（新高考）高考数学一轮复习讲练测第2章§2.8对数与对数函数(含解析)

这是一份（新高考）高考数学一轮复习讲练测第2章§2.8对数与对数函数(含解析)，共13页。试卷主要包含了反函数等内容，欢迎下载使用。


知识梳理
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N.
以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N.
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：lga1＝0，lgaa＝1， SKIPIF 1 < 0 ＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN；
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；
③lgaMn＝nlgaM (n∈R)．
(3)对数换底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
3．对数函数的图象与性质
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
常用结论
1．lgab·lgba＝1， SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(n,m)lgab.
2．如图给出4个对数函数的图象
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
3．对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，－1)).
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若M＝N，则lgaM＝lgaN.( × )
(2)函数y＝lga2x(a>0，且a≠1)是对数函数．( × )
(3)对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × )
(4)函数y＝lg2x与y＝ SKIPIF 1 < 0 的图象重合．( √ )
教材改编题
1．若函数f(x)＝lg2(x＋1)的定义域是[0,1]，则函数f(x)的值域为( )
A．[0,1] B．(0,1)
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
答案 A
解析 根据复合函数单调性同增异减可知f(x)在[0,1]上单调递增，
因为0≤x≤1，所以1≤x＋1≤2，则lg21≤lg2(x＋1)≤lg22，
即f(x)∈[0,1]．
2．函数y＝lga(x－2)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．
答案 (3,2)
解析 ∵lga1＝0，令x－2＝1，∴x＝3，y＝2，∴函数的图象过定点(3,2)．
3．eln 2＋eq \f(lg2 02216,lg2 0224)＝________.
答案 4
解析 eln 2＋eq \f(lg2 02216,lg2 0224)＝2＋lg416＝2＋2＝4.
题型一 对数式的运算
例1 (1)若2a＝5b＝10，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的值是( )
A．－1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(7,10) D．1
答案 D
解析 由2a＝5b＝10，
∴a＝lg210，b＝lg510，
∴eq \f(1,a)＝lg 2，eq \f(1,b)＝lg 5，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.
(2)计算：lg535＋ SKIPIF 1 < 0 －lg5eq \f(1,50)－lg514＝________.
答案 2
解析 原式＝lg535－lg5eq \f(1,50)－lg514＋ SKIPIF 1 < 0
＝lg5eq \f(35,\f(1,50)×14)＋ SKIPIF 1 < 0
＝lg5125－1＝lg553－1＝3－1＝2.
思维升华 解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
跟踪训练1 (1)(2022·保定模拟)已知2a＝3，b＝lg85，则4a－3b＝________.
答案 eq \f(9,25)
解析 因为2a＝3，所以a＝lg23，
又b＝lg85，
所以b＝eq \f(1,3)lg25，
所以a－3b＝lg2eq \f(3,5)，4a－3b＝ SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(9,25).
(2)(lg 5)2＋lg 2lg 5＋eq \f(1,2)lg 4－lg34×lg23＝________.
答案 －1
解析 原式＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋ SKIPIF 1 < 0 －eq \f(2lg 2,lg 3)×eq \f(lg 3,lg 2)＝lg 5＋lg 2－2＝1－2＝－1.
题型二 对数函数的图象及应用
例2 (1)已知函数f(x)＝lga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )
A．0B．0C．0D．0答案 A
解析 由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.
