2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题48直线的方程（Word版附解析）

这是一份2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题48直线的方程（Word版附解析），共31页。试卷主要包含了【知识梳理】，【题型归类】，【培优训练】，【强化测试】等内容，欢迎下载使用。


专题48直线的方程
知识梳理
考纲要求
考点预测
常用结论
方法技巧
题型归类
题型一：直线的倾斜角与斜率
题型二：求直线的方程
题型三：直线方程的综合应用

培优训练
训练一：
训练二：
训练三：
训练四：
训练五：
训练六：
强化测试
单选题：共8题
多选题：共4题
填空题：共4题
解答题：共6题
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
【考点预测】
1.直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°；
(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α<180°}.
2.直线的斜率
(1)定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan__α.
(2)计算公式
①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝.
②设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝.
3.直线方程的五种形式
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
＝
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
＋＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式

Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
所有直线

【常用结论】
直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
α
0°
0°<α<90°
90°
90°<α<180°
k
0
k>0
不存在
k<0

牢记口诀：
1．“斜率变化分两段，90°是分界线；
遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．
2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)．
【方法技巧】
1.斜率的两种求法：定义法、斜率公式法．
2.倾斜角和斜率范围求法：①图形观察(数形结合)；②充分利用函数k＝tan α的单调性．
3.求直线方程一般有以下两种方法：
①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程．
②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程．
4.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使用时要注意分类讨论思想的运用．
5.直线过定点问题可以利用直线点斜式方程的结构特征，对照得到定点坐标．
6.求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积．
7.求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．
二、【题型归类】
【题型一】直线的倾斜角与斜率
【典例1】直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的变化范围是(　　)
A.　　 B.
C.　　 D.
【解析】直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α.
由于α∈，
所以≤cos α≤，
因此k＝2cos α∈[1，]．
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，]．
由于θ∈[0，π)，
所以θ∈，即倾斜角的变化范围是.故选B.
【典例2】过函数f(x)＝x3－x2的图象上一个动点作函数图象的切线，则切线倾斜角的取值范围为(　　)
A.　　 B.∪
C.　　 D.
【解析】设切线的倾斜角为α，则α∈[0，π)，
∵f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴切线的斜率k＝tan α≥－1，
则α∈∪.
故选B.
【典例3】若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈∪，则k的取值范围是________．
【解析】当α∈时，
k＝tan　α∈；
当α∈时，k＝tan α∈[－，0)．
综上得k∈[－，0)∪.
【题型二】求直线的方程
【典例1】经过点P(2，－3)，且倾斜角为45°的直线方程为(　　)
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋5＝0 D．x－y－5＝0
【解析】倾斜角为45°的直线的斜率为tan 45°＝1，又该直线经过点P(2，－3)，所以用点斜式求得直线的方程为y＋3＝x－2，即x－y－5＝0.
故选D.
【典例2】已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是(　　)
A．x＋y－3＝0 B．x－3y－2＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
【解析】设直线l的倾斜角为α，则tan α＝k＝2，
直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k′＝tan＝＝－3，又点M(2,0)，
所以y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.
故选D.
【典例3】经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3,2)的直线方程为__________．
【解析】联立解得x＝1，y＝1，
∴直线过点(1,1)，
∵直线的方向向量v＝(－3,2)，
∴直线的斜率k＝－.
则直线的方程为y－1＝－(x－1)，
即2x＋3y－5＝0.
【题型三】直线方程的综合应用

