7_专题七动量（习题+检测+10年真题）

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专题七　动量
基础篇
考点一　冲量、动量与动量定理
1.(2022山东,2,3分)我国多次成功使用“冷发射”技术发射长征十一号系列运载火箭。如图所示,发射仓内的高压气体先将火箭竖直向上推出,火箭速度接近零时再点火飞向太空。从火箭开始运动到点火的过程中(　　)

A.火箭的加速度为零时,动能最大
B.高压气体释放的能量全部转化为火箭的动能
C.高压气体对火箭推力的冲量等于火箭动量的增加量
D.高压气体的推力和空气阻力对火箭做功之和等于火箭动能的增加量
答案　A　
2.(2022福建厦门一中月考,3)跳远时,跳在沙坑里比跳在水泥地上安全(如图),下列说法正确的是(　　)

A.人跳在沙坑的动量大小等于跳在水泥地上的动量大小
B.人跳在沙坑的动量变化量比跳在水泥地上的小
C.人跳在沙坑受到的冲量比跳在水泥地上的小
D.人跳在沙坑受到的冲力比跳在水泥地上的大
答案　A　
3.(2018课标Ⅱ,15,6分)高空坠物极易对行人造成伤害。若一个50 g的鸡蛋从一居民楼的25层坠下,与地面的碰撞时间约为2 ms,则该鸡蛋对地面产生的冲击力约为(　　)
A.10 N　　　B.102 N　　　C.103 N　　　D.104 N
答案　C　
4.(2021湖南,2,4分)物体的运动状态可用位置x和动量p描述,称为相,对应p-x图像中的一个点。物体运动状态的变化可用p-x图像中的一条曲线来描述,称为相轨迹。假如一质点沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动,则对应的相轨迹可能是(　　)
A　　　B　　　C　　　D
答案　D　
5.(2022湖北,7,4分)一质点做曲线运动,在前一段时间内速度大小由v增大到2v,在随后的一段时间内速度大小由2v增大到5v,前后两段时间内,合外力对质点做功分别为W1和W2,合外力的冲量大小分别为I1和I2。下列关系式一定成立的是(　　)
A.W2=3W1,I2≤3I1　　　B.W2=3W1,I2≥I1
C.W2=7W1,I2≤3I1　　　D.W2=7W1,I2≥I1
答案　D　
6.(2021北京,10,3分)如图所示,圆盘在水平面内以角速度ω绕中心轴匀速转动,圆盘上距轴r处的P点有一质量为m的小物体随圆盘一起转动。某时刻圆盘突然停止转动,小物体由P点滑至圆盘上的某点停止。下列说法正确的是(　　)

A.圆盘停止转动前,小物体所受摩擦力的方向沿运动轨迹切线方向
B.圆盘停止转动前,小物体运动一圈所受摩擦力的冲量大小为2mωr
C.圆盘停止转动后,小物体沿圆盘半径方向运动
D.圆盘停止转动后,小物体整个滑动过程所受摩擦力的冲量大小为mωr
答案　D　
考点二　动量守恒定律
1. (2021全国乙,14,6分)如图,光滑水平地面上有一小车,一轻弹簧的一端与车厢的挡板相连,另一端与滑块相连,滑块与车厢的水平底板间有摩擦。用力向右推动车厢使弹簧压缩,撤去推力时滑块在车厢底板上有相对滑动。在地面参考系(可视为惯性系)中,从撤去推力开始,小车、弹簧和滑块组成的系统(　　)

A.动量守恒,机械能守恒
B.动量守恒,机械能不守恒
C.动量不守恒,机械能守恒
D.动量不守恒,机械能不守恒
答案　B　
2.(2022广西柳州柳江中学模拟,8)(多选)A、B两物体在光滑水平面上沿同一直线运动,如图为发生碰撞前后的v-t图线,由图线可以判断(　　)

