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2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题15导数的概念及运算（Word版附解析）
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这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题15导数的概念及运算（Word版附解析），共24页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。
专题15导数的概念及运算
知识梳理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题型归类
题型一：导数的概念
题型二：导数的运算
题型三：求切线方程
题型四：求参数的值(范围)
题型五：导数与函数图象
题型六：与两曲线的公切线有关的问题
培优训练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强化测试
单选题：共8题
多选题：共4题
填空题：共4题
解答题：共6题
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率，了解导数概念的实际背景.
2.通过函数图象，理解导数的几何意义.
3.了解利用导数定义求基本初等函数的导数.
4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
5.能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数.
【考点预测】
1.导数的概念
(1)如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝.
(2)当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝
limΔx→0.
2.导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos__x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin__x
f(x)＝ax(a＞0且a≠1)
f′(x)＝axln__a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a＞0且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x).
5.复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).
(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
【常用结论】
1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，则(f(x0))′＝0.
2.′＝－(f(x)≠0).
3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.
4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
【方法技巧】
1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
4.求曲线在点P(x0，y0)处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线垂直于x轴，切线方程为x＝x0.
5.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.
6.处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：
(1)切点处的导数是切线的斜率；
(2)切点在切线上，故满足切线方程；
(3)切点在曲线上，故满足曲线方程.
7.利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.
二、【题型归类】
【题型一】导数的概念
【典例1】已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.
(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.
(2)根据(1)中的计算，当Δx越来越小时，函数h(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
【解析】(1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，
∴＝－4.9Δx－3.3.
①当Δx＝2时，＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；
②当Δx＝1时，＝－4.9Δx－3.3＝－8.2；
③当Δx＝0.1时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.79；
④当Δx＝0.01时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.
(2)当Δx越来越小时，函数h(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.
【典例2】利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数.
【解析】由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)=，
而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，
于是f′(2)＝＝(－Δx－1)＝－1.
【典例3】已知f(x)在x0处的导数f′(x0)＝k，求下列各式的值：
(1) ；
(2).
【解析】(1)∵＝f′(x0)，
即＝f′(x0)＝k.
∴＝.
(2)∵，
即为函数f(x)在区间[x0－Δx，x0＋Δx]上的平均变化率.
∴当Δx→0时，必趋于f′(x0)＝k，
∴＝k，
∴＝2k.
【题型二】导数的运算
【典例1】(多选)下列求导运算正确的是( )
A.′＝－
B．(x2ex)′＝2x＋ex
C.′＝－sin
D.′＝1＋
【解析】′＝－·(ln x)′＝－，
故A正确；
(x2ex)′＝(x2＋2x)ex，故B错误；
′＝－2sin，故C错误；
′＝1＋，故D正确．
故选AD.
【典例2】函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋f′sin x，则f ＝________.
【解析】f′(x)＝2x＋f′cos x，
∴f′＝＋f′，
∴f′＝，
∴f ＝＋.
【典例3】已知函数f′(x)＝exsin x＋excos x，则f(2 021)－f(0)等于( )
A．e2 021cos 2 021 B．e2 021sin 2 021
C. D．e
【解析】因为f′(x)＝exsin x＋excos x，
所以f(x)＝exsin x＋k(k为常数)，
所以f(2 021)－f(0)＝e2 021sin 2 021.
【题型三】求切线方程
【典例1】曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为__________．
【解析】y′＝′＝＝，所以y′|x＝－1＝＝5，所以切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0.
【典例2】已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为______________．
【解析】∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，
∴设切点为(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋ln x，
∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.
∴由解得x0＝1，y0＝0.
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
【典例3】已知曲线y＝x3＋.
(1)求满足斜率为1的曲线的切线方程；
(2)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；
(3)求曲线过点P(2，4)的切线方程．
【解析】(1)y′＝x2，设切点为(x0，y0)，
故切线的斜率为k＝x＝1，
解得x0＝±1，故切点为，(－1，1)．
故所求切线方程为y－＝x－1和y－1＝x＋1，
即3x－3y＋2＝0和x－y＋2＝0.
(2)∵y′＝x2，且P(2，4)在曲线y＝x3＋上，
∴在点P(2，4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4.
∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(3)设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点A，又∵切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x，
∴切线方程为y－＝x(x－x0)，
即y＝xx－x＋.
∵点P(2，4)在切线上，∴4＝2x－x＋，
即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，
∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，
故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
【题型四】求参数的值(范围)
【典例1】直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝aln x＋b相切于点P(1,2)，则2a＋b等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【解析】∵直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝aln x＋b相切于点P(1,2)，
将P(1,2)代入y＝kx＋1，
可得k＋1＝2，解得k＝1，
∵ f(x)＝aln x＋b，∴ f′(x)＝，
由f′(1)＝＝1，
解得a＝1，可得f(x)＝ln x＋b，
∵P(1,2)在曲线f(x)＝ln x＋b上，
∴f(1)＝ln 1＋b＝2，
解得b＝2，故2a＋b＝2＋2＝4.
【典例2】已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m＝________.
【解析】∵f′(x)＝，∴直线l的斜率k＝f′(1)＝1.
又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.
g′(x)＝x＋m，
设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，
则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m<0，
∴m＝－2.
