【单元知识点归纳】（北师大版））2023-2024学年八年级数学上册 第2章 实数（知识归纳+题型突破）

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第2章 实数（知识归纳+题型突破）

1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.
3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应.
4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
5.理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.
6.熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.

一、平方根和立方根
类型
项目
平方根
立方根
被开方数
非负数
任意实数
符号表示


性质
一个正数有两个平方根，且互为相反数；
零的平方根为零；
负数没有平方根；
一个正数有一个正的立方根；
一个负数有一个负的立方根；
零的立方根是零；
重要结论


二、无理数与实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
实数
要点：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．
（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；
②有特殊意义的数，如π；
③有特定结构的数，如0.1010010001…
　 （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.
2.实数与数轴上的点一 一对应
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
4.实数的运算
数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它相反数；0的绝对值是0.
　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较
　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
　　法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
　法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
三、二次根式的相关概念和性质
1. 二次根式
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
要点：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.
2.二次根式的性质（1）；（2）；（3）.
3. 最简二次根式
（1）被开方数是整数或整式；
（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.
满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.
要点：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.
4.同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.
要点：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.
四、二次根式的运算
1. 乘除法
（1）乘除法法则：
类型
法则
逆用法则
二次根式的乘法

积的算术平方根化简公式：

二次根式的除法

商的算术平方根化简公式：

要点：
（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.
（2）被开方数一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.
2.加减法
将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.
要点：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.


题型一 无理数
【例1】下列实数：，3.14，0，，，，0.3030030003…中，无理数有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据无理数的定义解答即可．
【详解】，3.14，0，是有理数，，，是无理数，
所以无理数有3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了无理数的判断，掌握定义是解题的关键．即无限不循环小数是无理数．
巩固训练：
1. 在实数，（每隔一个1增加一个0）中，无理数有（    ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．下列各数中：，3.1415926，，0.202002002…（每两个2中间依次增加1个0），，，无理数的个数有 个．
题型二 实数的分类
【例2】把下列各实数填在相应的大括号内
，，，0，，，，（两个1之间依次多1个0）
整数{                     }；
分数{                     }；
无理数{                     }．
巩固训练：
1．把下列各数填在相应的集合里：
．
有理数集合：{          ，…}；
无理数集合：{          ，…}；
正实数集合：{          ，…}；
负实数集合：{          ，…}．
题型三 平方根与算术平方根
【例3】下列说法正确的是（    ）
A．的立方根是 B．的算术平方根是
C．的平方根是 D．0的平方根与算术平方根都是0
巩固训练：
1．下列计算正确的是（    ）
A． B． C． D．
2．一个正数的两个平方根是和，则这个正数是（    ）
A． B．4 C．16 D．36
3．下列说法中错误的是（　　）
A．是0.25的一个平方根 B．正数的两个平方根的和为0
C．的平方根是 D．当时，有平方根
4．的算术平方根等于（    ）
A．4 B． C．2 D．
题型四 平方根、立方根的解方程问题
【例4】．求下列各式中的x值．
(1)
(2)
巩固训练：
1．解方程：
(1)；
(2)．
题型五 算术平方根的非负性
【例5】．已知a、b为实数，且，则的值为（    ）
A． B． C． D．13
巩固训练：
1．已知为实数，且，则的值为（    ）
A． B． C． D．
2．已知与互为相反数．
(1)求、的值．
(2)求的平方根．
题型六 算术平方根的实际应用
【例6】．已知一个正方形的边长为，面积为，则（    ）
A． B．的平方根是
C．是的算术平方根 D．
巩固训练：
1．依次连结方格四条边的中点得到一个阴影正方形，设每一方格的边长为1，阴影正方形的边长是（        ）
  