A.A、B的质量比为3∶2
B.A、B作用前后总动量守恒
C.A、B作用前后总动量不守恒
D.A、B作用前后总动能不变
答案　ABD　
3.(2022浙江杭州建人中学月考,5)如图所示,一砂袋用无弹性轻细绳悬于O点。开始时砂袋处于静止状态,一弹丸以水平速度v0击中砂袋后未穿出,二者共同摆动。若弹丸质量为m,砂袋质量为5m,弹丸和砂袋形状大小忽略不计,弹丸击中砂袋后漏出的砂子质量忽略不计,不计空气阻力,重力加速度为g。下列说法中正确的是(　　)

A.弹丸打入砂袋过程中,细绳所受拉力大小保持不变
B.弹丸打入砂袋过程中,弹丸对砂袋的冲量大小大于砂袋对弹丸的冲量大小
C.弹丸打入砂袋过程中所产生的热量为mv0272
D.砂袋和弹丸一起摆动所达到的最大高度为v0272g
答案　D　
4.(2022河北正定中学一模,9)(多选)如图a所示,物块A、B间拴接一个压缩后被锁定的弹簧,整个系统静止放在光滑水平地面上,其中A物块最初与左侧固定的挡板相接触,B物块质量为2 kg。现解除对弹簧的锁定,在A离开挡板后,B物块的v-t图像如图b所示,则可知(　　)

图a

图b
A.在A离开挡板前,A、B与弹簧组成的系统动量守恒
B.在A离开挡板前,A、B与弹簧组成的系统机械能守恒,之后不守恒
C.弹簧锁定时其弹性势能为9 J
D.若A的质量为1 kg,在A离开挡板后弹簧的最大弹性势能为3 J
答案　CD　
5.(2021广东,13,11分)算盘是我国古老的计算工具,中心带孔的相同算珠可在算盘的固定导杆上滑动,使用前算珠需要归零。如图所示,水平放置的算盘中有甲、乙两颗算珠未在归零位置,甲靠边框b,甲、乙相隔s1=3.5×10-2 m,乙与边框a相隔s2=2.0×10-2 m,算珠与导杆间的动摩擦因数μ=0.1。现用手指将甲以0.4 m/s的初速度拨出,甲、乙碰撞后甲的速度大小为0.1 m/s,方向不变,碰撞时间极短且不计,重力加速度g取10 m/s2。

(1)通过计算,判断乙算珠能否滑动到边框a;
(2)求甲算珠从拨出到停下所需的时间。
答案　(1)见解析　(2)0.2 s
解析　设算珠的质量为m, 取从甲到乙的方向为正方向,甲算珠碰撞前后的速度分别为v1和v1',乙算珠碰后的速度为v2'。对算珠,由牛顿第二定律知-μmg=ma,解得a=-μg=-0.1×10 m/s2=-1 m/s2
(1)对甲算珠,有v12−v02=2as1,得v1=0.3 m/s
甲算珠与乙算珠碰撞,由动量守恒定律得
mv1=mv1'+mv2'
代入数据,解得v2'=0.2 m/s
设乙滑行s后停下,有0-v2'2=2as
代入数据,解得s=2.0×10-2 m
由于s=s2,则乙算珠可以滑到边框a
(2)设甲算珠从被拨出到与乙算珠碰撞所用时间为t1,碰后至停下所用时间为t2
根据vt-v0=at,有t=vt−v0a
t1=v1−v0a=0.3−0.4−1 s=0.1 s
t2=0−v1'a=0−0.1−1 s=0.1 s
在t2时间内,设甲算珠的位移为s1'
由vt2−v02=2as,得s1'=0−v1'22a=0−0.122×(−1) m=0.5×10-2 m 故甲算珠从被拨出到停下来所需时间t=t1+t2=0.1 s+0.1 s=0.2 s
考点三　碰撞、反冲与爆炸
1.(2022湖南,4,4分)1932年,查德威克用未知射线轰击氢核,发现这种射线是由质量与质子大致相等的中性粒子(即中子)组成。如图,中子以速度v0分别碰撞静止的氢核和氮核,碰撞后氢核和氮核的速度分别为v1和v2。设碰撞为弹性正碰,不考虑相对论效应,下列说法正确的是(　　)