【典例3】过定点P(1，e)作曲线y＝aex(a>0)的切线，恰有2条，则实数a的取值范围是________．
【解析】由y′＝aex，若切点为(x0，aex0)，
则切线方程的斜率k＝y'|x=x0＝aex0>0，
∴切线方程为y＝aex0 (x－x0＋1)，
又P(1，e)在切线上，
∴aex0 (2－x0)＝e，
即＝ex0 (2－x0)有两个不同的解，
令φ(x)＝ex(2－x)，
∴φ′(x)＝(1－x)ex，
当x∈(－∞，1)时，φ′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，
∴φ(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴φ(x)max＝φ(1)＝e，
又x→－∞时，φ(x)→0；
x→＋∞时，φ(x)→－∞，
∴0<
【题型五】导数与函数图象
【典例1】已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )
【解析】由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.
【典例2】已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝______.
【解析】由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－.
∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，
又由题图可知f(3)＝1，
∴g′(3)＝1＋3×＝0.
【典例3】已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)等于( )
A．－1 B．0 C．2 D．4
【解析】由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，
∴f′(3)＝－，
∵g(x)＝xf(x)，
∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，
又由题图可知f(3)＝1，
∴g′(3)＝1＋3×＝0.
故选B.
【题型六】与两曲线的公切线有关的问题
【典例1】已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，直线l与f(x)的图象相切于点A(1,0)，若直线l与g(x)的图象也相切，则a等于( )
A．0 B．－1 C．3 D．－1或3
【解析】由f(x)＝xln x求导得f′(x)＝1＋ln x，
则f′(1)＝1＋ln 1＝1，于是得函数f(x)在点A(1,0)处的切线l的方程为y＝x－1，
因为直线l与g(x)的图象也相切，则方程组有唯一解，即关于x的一元二次方程x2＋(a－1)x＋1＝0有两个相等的实数根，
因此Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3，
所以a＝－1或a＝3.
【典例2】若曲线C1：y＝ax2(a>0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，则a的取值范围为________．
【解析】由y＝ax2(a>0)，得y′＝2ax，
由y＝ex，得y′＝ex，
曲线C1：y＝ax2(a>0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，
设公切线与曲线C1切于点(x1，ax)，
与曲线C2切于点(x2，ex2)，
则2ax1＝ex2=ex2-ax12x2-x1,
可得2x2＝x1＋2，
∴a＝ex12+12x1，
记f(x)＝ex2+12x，
则f′(x)＝ex2+1(x-2)4x2，
当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
∴当x＝2时，f(x)min＝.
∴a的取值范围是.
【典例3】若f(x)＝ln x与g(x)＝x2＋ax两个函数的图象有一条与直线y＝x平行的公共切线，则a等于( )
A．1 B．2 C．3 D．3或－1
【解析】设在函数f(x)＝ln x处的切点为(x，y)，根据导数的几何意义得到k＝＝1，
解得x＝1，故切点为(1,0)，可求出切线方程为y＝x－1，此切线和g(x)＝x2＋ax也相切，
故x2＋ax＝x－1，
化简得到x2＋(a－1)x＋1＝0，只需要满足Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3.
故选D.
三、【培优训练】
【训练一】若曲线y＝sin 2x＋cos2x在A(x1，y1)，B(x2，y2)两点处的切线互相垂直，则|x1－x2|的最小值为( )
A. B. C. D．π
【解析】∵y＝sin 2x＋cos2x
＝sin 2x＋×
＝sin＋，
∴y′＝cos，
∴曲线的切线斜率在[－1,1]范围内，
又曲线在两点处的切线互相垂直，
故在A(x1，y1)，B(x2，y2)两点处的切线斜率必须一个是1，一个是－1.
不妨设在A点处切线的斜率为1，
则有2x1＋＝2k1π(k1∈Z)，
2x2＋＝2k2π＋π(k2∈Z)，则可得x1－x2＝(k1－k2)π－＝kπ－(k∈Z)，
∴|x1－x2|min＝.
故选B.
【训练二】已知曲线C1：y＝ex＋m，C2：y＝x2，若恰好存在两条直线l1，l2与C1，C2都相切，则实数m的取值范围是____________．
【解析】由题意知，l1，l2的斜率存在，
设直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，设l1与C1，C2的切点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则
可得
故k1＝－k1，
整理得m＝ln k1－－1，
同理可得，当直线l2：y＝k2x＋b2与C1，C2都相切时，
有m＝ln k2－－1，
综上所述，只需m＝ln k－－1(k>0)有两解，
令f(k)＝ln k－－1，
则f′(k)＝－＝，
故当f′(k)>0时，0
所以f(k)在(0,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减，
故f(k)max＝f(4)＝ln 4－－1＝2ln 2－2，
所以只需满足m<2ln 2－2即可．
【训练三】给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．已知函数f(x)＝5x＋4sin x－cos x的“拐点”是M(x0，f(x0))，则点M( )
A．在直线y＝－5x上
B．在直线y＝5x上
C．在直线y＝－4x上
D．在直线y＝4x上
【解析】由题意，知f′(x)＝5＋4cos x＋sin x，
f″(x)＝－4sin x＋cos x，
由f″(x0)＝0，知4sin x0－cos x0＝0，
所以f(x0)＝5x0，
故点M(x0，f(x0))在直线y＝5x上．
【训练四】已知函数f(x)＝|ex－1|，x1<0，x2>0，函数f(x)的图象在点A(x1，f(x1))和点B(x2，f(x2))处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则的取值范围是________.
