2022-2023学年四川省眉山市仁寿一中南校区高二（上）期末数学试卷（理科）

2022-2023学年四川省眉山市仁寿一中南校区高二（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．命题“，”的否定是　　

A．， B．， 

C．， D．，

2．在空间直角坐标系中，点，，在平面上的射影到坐标原点的距离为　　

A． B． C． D．

3．已知圆与抛物线的准线相切，则　　

A． B． C．8 D．2

4．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是　　

A．若，，则 B．若，，，则 

C．若，，，则 D．若，，，则

5．已知，，则是的　　

A．充要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，，则圆的标准方程为　　

A． B． 

C． D．

7．某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为　　

A． B． C． D．

8．执行如图所示的程序框图，输出的值为　　

A．20 B．40 C．70 D．112

9．如图，在三棱锥中，，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是　　

A． B． C． D．

10．已知双曲线的左、右焦点分别为、．若双曲线右支上存在点，使得与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点，且，则双曲线的渐近线方程为　　

A． B． C． D．

11．已知椭圆，是椭圆上的点，、是椭圆的左、右焦点，若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是　　

A． B． C． D．

12．如图，已知正方体的棱长为1，点为棱的中点，点在侧面及其边界上运动，下列命题：①当时，异面直线与所成角的正切值为2；②当点到平面的距离等于到直线的距离时，点的轨迹为抛物线的一部分；③存在点满足；④满足的点的轨迹长度为；其中真命题的个数为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13．已知双曲线，则该双曲线的实轴长为 　　．

14．设，分别为直线和圆上的点，则的最小值为　　．

15．在菱形中，，将沿折叠，使平面平面，则与平面所成角的正弦值为 　　．

16．过的直线与抛物线交于，，，两点，且与的准线交于点，点是的焦点，若的面积是的面积的3倍，则　　．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，点在线段上且．

（1）证明：直线平面；

（2）证明：直线平面．

18．圆内有一点，过的直线交圆于、两点．

（1）当弦被平分时，求直线的方程；

（2）若圆与圆相交于，两点，求．

19．已知为坐标原点，位于抛物线上，且到抛物线的准线的距离为2．

（1）求抛物线的方程；

（2）已知点，过抛物线焦点的直线交于，两点，求的最小值以及此时直线的方程．

20．如图在四棱锥中，底面，且底面是平行四边形．已知是中点．

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

21．已知椭圆，长轴是短轴的2倍，点在椭圆上，且点在轴上的投影为点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点的且不与轴垂直的直线交椭圆于、两点，是否存在点，使得直线，直线与轴所在直线所成夹角相等？若存在，请求出常数的值；若不存在，请说明理由．

22．椭圆的离心率是，点，是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于，两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）求面积的最大值；

（3）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

2022-2023学年四川省眉山市仁寿一中南校区高二（上）期末数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．命题“，”的否定是　　