【典例1】已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
【解析】法一：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，A，B(0，1－2k)，S△AOB＝(1－2k)·＝≥(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
法二：设直线l：＋＝1，且a＞0，b＞0，因为直线l过点M(2，1)，所以＋＝1，则1＝＋≥2，故ab≥8，故S△AOB的最小值为×ab＝×8＝4，当且仅当＝＝时取等号，此时a＝4，b＝2，故直线l为＋＝1，即x＋2y－4＝0.
【典例2】已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．
【解析】直线方程可化为＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2，0)，与y轴的交点为B(0，1)，
由动点P(a，b)在线段AB上，
可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，
从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－2＋，
0≤b≤1，
故当b＝时，ab取得最大值.
【典例3】当k>0时，两直线kx－y＝0，2x＋ky－2＝0与x轴围成的三角形面积的最大值为________．
【解析】直线2x＋ky－2＝0与x轴交于点(1，0)．由解得y＝，所以两直线kx－y＝0，2x＋ky－2＝0与x轴围成的三角形的面积为×1×＝，又k＋≥2＝2，当且仅当k＝时取等号，故三角形面积的最大值为.
三、【培优训练】
【训练一】（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，以为圆心的圆与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，线段与交于点.若与的焦距的比值为，则的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出以为圆心的圆的方程，求出，，求出直线的方程后结合距离公式可求的坐标，代入椭圆方程后可求离心率.
【详解】  
设椭圆的半焦距为，因为以为圆心的圆过，故该圆的半径为，
故其方程为：，
令，则，结合在轴正半轴上，故，
令，则或，故.
故，故直线.
设，
因为在轴的正半轴上，在轴的负半轴上，故，
而，
故，整理得到：，
故，故，
所以，故，
整理得到：，故，
故选：D.
【点睛】思路点睛：圆锥曲线中离心率的值或范围的计算，关键在于构建关于基本量的方程或方程组（不等式或不等式组），后者可通过点在椭圆上或判别式为零等合理构建.
【训练二】（2023·全国·高二专题练习）设，，已知函数，有且只有一个零点，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设函数的零点为，可得，由此可得点在直线上，由此可得，再利用导数求其最小值.
【详解】函数的零点为，
则，且，即，
所以点在直线上，
又表示点到原点的距离的平方，
故，
所以，
设，
则，
故，
设，
则，
因为，所以，
所以函数在上单调递减，
所以当时，，
故当时，，函数在上单调递增，
所以.
所以当，时，取最小值，最小值为.
所以当时，的最小值为.
故选：B.
【点睛】知识点点睛：本题考查函数零点的定义，直线方程的定义，点到直线的距离，两点之间的距离，利用导数求函数的最值，考查数学运算，数形结合等数学思想.
【训练三】（2023·湖南益阳·统考模拟预测）已知直线l与曲线相交，交点依次为D、E、F，且，则直线l的方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的对称性得曲线的对称中心为，则，设，由，得到，通过换元求出值，则得到的坐标，最后写出直线方程即可.
【详解】，
设，其定义域为，关于原点对称，
且，
故函数为奇函数，且其对称中心为，
将向右平移1个单位，向上平移1个单位，则得到，
曲线的对称中心为，
由，可知点E为对称中心，故E的坐标为，
不妨设，
则由，得，
即，
令，则，
即，
，
当时，，
又l过，则，直线l的方程为，
当时，，
又l过，则，直线l的方程为
综上，直线l的方程为
故选：B.
【点睛】关键点睛：本题的关键首先是得到曲线对称中心为，从而得到，然后再去设点坐标，根据，得到高次方程，利用换元法结合因式分解解出的坐标即可.
【训练四】（2023·全国·模拟预测）设直线l：，圆C：，若直线l与圆C恒有两个公共点A，B，则下列说法正确的是（    ）
A．r的取值范围是
B．若r的值固定不变，则当时∠ACB最小
C．若r的值固定不变，则的面积的最大值为
D．若，则当的面积最大时直线l的斜率为1或
【答案】BD
【分析】A选项，先整理直线方程，得到直线过的定点，再根据直线与圆的位置关系得到半径r的范围；B选项，利用平面几何知识分析出当时，∠ACB最小，再利用斜率之间的关系即可判断；C选项，先将的面积用半径r和圆心C到直线l的距离d表示，再利用二次函数的知识求最值即可；D选项，利用C选项得到半径r和圆心C到直线l的距离d之间的关系，再利用点到直线的距离公式建立方程，求得a，b之间的关系，即可得到结果．
【详解】A选项：因为直线l：，即，
令，解得，
所以直线l过定点，
因为直线l与圆C恒有两个公共点，
所以，故A错误；
B选项：因为直线l过定点，
所以当时，∠ACB最小，
因为，所以此时直线l的斜率为，
即，即，故B正确；
C选项：设圆心C到直线l的距离为d，
则的面积，
因为，所以，
①，即，则当时，的面积最大，且；
②若，即，则函数S随着d的增大而增大，所以，
综上的面积的最大值为或，故C错误；
D选项：由C选项知，当时的面积最大，因为，所以，整理得，所以或，
因为，所以直线l的斜率，所以或，故D正确．
故选：BD．
【点睛】关键点点睛：求解本题的关键：（1）整理直线方程，得到直线过的定点的坐标；（2）熟练掌握直线与圆的位置关系，并能利用平面几何知识分析出圆心角何时最小．
【训练五】（2023·全国·高三专题练习）将两圆方程作差，得到直线的方程，则（    ）
A．直线一定过点
B．存在实数，使两圆心所在直线的斜率为
C．对任意实数，两圆心所在直线与直线垂直
D．过直线上任意一点一定可作两圆的切线，且切线长相等
【答案】BCD
【分析】利用分离参数法求出直线恒过的定点即可判断A；利用两圆心坐标求斜率进而判断B；利用垂直直线的斜率之积为-1判断C；设直线上一点，利用两点坐标求距离公式和勾股定理化简计算即可判断D.
【详解】由题意知，
，
两式相减，得，
A：由，得，
则，解得，所以直线恒过定点，故A错误；
B：，故B正确；
C：因为，故C正确；
D：，，
则圆心到直线的距离为，
圆心到直线的距离为，
又，得，即直线与圆相离，
，得，即直线与圆相离，
所以过直线上任一点可作两圆的切线.
在直线上任取一点，
设点P到圆的切线长为，到圆的切线长为，
则
，