函数图象与y轴的交点坐标为(0，lgab)，
由函数图象可知－1解得eq \f(1,a)综上，0(2)(2023·佛山模拟)已知函数f(x)＝|ln x|，若0答案 (3，＋∞)
解析 f(x)＝|ln x|的图象如图，
因为f(a)＝f(b)，
所以|ln a|＝|ln b|，
因为0所以ln a<0，ln b>0，
所以01，
所以－ln a＝ln b，
所以ln a＋ln b＝ln(ab)＝0，
所以ab＝1，则b＝eq \f(1,a)，
所以a＋2b＝a＋eq \f(2,a)，
令g(x)＝x＋eq \f(2,x)(0则g(x)在(0,1)上单调递减，
所以g(x)>g(1)＝1＋2＝3，
所以a＋2b>3，
所以a＋2b的取值范围为(3，＋∞)．
思维升华 对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
跟踪训练2 (1)已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝ SKIPIF 1 < 0 的图象可能是( )
答案 B
解析 ∵lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，
∴ab＝1，∴a＝eq \f(1,b)，
∴g(x)＝ SKIPIF 1 < 0 ＝lgax，函数f(x)＝ax与函数g(x)＝ SKIPIF 1 < 0 互为反函数，
∴函数f(x)＝ax与g(x)＝ SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线y＝x对称，且具有相同的单调性．
(2)(2023·濮阳模拟)已知a>0且a≠1，函数y＝ax的图象如图所示，则函数f(x)＝lga(－x＋1)的部分图象大致为( )
答案 D
解析 由函数y＝ax的图象可得a>1.
当a>1时，y＝lgax经过定点(1,0)，为增函数．
因为y＝lgax与y＝lga(－x)关于y轴对称，所以y＝lga(－x)经过定点(－1,0)，为减函数．
而f(x)＝lga(－x＋1)可以看作y＝lga(－x)的图象向右平移一个单位长度得到的，
所以f(x)＝lga(－x＋1)的图象经过定点(0,0)，为减函数．结合选项可知选D.
题型三 对数函数的性质及应用
命题点1 比较对数式的大小
例3 (2023·武汉质检)已知a＝lg30.5，b＝lg3π，c＝lg43，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．a答案 C
解析 a＝lg30.5b＝lg3π>lg33＝1，即b>1；
0＝lg41∴a命题点2 解对数方程、不等式
例4 若lga(a＋1)0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1))
解析 由题意lga(a＋1)得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>1，,a＋1<2\r(a)<1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(02\r(a)>1，))
解得eq \f(1,4)命题点3 对数函数的性质及应用
例5 (2023·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|，则f(x)( )
A．是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减
B．是奇函数，且在(－3,3)上单调递减
C．是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增
D．是偶函数，且在(－3,3)上单调递增
答案 A
解析 函数f(x)的定义域为{x|x≠±3}，
f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|＝ln|x2－9|，
令g(x)＝|x2－9|，
则f(x)＝ln g(x)，
函数g(x)的单调区间由图象(图略)可知，
当x∈(－∞，－3)，x∈(0,3)时，g(x)单调递减，
当x∈(－3,0)，x∈(3，＋∞)时，g(x)单调递增，
由复合函数单调性同增异减得单调区间．
由f(－x)＝ln|(－x)2－9|＝ln|x2－9|＝f(x)得f(x)为偶函数．
思维升华 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．
跟踪训练3 (1)(2023·开封模拟)已知函数f(x)＝lga(6－ax)(a>0，且a≠1)在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3] B．(1,3)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
答案 A
解析 令t(x)＝6－ax，因为a>0，所以t(x)＝6－ax为减函数．
又由函数f(x)＝lga(6－ax)在(0,2)上单调递减，
可得函数t(x)＝6－ax>0在(0,2)上恒成立，且a>1，
故有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>1，,6－2a≥0，))解得1(2)(2022·惠州模拟)若函数f(x)＝lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－ax＋\f(1,2)))(a>0，且a≠1)有最小值，则实数a的取值范围是________．
答案 (1，eq \r(2))
解析 令u(x)＝x2－ax＋eq \f(1,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,2)))2＋eq \f(1,2)－eq \f(a2,4)，
则u(x)有最小值eq \f(1,2)－eq \f(a2,4)，
欲使函数f(x)＝lgaeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－ax＋\f(1,2)))有最小值，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>1，,\f(1,2)－\f(a2,4)>0，))
解得1课时精练
1．函数f(x)＝eq \r(lg0.52x－1)的定义域为( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))) D．[1，＋∞)
答案 A
解析 由题意，要使函数f(x)＝eq \r(lg0.52x－1)有意义，则满足lg0.5(2x－1)≥0，
所以0<2x－1≤1，解得eq \f(1,2)2．若函数f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(1,3)，则f(lg28)等于( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 依题意，函数f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)的反函数，即函数y＝ax的图象过点(1,3)，
则a＝3，f(x)＝lg3x，于是得f(lg28)＝lg3(lg28)＝lg33＝1，
所以f(lg28)＝1.
