奥数六年级下册 第4讲：工程问题 教案

（ 六年级 ）                                         备课教员：×××

第四讲    工程问题

一、教学目标：

知识目标

1. 认识工程问题的结构特点。
2. 掌握它的数量关系、解题思路和解题方法。

3. 并能正确解答工程问题的基本题。

能力目标

1. 初步培养学生的分析概括能力和迁移类推能

   力。

2. 运用所学知识解决实际问题的能力。

情感目标

1. 通过课堂教学中引用国家发展建设中的图片，

   渗透学生爱国思想，培养学生民族自豪感。

二、教学重点：

1. 工程问题的结构特点、解题思路和解题方法。

三、教学难点：

1. 理解用“单位1”表示工作总量，用单位时间完成工作总量

   的几分之一表示工作效率。

四、教学准备：

PPT

五、教学过程：

第一课时（50分钟）

一、导入（5分)

【设计意图：通过一组中国古代大型工程的图片和相关了解，渗透学生的爱国思想，培养学生民族自豪感。再通过几个简单的问题，对工程问题的基本结构和解题思想做一个复习】

师：这节课一开始，老师就想要考考大家。同学们知道中国古代三大工程是什

    么吗？

生：长城、故宫……

师：有的同学们猜到了，但是都没有完全猜对。那老师给大家降低一些难度，

    先给大家看图片，再由大家来猜，举手抢答哦！

（出示PPT，说出正确的名词后，再请一名同学或老师来读下面的介绍文字）

师：我们的古人是不是很厉害，很伟大？

生：是。

师：但是在他们的伟大背后却付出了几代人甚至更多代人的努力，甚至付出生

命的代价。我们要学习这种艰苦奋斗的精神，好好学习，将来祖国的建设

需要你们。那么回到我们的课堂，我们今天要来学习“工程问题”。

【板书课题：工程问题】

师：我们再来看几个简单的问题？

（出示PPT）

师：修完一段路需要5天，每天修这段路的多少？

生：。

师：每天修一段路的，修完这段路需要多少天？

生：5天。

师：都是怎么计算的？

生：第一个问题是：1÷5＝，第二个问题是：1÷＝5（天）。

师：我们在做工程问题的时候经常把工作总量看作单位“1”，那么这里工作总

量是？

生：一段路。

师：对，同学们还记得工程问题的基本公式吗？

生：工作效率＝工作总量÷工作时间；

工作时间＝工作总量÷工作效率；

工作总量＝工作时间×工作效率。

（若学生对此不是很了解，教师需在上面的问题中一点点引导学生）

师：非常棒，接下来就是考验大家的时候了！

【探究新知，引入新课：
　　我们已经学过了工程问题的基本题型，如修一条马路，已知一共有多少千米，每天修多少千米，求需要几天完成任务？这节课，我们遇到的工程问题将没有具体的工作总量和工作效率，这时候需要我们利用分数来解题。】

二、探索发现授课（40分）

（一）例题1：（10分）

    一份工作，卡尔5小时先完成了，欧拉6小时又完成了剩下任务的一半，最后余下的部分由卡尔、欧拉合作，还需要多少时间才能完成？

【讲解重点：把工作总量看作单位“1”。熟悉工程问题基本公式，会逐步利用公式解题】

师：老师刚才说了，我们一般把工作总量看作什么？

生：单位“1”。

师：根据工程问题的基本公式，我们可以算出卡尔的工作效率是多少？

生：÷5＝。

师：欧拉6小时又完成了剩下任务的一半，剩下的任务是多少？

生：1－。

师：再一半，是多少？

生：（1－）×＝。

师：那么欧拉的工作效率是多少？

生：÷6＝。

师：余下的部分由卡尔、欧拉合作，余下多少工作量？

生：1－－＝。

师：两人合作的工作效率就是各自的工作效率……

生：相加。

师：那么是多少？

生：＋。

师：根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”，所以还需要的时间是？

生：÷（＋）。

板书：

卡尔的工作效率：÷5＝

欧拉的工作效率：（1－）×÷6＝

剩余工作所需时间：÷（＋）＝（小时）

答：还需要小时。    

练习1：（5分）

一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，丙单独做15小时完成。若先由甲、丙合做5小时，然后由甲、乙合做，问还需要几小时完成？

分析：

    把一件工作总量看作单位“1”，计算出甲、乙、丙各自的工作效率，根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”解题。