，
所以，即，故D正确.
故选：BCD.
【训练六】（2022·河南·校联考模拟预测）已知是定义在上的奇函数，其图象关于点对称，当时，，若方程的所有根的和为6，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将方程的根转化为图象交点问题，画出图象，数形结合进行求解.
【详解】方程的根转化为和的图象的公共点的横坐标，
因为两个图象均关于点对称，要使所有根的和为6，则两个图象有且只有3个公共点．
作出和的图象如图所示．
当时，只需直线与圆相离，可得；
当时，只需直线与圆相切，可得．
故k的取值范围是．

故答案为：
四、【强化测试】
一、单选题
1．（2023·全国·高二专题练习）若直线恒过点A，点A也在直线上，其中均为正数，则的最大值为（    ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】根据直线的定点可得，进而可得，结合基本不等式运算求解.
【详解】因为，则，
令，解得，
即直线恒过点.
又因为点A也在直线上，则，
可得，且，
则，即，当且仅当时，等号成立
所以的最大值为.
故选：B.
2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）圆：与直线：交于、，当最小时，的值为（    ）
A． B．2 C． D．1
【答案】B
【分析】首先求出直线恒过定点，依题意当时弦最小，求出直线的斜率，即可得解.
【详解】直线：，即，令，解得，
即直线恒过定点，又，所以点在圆内，
  
所以当时弦最小，因为，所以，即，解得.
故选：B
3．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知，是椭圆的左、右焦点，是的上顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求得直线AP的方程，根据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率．
【详解】由题意可知：，，，直线的方程为：，
由，点在第三象限，，则，
代入直线方程中得整理得，
则，∴椭圆的离心率.
故选：B.
4．（1991·全国·高考真题）如果且，那么直线不通过（    ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】化简直线方程为直线的斜截式方程，结合斜率和在轴上的截距，即可求解.
【详解】因为，且，所以、、均不为零，
由直线方程，可化为，
因为，且，可得，，
所以直线经过第一、二、四象限，所以不经过第三象限．
故选：C.
5．（2023·全国·高二专题练习）若直线与圆：相交于，两点，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出直线过的定点并判断与圆的位置关系，再求出垂直于经过该定点的圆的直径的弦长作答.
【详解】直线，即恒过定点，
而，即点在圆内，
因此当且仅当时，最小，
而圆的圆心，半径，，
所以.
故选：B
  
