【单元知识点归纳】（北师大版））2023-2024学年八年级数学上册 第3章 位置与坐标（知识归纳+题型突破）

第3章 位置与坐标（知识归纳+题型突破）

1. 理解平面直角坐标系及象限的概念，并会在坐标系中根据点的坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标；

2. 掌握用坐标系表示物体位置的方法及在物体平移变化前后点坐标的变化；

3. 通过学习平面直角坐标系的基础知识,逐步理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系,进而学习轴对称及坐标变化。

一、有序数对

把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号.

二、平面直角坐标系

 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：

要点：

（1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.

（2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化.

（3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：

① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零．

② 平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；

平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等．

     ③ 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；

        关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；

        关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数．

④ 象限角平分线上的点的坐标特征：

        一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；

        二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．

注：反之亦成立．

（4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论：

      ① 坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|．

      ② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|；

         y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．

③ 平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|；

         平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．

（5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补.

三、坐标方法的简单应用

1．用坐标表示地理位置

   (1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；

   (2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；

   (3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．

要点：(1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置．

    (2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度．

2．用坐标表示平移

 (1)点的平移

点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))．

 要点：上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换．

  (2)图形的平移

    在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．

要点：平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”．

四、关于坐标轴对称点的坐标特征

1.关于坐标轴对称的点的坐标特征

P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,－b)；

P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (－a,b)；

P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (－a,－b)．

2.象限的角平分线上点坐标的特征

第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；

第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，－a)．

3.平行于坐标轴的直线上的点

平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；

平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.

题型一 确定位置及其路径

【例1】下列表述中，能确定位置的是（    ）

A．教室第二组 B．人民中路 C．北偏东 D．东经，北纬

巩固训练：

1．某校七（1）班里的3排2列，记作，则6排5列可记作（    ）

A． B． C． D．

2．如图是某电视塔周围的建筑群平面示意图，这个电视塔的位置用A表示．某人由点B出发到电视塔，他的路径表示错误的是(注：街在前，巷在后)(    )

A． B．

C． D．

题型二 判断点所在的象限

【例2】在平面直角坐标系中，点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

巩固训练：

1．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标可能是（　　）

A． B． C． D．

2．如果点在第二象限，那么点在第（   ）象限．

A．一 B．二 C．三 D．四

题型三 求点到坐标轴的距离

【例3】点的坐标为，那么点到轴和轴的距离依次是（    ）

巩固训练：

1. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离为（   ）

A．2 B． C． D．

题型四 写出平面直角坐标系中点的坐标

【例4】．若点在y轴上，则点P的坐标为（    )

A． B． C． D．

巩固训练：

1．已知点位于第二象限，到轴的距离为3，到轴的距离为5，则点的坐标为（    ）

A． B． C．或 D．或

2．若点的坐标是，，且轴，则点的坐标为（     ）

A． B．或

C． D．或

3．点在轴的下侧，轴的右侧，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

4．已知点Q的坐标为，点P的坐标为，若直线轴，则点P的坐标为（    ）

A． B． C． D．

5．已知点到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，且，则点P的坐标为（    ）

A． B． C．或 D．或

题型五 平面直角坐标系中点的坐标综合判断

【例5】．下列说法中错误的是（    ）

A．轴上的所有点的纵坐标都等于 B．轴上的所有点的横坐标都等于

C．原点的坐标是 D．点与点是同一个点

巩固训练：

1．下列说法正确的是(   )

A．和表示同一个点

B．点在x轴的正半轴上

C．点在第四象限

D．点到x轴的距离为3

2．下列命题不正确的是（    ）

A．平行于x轴的直线上的所有点的纵坐标都相同

B．在平面直角坐标系中，和表示两个不同的点

C．若点在y轴上，则

D．到x轴的距离为3

3．在平面直角坐标系中，已知点，分别根据下列条件，求出M点的坐标．

(1)点M在y轴上；

(2)点M到x轴的距离为1；

(3)点N的坐标为，且轴．

4．已知在平面直角坐标系中，有线段，其中点，点，则线段中点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