A.碰撞后氮核的动量比氢核的小
B.碰撞后氮核的动能比氢核的小
C.v2大于v1
D.v2大于v0
答案　B　
2.(2022北京顺义期末,6)如图所示为大球和小球叠放在一起、在同一竖直线上进行的超级碰撞实验,可以使小球弹起并上升到很大高度。将质量为3m的大球(在下)、质量为m的小球(在上)叠放在一起,从距水平地面高h处由静止释放,h远大于球的半径,不计空气阻力,重力加速度为g。假设大球和地面、大球与小球的碰撞均为弹性碰撞,且碰撞时间极短。下列说法正确的是(　　)

A.两球一起下落过程中,小球对大球的弹力大小为mg
B.大球与地面碰撞前的速度大小为2gℎ
C.大球与小球碰撞后,小球上升的高度仍为h
D.若大球的质量远大于小球的质量,小球上升的最大高度为3h
答案　B　
3.[2018课标Ⅰ,24(2)]一质量为m的烟花弹获得动能E后,从地面竖直升空。当烟花弹上升的速度为零时,弹中火药爆炸将烟花弹炸为质量相等的两部分,两部分获得的动能之和也为E,且均沿竖直方向运动。爆炸时间极短,重力加速度大小为g,不计空气阻力和火药的质量。求爆炸后烟花弹向上运动的部分距地面的最大高度。
答案　2Emg
4.(2022广东,13,11分)某同学受自动雨伞开伞过程的启发,设计了如图所示的物理模型。竖直放置在水平桌面上的滑杆上套有一个滑块,初始时它们处于静止状态。当滑块从A处以初速度v0为10 m/s向上滑动时,受到滑杆的摩擦力f为1 N。滑块滑到B处与滑杆发生完全非弹性碰撞,带动滑杆离开桌面一起竖直向上运动。已知滑块的质量m=0.2 kg,滑杆的质量M=0.6 kg,A、B间的距离l=1.2 m,重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力。求:

(1)滑块在静止时和向上滑动的过程中,桌面对滑杆支持力的大小N1和N2;
(2)滑块碰撞前瞬间的速度大小v;
(3)滑杆向上运动的最大高度h。
答案　(1)8 N　5 N　(2)8 m/s　(3)0.2 m
综合篇
拓展一　动量守恒中的常见模型
1.(2022河南郑州模拟猜想卷,19)在光滑水平面上有三个弹性小钢球a、b、c处于静止状态,质量分别为2m、m和2m。其中a、b两球间夹一被压缩了的弹簧,两球通过左右两边的光滑挡板束缚着。若某时刻将挡板撤掉,弹簧便把a、b两球弹出,两球脱离弹簧后,a球获得的速度大小为v,若b、c两球相距足够远,则b、c两球相碰后(　　)

A.b球的速度大小为13v,运动方向与原来相反
B.b球的速度大小为23v,运动方向与原来相反
C.c球的速度大小为83v
D.c球的速度大小为23v
答案　B　
2.(2022安徽芜湖期末,8)(多选)如图甲所示,在光滑水平面上的轻质弹簧一端固定,物体A以速度v0向右运动压缩弹簧,测得弹簧的最大压缩量为x;现让该弹簧一端连接另一质量为m的物体B(如图乙所示),静止在光滑水平面上。物体A以2v0的速度向右运动压缩弹簧,测得弹簧的最大压缩量仍为x,已知整个过程弹簧处于弹性限度内,则　(　　)

