奥数三年级下册 第9讲：巧填数阵 教案

（ 三年级 ）                                         备课教员：***

第九讲  巧填数阵

一、教学目标：

知识目标

1. 掌握数阵图的基本特征。

2. 按要求填出数阵。

能力目标

1. 使学生掌握解答有趣的数阵图的方法。

2. 培养学生的逻辑思维能力和推理能力，以及联

   想、试探归纳等思维能力。

情感目标

   养成面对陌生问题能自主探索、研究的良好习惯，并且在交流过程中不断完善，提高自己分析解决问题的能力。

二、教学重点：

找出数阵中行或列的规律或递推关系。

三、教学难点：

寻找解题突破口。

四、教学准备：

PPT

五、教学过程：

第一课时（50分钟）

一、导入（5分)

【设计意图：利用情景寻宝的故事导入到新课，激发学生学习的兴趣。】

师：上课前老师要给大家讲一个故事，故事是这样的。

师：数学课上博士拿出一个奇怪的盒子，神秘兮兮地说：这是我前段时间无意

    中发现的一个古代藏宝箱，你们想知道里面是什么吗？

生：想。

师：但是这个宝箱的外面有一个密码锁，想要获得宝物就必须要在规定的时间

    内打开它，大家想要试一试吗？

生：想。（课件出示宝箱）

师：宝箱要求“把1、2、3、4、5这五个数填入小圆圈中，使每条线上的数字

    之和与圆周上的数字之和都相等，这样宝箱才能够打开。”

师：大家试一试吧。

生：（学生尝试）

师：（1分钟内）好多同学都想不出来是不是？其实这样用一些数按照一定的

规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为“数阵图”

