奥数五年级下册 第14讲：最小公倍数 教案

（ 五年级 ）                                         备课教员：***

第十四讲    最小公倍数

一、教学目标：

知识目标

理解两个数的公倍数和最小公倍数的意义。

能力目标

探究找公倍数的方法，会利用短除法找出几个数的公倍数和最小公倍数。

情感目标

1. 培养学生自主探究的精神和观察、分析、概括

   的能力；

2. 体会数学与生活的紧密联系，树立学好数学的

   信心。

二、教学重点：

理解公倍数和最小公倍数的意义。

三、教学难点：

探究找公倍数和最小公倍数的方法。

四、教学准备：

PPT

五、教学过程：

第一课时（50分钟）

一、导入（5分)

【设计意图：通过玩游戏的方式，激起学生学习的兴趣。从游戏中让学生了解倍数、公倍数、最小公倍数的区别与联系。】

师：大家喜欢玩游戏吗？

生：喜欢。

师：今天我们来玩一个新游戏——抢倍数。左边分为小五组，右边分为小七组。
师：规则和分组：有7张数字卡片，这些数字分别是5、6、9的倍数。每组快

速派一名代表上来。其他学生共同商讨，只能拿一张。拿到它们倍数最多

的小组为胜。

（PPT出示）（卡片为25、30、45、54、90、108、120）

师：请获胜的队伍来说说你为什么选择这个数？

生：90既是5的倍数,又是6的倍数，还是9的倍数。
师：说的真棒！90既是5的倍数,又是6的倍数，还是9的倍数，这里我们把

90叫做5、6、9的公倍数，把几个数相同的倍数叫做公倍数。那么什么是

最小公倍数呢？

生：……

师：一个数最小的倍数是它的本身，那两个数的最小公倍数是多少呢？而大家

看看4和6的这几个公倍数，最小的公倍数是哪个呢？

（老师要提示学生这个数要是这两个数的倍数，而且数要尽可能的小）

生：……

师：是的，我们将两个数最小的公倍数叫做它们的最小公倍数。那么这节课我

    们就来学习最小公倍数的相关知识点。

【探究新知，引入新课：
　　学生对倍数的知识有一定的了解，且在学习最大公因数的时候，已经学了短除法，那么这节课主要学习最小公倍数和公倍数的区别，及利用短除法求最小公倍数。】