【解析】由题意，f(x)＝|ex－1|
＝
则f′(x)＝
所以点A(x1，1－ex1)和点B(x2，ex2－1)，kAM＝－ex1，kBN＝ex2，
所以－ex1·ex2＝－1，所以ex1＋x2＝1，所以x1＋x2＝0，
所以AM的方程为y－1＋ex1＝－ex1(x－x1)，
M(0，ex1x1－ex1＋1)，
所以|AM|＝
＝·|x1|，
同理|BN|＝·|x2|，
所以＝＝＝＝ex1∈(0，1).
【训练五】已知函数f(x)＝x－.
(1)求曲线f(x)过点(0，－3)的切线方程；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
【解析】(1)f′(x)＝1＋，
设切点为(x0，y0)，则曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝·(x－x0)，
∵切线过(0，－3)，
∴－3－＝·(－x0)，
解得x0＝2，∴y0＝，
∴所求切线方程为y－＝(x－2)，即y＝x－3.
(2)设P(m，n)为曲线f(x)上任一点，由(1)知过P点的切线方程为y－n＝(x－m)，
即y－＝(x－m)，
令x＝0，得y＝－，
从而切线与直线x＝0的交点为，
令y＝x，得y＝x＝2m，
从而切线与直线y＝x的交点为(2m,2m)，
∴点P(m，n)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积S＝··|2m|＝6，为定值．
【训练六】若直线l与曲线C满足下列两个条件：(1)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(2)曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①直线l：y＝0在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝x3
②直线l：x＝－1在点P(－1，0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)2
③直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝sinx
④直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝tanx
⑤直线l：y＝x－1在点P(1，0)处“切过”曲线C：y＝lnx
【解析】对于①，y′＝(x3)′＝3x2，y′|x＝0＝0，所以l：y＝0是曲线C：y＝x3在点P(0，0)处的切线，画图可知曲线C：y＝x3在点P(0，0)附近位于直线l的两侧，①正确；
对于②，l：x＝－1显然不是曲线C：y＝(x＋1)2在点P(－1，0)处的切线，②错误；
对于③，y′＝(sinx)′＝cosx，y′|x＝0＝1，曲线在点P(0，0)处的切线为l：y＝x，画图可知曲线C：y＝sinx在点P(0，0)附近位于直线l的两侧，③正确；
对于④，y′＝(tanx)′＝′＝，y′|x＝0＝＝1，曲线在点P(0，0)处的切线为l：y＝x，画图可知曲线C：y＝tanx在点P(0，0)附近位于直线l的两侧，④正确；
对于⑤，y′＝(lnx)′＝，y′|x＝1＝1，在点P(1，0)处的切线为l：y＝x－1，令h(x)＝x－1－lnx(x＞0)，可得h′(x)＝1－＝，所以h(x)min＝h(1)＝0，故x－1≥lnx，可知曲线C：y＝lnx在点P(1，0)附近位于直线l的下方，⑤错误．故填①③④.
四、【强化测试】
【单选题】
1. 下列求导运算正确的是( )
A.′＝1＋ B．(log2x)′＝
C．(5x)′＝5xlog5x D．(x2cos x)′＝－2xsin x
【解析】(log2x)′＝，故B正确．
2. 曲线f(x)＝在点P(1，f(1))处的切线l的方程为( )
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－3＝0
C．3x＋y＋2＝0 D．3x＋y－4＝0
【解析】因为f(x)＝，所以f′(x)＝.
又f(1)＝1，且f′(1)＝－3，
故所求切线方程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0.
3. 已知函数f(x)＝x2＋cos x，则其导函数f′(x)的图象大致是( )
【解析】f′(x)＝x－sin x，
∴f′(x)为奇函数，排除B，D，
又f′＝－sin ＝－<0，
故选A.
4. 设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，则曲线在点P处切线的倾斜角α的取值范围为( )
A.∪ B.
C.∪ D.
【解析】y′＝3x2－，
∴y′≥－，
∴tan α≥－，
又α∈[0，π)，
故α∈∪
故选C.
5. 已知函数f(x)可导，则 等于( )
A．f′(x) B．f′(2)
C．f(x) D．f(2)
【解析】因为函数f(x)可导，
所以f′(x)＝ ，
所以 ＝f′(2)．
故选B.
6. 如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )
A．－1 B．0
C．3 D．4
【解析】由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率为－，即f′(3)＝－，又g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.故选B.
7. 在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝( )
A．26 B．29
C．212 D．215
【解析】因为f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，
所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.
因为数列{an}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.故选C．
8. 设曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4，在曲线C上一点M(1，－4)处的切线记为l，则切线l与曲线C的公共点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】y′＝12x3－6x2－18x，则y′|x＝1＝12×13－6×12－18×1＝－12，
所以曲线y＝3x4－2x3－9x2＋4在点M(1，－4)处的切线方程为y＋4＝－12(x－1)，即12x＋y－8＝0.联立解得
或或
故切线与曲线C还有其他的公共点(－2，32)，，
所以切线l与曲线C的公共点个数为3.故选C.
【多选题】
9. 若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝3cos x B．f(x)＝x3＋x
C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝ex＋x
【解析】对于A，f(x)＝3cos x，其导数f′(x)＝－3sin x，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B，f(x)＝x3＋x，其导数f′(x)＝3x2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于C，f(x)＝x＋，其导数f′(x)＝1－，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于D，f(x)＝ex＋x，其导数f′(x)＝ex＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意．
故选BC.
