（新高考）高考数学一轮复习讲练测第4章§4.1任意角和弧度制、三角函数的概念(含解析)

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考试要求 1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
知识梳理
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
3．任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数的定义：
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
常用结论
1．象限角
2．轴线角
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)－eq \f(π,3)是第三象限角．( × )
(2)若角α的终边过点P(－3,4)，则cs α＝－eq \f(3,5).( √ )
(3)若sin α>0，则α是第一或第二象限角．( × )
(4)若圆心角为eq \f(π,3)的扇形的弧长为π，则该扇形面积为eq \f(3π,2).( √ )
教材改编题
1. －660°等于( )
A．－eq \f(13,3)π rad B．－eq \f(25,6)π rad
C．－eq \f(11,3)π rad D．－eq \f(23,6)π rad
答案 C
解析 －660°＝－660×eq \f(π,180) rad＝－eq \f(11,3)π rad.
2．某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了________弧度．
答案 －4π
解析 某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针顺时针旋转了－720°，即－4π.
3．已知角α的终边经过点P(2，－3)，则sin α＝________，tan α＝________.
答案 －eq \f(3\r(13),13) －eq \f(3,2)
解析 因为x＝2，y＝－3，所以点P到原点的距离r＝eq \r(22＋－32)＝eq \r(13).则sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(－3,\r(13))＝－eq \f(3\r(13),13)，tan α＝eq \f(y,x)＝－eq \f(3,2).
题型一 角及其表示
例1 (1)(2023·宁波模拟)若α是第二象限角，则( )
A．－α是第一象限角
B.eq \f(α,2)是第三象限角
C.eq \f(3π,2)＋α是第二象限角
D．2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上
答案 D
解析 因为α是第二象限角，可得eq \f(π,2)＋2kπ