6．（2023·全国·高二专题练习）已知直线和圆，则圆心O到直线l的距离的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把直线方程化为，求得直线过定点，结合圆的几何性质，即可求解.
【详解】由题意，直线可化为，
联立方程组，解得，即直线过定点，
又由，可得定点在圆内，
由圆的几何性质知，圆心到直线的距离．
故选：B.
7．（2023·全国·高三专题练习）直线，直线，下列说法正确的是（    ）
A．，使得 B．，使得
C．，与都相交 D．，使得原点到的距离为3
【答案】B
【分析】对A，要使，则，所以，解之再验证即可判断；
对B，要使，，，解之再验证即可判断；
对C，当时，与重合，即可判断；
对D，根据点到直线距离列方程即可判断.
【详解】对A，要使，则，所以，解之得，此时与重合，选项A错误；
对B，要使，，，解之得，所以B正确；
对C，过定点，该定点在上，但是当时，与重合，所以C错误；
对D，，化简得，此方程，无实数解，所以D错误.
故选：B.
8．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）如图，抛物线和直线在第一象限内的交点为．设是抛物线上的动点，且满足，记．现有四个结论：①当时，；②当时，的最小值是；③当时，的最小值是；④无论为何值，都存在最小值．其中正确的个数为（    ）
  
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】对①：直接联立方程求解，对②③④：由抛物线方程求得焦点坐标，再利用抛物线定义，数形结合找到t的最小值，注意等号成立的条件.
【详解】对①：当时，则直线，
联立方程，解得或（舍去），
即，所以，故①正确；
因为到直线的距离，
可得，
又因为，则，
抛物线的焦点为，
根据抛物线的定义知，即，
故，
因为到直线的距离，
过且与直线垂直的直线为，
联立方程，解得或（舍去），
当时，则，
所以的最小值是，此时点，故②正确；
当时，因为取不到点，所以无最小值，故③④错误；
综上所述：正确的个数为2.
故选：B.
    
【点睛】关键点睛：根据题意结合抛物线的定义可得，进而数形结合分析最值，并注意等号成立的条件.

二、多选题
9．（2023秋·高二单元测试）已知圆，直线，则（    ）
A．直线恒过定点
B．直线能表示平面直角坐标系内每一条直线
C．对任意实数，直线都与圆相交
D．直线被圆截得的弦长的最小值为
【答案】ACD
【分析】A选项，变形后联立方程组，求出所过定点；B选项，在A的基础上，得到直线不能表示直线，也不能表示不过点的直线；C选项，由点到直线距离公式得到在圆内，从而得到直线都与圆相交；D选项，根据几何关系得到弦长最值.
【详解】对于A：直线的方程可化为，
联立，解得
所以直线恒过定点，∴A正确；
对于B：由A可知，直线不能表示直线，也不能表示不过点的直线，∴B错误；
对于C，因为，故直线恒过圆内一点，所以直线与圆相交，∴C正确；
对于D，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，因为，
所以最短弦长为，∴D正确．
故选：ACD．
10．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知圆是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则（    ）
A．直线经过定点
B．的最小值为
C．点到直线的距离的最大值为
D．是锐角
【答案】AB
【分析】由两圆方程相减可得交点弦，即可可判断A，根据直线经过的定点即可求解C,由勾股定理即可判断CD.
【详解】设，则以为直径的圆的方程为
，
化简得，与联立，
可得所在直线方程：，即，
故可知恒过定点A正确；
到过定点的直线距离的最大值为：，
，故最小值为.B正确，
当点与定点的连线与直线垂直时，此时点到直线
的距离最大，且最大值为，故C错误；
圆心到的距离为，
由于,在直角三角形中，
当点运动到正好时，此时最小，的张角最大，
此时，
当点位于其它点时均为锐角，故，不恒为锐角，D错误.
故选：AB

