【单元知识点归纳】（北师大版）2023-2024学年八年级数学上册 第1章 勾股定理（知识归纳+题型突破）

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第1章 勾股定理（知识归纳+题型突破）

1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；
2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；
3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.

一、勾股定理
1.勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：）
二、勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
　如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.
要点：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：
（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；
（2）验证：与是否具有相等关系：
　　 若，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形；
　　 若时，△ABC是锐角三角形；
　　　若时，△ABC是钝角三角形．
2.勾股数
满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.
要点：常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.
如果()是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.
观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：
1.较小的直角边为连续奇数；
2.较长的直角边与对应斜边相差1.
3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）
三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.
四、勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：
（1）已知直角三角形的两边，求第三边；
（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；
（3）解决与勾股定理有关的面积计算；
（4）勾股定理在实际生活中的应用．


题型一 用勾股定理理解三角形
【例1】若一个直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则斜边长是（   ）
A．6 B．7 C．8 D．10
【答案】D
【分析】根据勾股定理计算即可得出答案．
【解析】∵一个直角三角形的两直角边长分别是6和8
∴斜边长是
故选：D．
【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键．
巩固训练：
1．在直角中，∠B=90°，，，则的长为（    ）
A．5 B． C．5或 D．5或
【答案】B
【分析】根据勾股定理计算即可．
【解析】解：因为∠B=90°，，，
所以，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题关键是熟记勾股定理，准确进行计算．
2．如图，在中，，，则的值为（    ）
  
A．8 B．2 C．4 D．
【答案】A
【分析】利用勾股定理进行求解即可．
【解析】解：∵，，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查勾股定理．熟练掌握直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，是解题的关键．
3．已知直角三角形的两边长分别为5和12，则斜边长是
【答案】12或13
【分析】求第三边的长必须分类讨论，分12是斜边或直角边两种情况，然后利用勾股定理求解．
【解析】解：分两种情况：
①当5和12为直角边长时，
由勾股定理得：斜边长；
②12为斜边长时，斜边长为12；
故答案为：12或13．
【点睛】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键，注意分类讨论，避免漏解．
4．如图所示，已知中，，，于，为上任一点，则等于 ．