题型六 轴对称

【例6】．下列图形中，对称轴最多的图形是（   ）

A． B． C． D．

巩固训练：

1．下列轴对称图形中，对称轴的条数四条的有（    ）个

A．1 B．2 C．3 D．4

题型七 轴对称的应用

【例7】．如图，从汽车的后视镜中看见某车牌号的5位号码的车牌号为         ．

巩固训练：

1．小芳在梳妆镜中发现，放在梳妆镜台桌面上的手机中的时间如图所示，则这时的实际时间应该是     ．

题型八 坐标的平移

【例8】．将点A先向下平移3个单位，再向右平移2个单位后得B（﹣1，5），则A点坐标为（    ）

A．（﹣4，11） B．（﹣2，6） C．（﹣4，8） D．（﹣3，8）

巩固训练：

1．如果点向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后得到的点的坐标是，那么a，b的值分别是(        )

A．  B． C．  D．

2．佳佳将坐标系中一图案横向拉长2倍，又向右平移2个单位长度，若想变回原来的图案，需要变化后的图案上各点坐标(    )

A．纵坐标不变，横坐标减2

B．纵坐标不变，横坐标先除以2，再均减2

C．纵坐标不变，横坐标除以2

D．纵坐标不变，横坐标先减2，再均除以2

题型九 坐标的对称问题

【例9】．以下各点和点是关于轴对称的是（    ）

A． B． C． D．

巩固训练：

1．已知、两点关于轴对称，则的值为（    ）

A．5 B．1 C． D．

2．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值为（　　）

A．2 B． C．5 D．

3．在边长为的小正方形网格中，的顶点均在格点上，

(1)作出关于轴对称的图形；

(2)请直接写出点和点的坐标分别为 ；

(3)求出的面积．

4．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点B坐标是，则经过第2023次变换后点B的对应点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

题型十 坐标系的简单应用

【例10】．根据描述，在图中标出少年宫和书店的位置．

(1)少年宫在学校西偏北方向约200米处．

(2)书店在少年宫南偏西方向约300米处．

巩固训练：

1．如图是某学校的平面示意图，已知从清源楼向西走300米到达明德楼，图书馆在知行楼与致远楼的正中间位置．

(1)请根据以上条件，选取清源楼为坐标原点，以正东方向为x轴的正方向，以100米为一个单位长度建立平面直角坐标系，并标出图书馆的位置；

(2)在（1）的条件下，可得致远楼坐标为，请直接写出图书馆、知行楼、清源楼和崇文楼的坐标．

2．中国象棋是经典国粹，备受人们喜爱．如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点A或点B处等．如对象棋棋盘建立恰当平面直角坐标系，可以便于研究和解决问题．

(1)如图，若“帅”所在点的坐标为，“马”所在的点的坐标为，则“相”所在点的坐标为___________；

(2)如图，若C点的坐标为，D点的坐标为，按“马”走的规则，图中“马”由所在的位置走一步可以直接到的点的坐标为___________．

题型十一 点坐标的规律问题、压轴题

【例11】．如图，在平面直角坐标系中，点A从依次跳动到，，，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

巩固训练：

1．如图，在平面直角坐标系中，有一点N自处向右运动1个单位至，然后向上运动2个单位至处，再向左运动3个单位至处，再向下运动4个单位至处，再向右运动5个单位至处，…，如此继续运动下去，则的坐标为（    ）

A． B． C． D．

2．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点，．则点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

3．在平面直角坐标系中，已知点，且满足，线段交y轴于点F，点D是y轴正半轴上的一点．

(1)求出点A，B的坐标；

(2)如图2，若，且分别平分，求的度数；（用含的代数式表示）．

(3)如图3，坐标轴上是否存在一点P，使得的面积和的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．