3．函数f(x)＝lg2(|x|－1)的图象为( )
答案 A
解析 函数f(x)＝lg2(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，排除B，C；
由f(－x)＝lg2(|－x|－1)＝lg2(|x|－1)＝f(x)，
可知函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，排除D.
4．按照“碳达峰”“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：Ah)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝In·t，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝20 A时，放电时间t＝20 h；当放电电流I＝30 A时，放电时间t＝10 h．则该蓄电池的Peukert常数n大约为( )
(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
A.eq \f(4,3) B.eq \f(5,3) C.eq \f(8,3) D．2
答案 B
解析 根据题意可得C＝20n·20，C＝30n·10，
两式相比得eq \f(20n·20,30n·10)＝1，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n＝eq \f(1,2)，
所以n＝ SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(lg 2,lg \f(3,2))＝eq \f(lg 2,lg 3－lg 2)≈eq \f(0.3,0.48－0.3)＝eq \f(5,3).
5．已知函数f(x)＝lg2(x＋1)－|x|，则不等式f(x)>0的解集是( )
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0) D．∅
答案 B
解析 不等式f(x)>0⇔lg2(x＋1)>|x|，
分别画出函数y＝lg2(x＋1)和y＝|x|的图象，
由图象可知y＝lg2(x＋1)和y＝|x|的图象有两个交点，分别是(0,0)和(1,1)，
由图象可知lg2(x＋1)>|x|的解集是(0,1)，
即不等式f(x)>0的解集是(0,1)．
6．(多选)已知函数f(x)＝|lga(x＋1)|(a>1)，下列说法正确的是( )
A．函数f(x)的图象恒过定点(0,0)
B．函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减
C．函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))上的最小值为0
D．若对任意x∈[1,2]，f(x)≥1恒成立，则实数a的取值范围是(1,2]
答案 ACD
解析 将(0,0)代入函数f(x)＝|lga(x＋1)|(a>1)，成立，故A正确；
当x∈(0，＋∞)时，x＋1∈(1，＋∞)，又a>1，所以f(x)＝|lga(x＋1)|＝lga(x＋1)，由复合函数单调性可知，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|lga(x＋1)|＝lga(x＋1)单调递增，故B错误；
当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))时，x＋1∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))，所以f(x)＝|lga(x＋1)|≥lga1＝0，故C正确；
当x∈[1,2]时，f(x)＝|lga(x＋1)|＝lga(x＋1)≥1恒成立，所以由函数为增函数知lga2≥1，解得17．(2023·淮北模拟)计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－2＋ SKIPIF 1 < 0 ＝______.
答案 10
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－2＋ SKIPIF 1 < 0 ＝4＋2＋4＝10.
8．函数f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 的最小值为________．
答案 －eq \f(1,4)
解析 依题意得f(x)＝eq \f(1,2)lg2x·(2＋2lg2x)＝(lg2x)2＋lg2x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2x＋\f(1,2)))2－eq \f(1,4)≥－eq \f(1,4)，当且仅当lg2x＝－eq \f(1,2)，即x＝eq \f(\r(2),2)时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－eq \f(1,4).
9．已知f(x)＝ SKIPIF 1 < 0
(1)若a＝2，求f(x)的值域；
(2)若f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
解 (1)当a＝2时，f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 ，
令t＝x2－2x＋10＝(x－1)2＋9，
∴t≥9，f(x)≤ SKIPIF 1 < 0 ＝－2，
∴f(x)的值域为(－∞，－2]．
(2)令u(x)＝x2－ax＋5a，
∵y＝ SKIPIF 1 < 0 (x)为减函数，
∴u(x)＝x2－ax＋5a在(1，＋∞)上单调递增，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,2)≤1，,1＋4a>0，))
解得－eq \f(1,4)∴a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，2)).