11．（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）下列说法正确的是（    ）
A．直线的倾斜角为
B．存在使得直与直线垂直
C．对于任意，直线与圆相交
D．若直线过第一象限，则
【答案】ABC
【分析】对于A：化简成点斜式，利用斜率与倾斜角的关系得出结论，C选项首先求出直线过定点，且定点在圆的内部，得出结论，B、C是通过特值得出结论.
【详解】对于A：∵，∴，
∴，故A正确；
对于B：时符合题意，故B正确；
对于C：化简得：
∴，解得
∴直线过定点，
又∵
∴该定点在圆内，
∴直线与圆相交，故C正确；
对于D：当此时直线为，经过第一象限，
此时，故D错误．
故选：ABC．
12．（2023·全国·高二专题练习）已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，O为坐标原点，下列说法正确的是（    ）
A．的最小值为 B．若圆C关于直线l对称，则
C．若，则或 D．若A，B，C，O四点共圆，则
【答案】ACD
【分析】判断出直线过定点，结合勾股定理、圆的对称性、点到直线的距离公式、四点共圆等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】直线过点，
圆，即①，
圆心为，半径为，
由于，所以在圆内.，
所以，此时，所以A选项正确.
若圆关于直线对称，则直线过两点，斜率为，所以B选项错误.
设，则，此时三角形是等腰直角三角形，
到直线的距离为，即，
解得或，所以C选项正确.
对于D选项，若四点共圆，设此圆为圆，圆的圆心为，
的中点为，，
所以的垂直平分线为，则②，
圆的方程为，
整理得③，
直线是圆和圆的交线，
由①-③并整理得，
将代入上式得，④，
由②④解得，
所以直线即直线的斜率为，D选项正确.
故选：ACD
【点睛】求解直线和圆位置关系有关题目，首先要注意的是圆和直线的位置，是相交、相切还是相离.可通过点到直线的距离来判断，也可以通过直线所过定点来进行判断.

三、填空题
13．（2023·全国·高二专题练习）已知直线过定点A，直线过定点，与相交于点，则 ．
【答案】13
【分析】根据题意求点的坐标，再结合垂直关系运算求解.
【详解】对于直线，即，
令，则，则，可得直线过定点，
对于直线，即，
令，则，则，可得直线过定点，
因为，则，即，
所以.
故答案为：13.
  
14．（2023·全国·高二专题练习）已知直线l：被圆C：所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有 条.
【答案】9
【分析】根据题意可知直线l恒过定点，分别求得直线被圆截得弦长的最大值和最小值，利用对称性即可求得满足条件的直线l共有9条.
【详解】将直线l的方程整理可得，易知直线恒过定点；
圆心，半径；
所以当直线过圆心时弦长取最大值，此时弦长为直径；
易知，当圆心与的连线与直线l垂直时，弦长最小，如下图所示；
  
此时弦长为，所以截得的弦长为整数可取；
由对称性可知，当弦长为时，各对应两条，共8条，
当弦长为8时，只有直径1条，
所以满足条件的直线l共有9条.
故答案为：9
15．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）函数的图象在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ．
【答案】/0.25
【分析】利用导数求出切线方程，即可得到切线与坐标轴围成的三角形的面积.
【详解】，，
，，
切线方程为：即，
当时，，当，时，
三角形面积为：.
故答案为：.
16．（2022·河南·校联考模拟预测）已知是定义在上的奇函数，其图象关于点对称，当时，，若方程的所有根的和为6，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将方程的根转化为图象交点问题，画出图象，数形结合进行求解.
【详解】方程的根转化为和的图象的公共点的横坐标，
因为两个图象均关于点对称，要使所有根的和为6，则两个图象有且只有3个公共点．
作出和的图象如图所示．
当时，只需直线与圆相离，可得；
当时，只需直线与圆相切，可得．
故k的取值范围是．

故答案为：

四、解答题
17．（2003·北京·高考真题）如图，为椭圆的两个顶点，为椭圆的两个焦点．

(1)写出椭圆的方程及准线方程；
(2)过线段上异于O，A的任一点K作的垂线，交椭圆于P，两点，直线与交于点M．求证：点M在双曲线上．
【答案】(1)椭圆的方程为，准线方程为；
(2)详见解析.