A.物体A的质量为6m
B.物体A的质量为3m
C.弹簧压缩量为最大值x时的弹性势能为32mv02
D.弹簧重新恢复原长时,物体B的动量大小为32mv0
答案　BC　
3.(2022山东六校线上联考,9)(多选)如图所示,光滑水平面上有一质量为2M、半径为R(R足够大)的14光滑圆弧曲面C,质量为M的小球B置于其底端,另一个小球A质量为M2,小球A以v0=6 m/s的速度向B运动,并与B发生弹性碰撞,不计一切摩擦,小球均可视为质点,则(　　)

A.B的最大速率为4 m/s
B.B运动到最高点时的速率为34 m/s
C.B能与A再次发生碰撞
D.B不能与A再次发生碰撞
答案　AD　
4.(2022河北张家口阶段测试,7)如图,半径为R、质量为m的半圆轨道小车静止在光滑的水平地面上,将质量也为m的小球(可视为质点)从距A点正上方h高处由静止释放,小球自由下落后由A点经过半圆轨道后从B冲出,在空中能上升的最大高度为34h,忽略空气阻力,则(　　)

A.小球和小车组成的系统动量守恒
B.小车向左运动的最大距离为12R
C.小球离开小车后做斜上抛运动
D.小球第二次能上升的最大高度hm满足12ℎ<ℎm<34h
答案　D　
5.(2021海南,17,12分)如图,一长木板在光滑的水平面上以速度v0向右做匀速直线运动,将一小滑块无初速地轻放在木板最右端。已知滑块和木板的质量分别为m和2m,它们之间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g。

(1)滑块相对木板静止时,求它们的共同速度大小;
(2)某时刻木板速度是滑块的2倍,求此时滑块到木板最右端的距离;
(3)若滑块轻放在木板最右端的同时,给木板施加一水平向右的外力,使得木板保持匀速直线运动,直到滑块相对木板静止,求此过程中滑块的运动时间以及外力所做的功。
答案　(1)23v0　(2)7v0225μg　(3)v0μg　mv02
6.(2022河北,13,11分)如图,光滑水平面上有两个等高且足够长的滑板A和B,质量分别为1 kg和2 kg,A右端和B左端分别放置物块C和D,物块质量均为1 kg。A和C以相同速度v0=10 m/s向右运动,B和D以相同速度kv0向左运动,在某时刻发生碰撞,作用时间极短,碰撞后C与D粘在一起形成一个新物块,A与B粘在一起形成一个新滑板。物块与滑板之间的动摩擦因数均为μ=0.1,重力加速度大小取g=10 m/s2。

(1)若0 (2)若k=0.5,从碰撞后到新物块与新滑板相对静止时,求两者相对位移的大小。
答案　(1)见解析　(2)1.875 m
解析　(1)取向右为正方向
C、D相碰后的共同速度为vCD
C、D系统碰撞前后遵守动量守恒定律
mCv0-mDkv0=(mC+mD)vCD
代入数值后得vCD=5(1-k) m/s
00,即C、D构成的新物块速度向右
A、B相碰后的共同速度为vAB
A、B系统碰撞前后遵守动量守恒定律
mAv0-mBkv0=(mA+mB)vAB
代入数值后得vAB=103(1-2k) m/s
00,vAB>0,即A、B构成的新滑板速度向右
(2)若k=0.5,根据(1)可知v=vCD=2.5 m/s,vAB=0。之后C、D一起向右做匀减速运动,A、B一起向右做初速度为0的匀加速运动,直到两者达到共同速度v共
由A、B、C、D系统动量守恒得:
(mC+mD)v=(mA+mB+mC+mD)v共
v共=1 m/s
设新物块在新滑板上滑动的相对位移的大小为Δx
对A、B、C、D系统,根据系统能量守恒可得:
μ(mC+mD)gΔx=12(mC+mD)v2-12(mA+mB+mC+mD)v共2
代入数值可得Δx=1.875 m
7.(2022山东,18,16分)如图所示,“L”形平板B静置在地面上,小物块A处于平板B上的O'点,O'点左侧粗糙,右侧光滑。用不可伸长的轻绳将质量为M的小球悬挂在O'点正上方的O点,轻绳处于水平拉直状态。将小球由静止释放,下摆至最低点与小物块A发生碰撞,碰后小球速度方向与碰前方向相同,开始做简谐运动(要求摆角小于5°),A以速度v0沿平板滑动直至与B右侧挡板发生弹性碰撞。一段时间后,A返回到O点的正下方时,相对于地面的速度减为零,此时小球恰好第一次上升到最高点。已知A的质量mA=0.1 kg,B的质量mB=0.3 kg,A与B间的动摩擦因数μ1=0.4,B与地面间的动摩擦因数μ2=0.225,v0=4 m/s,取重力加速度g=10 m/s2。整个过程中A始终在B上,所有碰撞时间忽略不计,不计空气阻力,求:

(1)A与B的挡板碰撞后,二者的速度大小vA与vB;
(2)B光滑部分的长度d;
(3)运动过程中A对B的摩擦力所做的功Wf;
(4)实现上述运动过程,MmA的取值范围(结果用cos 5°表示)。
答案　(1)2 m/s　2 m/s　(2)76 m　(3)-365 J
(4)见解析
解析　(1)A与B发生弹性碰撞,mA 12mAv02=12mAvA2+12mBvB2
解得vA=2 m/s,vB=2 m/s
(2)与挡板碰前A向右匀速运动时,B静止不动,与挡板碰后,A先向左匀速运动,后向左做匀减速运动,A未减速时B的加速度大小满足
μ2(mA+mB)g=mBaB
解得aB=3 m/s2
A减速时加速度大小为aA=μ1mAgmA=4 m/s2
经过分析,A和B碰撞后运动的v-t图像如图所示,设碰后A匀速运动的时间为t2,减速运动的时间为t3,则有t3=vAaA=0.5 s

A减速运动的位移大小x3=vA2t3=0.5 m
根据题意,x3为减速阶段的位移,即A开始减速时O'已向右移动了0.5 m,则有vBt2-12aBt22=0.5 m
解得t2=13 s(另一解舍去)
故B光滑部分长度d=vAt2+x3=76 m
(3)A、B碰后经过时间t2后A和B之间有摩擦力,刚有摩擦力时B的速度为vB'=vB-aBt2=1 m/s
B的加速度满足μ1mAg+μ2(mA+mB)g=mBaB'
解得aB'=133 m/s2
B在此后减速运动的位移xB满足2(-aB')xB=0-vB'2
解得xB=326 m
A对B的摩擦力所做的功为Wf=-μ1mAgxB=-365 J
(4)设A在光滑区向右滑动的时间为t1,在粗糙区运动的时间为t3,水平向右为正方向,单摆的摆长为L,周期为T,小球与A碰前速度为v,碰后速度为v'
由运动学公式得
t1=dv0
由题意知T=4(t1+t2+t3)
代入数据得T=4.5 s
由机械能守恒定律得MgL=12Mv2
由动量守恒定律得Mv=Mv'+mAv0
由题意得v'>0
由单摆做简谐运动的条件得
MgL(1-cos 5°)>12Mv'2
由碰撞过程的能量关系得
12Mv2≥12Mv'2+12mAv02
由T=2πLg,并联立以上各式得
42π45 8.(2022河南平顶山二调,24)如图所示,质量为m的物块A在光滑的水平面上以一定的速度向右滑行,质量为2m的圆弧体静止在光滑水平面上,光滑圆弧面最低点与水平面相切,圆弧的半径为R,圆弧所对的圆心角θ=53°,物块滑上圆弧体后,刚好能滑到圆弧体的最高点,重力加速度为g,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6,不计空气阻力。