【板书课题：最小公倍数】

二、探索发现授课（40分）

（一）例题1：（10分）

    米德、欧拉都爱去图书馆看书，米德3天去一次，欧拉4天去一次。有一次他们两人在图书馆相遇，至少再过多少天他们又可以在图书馆相遇？

讲解重点：运用列举法求出最小公倍数，了解没有最大公倍数，知道公倍数与

          最小公倍数的区别。

师：同学们，假设米德和欧拉上个月最后一天在图书馆相遇，那么这个月米德

    会分别在几号出现在图书馆呢？

生：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30号。

师：是的，这些数与3有什么关系呢？

生：都是3的倍数。

师：是的。那么欧拉4天去一次图书馆，欧拉这个月分别会在几号出现在图书

    馆呢？

生：4、8、12、16、20、24、28号。

师：这些数都是4的倍数。那么同学们仔细观察米德和欧拉这个月出现在图书

    馆的日期，你能从中发现什么？

生：他们有同一天出现在图书馆的时间。

师：分别是几号呢？

生：12、24号。

师：那么他们会在这两天相遇，这两个数与3和4有什么关系呢？

生：它们是3和4公共的倍数。

师：是的，而问题是问至少再过几天他们能相遇，那么他们最近会在几号呢？

生：12号。

师：是的，12是他们最小的那个公倍数，这一题要我们求的就是最小公倍数，

    即12。将两个数写在中括号里，代表的就是求两个数的最小公倍数。

板书：

     [3,4]=12

答：至少再过12天他们又可以在图书馆相遇。

练习1：（5分）

    某班上体育课站队时，无论每行站16人，还是每行站24人，都正好整行，已知这个班不足50人，问这个班共有多少人？

分析：

    “无论每行站16人还是24人，都正好整行”，说明人数是它们的公倍数，再根据条件“这个班不足50”可以确定人数为它们的最小公倍数。

板书：

     [16,24]=48

答：这个班共有48人。

（二）例题2：（10分）

    有一包糖，无论是分给8个小朋友，9个小朋友，还是10个小朋友，都正好分完。这包糖至少有多少块？

讲解重点：利用短除法求出三个数的最小公倍数。

师：这三种分糖的方法都能将糖正好分完，说明什么呢？

生：说明糖的数量是三个数的公倍数。

师：是的，那么我们可以先找出三个数的公倍数，但是从问题看，是让我们求

    什么呢？

生：最小公倍数。

师：是的。例题1我们是用的列举法将两个数的公倍数列举出来，再找出它们

的最小公倍数的，但是这种方法在数字比较多、比较大的时候，会显得

比较繁琐。所以我们这个例题就运用我们学过的短除法来求。

师：但是仔细观察三个数发现，如果按求公因数的方法，三个数的公因数只有1。

我们求三个数的最小公倍数，用短除法求时，要使任意两个数都是互质的，

所以只要先除以2个数的公约数，来我们边算边做。

板书：

[8,9,10]=2×4×9×5=360

答：这包糖至少有360块。

师：我们一起来看8、9、10这三个数，它们是两两互质的吗？

生：不是，8和10有相同的因数2。

师：是的，所以我们在符号的左边写上2，那么符号下面写什么呢？

生：8÷2=4,4写在8的下方，10÷2=5,5写在10的下方，9……

师：是的，9并不能整除2，因此直接将9抄下来，写在9的下方。那么现在

    4、9、5三个数是两两互质的吗？

生：是的。

师：那么算到这里就停止了。然后我们将符号左边和下面的数全部相乘，所得

的积就是我们要求的最小公倍数。将几个数用中括号括起来，代表的就是

求这几个数的最小公倍数。那么同学们将练习2用短除法做一做。

练习2：（5分）

    卡尔、米德、欧拉三人早晨在操场跑步，卡尔跑完一圈要4分钟，米德跑完

一圈要5分钟，欧拉跑完一圈要6分钟，三人同时从起点出发，经过多长时间三人再次在起点处相遇？ 

分析：

    已知三人跑一圈各自所需的时间，从同一起点出发，再次在起点相遇即大家跑的都是整圈的。那么他们相遇时跑的时间是三人跑一圈时间的最小公倍数。

板书：

[4,5,6]=2×2×5×3=60

答：经过60分钟三人再次在起点处相遇。

三、小结：（5分）

    公倍数是指在两个或两个以上的非0自然数中，如果它们有相同的倍数，这些相同的倍数是它们的公倍数，这些公倍数中最小的就称为这些非0自然数的最小公倍数。

第二课时（50分）

一、复习导入（3分）

【设计意图：通过讲故事，创设情境，让学生发挥自己的想象力，让学生有即视感，在轻松的气氛中学习。】

师：这节课老师想给大家讲一个小故事，同学们坐端正，仔细听。

师：米德、卡尔他们瞒着博士偷偷地来到了深山里探险，据说这座山里有一个

历史悠久神秘的山洞，大家都十分好奇。经过了大半天的跋山涉水，几人

终于来到了山洞前。可是要进入这个山洞并没有这么容易，因为山洞上有

机关，左右两边都有一个凹陷进去的小坑，旁边分别写着两个数字96、63

和87、72，还有一行字：填入最小公倍数，在数字的旁边还散落分布着一

些数字和坑道连接着小坑，这可把心急的阿派愁坏了，米德和卡尔对视一

眼，胸有成竹地走向两旁，移动了几个石块，“咔、咔、咔”几声，门打

开了。大家被眼前看到的神奇景象惊呆了。

师：同学们，你们知道米德和卡尔输入了什么数字吗？大家想一想。

二、探索发现授课（42分）

（一）例题3：（10分）

有一箱卡通书，把它平均分给6个小朋友，多出1本；平均分给8个小朋友，也多出1本；平均分给9个小朋友，还是多出1本。这箱卡通书最少有多少本？

讲解重点：根据三种不同的分书情况和要求的问题，推导出书的数量是这三个

          数的最小公倍数加1。

（请同学读题）

师：读完题目，老师想对你提一些问题。第一个问题，这三种情况分书的总数

    量是同一箱书吗？

生：是的。

师：这三种不同的分书情况，最后都多出一本书，你能从中发现什么吗？

生：……

师：如果我把这箱数的总数减去1本，那么会出现什么情况呢？

生：三种情况都正好分完。

师：那么减1之后书的数量和这三个数有什么关系呢？