10. 已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是( )
A．f′(3)>f′(2)
B．f′(3)
D．f(3)－f(2)
由图知f′(2)>f′(3)>0，
故A错误，B正确．
设A(2，f(2))，B(3，f(3))，
则f(3)－f(2)＝＝kAB，
由图知f′(3)
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－x
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝tan x
【解析】若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f(x)＝ln x，则f′(x)＝，令ln x＝，在同一直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解，故C符合要求；若f(x)＝tan x，则f′(x)＝′＝，令tan x＝，化简得sin xcos x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，故D不符合要求．故选AC.
12. 已知曲线f(x)＝x3－x2＋ax－1上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值可能为( )
A. B．3
C. D.
【解析】f′(x)＝2x2－2x＋a，因为曲线y＝f(x)上存在两条斜率为3的不同切线，所以f′(x)＝3有两个不相等的实数根，即2x2－2x＋a－3＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝(－2)2－4×2×(a－3)>0，①
设两切点的横坐标分别为x1，x2.
因为切点的横坐标都大于零，
所以x1>0，x2>0，
所以②
联立①②解得3
【填空题】
13. 设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝x＋ln x，则f′(1)＝________．
【解析】因为f(ln x)＝x＋ln x，所以f(x)＝x＋ex，
所以f′(x)＝1＋ex，所以f′(1)＝1＋e1＝1＋e.
14. 若函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，则t＝________，切线方程为________．
【解析】因为函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1，所以f′(x)＝3x2＋t－1.因为函数f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，所以f′(－1)＝3×(－1)2＋t－1＝2＋t＝0，解得t＝－2.此时f(x)＝x3－3x－1，f(－1)＝1，切线方程为y＝1.
15. 已知曲线y＝＋在x＝1处的切线l与直线2x＋3y＝0垂直，则实数a的值为________．
【解析】y′＝－＋，当x＝1时，y′＝－1＋.由于切线l与直线2x＋3y＝0垂直，所以·＝－1，解得a＝.
16. 定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，如果函数g(x)＝x，h(x)＝ln x，φ(x)＝cos x的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是
【解析】由题意，得g′(α)＝1＝g(α)，所以α＝1.由h(x)＝ln x，得h′(x)＝.令r(x)＝ln x－，可得r(1)<0，r(2)>0，故1<β<2.由φ(x)＝cos x，得φ′(γ)＝－sin γ＝cos γ，所以cos γ＋sin γ＝0，且γ∈，所以γ＝.综上可知，γ>β>α.
【解答题】
17. 求下列函数的导数：
(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；
(2)y＝sin(1－2cos2)；
(3)y＝.
【解析】(1)因为y＝(3x2－4x)(2x＋1)
＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，
所以y′＝18x2－10x－4.
(2)因为y＝sin(－cos)＝－sin x，
所以y′＝(－sin x)′＝－(sin x)′＝－cos x.
(3)y′＝＝
＝.
18. 已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
【解析】f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
(1)由题意得
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，
即4a2＋4a＋1>0，
所以a≠－.
所以a的取值范围为∪.
19. 设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.
【解析】方程7x－4y－12＝0可化为
y＝x－3，当x＝2时，y＝.
又∵f′(x)＝a＋，
∴解得
∴f(x)＝x－.
(2)证明 设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－＝(x－x0).令x＝0，得y＝－，∴切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，∴切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0).∴曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形的面积S＝|－||2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.
20. f(x)＝ax－，g(x)＝lnx，x＞0，常数a∈R.
(1)求曲线y＝g(x)在点P(1，g(1))处的切线l.
(2)是否存在常数a，使(1)中的切线l也是曲线y＝f(x)的一条切线，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)由题意知，g(1)＝0，又g′(x)＝，g′(1)＝1，所以直线l的方程为y＝x－1.
(2)f′(x)＝a＋，设y＝f(x)在x＝x0处的切线为l，则有
解得 此时f(2)＝1，
即当a＝时，l是曲线y＝f(x)在点Q(2，1)处的切线．
21. 已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的方程．
【解析】(1)f′(x)＝1－，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝1－＝0，解得a＝e.
(2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋，f′(x)＝1－.
设切点为(x0，y0)，
∵f(x0)＝x0－1＋＝kx0－1，①
f′(x0)＝1－＝k，②
①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0.
若k＝1，则②式无解，∴x0＝－1，k＝1－e.
∴l的方程为y＝(1－e)x－1.
22. 已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标.
【解析】(1)由题意知f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－2x＋a，对于f′(x)＝0，Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a).
①当a≥时，Δ≤0，f′(x)≥0在R上恒成立，所以f(x)在R上单调递增；
②当a<时，令f′(x)＝0，即3x2－2x＋a＝0，
解得x1＝，x2＝，
令f′(x)>0，则xx2；
令f′(x)<0，则x1
综上，当a≥时，f(x)在R上单调递增；
当a<时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增.
(2)记曲线y＝f(x)过坐标原点的切线为l，切点为P(x0，x－x＋ax0＋1).
因为f′(x0)＝3x－2x0＋a，所以切线l的方程为y－(x－x＋ax0＋1)＝(3x－2x0＋a)(x－x0).
由l过坐标原点，得2x－x－1＝0，解得x0＝1，所以切线l的方程为y＝(1＋a)x.
由解得或
所以曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标为(1，1＋a)和(－1，－1－a).
专题15导数的概念及运算
知识梳理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题型归类
题型一：导数的概念
题型二：导数的运算
题型三：求切线方程
题型四：求参数的值(范围)
题型五：导数与函数图象
题型六：与两曲线的公切线有关的问题
培优训练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强化测试
单选题：共8题
多选题：共4题
填空题：共4题
解答题：共6题
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率，了解导数概念的实际背景.
