内蒙古海拉尔第一中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学（文）试题

这是一份内蒙古海拉尔第一中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学（文）试题，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年度高中数学期末考试卷高二数学（文科） 第I卷（选择题）一、单选题1．有诗云：“芍药承春宠，何曾羡牡丹”，芍药不仅观赏性强，且具有药用价值，某地以芍药为主打造了一个如图所示的花海大世界，其中大圆半径为3，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的.若在其中空白部分种植红芍.倘若你置身此花海大世界之中，则恰好处在红芍种植区中的概率是（    ）  A． B． C． D．2．魏晋时期数学家刘徽（图a）为研究球体的体积公式，创造了一个独特的立体图形“牟合方盖”，它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一圆柱的侧面上．如图，将两个底面半径为1的圆柱分别从纵横两个方向嵌入棱长为2的正方体时（如图b），两圆柱公共部分形成的几何体（如图c）即得一个“牟合方盖”，图d是该“牟合方盖”的直观图（图中标出的各点A，B，C，D，P，Q均在原正方体的表面上）．由“牟合方盖”产生的过程可知，图d中的曲线PBQD为一个椭圆，则此椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．3．已知函数的图象在点处的切线经过点，则实数（    ）A． B． C．1 D．24．为了保障广大人民群众的身体健康，在新冠肺炎疫情防控期间，有关部门对辖区内家药店所销售的、两种型号的口罩进行了抽检，每家药店抽检包口罩（每包只），家药店中抽检的、型号口罩不合格数（Ⅰ、Ⅱ）的茎叶图如图所示，则下列描述不正确的是（    ）A．估计型号口罩的合格率小于型号口罩的合格率B．Ⅰ组数据的众数大于Ⅱ组数据的众数C．Ⅰ组数据的中位数大于Ⅱ组数据的中位数D．Ⅰ组数据的方差大于Ⅱ组数据的方差5．已知p：，q：表示椭圆，则p是q的（    ）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件6．已知命题，，命题，，则下列命题中为真命题的是（    ）A． B． C． D．7．以下说法错误的是（    ）A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B．“”是“”的充分不必要条件C．命题，使得，则，则D．若为真命题，则、均为真命题8．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，该双曲线过点，则该双曲线的右焦点到渐近线的距离为（    ）A． B． C． D．9．已知函数，执行如图所示的程序框图，若输出的k的值为6，则判断框中t的值可以为（    ）A． B． C． D．10．已知椭圆的右焦点为，点在上，点到直线的距离为，则（    ）A． B． C． D．11．1．某俱乐部有三位男性和三位女性，其中有两对夫妻，还有两人单身.这个俱乐部有个特别的规定：已婚人士讲假话，而未婚人士讲真话，且会用“噢”和“嗳”代替是或否的回答.一位新加入的成员向他们打听，了解到下面的事实：①他问A先生：“B先生和D女士是一对夫妻吗？”A先生回答：“噢”.②他问E女士：“你是否嫁给了A先生？”E女士回答：“噢”.③他问C先生：“你与F女士是一对夫妻吗？”C先生回答：“嗳”.已知该问题有唯一的答案，则单身的两人是（    ）A．B先生和D女士 B．B先生和E女士C．A先生和E女士 D．A先生和D女士12．设椭圆的离心率为，焦点在轴上且长轴长为26，若曲线上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线的标准方程为（    ）A． B．C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题13．