相信学习了今天内容，你一定可以解决这个问题。

【探究新知，引入新课：
　　巧填数阵是一讲新的内容学习，在教师在讲解时要多加注意。】

【板书课题：巧填数阵】

二、探索发现授课（40分）

（一）例题1：（10分）

    请你将1—9这九个数字填入下图的小圆圈中，使得每条线上的数字之和都相等。

讲解重点：确定三个数字的和以及中间数。

师：如果让你们先写一个数，你们会从哪里着手呢？

生：中间数！

师：没错，我们知道只有确定了中间数，剩下的数才好填一点。一共有九个数，

    它们的和大家知道是多少吗？

生：用1+2+3+4+…+9=45。

师：要求每行、每列以及两条对角线上的3个数的和都相等。我们先分析横行，

    你们知道一横行三数字之和是多少吗？

生：15。1到9的数字和是45，那么因为每个横行的数字和是相等的，因此，

    只要用45÷3=15。

师：非常正确！我们知道了三个数字相加的和是15，那么，在这九个数字之中，

你能找到几组三个数字相加和是15的式子？和小组的伙伴们试一试，看看

哪一组找得最快！

生：我们找到了这八组算式9+5+1、9+4+2、8+6+1、8+5+2、8+4+3、7+6+2、7+5+3、

    6+5+4。

师：只有这八组吗？还有没有其他的？可别漏了啊。

生：……

师：看样子就只有这些可能了，你们觉得老师把这些式子列出来干什么呢？

生：将式子中的数字对应的填入格子中。

师：你们觉得，应该怎么将数字对应的填入格子中呢？你们发现了什么？

生1：在这些式子中，5出现的次数最多，有4次。

生2：2、4、6、8出现了3次！

师：同学们已经找到最关键的一点了，我们观察完式子，再看看这个方格，你

    能发现什么？

生：正中间的数字一共用了4次，四个顶点上的数字用了3次……

师：听到这位同学说出了的数字，你们想到了什么？

生：算式中5出现了4次，正中央的圆圈中的的数字用了4次，可以确定，正

    中央应该填上5。

师：知道了中间数是5，每条直线上的数的和是15，你知道怎么填其它的数吗？

生：用直线上数的和减去中间数的和，根据得数，找到相对应的两个数，那两

   个数的和就是这个得数。

师：没错，那么你们都得出最后的答案了吗？

生：得出了！

师：说得非常好！根据这个方法，试一试，你会怎么填？

板书：

（答案不唯一）

练习1：（5分）

    把2、4、6、7、8、10分别填入空格，使每行、每列、对角线三个数之和均为18。

分析：

   根据每行、每列、两条对角线上的3个数的和是18，可知第一行中间数为

18-9-5=4，右边数列中间数为18-5-3=10。中间数为18-9-3=6。再根据前面条件把剩下的数填入小方框内即可。

板书：

（二）例题2：（10分）

     将2、4、6、8、10、12、14七个数填入下面的小圆圈中，使每一个大圆上四个数的和都等于32。

讲解重点：确定两组数中间相同的数字。

师：仔细观察，你有哪些发现？

生：这图中一共会有2个算式，两个算式中都是4个数相加，而且四个数的和

    都等于32。

师：很好，如果让大家去填，你们会先填写哪个数？

生：中间的那个。

师：通过观察我们可以知道中间有一个数字是重叠了的，这个数应该怎么求呢？

生：因为每个大圆上的四个数的和是32，所以中间重叠的小圆圈内的数字应该

    是两个32的和减去前面所有的数字之和。

师：列式怎么计算呢，是多少？

生：中间重叠的小圆圈内的数字是32×2-（2+4+6+8+10+12+14）=8。

师：知道了中间的数是8，两边的数字应该怎么填写呢？

生：先确定其他三个小圆圈内数的和。

师：是多少？

生：因为大圆上四个数的和都等于32，其他三个小圆圈内的数的和就为32-8=24。

师：然后呢？

生：把2、4、6、10、12、14这6个数分成2组，每组的和为24，再分别填写

    进圆圈里。

师：填一填吧。

板书：

（答案不唯一）

练习2：（5分）

    将数字1-6填入下图中的小圆圈内，使每个大圆上的四个数的和都是15。

分析：

     每个大圆上的四个数的和是15，所以中间重叠的两个小圆圈内的数字和应该是15×2-（1+2+3+4+5+6）=9，所以每个大圆上的其他两个小圆圈内的数的和是15-9=6，可知中间两个数分别3和6，然后将剩下的1、2、4、5这4个数分成2组，每组的和为6。