生：是这三个数的公倍数。

师：是的。问题问的是最少是多少，说明减1后的数量是这三个数的……

生：最小公倍数。

师：是的，那么在算出最小公倍数之后，不能忘记加上多出的1本哦。

板书：

[6,8,9]=2×3×1×4×3=72

72+1=73（本）

答：这箱卡通书最少有73本。

练习3：（5分）

    有一堆香蕉，每8千克一份，9千克一份，或10千克一份，都会多出3千克，这堆香蕉至少有多少千克？

分析：

    分同一堆香蕉，三种不同的分法最后都多出3千克，如果将总量减去3千克，剩下的量就是三个数的公倍数，而问题是让我们求最小公倍数。

板书：

[8,9,10]=2×4×9×5=360

360+3=363（千克）

答：这堆香蕉至少有363千克。

（二）例题4：（12分）

    有一筐鸡蛋，两个两个地数，余1个；三个三个地数，余2个；四个四个地数，余3个。这篮鸡蛋至少有多少个？

讲解重点：通过分析每种数数方法内的2个数据，然后分析三种不同的数数方

          法间的关系，得出鸡蛋的数量是三个数的最小公倍数减1。

师：这里也是按三种不同的方法数鸡蛋，但是剩余的个数不同，与上一个例题

是不一样的。大家再仔细观察每种数鸡蛋方法的两个数据，说说你有什么

发现。

生：2比1多1,3比2多1,4比3多1。

师：是的。那么如果我在这筐鸡蛋里加一个进去，再按照这三种方法数鸡蛋，

    会怎样呢？

生：都正好数完。

师：是的。那么加1之后的鸡蛋总数与这三种数数的方法有什么关系呢？

生：是这三个数的公倍数。

师：是的，问题是问这篮鸡蛋至少有多少个，是让我们求什么？

生：求这三个数的最小公倍数。

师：是的，求出的最小公倍数就是这蓝鸡蛋的总数吗？

生：不是，还要减去1个。

师：是的。我们是给这篮鸡蛋加了一个才正好数完的，要减去加上的1个鸡蛋。

板书：

[2,3,4]=2×3×2=12

12-1=11（个）

答：这篮鸡蛋至少有11个。

练习4：（5分）

    一个数被2除余1，被3除余2，被6除余5，这个数最小是几？

分析：

    这个数被不同的数除的余数都比除数小1，那么只需求出三个数的最小公倍数再减1就是这个数。

板书：

[2，3，6]=6

6-1=5

答：这个数最小是5。

例题5：（选讲）

    从一条路的一端到另一端全长120米，从一端起每隔4米种一株花，现在要改成每隔6米种一株花，最多有多少株花不必移动？

讲解重点：从起点开始种花，当种的长度是4与6的公倍数时，花的位置是相

          同的。要找出有多少株花不需要移动，需求出120内有多少个4与6

　　　　　的公倍数。而这些公倍数都是最小公倍数的倍数，因此只需求120

　　　　　内有多少个4与6的最小公倍数再加上端头一株即可。

（请学生先读题）

师：从题中你能找出哪些有用的信息？

生：……

师：大家列举一下4米种一株花时，分别在几米处种了花？

生：0米，4米，8米，12米，16米，24米……

师：那么6米种一株花时呢？

生：0米，6米，12米，18米，24米……

师：大家发现这两组数据中有什么共同的数吗？

生：0米，12米，24米。

师：是的，0米就是这条路的起点处。那么12和24与4和6什么关系？

生：是4和6的公倍数。

师：那么可以说在4和6的公倍数处的一株花不需要移动。大家再看，24与12

    是什么关系？

生：24是12的倍数。

师：是的，大家再列举几个4与6的公倍数。会发现，4与6的公倍数都是12

的倍数，即都是最小公倍数的倍数。题目就变成在全长120米的路上，每

隔12米种一株花，一共能种多少株？大家会求这个植树问题吗？

板书：

[4,6]=2×2×3=12

120÷12+1=11（株）

答：最多有11株花不必移动。

练习5：（选做）

    公路上一排电线杆，共25根。每相邻两根间的距离原来都是45米，现在要改成60米，可以有几根不需要移动？

分析：

    要求有多少根不需要移动，只需求出这段公路有多少个45与60的最小公倍数，再加1即可。

板书：

    45×（25-1）=1080（米）

[45,60]=3×5×3×4=180

1080÷180+1=7（根）

答：可以有7根不需要移动。

三、总结：（5分）

    用短除法求两个或两个以上数的最小公倍数时，先用这几个数的公约数去除每一个数，再用部分数的公约数去除，并把不能整除的数写在对应的商的位置，一直除到所有的商中两两互质为止，然后把所有的除数和商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数。

四、随堂练习：

1. 一盒铅笔，可以平均分给6、7、8个小朋友，都没有剩余，这盒铅笔最少有

   多少支？

板书：

     [6，7，8]=168

答：这盒铅笔最少有168支。

2. 有一批作业本，无论是平均分给10个人，还是12个人，都剩余4本，这批

   作业本至少有多少本？

板书：

     [10，12]=60

     60+4=64（本）

答：这批作业本至少有64本。

3. 学校合唱队排练时，如果7人一排就差2人，8人一排也差2人，合唱队至

   少有多少人？

板书：

     [7，8]=56

     56-2=54（人）

答：合唱队至少有54人。

4. 五年级同学参加社区服务活动，人数在40和50之间，无论是分成3人一组，

   4人一组还是6人一组都正好缺1人。五年级参加活动的一共有多少人？

板书：

      [3，4，6]=12

       12×4-1=47（人）

答：五年级参加活动的一共有47人。

5. 三个老师值班，李老师4天值一次班，陈老师6天值一次班，叶老师8天值

   一次班，如果7月1日他们三人同一天值班，下一次他们三人同一天值班是

   几月几日？

板书：

     [4，6，8]=24

     7月1日再过24天就是7月25日。

答：下一次他们三人同一天值班是7月25日。