某文艺晩会由乐队28人，歌舞队21人，曲艺队14人组成，需要从这些人中抽取一个容量为的样本进行试彩排．如果抽到歌舞队和曲艺队的人数之和为10，则参加试彩排的人数_________．14．曲线在点处的切线与坐标轴围成的面积为________．15．已知命题，使得“成立”为真命题，则实数a的取值范围是__________．16．已知抛物线，焦点到准线的距离为，若点在抛物线上，且，则点的纵坐标为__________． 三、解答题17．设函数，其中．(1)当时，求在区间上的最大值与最小值；(2)求函数的单调递增区间．18．已知抛物线，其准线方程为．(1)求抛物线的方程；(2)不过原点的直线与抛物线交于不同的两点，且，求的值．19．已知点P是椭圆上的一点，和分别为左右焦点，焦距为6，且过.(1)求椭圆的标准方程；(2)若动直线l过与椭圆交于A、B两点，求的周长.20．在直角坐标系中，直线经过定点，倾斜角为．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求的极坐标方程和的直角坐标方程；（2）设与的交点为，，求的面积．21．已知双曲线C过点,.(1)求双曲线C的标准方程;(2)已知,过点的直线l与双曲线C交于不同两点M、N,设直线AM、AN的斜率分别为、,求证:为定值.22．为了研究高二阶段男生、女生对数学学科学习的差异性，在高二年级所有学生中随机抽取25名男生和25名女生，计算他们高二上学期期中、期末和下学期期中、期末的四次数学考试成绩的各自的平均分，并绘制成如图所示的茎叶图．（1）请根据茎叶图判断，男生组与女生组哪组学生的数学成绩较好？请用数据证明你的判断；（2）以样本中50名同学数学成绩的平均分x0(79.68分)为分界点，将各类人数填入如下的列联表：分数性别高于或等于x0低于x0合计男生   女生   合计   （3）请根据（2）中的列联表，判断能否有99%的把握认为数学学科学习能力与性别有关？附：K2=P（K2≥k0）0.0500.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828 23．按国家规定，某型号运营汽车的使用年限为8年．某二手汽车交易市场对2018年成交的该型号运营汽车交易前的使用时间进行统计，得到频率分布直方图如图．使用时间x12345平均交易价格y2523201817（1）记事件：“在2018年成交的该型号运营汽车中，随机选取1辆，该车的使用年限不超过4年”，试估计事件的概率；（2）根据该二手汽车交易市场的历史资料，得到如表，其中（单位：年）表示该型号运营汽车的使用时间，（单位：万元）表示相应的平均交易价格．由表提供的数据可以看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并预测该型号运营汽车使用7年的平均交易价格．相关公式：，．
参考答案：1．C【分析】由圆的面积公式结合几何概型的概率公式求解.【详解】由已知得：大圆的面积为，小圆的面积为.所以空白部分的面积为.设“恰好处在红芍种植区中”为事件，则.故选：C2．A【分析】根据“牟合方盖”产生的过程，将图中正方体的前面的面旋转至上面，易得椭圆的长轴长为，短轴长为求解，利用离心率公式计算.【详解】由“牟合方盖”产生的过程可知，将图中正方体的前面的面旋转至上面，可得图中标出的各点，，，，在原正方体中相对对应的位置为如图所示．故图中的曲线所对应的椭圆的长轴长，短轴长，于是可得此椭圆的半焦距，因此离心率．故选：A3．B【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程进行求解即可.【详解】，所以有，所以切线方程为，把代入，得，故选：B4．D【分析】根据茎叶图中的数据计算出两种型号口罩的合格率，可判断A选项的正误；求出两组数据的众数，可判断B选项的正误；求出两组数据的中位数，可判断C选项的正误；利用排除法可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，由茎叶图可知，型号口罩的不合格数为，型口罩的不合格数为，型号口罩的合格率为，型口罩的合格率为，所以，型口罩的合格率小于型口罩的合格率，A选项正确；对于B选项，Ⅰ组数据的众数为，Ⅱ组数据的众数，B选项正确；对于C选项，Ⅰ组数据的中位数为，Ⅱ组数据的，C选项正确；由排除法可知D选项不正确.