板书：

  （答案不唯一）

三、小结：（5分）

师：学习了这堂课，大家还记得什么是数阵图吗？

生：用一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，

    我们称它为“数阵图”。

第二课时（50分）

一、复习导入（3分）

【设计意图：衔接上节课内容，承上启下】

师：现在大家会解决宝箱上面的密码了吗？

生：会。

师：好，现在我们就一起去把这个宝箱给打开吧，看看里面到底有什么样的宝

    贝？（再次出示宝箱）

生：学生解决问题。（获得奖励,提示学生答案不唯一）

师：看样子大家确实学习到了不少真本领，想不想和老师一起继续探索数阵的

    秘密呢？我们一起进入这节课的学习。

二、探索发现授课（42分）

（一）例题3：（10分）

     将1、2、3、4、5、6、7这七个数字填入小圆圈内，使每条线上的三个数的和相等。

讲解重点：利用假设法和排除法解决问题。

师：这里有告诉我们每条线上的数的和是多少吗？

生：没有。

师：所以可能会有很多种的不同解决问题的方法，大家要注意一下。

师：如果让同学们去解决这样的数阵问题，我们首先要找到什么？

生：中间数。

师：没错，中间这个数可以填几？

生：不知道。

师：试着填一填，你们用的是什么方法呢？

生：我先将1到7这7个数的和算出是28，这图中一共会有3个算式，三个算

式中都是3个数相加，因为中间的数重复加了2次，所以最后的和应该是3

的倍数，我算的是中间数是1，总和是30，每个算式的数字和是30除以3

得10，由此，我得出了我的答案。

师：你简直太棒了！这种方法很好，最重要的是要找出哪里的数？

生：中间圆内的数。

师：很好，同学们有没有注意到，刚刚这位同学说到3的倍数，你能解释一下，

    为什么最后的总和会是3的倍数？

生：因为每条直线上三个○里的数的和相等。

师：你们能理解吗？

生：能！

师：我们就一起来看一看，像这种问题，我们一般是采用什么样的方法解决的

呢？我们注意到，中间的数被重复的加了两次，假如中间的数是x，你会怎

么列式求总和？

生：1+2+3+4+5+6+7+2x

师：它的和有什么特点呢？

生：不知道。

师：因为每条直线上三个○里的数的和相等，所以能被3整除。

师：没错！那么刚刚这位同学已经将1到7的数字之和求出来为28，那么总

    和为多少时能被3整除呢？

生：30、33、36、39、42……

师：我们发现，可以得到很多数是可以被3整除的，那么到底取哪些数呢？你

    们会怎么筛选？

生：首先，x最大只能取7,2x最大是14，28+14=42能被3整除，也就是这几个

数最大的总和为42，最小的总和就是30，我们知道在30到42之间能被3

整除的数只有30、33、36、39和42。

师：分析的特别到位，首先我们要先确定总和的取值范围，在这些数中，最大

的是7，那么总和最大也只能是42，最小的情况是中间填1，总和就是30，

那么，在这30到42中的3的倍数，我们怎么选择呢？

生：2x一定是双数，总和与28的差也必须是能被2整除的，因此可以排除33

和39，最后，符合条件的就只有30、36、42，可以得出，中间的数可以是  

1、4、7。

师：同学们同意吗？如果不信，你们可以试一试，看看能不能做出来。后面怎

    么接着做呢？

生：将总和除以3，得的数就是每条直线上3个数的和。

师：知道了每条直线上的数的和，你知道怎么填其他的数吗？

生：将直线上数的和减去中间数的和，根据得数，找到相对应的两个数，那两

    个数的和就是这个得数。

师：没错，那么你们都得出最后的答案了吗？

生：得出了！

师：我们可以小结为解决这样的问题当中填入几个数的中间数或最大、最小的

    数，然后找出三对和相等的数，分别填入即可解决问题。

板书：

（答案不唯一）

练习3：（5分）

 将1、2、3、4、5五个数填入下面的方格里，使横行与竖行上的三个数的和相等。

分析：

   因为2+5=7、3+4=7，1+5=6、2+4=6，1+4=5、2+3=5，所以可知中间数可以是1、3、5，由此代入解答。

板书：

                                            （答案不唯一）

（二）例题4：（12分）

    将1到11这十一个数填入“六一”中的方框内，使相邻两个或三个方框内数的和都等于15。

讲解重点：找到重复计算的那个数，再解决问题。

师：仔细观察，我们想要解决这个问题，应该先填入哪个数？

生：重复计算的那个数。

师：计算重复的那个数应该怎么办？

生：用相邻的和的总和减去1+2+3+4+…+11的和就能够找到重复的数。

师：这11个数的总和是多少？

生：1+2+3+…+11=66。

师：所有相邻两个或三个方框内数的总和是多少？

生：用15×5=75。

师：重复的那个数是多少？

生：75-66=9，所以9是重复计算的那个数。

师：所以可以确定9的位置；根据相邻两个或三个方框内的数之和是15，我们

    就可以找到9上面的数字是多少？

生：用15-9=6，上面的数是6。

师：横着的3个数是多少呢?