2.通过函数图象，理解导数的几何意义.
3.了解利用导数定义求基本初等函数的导数.
4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
5.能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数.
【考点预测】
1.导数的概念
(1)如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝.
(2)当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)(或y′)，即f′(x)＝y′＝
limΔx→0.
2.导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
3.基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos__x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin__x
f(x)＝ax(a＞0且a≠1)
f′(x)＝axln__a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a＞0且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有：
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x).
5.复合函数的定义及其导数
(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).
(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
【常用结论】
1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，则(f(x0))′＝0.
2.′＝－(f(x)≠0).
3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.
4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.
【方法技巧】
1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
4.求曲线在点P(x0，y0)处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线垂直于x轴，切线方程为x＝x0.
5.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.过点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.
6.处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：
(1)切点处的导数是切线的斜率；
(2)切点在切线上，故满足切线方程；
(3)切点在曲线上，故满足曲线方程.
7.利用导数的几何意义求参数问题时，注意利用数形结合，化归与转化的思想方法.
二、【题型归类】
【题型一】导数的概念
【典例1】已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.
(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.
(2)根据(1)中的计算，当Δx越来越小时，函数h(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？
【解析】(1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，
∴＝－4.9Δx－3.3.
①当Δx＝2时，＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；
②当Δx＝1时，＝－4.9Δx－3.3＝－8.2；
③当Δx＝0.1时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.79；
④当Δx＝0.01时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.
(2)当Δx越来越小时，函数h(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.
【典例2】利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数.
【解析】由导数的定义知，函数在x＝2处的导数f′(2)=，
而f(2＋Δx)－f(2)＝－(2＋Δx)2＋3(2＋Δx)－(－22＋3×2)＝－(Δx)2－Δx，
于是f′(2)＝＝(－Δx－1)＝－1.
【典例3】已知f(x)在x0处的导数f′(x0)＝k，求下列各式的值：
(1) ；
(2).
【解析】(1)∵＝f′(x0)，
即＝f′(x0)＝k.
∴＝.
(2)∵，
即为函数f(x)在区间[x0－Δx，x0＋Δx]上的平均变化率.
∴当Δx→0时，必趋于f′(x0)＝k，
∴＝k，
∴＝2k.
【题型二】导数的运算
【典例1】(多选)下列求导运算正确的是( )
A.′＝－
B．(x2ex)′＝2x＋ex
C.′＝－sin
D.′＝1＋
【解析】′＝－·(ln x)′＝－，
故A正确；
(x2ex)′＝(x2＋2x)ex，故B错误；
′＝－2sin，故C错误；
′＝1＋，故D正确．
故选AD.
【典例2】函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋f′sin x，则f ＝________.
【解析】f′(x)＝2x＋f′cos x，
∴f′＝＋f′，
∴f′＝，
∴f ＝＋.
【典例3】已知函数f′(x)＝exsin x＋excos x，则f(2 021)－f(0)等于( )
A．e2 021cos 2 021 B．e2 021sin 2 021
C. D．e
【解析】因为f′(x)＝exsin x＋excos x，
所以f(x)＝exsin x＋k(k为常数)，
所以f(2 021)－f(0)＝e2 021sin 2 021.
【题型三】求切线方程
【典例1】曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为__________．
【解析】y′＝′＝＝，所以y′|x＝－1＝＝5，所以切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0.
【典例2】已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为______________．
【解析】∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，
∴设切点为(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋ln x，
∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x.
∴由解得x0＝1，y0＝0.
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
【典例3】已知曲线y＝x3＋.
(1)求满足斜率为1的曲线的切线方程；
(2)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；
(3)求曲线过点P(2，4)的切线方程．
【解析】(1)y′＝x2，设切点为(x0，y0)，
故切线的斜率为k＝x＝1，
解得x0＝±1，故切点为，(－1，1)．
故所求切线方程为y－＝x－1和y－1＝x＋1，
即3x－3y＋2＝0和x－y＋2＝0.
(2)∵y′＝x2，且P(2，4)在曲线y＝x3＋上，
∴在点P(2，4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4.
∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(3)设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点A，又∵切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x，
∴切线方程为y－＝x(x－x0)，
即y＝xx－x＋.
∵点P(2，4)在切线上，∴4＝2x－x＋，
即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，
∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，
故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
【题型四】求参数的值(范围)
【典例1】直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝aln x＋b相切于点P(1,2)，则2a＋b等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【解析】∵直线y＝kx＋1与曲线f(x)＝aln x＋b相切于点P(1,2)，
将P(1,2)代入y＝kx＋1，
可得k＋1＝2，解得k＝1，
∵ f(x)＝aln x＋b，∴ f′(x)＝，
由f′(1)＝＝1，
解得a＝1，可得f(x)＝ln x＋b，
∵P(1,2)在曲线f(x)＝ln x＋b上，
∴f(1)＝ln 1＋b＝2，
解得b＝2，故2a＋b＝2＋2＝4.
【典例2】已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m＝________.
【解析】∵f′(x)＝，∴直线l的斜率k＝f′(1)＝1.
又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.
g′(x)＝x＋m，
设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，
则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m<0，
∴m＝－2.