A．， B．， 

C．， D．，

【解析】：因为特称命题的否定是全称命题，所以：“，”的否定是：，．

故选：．

2．在空间直角坐标系中，点，，在平面上的射影到坐标原点的距离为　　

A． B． C． D．

【解析】：在空间直角坐标系中，

点，，在平面上的射影为，，，

点，，在平面上的射影到坐标原点的距离为：

．

故选：．

3．已知圆与抛物线的准线相切，则　　

A． B． C．8 D．2

【解析】：抛物线的准线为，

又圆与该抛物线的准线相切，

圆心到准线的距离，

．

故选：．

4．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是　　

A．若，，则 B．若，，，则 

C．若，，，则 D．若，，，则

【解析】：．错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面；

．错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；

．错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交；

．正确，由，便得，又，，即．

故选：．

5．已知，，则是的　　

A．充要条件 B．必要而不充分条件 

C．充分而不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】：由得，即

由，得或，即或

则是的充分不必要条件，

故选：．

6．已知圆的圆心在直线上，且圆与轴的交点分别为，，则圆的标准方程为　　

A． B． 

C． D．

【解析】：由题意设圆心坐标为，

再由圆与轴的交点分别为，，可得，

则圆心坐标为，半径．

该圆的标准方程是．

故选：．

7．某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】：由三视图还原原几何体如图，

底面，，，

则是边长为的等边三角形，

则该四面体的表面积为．

故选：．

8．执行如图所示的程序框图，输出的值为　　

A．20 B．40 C．70 D．112

【解析】：第一次执行，由，，则，又由，则进入循环；

第一次循环，由，，则，又由，则进入循环；

第二次循环，由，，则，又由，则进入循环；

第三次循环，由，，则，又由，则进入循环；

第四次循环，由，，则，又由，则输出．

故选：．

9．如图，在三棱锥中，，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是　　

A． B． C． D．

【解析】：设点为的中点，连接，，由于，，所以，，所以为二面角的平面角；

由于二面角的正切值是，

所以，故；

在中，，

在中，，

在中，由余弦定理；

所以，

由于，

所以、、两两垂直，将三棱锥体补成正方体，

如图所示：

正方体的棱长为2，则正方体的对角线长为，

故外接球的半径，

则外接球的表面积为．

故选：．

10．已知双曲线的左、右焦点分别为、．若双曲线右支上存在点，使得与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点，且，则双曲线的渐近线方程为　　

A． B． C． D．

【解析】：的方程：，的方程为：，

联立，解得，，

点在双曲线上，

可得，

可得：，

可得：，

所以双曲线的渐近线方程为：．

故选：．

11．已知椭圆，是椭圆上的点，、是椭圆的左、右焦点，若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解析】：设，，

则，，，

表示椭圆上的点到原点的距离的平方，

所以，

所以，

若恒成立，则，

所以，

所以，

又因为，

所以，

故选：．

12．如图，已知正方体的棱长为1，点为棱的中点，点在侧面及其边界上运动，下列命题：①当时，异面直线与所成角的正切值为2；②当点到平面的距离等于到直线的距离时，点的轨迹为抛物线的一部分；③存在点满足；④满足的点的轨迹长度为；其中真命题的个数为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【解析】：如图1，以为坐标原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，1，，，1，，

，0，，，0，，

设异面直线与所成角为，，

则，，

故，所以，故①正确；

如图3，过点作于点，连接，

因为平面，平面，

所以，

因为平面，平面，

所以，

因为，，平面，

所以平面，

设，1，，，，其中，1，，

当时，，

整理得：，

故当点到平面的距离等于到直线的距离时，点的轨迹为抛物线的一部分，故②正确；

假设，

，又，且始终垂直平面，

，点轨迹是以为圆心，半径为1的圆上，

同理，，，

点轨迹是以为圆心，半径为的圆上，如图1．

又，

两个圆相交有交点，即存在点满足，故③正确；

过点作交于点，过点作交于，

则，又，

，同理，又，

平面，又平面平面，

点的轨迹为，故④正确．

故选：．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13．已知双曲线，则该双曲线的实轴长为 　2　．