【分析】（1）由题可得，进而即得；
（2）设，点，由题可得直线与的方程，进而可得交点的坐标，验证即得.
【详解】（1）由题可设椭圆的方程为，
则，
∴，
所以椭圆的方程为，准线方程为；
（2）设，点，其中，
则，
直线的方程为，
直线的方程为，
由，可得，
所以，又，
因为，
所以直线与交于点M 在双曲线上.
18．（1977·北京·高考真题）一条直线过点，并且与直线平行，求这条直线的方程．
【答案】
【分析】根据平行关系设出直线方程，再代入坐标即可求解
【详解】因为所求直线与直线平行，所以设该直线为，
将代入得，解得，
所以这条直线的方程为
19．（2022秋·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点.
(1)求AB边所在的直线方程；
(2)求中线AM的长
(3)求AB边的高所在直线方程.
【答案】(1)；
(2)；
(3).

【分析】（1）由两点式写出直线方程，整理为一般式即可，也可求出斜率，再由点斜式得直线方程；
（2）由中点坐标公式求得中点坐标，再由两点间距离公式计算可得；
（3）先求直线AB的斜率，由垂直关系可得AB边高线的斜率，可得高线的点斜式方程，化为一般式即可.
【详解】（1）法一：由两点式写方程得，即；
法二：直线的斜率为，
直线的方程为，即；
（2）设的坐标为，则由中点坐标公式可得，故，
所以；
（3）直线AB的斜率为，
所以由垂直关系可得AB边高线的斜率为，
故AB边的高所在直线方程为,化为一般式可得：.
20．（2018·江苏常州·统考一模）如图，已知直线与曲线在第一象限和第三象限分别交于点和点，分别由点、向轴作垂线，垂足分别为、，记四边形的面积为.
(1)求出点、的坐标及实数的取值范围；
(2)当取何值时，取得最小值，并求出的最小值.

【答案】(1)，，实数的取值范围为；
(2)时，

【分析】（1）由题意得直线与曲线交两点，联立直线与曲线方程解得两点坐标，由得，即，，再由第一象限和第三象限求得的取值范围（2）要求出的最小值，将四边形沿轴分割成两个三角形，以为公共底，为高，表示出，运用不等式求出结果即可.
【详解】（1）由得，，
即，解得或，               
当时，，即，                    
当时，，即，          
点在第三象限，，得，
故，，故实数的取值范围为；
（2），则，
，
∴，
故关于的函数关系式，        
得，当且仅当时等号成立，
即当时，四边形面积.
21．（2023·安徽蚌埠·统考三模）如图，在平行四边形中，点是原点，点和点的坐标分别是、，点是线段上的动点.

(1)求所在直线的一般式方程；
(2)当在线段上运动时，求线段的中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据直线平行求出所在直线的斜率，然后代入点斜式写出所在的直线方程；
（2）设点的坐标是，点的坐标是，利用平行四边形，推出与坐标关系，利用相关点法求点的轨迹方程即可.
【详解】（1），所在直线的斜率为：.
所在直线方程是，即；
（2）设点的坐标是，点的坐标是，
由平行四边形的性质得点的坐标是，
是线段的中点，，，
于是有，，
点在线段上运动，
，
，即，
由得，
线段的中点的轨迹方程为.
22．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知，直线相交于，且直线的斜率之积为2.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)设是点轨迹上不同的两点且都在轴的右侧，直线在轴上的截距之比为，求证：直线经过一个定点，并求出该定点坐标.
【答案】(1)；
(2)证明见解析，定点.

【分析】（1）设出点的坐标，利用斜率坐标公式结合已知，列出方程化简作答.
（2）设出直线在轴上的截距，求出直线方程，并分别与的轨迹方程联立求出点P，Q的坐标，再求出直线的方程作答.
【详解】（1）设，则直线的斜率是，直线的斜率是，
所以，化简整理得：，
所以动点的轨迹方程是.
（2）设直线在轴上的截距为，则直线在轴上的截距为，显然，
直线的方程为，即，直线的方程为，即，
又双曲线的渐近线方程为，显然直线与双曲线两支各交于一点，
直线与双曲线右支交于两点，则有，且，于是，

由消去化简整理得：，设点，
则，解得，有，
由消去化简整理得：，设点，
则，解得，有，
，，
于是，设直线上任意一点，则，
显然，因此，即，
整理得，显然直线恒过定点，
所以直线经过定点.
【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.