A．2 B． C． D．2.5
2．如图在长方形内，两个小正方形的面积分别为1和2，则图中阴影部分的面积为（    ）
  
A． B．1 C． D．
题型七 立方根
【例7】．对于说法错误的是（  　）
A．表示的立方根 B．结果等于 C．与的结果相等 D．没有意义
巩固训练：
1．下列说法正确的是（    ）
A．任意实数都有平方根 B．任意实数都有立方根
C．任意实数都有平方根和立方根 D．正数的平方根和立方根都只有一个
2．计算 ．
3．当x取 时，有意义．
4． ．
5． ， ．
6．已知，则的值是（　　）
A． B．2 C． D．3
题型八 立方根的互为相反数问题
【例8】．若，则x和y的关系是（　　）
A．x=y=0 B．x和y互为相反数 C．不能确定 D．x和y相等
巩固训练：
1．已知与互为相反数，则 ．
2．的平方根为，的立方根为2，则的值为（   ）
A． B．3 C． D．不确定
题型九 平方根与立方根综合问题
【例19】．若一个数的算术平方根与它的立方根相同，则这个数是（　　）
A．1 B．0或1 C．0 D．非负数

巩固训练：
1．已知的平方根是，的立方根是2，则 ， ，的算术平方根是 ．
2．已知：和是某正数的两个不相等的平方根，的立方根为．
(1)求a、b的值；
(2)求的算术平方根．
3．如果为的算术平方根，为的立方根，则的平方根为 ．
题型十 算术平方根、立方根小数点移动问题
【例10】．如果，，那么 ．
巩固训练：
1．已知，则的值是（    ）
A． B． C． D．
2．
(1)填写如表，观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律：
a
0.0036
0.36
36
3600





(2)根据你发现的规律填空：
① 已知：2.775，8.775.则 ， ；
②  已知：5.385，若53.85.则x= ．
(3)将你发现的规律用文字语言表述出来.
题型十一 用计算器开方
【例11】．利用教材中的计算器依次按键如下：则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（    ）
A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．0.9
巩固训练：
1．在使用DY-570型号的计算器时，小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键：

若一开始输入的数据为5，那么第2022步之后，显示的结果是（    ）
A．5 B． C． D．25
2．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序为：
    
则输出结果为（   ）
A．8 B．4 C． D．
题型十二 整数部分、小数部分问题
【例12】．若的整数部分为，则的算术平方根的值最接近整数（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
巩固训练：
1．已知的小数部分是，的小数部分是，则 ．
2．已知正数x的两个不等的平方根分别是和，的立方根为；c是的整数部分，若，其中m为整数，，则 ．
3．阅读材料：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．
解答下列问题：
(1)的整数部分是__________，小数部分是__________；
(2)已知是的小数部分，是的小数部分，求的值．
题型十三 实数与三角形
【例13】．若的两边a，b满足，则它的第三边c为（   ）
A．5 B．5或 C． D．或
巩固训练：
1．已知的三边a，b，c满足，那么是（    ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能判断
2．已知a，b是等腰三角形的两边长，且a，b满足，则此等腰三角形的周长为（　　）
A．7 B．8 C．6或8 D．7或8
题型十四 实数的大小比较
【例14】．在实数1，0，，中，最小的是 ．
巩固训练：
1．比较大小： （填写“＞”或“＜”或“＝”）．
2．比较大小： 1．（填“”、“”或“”）
题型十五 实数与数轴
【例15】．如图，实数在数轴上的对应点可能是（        ）
  
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
巩固训练：
1．下列说法正确的是（    ）
A．有理数与数轴上的点一一对应
B．是一个近似值，不是准确值
C．两个整数相除，如果永远都除不尽，那么结果一定是一个无理数
D．任意一个无理数的绝对值都是正数
2．观察下图，每个小正方形的边长均为1．
  
(1)图中阴影部分（正方形）的面积是___________，边长是___________；
(2)作图：在数轴上作出边长的对应点P（要求保留作图痕迹）；
  
(3)在（2）题的数轴上表示1的点记为M，点N也在这条数轴上且，直接写出点N表示的数．
题型十六 无理数的估算
【例16】．估计的值应在（    ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
巩固训练：
1．已知，，是连续的正整数，则的值为（    ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．是连续的两个整数，若，则的值为 ．
3．下面是小李同学探索的近似数的过程：
∵面积为107的正方形边长是，且，
∴设，其中，画出如图示意图，
∵图中，．
∴，
当较小时，省略，得，得到，即．
  