【典例3】过定点P(1，e)作曲线y＝aex(a>0)的切线，恰有2条，则实数a的取值范围是________．
【解析】由y′＝aex，若切点为(x0，aex0)，
则切线方程的斜率k＝y'|x=x0＝aex0>0，
∴切线方程为y＝aex0 (x－x0＋1)，
又P(1，e)在切线上，
∴aex0 (2－x0)＝e，
即＝ex0 (2－x0)有两个不同的解，
令φ(x)＝ex(2－x)，
∴φ′(x)＝(1－x)ex，
当x∈(－∞，1)时，φ′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，
∴φ(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴φ(x)max＝φ(1)＝e，
又x→－∞时，φ(x)→0；
x→＋∞时，φ(x)→－∞，
∴0<
【题型五】导数与函数图象
【典例1】已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )
【解析】由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.
【典例2】已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝______.
【解析】由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－.
∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，
又由题图可知f(3)＝1，
∴g′(3)＝1＋3×＝0.
【典例3】已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)等于( )
A．－1 B．0 C．2 D．4
【解析】由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，
∴f′(3)＝－，
∵g(x)＝xf(x)，
∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，
又由题图可知f(3)＝1，
∴g′(3)＝1＋3×＝0.
故选B.
【题型六】与两曲线的公切线有关的问题
【典例1】已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，直线l与f(x)的图象相切于点A(1,0)，若直线l与g(x)的图象也相切，则a等于( )
A．0 B．－1 C．3 D．－1或3
【解析】由f(x)＝xln x求导得f′(x)＝1＋ln x，
则f′(1)＝1＋ln 1＝1，于是得函数f(x)在点A(1,0)处的切线l的方程为y＝x－1，
因为直线l与g(x)的图象也相切，则方程组有唯一解，即关于x的一元二次方程x2＋(a－1)x＋1＝0有两个相等的实数根，
因此Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3，
所以a＝－1或a＝3.
【典例2】若曲线C1：y＝ax2(a>0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，则a的取值范围为________．
【解析】由y＝ax2(a>0)，得y′＝2ax，
由y＝ex，得y′＝ex，
曲线C1：y＝ax2(a>0)与曲线C2：y＝ex存在公共切线，
设公切线与曲线C1切于点(x1，ax)，
与曲线C2切于点(x2，ex2)，
则2ax1＝ex2=ex2-ax12x2-x1,
可得2x2＝x1＋2，
∴a＝ex12+12x1，
记f(x)＝ex2+12x，
则f′(x)＝ex2+1(x-2)4x2，
当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
∴当x＝2时，f(x)min＝.
∴a的取值范围是.
【典例3】若f(x)＝ln x与g(x)＝x2＋ax两个函数的图象有一条与直线y＝x平行的公共切线，则a等于( )
A．1 B．2 C．3 D．3或－1
【解析】设在函数f(x)＝ln x处的切点为(x，y)，根据导数的几何意义得到k＝＝1，
解得x＝1，故切点为(1,0)，可求出切线方程为y＝x－1，此切线和g(x)＝x2＋ax也相切，
故x2＋ax＝x－1，
化简得到x2＋(a－1)x＋1＝0，只需要满足Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3.
故选D.
三、【培优训练】
【训练一】若曲线y＝sin 2x＋cos2x在A(x1，y1)，B(x2，y2)两点处的切线互相垂直，则|x1－x2|的最小值为( )
A. B. C. D．π
【解析】∵y＝sin 2x＋cos2x
＝sin 2x＋×
＝sin＋，
∴y′＝cos，
∴曲线的切线斜率在[－1,1]范围内，
又曲线在两点处的切线互相垂直，
故在A(x1，y1)，B(x2，y2)两点处的切线斜率必须一个是1，一个是－1.
不妨设在A点处切线的斜率为1，
则有2x1＋＝2k1π(k1∈Z)，
2x2＋＝2k2π＋π(k2∈Z)，则可得x1－x2＝(k1－k2)π－＝kπ－(k∈Z)，
∴|x1－x2|min＝.
故选B.
【训练二】已知曲线C1：y＝ex＋m，C2：y＝x2，若恰好存在两条直线l1，l2与C1，C2都相切，则实数m的取值范围是____________．
【解析】由题意知，l1，l2的斜率存在，
设直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，设l1与C1，C2的切点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则
可得
故k1＝－k1，
整理得m＝ln k1－－1，
同理可得，当直线l2：y＝k2x＋b2与C1，C2都相切时，
有m＝ln k2－－1，
综上所述，只需m＝ln k－－1(k>0)有两解，
令f(k)＝ln k－－1，
则f′(k)＝－＝，
故当f′(k)>0时，0
所以f(k)在(0,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减，
故f(k)max＝f(4)＝ln 4－－1＝2ln 2－2，
所以只需满足m<2ln 2－2即可．
【训练三】给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．已知函数f(x)＝5x＋4sin x－cos x的“拐点”是M(x0，f(x0))，则点M( )
A．在直线y＝－5x上
B．在直线y＝5x上
C．在直线y＝－4x上
D．在直线y＝4x上
【解析】由题意，知f′(x)＝5＋4cos x＋sin x，
f″(x)＝－4sin x＋cos x，
由f″(x0)＝0，知4sin x0－cos x0＝0，
所以f(x0)＝5x0，
故点M(x0，f(x0))在直线y＝5x上．
【训练四】已知函数f(x)＝|ex－1|，x1<0，x2>0，函数f(x)的图象在点A(x1，f(x1))和点B(x2，f(x2))处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则的取值范围是________.