板书：

1－（＋）×5＝

÷（＋）＝（小时）

答：还需要小时完成。

（二）例题2：（10分）

一项工程，甲、乙两队合作需要12天完成，乙、丙两队合作需要15天完成，甲、丙两队合作需20天完成，如果由甲、乙、丙三队合作需几天完成？

【讲解重点：如何从隐藏条件中找出三队合作的工作效率】

师：甲、乙两队合作的工作效率和为？

生：。

师：乙、丙两队合作的工作效率和为？

生：。

师：甲、丙两队合作的工作效率和为？

生：。

师：题目问我们甲、乙、丙三队合作需几天，也就是问我们什么？

生：三队的工作效率。

师：没错。那么三队的工作效率是？

生：（＋＋）÷2＝。

师：真棒，怎么理解的？

生：每个队都被加了两次。

师：嗯，所以知道了工作总量和工作效率，时间好求吗？

生：1÷。

板书：

（＋＋）÷2＝

1÷＝10（天）

答：由甲、乙、丙三队合作需10天完成。

练习2：（5分）

    如果用甲、乙、丙三根水管同时在一个空水池里灌水，1小时可以灌满；如果用甲、乙两管，1小时20分钟可以灌满；如果用乙、丙两根水管，1小时15分钟可以灌满。那么，用乙管单独灌水的话，灌满这一池需要多少小时？

分析：

    要求乙水管单独灌水需要多少时间，即求乙水管的工作效率。乙水管灌水的工作效率是：（甲、乙合作的工作效率）＋（乙、丙合作的工作效率）－（甲、乙、丙合作的工作效率）。

板书：

    1小时20分钟＝小时，1小时15分钟＝小时

1÷（1÷＋1÷－1÷1）＝（小时）

答：灌满这一池需要小时。

三、小结：（5分）

1. 在解决工程问题时，一般把工作总量看作单位“1”，然后表示各个工作效

   率。

2. 工作总量＝工作效率×工作时间（1＝工作效率×工作时间）

   工作效率＝工作总量÷工作时间（工作效率＝1÷工作时间）

   工作时间＝工作总量÷工作效率（工作时间＝1÷工作效率）

第二课时（50分）

一、复习导入（3分）

【设计意图：进一步加深学生对国家大型工程的认识，引发学生的爱国情怀】

师：上节课开始时我们看了古代的一些工程，这节课老师也要先考考大家，看

看大家的课外知识怎么样！

（出示PPT，说出正确的名词后，再请一名同学或老师来读下面的介绍文字，并请同学们说说感受）

师：虽然有一些没有说出来，但还有一些被同学们认出来了，说明同学们离见

多识广还有一定距离，要加强自己对课外知识的了解噢！

二、探索发现授课（42分）

（一）例题3：（10分）

一件工作，甲、乙合作需4小时完成，乙、丙合作需5小时完成。现在先请甲、丙合作2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作需要多少小时？

【讲解重点：如何转变工程问题中经常出现的隐藏条件为已知条件来解】

师：题目问我们的是“乙单独做完这件工作需要多少小时”，也就是问我们？

生：乙的工作效率。

师：那么乙的工作效率怎么求？

师：那我们先来看已知条件。“甲、乙合作需4小时完成”可以求出什么？

生：甲、乙合作的工作效率：。

师：“乙、丙合作需5小时完成”可以求出什么？

生：乙、丙合作的工作效率：。

师：还有别的条件吗？

生：“先请甲、丙合作2小时后，余下的乙还需做6小时完成”。

师：这个条件可以求出什么？

师：同学们没有看出来，但是老师已看清一切，因为老师有一双看清事物本质

的双眼。老师将这段话转变一下：甲、乙先合作2小时，乙、丙再合作两

小时，剩下的由乙单独完成。同学们发现了什么？

生：甲、乙合作的工作效率是已知的，乙、丙合作的工作效率也是已知的。

师：对，通过老师这么一转变，条件表面上变了，但是本质没有变。那么接下

    来该怎么做呢？

生：算出乙的工作效率。

师：乙的工作效率怎么求。

生：从工作总量中先减去甲、乙和乙、丙的工作量，再除以时间。

师：知道了乙的工作效率，那么乙单独做完这件工作的时间也就很好求了。

板书：

（1－×2－×2）÷2＝

1÷＝20（小时）

答：乙单独做完这件工作需要20小时。

练习3：（5分）

    阿博士需要小伙伴们帮忙清理一片草地。若米德和欧拉合作需要3小时完成，若卡尔和欧拉合作需要6小时完成。现在，米德和卡尔合作了1小时后，欧拉才来，于是欧拉单独花了6小时清理完了剩下的草地。如果由欧拉单独做这件事，欧拉需要多少小时？

分析：

    把“米德和卡尔合作了1小时后，欧拉才来，于是欧拉单独花了6小时清理完了剩下的草地”转变为“米德和欧拉合作1小时，卡尔和欧拉合作1小时，欧拉又单独花了4小时清理完剩下的草地”。