(1)求物块在水平面上滑行的速度大小。
(2)若将圆弧体锁定,物块仍以原来的速度向右滑行并滑上圆弧体,求物块从圆弧面上滑出后上升到最高点的速度大小及最高点离水平面的高度。
答案　(1)65gR　
(2)3525gR　66125R
拓展二　应用力学三大观点解决综合问题
1.(2020浙江7月选考,20,12分)小明将如图所示的装置放在水平地面上,该装置由弧形轨道、竖直圆轨道、水平直轨道AB和倾角θ=37°的斜轨道BC平滑连接而成。质量m=0.1 kg的小滑块从弧形轨道离地高H=1.0 m处静止释放。已知R=0.2 m,LAB=LBC=1.0 m,滑块与轨道AB和BC间的动摩擦因数均为μ=0.25,弧形轨道和圆轨道均可视为光滑,忽略空气阻力,g取10 m/s2。
(1)求滑块运动到与圆心O等高的D点时对轨道的压力;
(2)通过计算判断滑块能否冲出斜轨道的末端C点;
(3)若滑下的滑块与静止在水平直轨道上距A点x处的质量为2m的小滑块相碰,碰后一起运动,动摩擦因数仍为0.25,求它们在轨道BC上到达的高度h与x之间的关系。
(碰撞时间不计,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)

答案　(1)8 N　方向水平向左　(2)见解析
(3)h=16x−548(58 m 解析　(1)机械能守恒定律mgH=mgR+12mvD2
牛顿第二定律FN=mvD2R=8 N
牛顿第三定律FN'=FN=8 N,方向水平向左
(2)能在斜轨道上到达的最高点为C'点,功能关系
mgH=μmgLAB+μmgLBC' cos θ+mgLBC' sin θ
得LBC'=1516 m<1.0 m,故不会冲出
(3)滑块运动到距A点x处的速度为v,动能定理
mgH-μmgx=12mv2
碰撞后的速度为v',动量守恒定律mv=3mv'
设碰撞后两滑块滑到斜轨道的高度为h,动能定理
-3μmg(LAB-x)-3μmgℎtanθ−3mgℎ=0−12(3m)v'2
得h=16x−548 m(58 m h=0(0≤x≤58 m)
2.(2022湖北,16,16分)打桩机是基建常用工具。某种简易打桩机模型如图所示,重物A、B和C通过不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑的等高小定滑轮连接,C与滑轮等高(图中实线位置)时,C到两定滑轮的距离均为L。重物A和B的质量均为m,系统可以在如图虚线位置保持静止,此时连接C的绳与水平方向的夹角为60°。某次打桩时,用外力将C拉到图中实线位置,然后由静止释放。设C的下落速度为3gL5时,与正下方质量为2m的静止桩D正碰,碰撞时间极短,碰撞后C的速度为零,D竖直向下运动 L10 距离后静止(不考虑C、D再次相碰)。A、B、C、D均可视为质点。

(1)求C的质量;
(2)若D在运动过程中受到的阻力F可视为恒力,求F的大小;
(3)撤掉桩D,将C再次拉到图中实线位置,然后由静止释放,求A、B、C的总动能最大时C的动能。
答案　(1)3m　(2)132mg　(3)2(2-3)mgL
3.(2019课标Ⅲ,25,20分)静止在水平地面上的两小物块A、B,质量分别为mA=1.0 kg,mB=4.0 kg;两者之间有一被压缩的微型弹簧,A与其右侧的竖直墙壁距离l=1.0 m,如图所示。某时刻,将压缩的微型弹簧释放,使A、B瞬间分离,两物块获得的动能之和为Ek=10.0 J。释放后,A沿着与墙壁垂直的方向向右运动。A、B与地面之间的动摩擦因数均为μ=0.20。重力加速度取g=10 m/s2。A、B运动过程中所涉及的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。

(1)求弹簧释放后瞬间A、B速度的大小;
(2)物块A、B中的哪一个先停止?该物块刚停止时A与B之间的距离是多少?
(3)A和B都停止后,A与B之间的距离是多少?
答案　(1)4.0 m/s　1.0 m/s　(2)B先停　0.50 m　(3)0.91 m
4.(2020山东,18,16分)如图所示,一倾角为θ的固定斜面的底端安装一弹性挡板,P、Q两物块的质量分别为m和4m,Q静止于斜面上A处。某时刻,P以沿斜面向上的速度v0与Q发生弹性碰撞。Q与斜面间的动摩擦因数等于tan θ,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。P与斜面间无摩擦,与挡板之间的碰撞无动能损失。两物块均可以看作质点,斜面足够长,Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞。重力加速度大小为g。