【解析】由题意，f(x)＝|ex－1|
＝
则f′(x)＝
所以点A(x1，1－ex1)和点B(x2，ex2－1)，kAM＝－ex1，kBN＝ex2，
所以－ex1·ex2＝－1，所以ex1＋x2＝1，所以x1＋x2＝0，
所以AM的方程为y－1＋ex1＝－ex1(x－x1)，
M(0，ex1x1－ex1＋1)，
所以|AM|＝
＝·|x1|，
同理|BN|＝·|x2|，
所以＝＝＝＝ex1∈(0，1).
【训练五】已知函数f(x)＝x－.
(1)求曲线f(x)过点(0，－3)的切线方程；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
【解析】(1)f′(x)＝1＋，
设切点为(x0，y0)，则曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝·(x－x0)，
∵切线过(0，－3)，
∴－3－＝·(－x0)，
解得x0＝2，∴y0＝，
∴所求切线方程为y－＝(x－2)，即y＝x－3.
(2)设P(m，n)为曲线f(x)上任一点，由(1)知过P点的切线方程为y－n＝(x－m)，
即y－＝(x－m)，
令x＝0，得y＝－，
从而切线与直线x＝0的交点为，
令y＝x，得y＝x＝2m，
从而切线与直线y＝x的交点为(2m,2m)，
∴点P(m，n)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积S＝··|2m|＝6，为定值．
【训练六】若直线l与曲线C满足下列两个条件：(1)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(2)曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．
①直线l：y＝0在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝x3
②直线l：x＝－1在点P(－1，0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)2
③直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝sinx
④直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝tanx
⑤直线l：y＝x－1在点P(1，0)处“切过”曲线C：y＝lnx
【解析】对于①，y′＝(x3)′＝3x2，y′|x＝0＝0，所以l：y＝0是曲线C：y＝x3在点P(0，0)处的切线，画图可知曲线C：y＝x3在点P(0，0)附近位于直线l的两侧，①正确；
对于②，l：x＝－1显然不是曲线C：y＝(x＋1)2在点P(－1，0)处的切线，②错误；
对于③，y′＝(sinx)′＝cosx，y′|x＝0＝1，曲线在点P(0，0)处的切线为l：y＝x，画图可知曲线C：y＝sinx在点P(0，0)附近位于直线l的两侧，③正确；
对于④，y′＝(tanx)′＝′＝，y′|x＝0＝＝1，曲线在点P(0，0)处的切线为l：y＝x，画图可知曲线C：y＝tanx在点P(0，0)附近位于直线l的两侧，④正确；
对于⑤，y′＝(lnx)′＝，y′|x＝1＝1，在点P(1，0)处的切线为l：y＝x－1，令h(x)＝x－1－lnx(x＞0)，可得h′(x)＝1－＝，所以h(x)min＝h(1)＝0，故x－1≥lnx，可知曲线C：y＝lnx在点P(1，0)附近位于直线l的下方，⑤错误．故填①③④.
四、【强化测试】
【单选题】
1. 下列求导运算正确的是( )
A.′＝1＋ B．(log2x)′＝
C．(5x)′＝5xlog5x D．(x2cos x)′＝－2xsin x
【解析】(log2x)′＝，故B正确．
2. 曲线f(x)＝在点P(1，f(1))处的切线l的方程为( )
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－3＝0
C．3x＋y＋2＝0 D．3x＋y－4＝0
【解析】因为f(x)＝，所以f′(x)＝.
又f(1)＝1，且f′(1)＝－3，
故所求切线方程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0.
3. 已知函数f(x)＝x2＋cos x，则其导函数f′(x)的图象大致是( )
【解析】f′(x)＝x－sin x，
∴f′(x)为奇函数，排除B，D，
又f′＝－sin ＝－<0，
故选A.
4. 设点P是曲线y＝x3－x＋上的任意一点，则曲线在点P处切线的倾斜角α的取值范围为( )
A.∪ B.
C.∪ D.
【解析】y′＝3x2－，
∴y′≥－，
∴tan α≥－，
又α∈[0，π)，
故α∈∪
故选C.
5. 已知函数f(x)可导，则 等于( )
A．f′(x) B．f′(2)
C．f(x) D．f(2)
【解析】因为函数f(x)可导，
所以f′(x)＝ ，
所以 ＝f′(2)．
故选B.
6. 如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )
A．－1 B．0
C．3 D．4
【解析】由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率为－，即f′(3)＝－，又g(x)＝xf(x)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.故选B.
7. 在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝( )
A．26 B．29
C．212 D．215
【解析】因为f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，
所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.
因为数列{an}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.故选C．
8. 设曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4，在曲线C上一点M(1，－4)处的切线记为l，则切线l与曲线C的公共点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】y′＝12x3－6x2－18x，则y′|x＝1＝12×13－6×12－18×1＝－12，
所以曲线y＝3x4－2x3－9x2＋4在点M(1，－4)处的切线方程为y＋4＝－12(x－1)，即12x＋y－8＝0.联立解得
或或
故切线与曲线C还有其他的公共点(－2，32)，，
所以切线l与曲线C的公共点个数为3.故选C.
【多选题】
9. 若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝3cos x B．f(x)＝x3＋x
C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝ex＋x
【解析】对于A，f(x)＝3cos x，其导数f′(x)＝－3sin x，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B，f(x)＝x3＋x，其导数f′(x)＝3x2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于C，f(x)＝x＋，其导数f′(x)＝1－，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于D，f(x)＝ex＋x，其导数f′(x)＝ex＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意．
故选BC.