板书：

（1－×1－×1）÷4＝

1÷＝8（小时）

答：欧拉单独做需要8小时。

（二）例题4：（12分）

    有一件工作，米德独做要20天完成，阿博士独做要12天完成。这件工作先由米德做了若干天，然后由阿博士继续做完，从开始到完工共用了14天。这件工作由米德先做了几天？

【讲解重点：在工程问题中如何用假设法解题】

师：大家先花30秒时间，自己思考一下这道题。

师：大家发现了什么？

生：无从入手。

师：对，这道题和上一个例题又有所不同，所以我们不能用常规的方法来做。

我们假设这14天全都由阿博士来做，那么，阿博士一共做了多少工作量？

生：。

师：没错，但是会有什么问题吗？

生：实际只做了1。

师：对，多出了多少工作量？

生：。

师：这是怎么造成的？

生：米德做了几天，并不是全都由阿博士来做。

师：也就是说多出来的工作量是由阿博士在米德的工作时间里比米德多做而造

    成的。阿博士每天比米德多做多少工作量？

生：－。

师：这段时间有几天呢？

生：÷（－）。

板书：

（×14－1）÷（－）＝5（天）

答：这件工作由米德先做了5天。

练习4：（5分）

    一项工程，甲独做12天完成，乙独做4天完成。若甲先做若干天后，由乙接着做余下的工程，直至完成全部任务，这样前后共用了6天，甲先做了几天？

分析：

    假设这6天全都由乙来做，用多出来的工作量除以甲、乙的工作效率差求解。

板书：

    （×6－1）÷（－）＝3（天）

答：甲先做了3天。

例题5：（选讲）

    一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可完成。甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成。如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？

【讲解重点：多种方法解题，等量代换法】

师：读题，同学们发现了什么信息？

生：甲做2小时的工作量，乙要做6小时。

师：根据这个信息可以得出什么？

生：甲、乙单独做需要多少时间。

师：知道工作时间，就可以知道什么？

生：工作效率。

师：知道工作效率后，接下来就好做了，我们一起来做一下。

（出示PPT）

师：但是老师觉得这道题还有更简单的方法，我们可不能思维定势了。同学们

能想到吗？

师：我们已经知道甲做2小时的工作量，乙要做6小时，那么乙一共要做30小

时，现在甲做了3小时，如果这个3小时由乙来做，那么乙要做多久？

生：3×3＝9（小时）。

师：乙一共要做30小时，已经做了9小时，所以，还需要做几小时？

生：30－9＝21（小时）

板书：

方法一：甲做2小时的工作量，乙要做6小时，

    这件工作甲单独做要10小时，这件工作乙单独做要30小时，

    （1－×3）÷＝21（小时）

方法二：

        甲做2小时的工作量，乙要做6小时，

    乙独做需要：12＋6×＝30（小时）

    甲独做3小时后乙还要：30－3×＝21（小时）

答：还需要21小时完成。

练习5：（选做）

    一项工程，甲做10天乙做20天完成，或甲做15天乙做12天也能完成。现在乙先做4天，问甲还要做多少天完成？

分析：

    根据例题方法二，利用等量代换法解题。

板书：

甲做5天的工作量，乙要做8天，

甲独做需要：15＋12×＝22.5（天）

乙独做4天后甲还要：22.5－4×＝20（天）

答：甲还要做20天。

三、总结：（5分）

1. 在解决工程问题时，一般把工作总量看作单位“1”，然后表示各个工作效

   率。

2. 工作总量＝工作效率×工作时间（1＝工作效率×工作时间）

   工作效率＝工作总量÷工作时间（工作效率＝1÷工作时间）

   工作时间＝工作总量÷工作效率（工作时间＝1÷工作效率）

3. 在工程问题中，遇到合作和分工时，需要灵活转换条件，使之可以利用已知

   条件解题。

四、随堂练习：

1. 一项工程，甲单独做12天可以完成。如果甲单独做3天，余下工作由乙去

   做，乙再用6天可以做完，问若甲单独做6天，余下工作乙要做几天？

板书：

    （1-×3）÷6=

    （1-×6）÷=4（天）

答：余下工作乙要做4天。

2. 一项工程，甲、乙合作需要6天完成，乙、丙合作需要9天完成，甲、丙合

   作需要15天完成。现在甲、乙、丙三人合作，需多少天完成？

板书：

    甲、乙、丙工作效率之和：（++）÷2=

    1÷=（天）

答：需天完成。

3. 一个水池需要重新注满水。现有甲、乙、丙三个水管，若甲、乙两管同时打

   开要用4小时，若乙、丙两管同时打开要用6小时。现在先打开甲、丙两个

   水管1小时，然后单独打开乙水管，9个小时后水刚好注满。如果开始就只

   用乙水管，需要多少小时注满水？

板书：

    （1--）÷（9-1-1）=

    1÷=12（小时）

答：需要12小时注满水。

4. 一项工程，甲队单独做需30天完成，乙队单独做需40天完成。甲队单独做

   若干天后，由乙队接着做，共用35天完成了任务。甲、乙两队各做了多少

   天？

板书：

    乙：（×35-1）÷（-）=20（天）

    甲：35-20=15（天）

答：甲做了15天，乙做了20天。

5. 完成一件工作，需要甲干5天，乙干6天；或者甲干7天，乙干2天。问：

   甲、乙单独干这件工作各需多少天？

板书：

甲做1天的工作量＝乙做2天的工作量

甲独做需要：5＋6÷2＝8（天）

乙独做需要：6＋5×2＝16（天）

答：甲需要8天，乙需要16天。

家庭作业

主管评价

主管评分

课后反思

（不少于60字）

整体效果

设计不足之处

设计优秀之处