湘教版（2019）选择性必修 第一册4.4 二项式定理第1课时课后测评

4.4　二项式定理

第1课时　二项式定理

A级 必备知识基础练

1.(1-2x)6展开式中,x3的系数为(　　)

A.20 B.-20 C.160 D.-160

2.在(x-)6的二项展开式中,常数项为(　　)

A.256 B.240 C.192 D.160

3.S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4x-3,则S=(　　)

A.x4 B.x4+1 C.(x-2)4 D.x4+4

4.若(1+3x)n(n∈N+)的二项展开式中,第三项的二项式系数为6,则第四项的系数为(　　)

A.4 B.27 C.36 D.108

5.(1-)(1+x)6展开式中x2的系数为(　　)

A.-5 B.5 C.15 D.30

6.在(x2-)9的二项展开式中,第4项的二项式系数是　　　　,第4项的系数是　　　　. 

7.(x3+)6的展开式中x6的系数为-160,则a=　　　　　. 

8.已知()n的二项展开式中,第2项与第4项的二项式系数之比为1∶12.

(1)求正整数n的值;

(2)求二项展开式中的常数项.

B级 关键能力提升练

9.使(3x+)n(n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　)

A.4 B.5 

C.6 D.7

10.已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x3的系数为15,则a的值为(　　)

A. B. 

C. D.1

11.(多选题)若(x+)6展开式中的常数项为15,则实数m的值可能为(　　)

A.1 B.-1 

C.2 D.-2

12.(多选题)在(2x-)4的展开式中,有理项为(　　)

A.16x4 B.8x2 C.24x D.

13.(多选题)若(x-)n的展开式中含x2的项,则n的取值可能为(　　)

A.6 B.8 C.10 D.14

14.对于(+x3)n(n∈N+),有以下四种判断:①存在n∈N+,展开式中有常数项;②对任意n∈N+,展开式中没有常数项;③对任意n∈N+,展开式中没有x的一次项;④存在n∈N+,展开式中有x的一次项.

其中正确的是(　　)

A.①③ B.②③ C.②④ D.①④

15.若(x+)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为　　　　. 

16.(2023天津,11)在(2x3-)6的展开式中,x2项的系数为　　　　　. 

17.已知()n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162,求:

(1)n的值;

(2)展开式中含x3的项;

(3)二项展开式的常数项;

(4)二项展开式的所有有理项.

C级 学科素养创新练

18.(1)求证:32n+3+40n-27(n∈N+)能被64整除;

(2)求+…+除以9的余数.

第1课时　二项式定理

1.D　(1-2x)6展开式的通项为Tr+1=·(-2x)r=(-2)r··xr,

则x3的系数为(-2)3·=-160.故选D.

2.B　(x-)6二项展开式的通项为Tr+1=x6-r(-)r=(-2)r.

令6-r=0,解得r=4,所以常数项为T4+1=x0·(-2)4=240,故选B.

3.A　S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1=(x-1)4+(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+=[(x-1)+1]4=x4,故选A.

4.D　(1+3x)n二项展开式的通项为Tr+1=(3x)r.由=6,得n=4,则T4=·(3x)3,故第四项的系数为33=108.

5.A　由于(1+x)6二项展开式的通项为Tr+1=xr.

当r=2时,x2的系数为=15;当r=3时,x3的系数为=20,

故(1-)(1+x)6展开式中x2的系数为15-20=-5.故选A.

6.84　-　Tr+1=·(x2)9-r·(-)r=(-)r··x18-3r.当r=3时,T4=(-)3··x9=-x9,所以第4项的二项式系数为=84,项的系数为-.

7.-2　(x3+)6的二项展开式的通项为Tr+1=·ar·x18-4r.

令18-4r=6,解得r=3.可得展开式中x6的系数为·a3=-160,则a=-2.

8.解(1)∵第2项与第4项的二项式系数之比为1∶12,

∴=1∶12,即,化简可得n2-3n-70=0,解得n=10或n=-7(舍去).

(2)由(1)得二项展开式的通项为Tr+1=·()10-r(-)r=(-2)r.令=0,则r=2,∴常数项为第3项,即T3=(-2)2=180.

9.B　由题得,Tr+1=(3x)n-r()r=.当Tr+1是常数项时,n-r=0,当r=2,n=5时,成立.故最小的n为5.

10.C　(1+ax)(1+x)5的展开式中含x3的项为1×x3+ax×x2=(10+10a)x3,所以10+10a=15,解得a=,故选C.

11.AB　(x+)6二项展开式的通项为Tr+1=x6-r·()r=mr.

令6-r=0,得r=4.故常数项为m4=15,m4=1,解得m=±1.故选AB.

12.ACD　(2x-)4的二项展开式的通项为Tr+1=(2x)4-r(-)r=·24-r·(-1)r.

因为4-∈Z,且0≤r≤4,所以r=0,2,4.

当r=0时,T1=24x4=16x4,故A正确;

当r=2时,T3=·22·(-1)2x=24x,故C正确;

当r=4时,T5=·20·(-1)4x-2=,故D正确.故选ACD.

13.BD　(x-)n的二项展开式的通项为Tr+1=·xn-r·(-x-2)r=(-1)r··xn-3r.由题意知可得r=∈N,故n=3r+2,r∈N,故n是被3除余2的正整数,故8,14符合题意.故选BD.

14.D　的二项展开式的通项为Tr+1=x4r-n,由通项公式可知,当n=4r(k∈N+)和n=4r-1(k∈N+)时,展开式中分别存在常数项和一次项.

15.56　由题意知,,则n=8.

∵Tr+1=·x8-r·()r=·x8-2r,当8-2r=-2时,可得r=5,∴的系数为=56.

16.60　(2x3-)6的展开式的通项为Tr+1=·(-)r=(-1)r·26-r··x18-4r.由18-4r=2,得r=4,所以展开式中x2项的系数为(-1)4×22×=60.

17.解(1)()n的二项展开式的通项为Tr+1=)n-r(-)r=(-2)r(0≤r≤n).

由题意可得,4-(-2)=2n(n-1)+2n=2n2=162,

解得n=9或n=-9(舍去).

(2)由(1)可得()n展开式的通项为Tr+1=(-2)r(0≤r≤9).

令=3,可得r=1,则含x3的项为T2=-18x3.

(3)令=0,可得r=3,则二项展开式的常数项为(-2)3=-672.

(4)求展开式的有理项,则为整数,即r为奇数.

因为0≤r≤9,可得r=1,3,5,7,9,

则二项展开式中的所有有理项为T2=-18x3,T4=-672,T6=-4032x-3,T8=-4608x-6,T10=-512x-9.

18.(1)证明由题得,32n+3+40n-27=3×(8+1)n+1+40n-27

=3×(·8n+1+…+·8+)+40n-27

=3×(·8n+1+…+·82)+24(n+1)+3+40n-27

=3×82×(·8n-1+…+)+64n,

故原式能被64整除.

(2)解由题得,(1+x)29=·x+·x2+·x3+…+·x29,

令x=1,得+…+=229-1

=4×(23)9-1=4×(9-1)9-1

=4×(×99-×98+…+×91-×90)-1

=4×(×99-×98+…-×92+×9)-4-1

=9×[4×(×98-×97+…-×9+)-1]+4,

故原式除以9的余数是4.