生：用15-9=6，剩下的两个数的和就是6，因为1+5=6,2+4=6，所以不确定。

师：所以我们先解决单独的那些相邻两个或三个方框内数的和都等于15的方框，

   可以是哪些，自己试一试？

生：（学生尝试解答确定各个数的位置）。

板书：

（答案不唯一）

练习4：（5分）

将1到9这九个数填入“七一”中的方框内，使横行、竖行内的数之和都等于13。

分析：

    1+2+3+…+9=45，13×4=52,52-45=7，所以7是重复计算的两个数，根据1+6=7、2+5=7、3+4=7代入可以确定，两个数分别为1和6；再根据横行、竖行内的数之和都等于13，把13拆分成两个数、三个数或四个数的和，从而确定各个数的位置。

板书：

（答案不唯一）

例题5：（选讲）

     将2、3、4、5、6、7这6个数填入下图的圆圈中，使得每个三角形的顶点之和都相等。

讲解重点：用假设法解题。

师：解决这种问题，最重要的是要找出哪里的数？

生：重复的数。

师：很好，同学们有没有注意到，观察图形，我们可以知道每个三角形三个○

    里的数的和相等。所以我们可以知道最后的总和会是3的倍数。

师：你们能理解吗？

生：能！

师：很好，那我们就一起来看一看，像这种问题，我们一般是采用什么样的方

法解决的呢？可以注意到，有3个数被重复的加了两次，假设3个数的和

是a+b+c，你会怎么列式求总和？

生：2+3+4+5+6+7+a+b+c

师：它的和有什么特点呢？

生：能被3整除。

师：没错！那么刚刚这位同学已经将2到7的数字之和求出来了为27，那么总

    和为多少时能被3整除呢？

生：30、33、36、39、42……

师：我们发现，可以得到很多数是可以被3整除的，那么到底取哪些数呢？你

    们会怎么筛选？

生：不太知道。

师：首先，a+b+c的和最大只能是多少？

生：a+b+c最大取5+6+7=18，27+18=45能被3整除，这几个数最大的总和为45。

师：最小怎么取呢？

生：a+b+c最小取2+3+4=9，最小的总和就是27+9=36。

师：我们知道在36到45之间能被3整除的数有哪些？

生：只有36、39、42和45。

师：然后我们应该如何解决问题呢？

生：将总和除以3，得的数就是每个三角形上3个数的和，再代入解决。

师：你们可以试一试，看看能不能做出来。

生：（学生尝试）

师：每个三角形的顶点之和可以是多少？

生：每个三角形的顶点之和可以是12、13、14、15。

板书：

                                                (答案不唯一)

练习5：（选做）

      将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数填入下面的小圆圈内，使内圆、外圆、横行、竖行上的四个数之和都等于18。

分析：

    18×4=（1+2+3+4+5+6+7+8）×2,1+8=9,4+5=9,2+7=9,3+6=9，只要在图形中相对称的点处数字和是9，即可得解，填法有多种。

板书：

 （答案不唯一）

三、总结：（5分）

师：学习了这节课你有什么收获？

生：在解决这类问题时，先确定中间数（重复数），找到数字之和与各个数字

    之间的关系，找到限制条件，利用排除法，试验法解决。

四、随堂练习：

1.  将4、6、9、10、11、12填入空格，使每一行、每一列、对角线之和均为

   24。

2. 将10、20、30、40、50、60、70、80这八个数填入下面的小圆圈内，使每

   个大圆上的五个数的和为210。

3. 将1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11这十一个数分别填入下面的小圆圈

   中，使每条线上三个数的和相等。

                           （答案不唯一）

板书：

     2+1+11=14      1+6+11=18        1+11+10=22

     3+1+10=14      2+6+10=18        2+11+9=22

     4+1+9=14   或  3+6+9=18    或   3+11+8=22

     5+1+8=14       4+6+8=18         4+11+7=22

     6+1+7=14       5+6+7=18         5+11+6=22

4.  将1到6这六个数填入“八一”的六个方格里，使在一直线上的各数的和为

   7。

板书：

      1+6=7     2+5=7    3+4=7

5.  将1到8这八个数填入方框中，使各边等式成立。

                       （答案不唯一）

家庭作业

主管评价

主管评分

课后反思

（不少于60字）

整体效果

设计不足之处

设计优秀之处