初中数学鲁教版 (五四制)六年级上册3 一元一次方程的应用教学设计

4.3 一元一次方程的应用（2）

一、教学目标

（一）知识与技能：

1. 学会分析实际问题中的“不变量”，建立方程解决问题；

2. 会设未知数，正确求解，并验明解的合理性。

（二）过程与方法：

通过分析实际问题，明白运用方程解决问题的关键是找到等量关系从而建立数学模型解决问题。

（三）情感与态度：

1.体验数学与日常生活密切相关，认识到许多实际问题可以用数学方法解决；

2.激发学生的学习情绪，让学生在探索问题中学会合作。　　

二、教学重点：

如何从实际问题中寻找等量关系建立方程，解决问题后如何验证它的合理性。

三、教学难点：

如何从实际问题中寻找等量关系建立方程。

四、教学过程

（一）复习回顾

1.长方形的周长l=_________;  长方形面积S=_______;

长方体体积V=_________.

2.正方形的周长l=_________;  正方形面积S=_______;

正方体体积V=________.

3.圆的周长l = ________;   圆的面积S = _______;

圆柱体体积V = _________.

（二）新课学习

1.情境导入：

如图，将一个底面直径为20cm、高为9cm的圆柱锻压成底面直径为10cm的圆柱，假设在锻压过程中圆柱的体积保持不变，那么圆柱的高变成了多少？

在这个问题中有如下等量关系：锻压前的体积＝锻压后的体积。

设水箱的高变为m，填写下表：

根据等量关系，列出方程：π×102×9=π×52×x

解方程得：     x=36

答：高变成了36cm.

2.例题讲解：

例1、小明有一个问题想不明白.他要用一根长为10米的铁线围成一个长方形。

（1）使得该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、宽各是多少米呢？面积是多少？

分析：等量关系为“（长+宽）× 2=周长”

解：设长方形的宽为x米，则它的长为（x+1.4）米.

根据题意，得：( x+1.4+x )×2 =10

解得：        x=1.8

∴ 1.8+1.4 = 3.2；3.2 × 1.8 = 5.76

答：此时长方形的长为3.2m，宽为1.8m,面积是5.76m2.

（2）使长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与第一次所围成的长方形相比，面积有什么变化？

解：设长方形的宽为x米，则它的长为（x+0.8）米.

根据题意，得：( x+0.8+x )×2 =10

解得：        x=2.1

∴ 2.1+0.8 = 2.9；2.9 × 2.1 = 6.09

此时长方形的长2.9m，宽2.1m,面积是6.09 m2.

此时长方形的面积比第一次围成的面积增大6.09-5.76=0.33（m2）。

（3）若使长方形的长和宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？围成的面积与第二次围成的面积相比，又有什么变化？

解：设正方形的宽为x米.

根据题意，得：( x+x )×2 =10

解得：        x=2.5

∴ 2.5 × 2.5 = 6.25

此时正方形的长2.5m，面积是6.25 m2.

面积增大： 6. 25 -6.09 = 0.16（m2 ）

此时长方形的面积比第二次围成的面积增大0.16 m2 .

3.比较探究：同样长的铁线围成怎样的四边形面积最大？

例题：      面积：3.2 × 1.8=5.76

练习（2）：  面积：2.9 ×2.1=6.09

练习（3）：  面积：2.5×2.5 =6. 25

围成正方形时面积最大

练习题变式：小明的爸爸想用10米铁丝网把墙当一长边围成一个鸡棚，使长比宽大4米，问小明的爸爸围成的鸡棚的长和宽各是多少呢？

解：设鸡棚的宽为x米，则它的长为（x+4）米.

根据题意，得：x+4+2x =10

解得：        x=2

∴x+4 = 6

此时鸡棚的长是6m，宽是2m.

变式：若小明的爸爸用10米铁丝网在墙边围成一个长方形鸡棚，使长比宽大5米，但在与墙垂直的宽的一边有一扇1米宽的门，那么，请问围成的鸡棚的长和宽又是多少呢？

解：设鸡棚的宽为x米，则它的长为（x+5）米.

根据题意，得：x+5+2x-1 =10

解得：      x=2

∴ x+5 = 7

此时鸡棚的长是7m，宽是2m.

五、巩固练习

1.墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的装饰物，小影将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，那么，小影所钉长方形的长和宽各为多少厘米？

分析：等量关系是 变形前后周长相等

解：设长方形的长是 x 厘米，

则

解得:

因此，长方形的长是16厘米，宽是10厘米.

2.把一块长、宽、高分别为5cm、3cm、3cm的长方体木块，全部浸入半径为4cm的圆柱形玻璃杯中（盛有水），水面将增高多少？（不外溢）

相等关系：水面增高体积=长方体体积

解：设水面增高 x 厘米.

则       

解得：

因此，水面增高约为0.9厘米.

六、课堂小结

1.解决方程的关键是抓住等量关系；

2.锻压前体积  =  锻压后体积；

  锻压前重量  =  锻压后重量；

3.长方形周长不变时，长方形的面积随着长与宽的变化而变化，当长与宽相等时，面积最大.

七、作业布置

习题4.8：问题解决：2、3题