10．(2023·南昌模拟)已知函数f(x)＝lg3(9x＋1)＋kx是偶函数．
(1)求k；
(2)解不等式f(x)≥lg3(7·3x－1)．
解 (1)∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
即lg3(9－x＋1)－kx＝lg3(9x＋1)＋kx对任意x∈R恒成立，
∴2kx＝lg3(9－x＋1)－lg3(9x＋1)＝lg3eq \f(9－x＋1,9x＋1)＝lg33－2x＝－2x，
∴k＝－1.
(2)由(1)得f(x)＝lg3(9x＋1)－x＝lg3(9x＋1)－lg33x＝lg3eq \f(9x＋1,3x)＝lg3(3x＋3－x)，
则不等式f(x)≥lg3(7·3x－1)等价于3x＋3－x≥7·3x－1>0，
由7·3x－1>0，解得x>－lg37；
由3x＋3－x≥7·3x－1，
得6·(3x)2－3x－1≤0，
得0<3x≤eq \f(1,2)，
即x≤－lg32，
综上，不等式的解集为(－lg37，－lg32]．
11．若非零实数a，b，c满足2a＝3b＝6c＝k，则( )
A.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,c) B.eq \f(2,a)＋eq \f(2,b)＝eq \f(1,c)
C.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(2,c) D.eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(2,c)
答案 A
解析 由已知，得2a＝3b＝6c＝k，
得a＝lg2k，b＝lg3k，c＝lg6k，
所以eq \f(1,a)＝lgk2，eq \f(1,b)＝lgk3，eq \f(1,c)＝lgk6，
而2×3＝6，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,c).
12．(多选)关于函数f(x)＝lg2x＋lg2(4－x)，下列说法正确的是( )
A．f(x)的最大值为1
B．f(x)在区间(0,2)上为增函数
C．f(x)的图象关于直线x＝2对称
D．f(x)的图象关于点(2,0)对称
答案 BC
解析 函数f(x)＝lg2x＋lg2(4－x)＝lg2(4x－x2)(0当x＝2 时，4x－x2 取到最大值4，
故此时f(x)＝lg2x＋lg2(4－x)取到最大值lg24＝2 ，A错误；
f(x)＝lg2(4x－x2)(0u＝－x2＋4x(0故f(x)在区间(0,2)上为增函数，在(2,4)上为减函数，故B正确；
因为函数f(4－x)＝lg2(4－x)＋lg2x＝f(x)，故f(x)的图象关于直线x＝2对称，C正确；
因为f(4－x)＝lg2(4－x)＋lg2x＝f(x)≠－f(x)，故f(x)的图象不关于点(2,0)对称，D错误．
13．已知函数f(x)的定义域为R，图象恒过点(0,1)，对任意x1，x2∈R，x1≠x2，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>1，则不等式f(ln(ex－1))<1＋ln(ex－1)的解集为( )
A．(ln 2，＋∞) B．(－∞，ln 2)
C．(ln 2,1) D．(0，ln 2)
答案 D
解析 因为eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>1，不妨设x1>x2，
则f(x1)－x1>f(x2)－x2，令g(x)＝f(x)－x，
则g(x)在R上单调递增，
又f(0)＝1，
则不等式f(ln(ex－1))<1＋ln(ex－1)，
等价于f(ln(ex－1))－ln(ex－1)<1＝f(0)－0，
即g(ln(ex－1))则014．(多选)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|lg2x|，0A．0B．x1＋2x2∈(3，＋∞)
C．x1＋x2＋x3＋x4∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10，\f(21,2)))
D．x4∈[4，＋∞)
答案 AC
解析 作函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|lg2x|，0f(x)＝a有四个解，即y＝a与y＝f(x)的图象有4个交点x1，x2，x3，x4且x1可得0由图象可得x1·x2＝1，则eq \f(1,x1)＝x2，
∴x1＋2x2＝x1＋eq \f(2,x1)，
∵eq \f(1,2)x1＋x2＝eq \f(1,x1)＋x1，∵eq \f(1,2)∵x3＋x4＝8，
∴x1＋x2＋x3＋x4∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10，\f(21,2)))，故选项C正确；
令x2－8x＋13＝0，解得x＝4±eq \r(3)，
由图象可知x4∈(4＋eq \r(3)，6)，故选项D错误．a>1
0图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性
质
过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0；
当0当x>1时，y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数