10. 已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是( )
A．f′(3)>f′(2)
B．f′(3)
D．f(3)－f(2)
由图知f′(2)>f′(3)>0，
故A错误，B正确．
设A(2，f(2))，B(3，f(3))，
则f(3)－f(2)＝＝kAB，
由图知f′(3)
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝e－x
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝tan x
【解析】若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f(x)＝ln x，则f′(x)＝，令ln x＝，在同一直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f(x)＝f′(x)存在实数解，故C符合要求；若f(x)＝tan x，则f′(x)＝′＝，令tan x＝，化简得sin xcos x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，故D不符合要求．故选AC.
12. 已知曲线f(x)＝x3－x2＋ax－1上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值可能为( )
A. B．3
C. D.
【解析】f′(x)＝2x2－2x＋a，因为曲线y＝f(x)上存在两条斜率为3的不同切线，所以f′(x)＝3有两个不相等的实数根，即2x2－2x＋a－3＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝(－2)2－4×2×(a－3)>0，①
设两切点的横坐标分别为x1，x2.
因为切点的横坐标都大于零，
所以x1>0，x2>0，
所以②
联立①②解得3
【填空题】
13. 设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝x＋ln x，则f′(1)＝________．
【解析】因为f(ln x)＝x＋ln x，所以f(x)＝x＋ex，
所以f′(x)＝1＋ex，所以f′(1)＝1＋e1＝1＋e.
14. 若函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，则t＝________，切线方程为________．
【解析】因为函数f(x)＝x3＋(t－1)x－1，所以f′(x)＝3x2＋t－1.因为函数f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线平行于x轴，所以f′(－1)＝3×(－1)2＋t－1＝2＋t＝0，解得t＝－2.此时f(x)＝x3－3x－1，f(－1)＝1，切线方程为y＝1.
15. 已知曲线y＝＋在x＝1处的切线l与直线2x＋3y＝0垂直，则实数a的值为________．
【解析】y′＝－＋，当x＝1时，y′＝－1＋.由于切线l与直线2x＋3y＝0垂直，所以·＝－1，解得a＝.
16. 定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，如果函数g(x)＝x，h(x)＝ln x，φ(x)＝cos x的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是
【解析】由题意，得g′(α)＝1＝g(α)，所以α＝1.由h(x)＝ln x，得h′(x)＝.令r(x)＝ln x－，可得r(1)<0，r(2)>0，故1<β<2.由φ(x)＝cos x，得φ′(γ)＝－sin γ＝cos γ，所以cos γ＋sin γ＝0，且γ∈，所以γ＝.综上可知，γ>β>α.
【解答题】
17. 求下列函数的导数：
(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；
(2)y＝sin(1－2cos2)；
(3)y＝.
【解析】(1)因为y＝(3x2－4x)(2x＋1)
＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，
所以y′＝18x2－10x－4.
(2)因为y＝sin(－cos)＝－sin x，
所以y′＝(－sin x)′＝－(sin x)′＝－cos x.
(3)y′＝＝
＝.
18. 已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
【解析】f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
(1)由题意得
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，
即4a2＋4a＋1>0，
所以a≠－.
所以a的取值范围为∪.
19. 设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.
【解析】方程7x－4y－12＝0可化为
y＝x－3，当x＝2时，y＝.
又∵f′(x)＝a＋，
∴解得
∴f(x)＝x－.
(2)证明 设P(x0，y0)为曲线y＝f(x)上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－＝(x－x0).令x＝0，得y＝－，∴切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，∴切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0).∴曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形的面积S＝|－||2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.
20. f(x)＝ax－，g(x)＝lnx，x＞0，常数a∈R.
(1)求曲线y＝g(x)在点P(1，g(1))处的切线l.
(2)是否存在常数a，使(1)中的切线l也是曲线y＝f(x)的一条切线，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)由题意知，g(1)＝0，又g′(x)＝，g′(1)＝1，所以直线l的方程为y＝x－1.
(2)f′(x)＝a＋，设y＝f(x)在x＝x0处的切线为l，则有
解得 此时f(2)＝1，
即当a＝时，l是曲线y＝f(x)在点Q(2，1)处的切线．
21. 已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的方程．
【解析】(1)f′(x)＝1－，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝1－＝0，解得a＝e.
(2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋，f′(x)＝1－.
设切点为(x0，y0)，
∵f(x0)＝x0－1＋＝kx0－1，①
f′(x0)＝1－＝k，②
①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0.
若k＝1，则②式无解，∴x0＝－1，k＝1－e.
∴l的方程为y＝(1－e)x－1.
22. 已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标.
【解析】(1)由题意知f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－2x＋a，对于f′(x)＝0，Δ＝(－2)2－4×3a＝4(1－3a).
①当a≥时，Δ≤0，f′(x)≥0在R上恒成立，所以f(x)在R上单调递增；
②当a<时，令f′(x)＝0，即3x2－2x＋a＝0，
解得x1＝，x2＝，
令f′(x)>0，则x
令f′(x)<0，则x1
综上，当a≥时，f(x)在R上单调递增；
当a<时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增.
(2)记曲线y＝f(x)过坐标原点的切线为l，切点为P(x0，x－x＋ax0＋1).
因为f′(x0)＝3x－2x0＋a，所以切线l的方程为y－(x－x＋ax0＋1)＝(3x－2x0＋a)(x－x0).
由l过坐标原点，得2x－x－1＝0，解得x0＝1，所以切线l的方程为y＝(1＋a)x.
由解得或
所以曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标为(1，1＋a)和(－1，－1－a).
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