形的圆心角的大小是_______；

(3) 若该校有 2400 名学生, 估计该校学生劳动时间超过 的人数.

20. (本题 8 分) 如图, 在四边形 中, , 对角线 交于点 , 平分 , 过点 作 交 的延长线于点 , 连接 .

(1) 求证: 四边形 是菱形;

(2) 若 , 求 的长.

21. (本题 8 分) 如图, 在由边长为 1 的小正方形组成的正方形网格中建立平面直角坐标系, 为格点三角形, 请仅用无刻度直尺, 在给定的网格中依次完成下列画图, 过程线用虚线, 结果线用实线, 并回答下列问题:

(1) 在图 (1) 中, 找格点 使 且 , 再在 上画点 , 使 ;

(2) 在图 (2) 中, 为非格点且在 上, 在 上找点 , 使 最小; 然后 在 上找点 , 使 .

22. (本题 10 分) 某体育场准备利用一堵呈 “ ” 形的围墙（粗线 表示墙, 墙足够高) 改建室外篮球场, 如图所示, 已知 米, 米, 现计划用总长为 136 米的围网围建呈“日”字形的两个篮球场, 并在每个篮球场开一个宽 3 米的门 ( 细线表示围网, 两个篮球场之间用围网 隔开), 为了充分利用墙体, 点 必须在线段 上, 设 的长为 米.

(1) __________米; (用含 的代数式表示);

(2) 若围成的篮球场 的面积为 1200 平方米, 求 的长; (围网及墙体所占面积忽略不计)

（3）篮球场 的面积是否能达到 1900 平方米? 请说明理由.

23. (本题 10 分) (1) 如图 1, 正方形 中, 点 分别是边 上的点, 请你直接写出 之间的数量关系:______________________.

(2) 如图 2, 在四边形 中, 与 互补, 点 分别是边 上的点, , 请问: (1) 中结论是否成立? 若成立, 请证明结论; 若不成立, 请说明理由;

(3) 在 (1) 的条件下, 若 分别在直线 和直线 上, 若 , 则 _____________.

24. (本题 12 分) 如图, 抛物线 与 轴交于 两点, 与 轴交于点 , 直线 经过 两点.

(1) 求抛物线的解析式;

(2) 直线 (其中 ) 与线段 交于点 , 与抛物线交于点 , 连接 , 当线段 的长度最大时, 求证: 四边形 是平行四边形;

(3) 在 (2) 的条件下, 连接 , 过点 的直线与抛物线交于点 , 若 , 求点 的坐标.