故选：D.【点睛】本题考查茎叶图的应用，考查众数、中位数、以及方差的大小比较，考查数据分析能力，属于基础题.5．C【分析】由椭圆方程的定义化简命题，根据充分条件和必要条件的定义即可判断结论.【详解】若方程表示椭圆，则，解得或，故：或，又p：，所以p是q的必要不充分条件，故选：C.6．D【分析】由指数函数和对数函数性质判断命题的真假，再判断或且非命题的真假.【详解】由指数函数性质可知，恒成立，命题为假命题；由对数函数性质可知，时，，命题为真命题.则为假命题；为假命题；为假命题；为真命题.故选：D7．D【分析】根据逆否命题、充分条件与必要条件、特称命题的否定以及复合命题的概念逐一判断四个选项即可.【详解】命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，故A正确；当时，，而方程的解是或，故“”是“”的充分不必要条件，故B正确；命题，使得的否定形式为：，则，故C正确；命题和中只要有一个为真命题，命题即为真命题，所以：当为真命题，只需、中至少有一个是真命题即可，故D错误.故选：D.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查基础知识的掌握与理解，属于常考题.8．D【分析】根据渐近线的倾斜角求出，再根据双曲线过点求出，再根据点到直线的距离公式可求出结果.【详解】因为一条渐近线的倾斜角为，所以斜率为，所以，该渐近线为，即，因为该双曲线过点，所以，将代入得，得，，，，所以，右焦点到渐近线的距离为.故选：D9．B【分析】模拟程序框图的运行过程，求解即可.【详解】第一次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；第五次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件，此时；第六次执行循环体后，，，满足退出循环的条件，此时；所以故选：B10．B【分析】由椭圆的右焦点为求得的值，得出椭圆方程，设，点到直线的距离为求得，代入椭圆方程求出，利用两点间距离可求得答案.【详解】已知椭圆的右焦点为，则，故椭圆，设，点到直线的距离为，则，解得或，当时，，由题意得，即，此方程无解；当时，，由题意得，即，则，综上，.故选：B.11．B【分析】由题意确定流程图的功能，然后计算其输出值即可.【详解】运行程序，不满足，，，不满足，，，不满足，，，不满足，，，不满足，，，满足，利用裂项求和得： .故选：B.12．A【分析】根据椭圆和双曲线中的关系，结合双曲线定义可解.【详解】在椭圆中，由题知，解得，所以椭圆的焦点为，，因为曲线上的点到，的距离的差的绝对值等于8，且，所以曲线是以，为焦点，实轴长为8的双曲线，所以曲线的虚半轴长为，故的标准方程为：.故选：A.13．18【分析】根据分层抽样的定义可得，求解即可.【详解】根据分层抽样的定义可得：，解得.故答案为：1814．1【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，分别令、可得答案.【详解】由题意可知，，，∴切线方程为，即，令得；令得，∴曲线在点处的切线与坐标轴围成的面积为.故答案为：1.15．【分析】由特称命题的真假分类讨论求解参数的取值范围即可.【详解】因为命题，使得“成立”为真命题，当时，，则，故成立；当时，，解得：；当时，总存在；综上所述：实数a的取值范围为.故答案为：16．【分析】由抛物线的焦点到准线的距离为求出的值，可得出抛物线的准线方程，再利用抛物线的定义可求得点的纵坐标.【详解】抛物线的标准方程为，其焦点为，准线方程为，抛物线的焦点到准线的距离为，则，可得，所以，抛物线的标准方程为，其准线方程为，设点，由抛物线的定义可得，解得.故答案为：.17．(1)，(2) 【分析】（1）利用导数可确定在上的单调性，进而确定最值点和最值；（2）求导后，根据的两根可确定的解集，由此可得单调递增区间.【详解】（1）当时，，，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，又，，，，.（2）由题意知：定义域为，；令，解得：或；，，当时，，的单调递增区间为.18．