(1)求P与Q第一次碰撞后瞬间各自的速度大小vP1、vQ1;
(2)求第n次碰撞使物块Q上升的高度hn;
(3)求物块Q从A点上升的总高度H;
(4)为保证在Q的速度减为零之前P不会与之发生碰撞,求A点与挡板之间的最小距离s。
答案　(1)35v0　25v0　(2)725n−1·v0225g(n=1,2,3…)　(3)v0218g　(4)(87−13)v02200gsinθ
应用篇
模型一　应用动量定理知识解决流体问题
1.(2021福建,4,4分)福建属于台风频发地区,各类户外设施建设都要考虑台风影响。已知10级台风的风速范围为24.5 m/s~28.4 m/s,16级台风的风速范围为51.0 m/s~56.0 m/s。若台风迎面垂直吹向一固定的交通标志牌,则16级台风对该交通标志牌的作用力大小约为10级台风的(　　)
A.2倍　　　B.4倍　　　C.8倍　　　D.16倍
答案　B　
2.(2022安徽合肥八中模拟,3)平底煎锅正在炸豆子。假设每个豆子的质量均为m,弹起的豆子均垂直撞击平板锅盖,撞击速度均为v。每次撞击后速度大小均变为23v,撞击的时间极短,发现质量为M的锅盖刚好被顶起。重力加速度为g,则单位时间撞击锅盖的豆子个数为(　　)

A.3Mg5mv　　　B.2Mg5mv　　　C.2Mg3mv　　　D.3Mg2mv
答案　A　
3.(2019北京理综,24,20分)雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒,这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关。雨滴间无相互作用且雨滴质量不变,重力加速度为g。
(1)质量为m的雨滴由静止开始,下落高度h时速度为u,求这一过程中克服空气阻力所做的功W。
(2)将雨滴看作半径为r的球体,设其竖直落向地面的过程中所受空气阻力f=kr2v2,其中v是雨滴的速度,k是比例系数。
a.设雨滴的密度为ρ,推导雨滴下落趋近的最大速度vm与半径r的关系式;
b.示意图中画出了半径为r1、r2(r1>r2)的雨滴在空气中无初速下落的v-t图线,其中　　　　对应半径为r1的雨滴(选填①、②);若不计空气阻力,请在图中画出雨滴无初速下落的v-t图线。 

(3)由于大量气体分子在各方向运动的几率相等,其对静止雨滴的作用力为零。将雨滴简化为垂直于运动方向面积为S的圆盘,证明:圆盘以速度v下落时受到的空气阻力f∝v2(提示:设单位体积内空气分子数为n,空气分子质量为m0)。
答案　(1)mgh-12mu2　(2)a.vm=4πρg3kr
b.①　图见解析　(3)见解析
解析　(1)根据动能定理mgh-W=12mu2(2分)
(由于空气阻力未知,故只能从功和能量转化角度分析解决问题)
可得W=mgh-12mu2(1分)
(2)a.根据牛顿第二定律有mg-f=ma(2分)
得a=g-kr2v2m
当加速度为零时,雨滴趋近于最大速度vm
(当空气阻力等于重力时,雨滴速度最大)
雨滴质量m=43πr3ρ(2分)
由a=0,可得(2分)
雨滴最大速度vm=4πρg3kr(1分)
b.由vm=4πρg3kr可知,①对应半径为r1的雨滴。所作v-t图线如图1。(2分)
(由于r1>r2,故vm1>vm2)