【解析】：已知双曲线的方程为，

则该双曲线的实轴长为2，

故答案为：2．

14．设，分别为直线和圆上的点，则的最小值为　　．

【解析】：首先把圆转化为参数式为：为参数），

则点到直线的距离，

，

当时，，

故答案为：

15．在菱形中，，将沿折叠，使平面平面，则与平面所成角的正弦值为 　　．

【解析】：取的中点，连接，，

，，为等边三角形，

为的中点，，，

又平面平面，且平面平面，平面，

平面，

又，平面，

，，

以为原点，，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，

设菱形的边长为2，则，0，，，，，，0，，，1，，

，，，，0，，，1，，

设平面的法向量，，，

则，即，

令，则，，即，，，

设与平面所成的角为，

则，，

与平面所成角的正弦值为，

故答案为：．

16．过的直线与抛物线交于，，，两点，且与的准线交于点，点是的焦点，若的面积是的面积的3倍，则　　．

【解析】：抛物线方程为：，

，

又根据题意可知直线的斜率存在，

设直线的方程为，

联立，可得，

，

又的面积是的面积的3倍，

，

到准线的距离等于到准线的距离的3倍，

，又，

，又，

，，

解得，，

，

故答案为：．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，点在线段上且．

（1）证明：直线平面；

（2）证明：直线平面．

【解答】证明：（1）连接交于点，连，

，，

，得，

又因为，

，

，

又面、面，

面．

（2）因为平面，平面，

所以，

又由，，，且是直角梯形，

可得，可得，

所以，

又因为，且，平面，

所以平面．

18．圆内有一点，过的直线交圆于、两点．

（1）当弦被平分时，求直线的方程；

（2）若圆与圆相交于，两点，求．

【解析】：（1）为的中点，，，

又，所以，直线的方程为，即．

（2）圆与圆相交弦的方程为：，圆心到直线的距离为，

．

19．已知为坐标原点，位于抛物线上，且到抛物线的准线的距离为2．

（1）求抛物线的方程；

（2）已知点，过抛物线焦点的直线交于，两点，求的最小值以及此时直线的方程．

【解析】：（1）根据题意可得，又，

解得，，

故所求抛物线方程；

（2）设点，，，，抛物线的焦点坐标为．

当直线的斜率等于0时，不符合题意；

当直线的斜率不等于0时，设过抛物线焦点的直线的方程为：，

由，消去得：，

△，得，

由韦达定理得，，

因为

，

所以当时，取得最小值为13，

此时直线的方程为．

20．如图在四棱锥中，底面，且底面是平行四边形．已知是中点．

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【解析】：（1）证明：面，且，，

，

是中点，．

同理可证：，

又面，面，，

平面，又面，

平面平面；

（2），．

以为原点，分别为，，轴正方向建系，如图：

则，0，，，2，，，，，，0，，，1，，

设平面的法向量，

则，，取，

由（1）得是平面的一个法向量，

，

平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

21．已知椭圆，长轴是短轴的2倍，点在椭圆上，且点在轴上的投影为点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点的且不与轴垂直的直线交椭圆于、两点，是否存在点，使得直线，直线与轴所在直线所成夹角相等？若存在，请求出常数的值；若不存在，请说明理由．

【解析】：（1）由题意可得，

所以椭圆的方程为，

将点代入椭圆的方程可得：，

可得，，

所以椭圆的方程为；

（2）由题意可得，设直线的方程为，，，，，

由可得，

由于在椭圆内，可得△，，，

假设存在点，使得直线，直线与轴所在直线所成夹角相等，

即有，

即为，即有，

即，

化为，

则，

即为，

化为，解得，

所以存在点，即，使得直线，直线与轴所在直线所成夹角相等，

22．椭圆的离心率是，点，是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于，两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）求面积的最大值；

（3）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】：（1）根据题意，得，解得，，，椭圆的方程为；

（2）依题意，设，，，，设直线为，联立，消去，

得，△恒成立，，，

所以，

令，，，

当且仅当，即时取得等号，综上可知，面积的最大值为；

（3）结论：存在与点不同的定点，使得恒成立．理由如下：

当直线与轴平行时，设直线与椭圆相交于、两点，

如果存在定点满足条件，则有，即，

点在直线轴上，可设，

当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于、两点，如果存在定点满足条件，

则，即，解得或，

若存在不同于点的定点满足条件，则点坐标只能是；

当直线不平行于轴且不垂直与轴时，可设直线的方程为，

联立，消去并整理得：，

△，

，，

又点关于轴对称的点的坐标为，，

又，，

则、、三点共线，；

故存在与点不同的定点，使得恒成立．