(1)的整数部分是______；
(2)仿照上述方法，探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程，精确到0.1）
(3)结合上述具体实例，已知非负整数a、b、m，若，且，请估算______．（用a、b的代数式表示）
题型十七 程序框图
【例17】．有一个数值转换器，原理如下：当输入的为时，输出的是（    ）
  
A． B．2 C． D．

巩固训练：
1．如图所示的是一个数值转换器．

（1）当输入的x值为7时，输出的y值为 ；
（2）当输入x值后，经过两次取算术平方根运算，输出的y值为时，输入的x值为 ；
（3）若输入有效的x值后，始终输不出y值，所有满足要求的x的值为 ．
2．如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图下面说法正确的是（  ）

A．输入值为16时，输出值为4
B．输入任意整数，都能输出一个无理数
C．输出值为时，输入值为9
D．存在正整数，输入后该生成器一直运行，但始终不能输出值
题型十八 材料信息题
【例18】．观察上表中的数据信息：则下列结论：①；②；③只有3个正整数满足；④．其中正确的是 ．（填写序号）
a
15
15.1
15.2
15.3
15.4
…
a2
225
228.01
231.04
234.09
237.16
…


巩固训练：
1．对于任何实数a，我们规定：用符号表示不超过a的最大整数，例如：，，．现对进行如下操作：
，
这样对只需进行3次操作后变为1．类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
题型十九 二次根式的概念、有意义的条件、求值
【例19】．下列式子属于二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
巩固训练：
1．若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
2．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
3．已知，则的取值范围是 .
4．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 ．
5．已知x、y为实数，且，则x、y的值分别为（　　）
A．9、4 B．2、3 C．4、9 D．3、4
题型二十 二次根式的化简
【例20】．化简：
巩固训练：
1．若，则化简后的结果是（    ）
A． B． C． D．
2．实数对应的点在数轴上的位置如图，则化简的结果为（    ）

A． B． C．5 D．
3．如果，那么的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
4．已知，求的取值范围
题型二十一 最简二次根式等有关概念
【例21】．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ）
A． B． C． D．
巩固训练：
1．下列根式中，是最简二次根式的是（  ）
A． B． C． D．
2．下列各组二次根式中，能合并的是(   )
A．和 B．和 C．和 D．和
3．若最简二次根式与是同类二次根式，则（   ）
A． B．1 C．3 D．
4．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ．
题型二十二 二次根式的运算
【例22】．下列运算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
巩固训练：
1．计算：
(1)
(2)
2．计算下列各小题．
(1)；
(2)；
(3)．
题型二十三 二次根式的应用
【例23】．如图，木工师傅在一块矩形木料上截出两块面积分别为和的正方形木板．
  
(1)截出的两块正方形木板中，小正方形木板的边长为________dm，大正方形木板的边长为________dm；（填最简二次根式）
(2)求原矩形木料的面积；
(3)木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长________为2dm．（填“能”或“不能”）
巩固训练：
1．李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）．
  
(1)背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)除去大理石图案部分，其它部分贴壁纸，若壁纸造价为2元/，大理石造价为元/，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
2．题目：已知在中．，求的面积．
小溪是一个善于思考的孩子，学习完“二次根式”和“勾股定理”后，他发现可以有多种方法求的面积，以下是他的思考过程．
思路1：可以利用课本16页“阅读与思考”中的海伦－秦九韶公式求的面积；
海伦公式：；
秦九韶公式：
思路2：可以利用正方形网格构造三角形求的面积．
(1)通过计算小溪发现这个题目利用秦九韶公式更为简便，请根据公式直接写出______．
(2)请你结合思路2，在如图所示的网格中，（正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点）．
  
①画出，要求三个顶点都在格点上；
②结合图形，请写出面积的计算过程．