(1)(2) 【分析】（1）由抛物线的准线方程求出，可得抛物线的方程；（2）设，联立直线和抛物线的方程，消元写出韦达定理，将用坐标表示，代入韦达定理化简计算，可得的值．【详解】（1）准线为，，抛物线的方程为；（2）设，联立，得，，得，则，因为，则，则，即，或，经检验，当时，直线过坐标原点，不合题意，又，符合题意；综上，m的值为．19．(1)(2)20 【分析】（1）根据焦距可求，根据所过点可求，进而得到方程；（2）利用椭圆的定义可得的周长为，代入可得答案.【详解】（1）设焦距为，由，得，又椭圆过，∴，得，∴椭圆的标准方程为；（2）动直线l过与椭圆交于A、B两点，∴，，∴，∴的周长为20.  20．（1），；（2）．【分析】（1）先求直线的普通方程，将，，代入即可求解；（2）利用圆的弦长公式求得，圆心到直线的距离，代入面积公式求解.【详解】（1）直线的斜率，直线的直角坐标方程：为．因为，，所以直线的极坐标方程．圆的直角坐标方程为，即．（2）圆心到直线的距离，利用弦长公式求得，则的面积.【点睛】关键点点睛：本题考查极坐标方程和普通方程的互化，及利用直线与圆相交求弦长，面积，解题的关键是利用几何法求圆的弦长进而求得面积，属于基础题.21．(1)(2)证明见解析 【分析】(1)设双曲线C的方程为,将,代入求解即可;(2)由题意易得直线l的斜率存在,设,,直线l的方程为,联立直线与双曲线方程,化简的式子,结合韦达定理即可求出结果.【详解】（1）设双曲线C的方程为,将,代入上式得:,解得,双曲线C的方程为.（2）设,,由题意易得直线l的斜率存在,设直线l的方程为,代入整理得,,,,且,则,故为定值.22．（1）男生组数学成绩比女生组数学成绩好．证明略（2）见解析；（3）没有99%的把握认为男生和女生对数学学习具有明显的差异．【分析】（1）根据男生成绩分布在的较多，其他分布关于茎具有初步对称性；女生成绩分布在的较多，其它分布茎70具有初步对称性，因此可判定男生成绩比女生成绩较好；（2）计算样本50个数据的平均值为，依次为分界点，将各类人数填入列联表即可；（3）根据公式，计算出的值，结合临界值表，即可得到结论．【详解】解：（1）男生组数学成绩比女生组数学成绩好．理由如下：①由茎叶图可知：男生成绩分布在的较多，其它分布关于茎80具有初步对称性；女生成绩分布在的较多，其它分布关于茎70具有初步对称性．因此男生成绩比女生成绩较好．②由茎叶图可知：男生组25人中，有17人（占68%）超过80分，女生组25人中，只有8人（占32%）超过80分，因此男生组成绩比女生组成绩好．③由茎叶图可知：男生组成绩的中位数是85分，女生组成绩的中位数是75分，85＞75，由此初步判定男生组成绩比女生组成绩好．④用茎叶图数据估计：男生组成绩的平均分是83．4，女生组成绩的平均分是75.96分，因此男生组成绩比女生组成绩高．或者，由茎叶图直观发现，男生平均成绩必然高于80分，女生平均成绩必然低于80分，可以判断男生成绩高于女生成绩．（2）计算样本50个数据的平均值为，以此为分界点，将各类人数填入列联表如下：分数性别高于或等于0低于合计男生17825女生81725合计252550（3）计算得，所以没有99%的把握认为男生和女生对数学学习具有明显的差异．（或者回答为：没有充足的证据表明男生和女生对数学学习具有明显的差异．）【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用，其中解答中认真审题，根据独立性检验的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．23．（1）0.6；（2）；12.2万元．【分析】（1）直接由频率分布直方图求频率，以频率估计事件的概率；（2）由表2，与的值，得到线性回归方程，当时，求得，则答案可求．【详解】（1）由频率分布直方图可知，在2018年成交的该型号运营汽车的使用年限不超过4年的频率为：，∴估计事件的概率为；（2）由表2，可得，，且，，∴，，∴．当时，．所以该型号运营汽车使用7年的平均交易价格为12.2万元．【点睛】本题主要考查了频率分布直方图应用，以及线性回归方程的求法，其中解答中熟记频率分布直方图的相关知识，以及利用公式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．