图1
(2分)
(不计空气阻力,雨滴做自由落体运动,图线是一条倾斜的直线)
(3)根据题设条件:大量气体分子在各方向运动的几率相等,其对静止雨滴的作用力为零。以下只考虑雨滴下落的定向运动。
简化的圆盘模型如图2,设空气分子与圆盘碰撞前后相对速度大小不变。在Δt时间内,与圆盘碰撞的空气分子质量为Δm=SvΔtnm0(2分)
(一定要有必要的文字表述)

图2
以F表示圆盘对气体分子的作用力,根据动量定理,
有FΔt∝Δm×v(2分)
得F∝nm0Sv2(1分)
由牛顿第三定律,可知圆盘所受空气阻力f∝v2(1分)
(一定要有牛顿第三定律的文字表述,不能忽略)
(采用不同的碰撞模型,也可得到相同的结论)
模型二　动量守恒中的临界模型
1.(2022河北廊坊期末,9)(多选)水平冰面上有一固定的竖直挡板。一滑冰运动员面对挡板静止在冰面上,他把一质量为4.0 kg的静止物块以大小为5.0 m/s的速度沿与挡板垂直的方向推向挡板,运动员获得退行速度;物块与挡板发生弹性碰撞,速度反向,追上运动员时,运动员又把物块推向挡板,使其再一次以大小为5.0 m/s的速度与挡板发生弹性碰撞。总共经过8次这样推物块后,运动员退行速度的大小大于5.0 m/s,反弹的物块不能再追上运动员。不计冰面的摩擦力,该运动员的质量可能为(　　)
A.48 kg　　　B.53 kg
C.58 kg　　　D.63 kg
答案　BC　
2.(2021湖南,8,5分)(多选)如图(a),质量分别为mA、mB的A、B两物体用轻弹簧连接构成一个系统,外力F作用在A上,系统静止在光滑水平面上(B靠墙面),此时弹簧形变量为x。撤去外力并开始计时,A、B两物体运动的a-t图像如图(b)所示,S1表示0到t1时间内A的a-t图线与坐标轴所围面积大小,S2、S3分别表示t1到t2时间内A、B的a-t图线与坐标轴所围面积大小。A在t1时刻的速度为v0。下列说法正确的是(　　)

图(a)

图(b)
A.0到t1时间内,墙对B的冲量等于mAv0
B.mA>mB
C.B运动后,弹簧的最大形变量等于x
D.S1-S2=S3
答案　ABD　
3.(2022山西二模,14)如图所示,固定在轻弹簧两端的物体B、C置于光滑的水平面上,C靠在固定挡板上,物体A以水平向右的速度v0=3 m/s与B正碰并瞬间粘在一起,一段时间后C离开挡板。已知A、B、C的质量分别为mA=1 kg,mB=2 kg,mC=3 kg,求:

(1)A与B刚刚碰撞后的速度大小v1;
(2)从A与B刚刚碰撞后到C刚离开挡板的过程中,求挡板对C的冲量I;
(3)C离开挡板后,弹簧具有的最大弹性势能Ep。
答案　(1)1 m/s　(2)6 N·s,方向水平向左
(3)0.75 J
4.(2022全国乙,25,20分)如图(a),一质量为m的物块A与轻质弹簧连接,静止在光滑水平面上;物块B向A运动,t=0时与弹簧接触,到t=2t0时与弹簧分离,第一次碰撞结束,A、B的v-t图像如图(b)所示。已知从t=0到t=t0时间内,物块A运动的距离为0.36v0t0。A、B分离后,A滑上粗糙斜面,然后滑下,与一直在水平面上运动的B再次碰撞,之后A再次滑上斜面,达到的最高点与前一次相同。斜面倾角为θ(sin θ=0.6),与水平面光滑连接。碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内。求

图(a)

图(b)
(1)第一次碰撞过程中,弹簧弹性势能的最大值;
(2)第一次碰撞过程中,弹簧压缩量的最大值;
(3)物块A与斜面间的动摩擦因数。
答案　(1)0.6mv02　(2)0.768v0t0　(3)0.45