【答案】
【分析】在和中，分别表示出和，在和中，表示出和，代入求解即可；
【解析】解：∵于，
∴，
在和中，
，，
在和中，

，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析计算是解题的关键．
题型二 勾股数
【例2】．下列各组数中，是勾股数的是（    ）
A．0.3，0.4，0.5 B．3，，4 C．，6， D．9，40，41
【答案】D
【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．
【解析】A.不是勾股数，因为0.3，0.4，0.5不是正整数，不符合题意；
B.不是勾股数，因为不是正整数，不符合题意；
C.不是勾股数，因为，不是正整数，不符合题意；
D.是勾股数，9，40，41都是正整数，且，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查勾股数的概念，解题的关键是掌握勾股数的特点：三个数均为正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方．
巩固训练：
1．下列各组数，是勾股数的一组是（　　）
A．8，15，17 B．13，14，15 C．3，5， D．2，，
【答案】A
【分析】满足的三个正整数，称为勾股数，由此即可判断．
【解析】解：A、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了勾股数，掌握勾股数的定义及勾股定理的逆定理是解题的关键．
2．《九章算术》提供了许多勾股数如，等一组勾股数最大的数称为“弦数”．经研究，若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个数组成勾股数，若m是大于1的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1，得到两个整数，那么m与这两个数组成勾股数，根据上面的规律，由10生成的勾股数的“弦数”是（    ）
A．16 B．24 C．26 D．32
【答案】C
【分析】根据题意，按照题目所给的方法进行计算求解即可．
【解析】解：，
，
，
∴由10生成的勾股数的“弦数”是26，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股数以及数字变化规律，解题的关键是正确理解题意．
题型三 勾股定理的逆定理
【例3】. a，b，c是的，，的对边，下列条件中，能判断是直角三角形的有（  　）
①  ②  ③   ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【解析】解：①，则是直角三角形，；
②，即，则是直角三角形，；
③∵，，∴，则是直角三角形；
④∵，∴，则是直角三角形；
故选：D．
【点睛】题考查了勾股定理的逆定理，及三角形内角和定理，熟记定理并应用是解题的关键．
巩固训练：
1．在中，，，的对边分别为a，b，c，则下列命题中为假命题的是（  ）
A．如果，则是直角三角形 B．如果，则是直角三角形
C．如果．则是直角三角形，且 D．若，则是直角三角形．
【答案】C
【分析】根据直角三角形的定义以及勾股定理的逆定理判断即可．
【解析】解：A、若，则，则是直角三角形，是真命题，本选项不符合题意．
B、若，则即，则是直角三角形，是真命题，本选项不符合题意．
C、若即，则是直角三角形，且，原命题是假命题，本选项符合题意．
D、若，则，则是直角三角形，是真命题，本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查命题与定理，直角三角形的定义，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理，属于中考常考题型．
2．下列由三条线段a、b、c构成的三角形：①，，，②，，，③，，，④，其中能构成直角三角形的有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】判断一组数能否成为直角三角形的三边，就是看是否满足两较小边的平方和等于最大边的平方，将题目中的各题一一做出判断即可．
【解析】解：①∵，
∴能成为直角三角形的三边长；
②∵，
∴能成为直角三角形的三边长；
③，
∴能成为直角三角形的三边长；
④∵，即，
∴a，b，c不构成三角形
∴能构成直角三角形的有3组，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，在应用时注意是两较短边的平方和等于最长边的平方．
3．的三边分别是a、b、c，且满足，，则的形状是 ．
【答案】直角三角形
【分析】由条件可得，求解，，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
解得：，，
∵，
∴，
∴为直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，勾股定理的应用，利用非负数的性质求解，是解本题的关键．
题型四 勾股定理的逆定理的实际应用
【例4】．如图，某住宅小区在施工后留下了一块空地，已知米， 米，米，米，，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪．若草坪每平方米30元，则用该草坪铺满这块空地需花费多少元？
  
【答案】铺满这块空地共需花费元
【分析】连接，在中利用勾股定理计算出长，再利用勾股定理逆定理证明，再利用可得草坪面积，然后再计算花费即可．
【解析】连接，
  
在中，米， 米，，
∴，
∵，
∴，
∴，
该区域面积（平方米），
铺满这块空地共需花费元．
【点睛】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．
巩固训练：
1．为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量．
  
(1)求出空地的面积．
(2)若每种植1平方米草皮需要300元，问总共需投入多少元？
【答案】(1)空地的面积为；
(2)总共需投入10800元．
【分析】（1）连接．在中可求得的长，再由勾股定理的逆定理证得是直角三角形，且；根据三角形面积公式即可求解；
（2）根据总费用=面积×单价解答即可．
【解析】（1）解：连接．
  
在中，．
在中，，而，即，
∴是直角三角形，且，

；
（2）解：需费用（元)．
答：总共需投入10800元．
【点睛】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．
题型五 勾股定理与无理数的表示
【例5】．如图，在数轴上点A表示的实数是（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理求得，进而即可求解．
【解析】解：如图所示，
  
∵
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
巩固训练：
1．如图，，
  
(1)写出数轴上点A表示的数；
(2)比较点A表示的数与的大小；
(3)在数轴上作出所对应的点．
【答案】(1)．
(2)
(3)见解析
【分析】（1）OB是直角边长为1的等腰直角三角形的斜边长，因，根据勾股定理即可求得OA的长度，再考虑点A位于原点的左侧，为负数，即可得解．
（2）先比较两数的绝对值的平方值大小，然后再比较两数的大小，考虑到绝对值越大的负数，实际值越小，即可得出结果．
（3）构造直角边长为1、2的直角三角形，其斜边长即为，则问题得解．
【解析】（1）由勾股定理得：
．
因点A位于原点的左侧，
∴点A表示的数是．
（2）∵，  
∴
∴
∴
（3）如下图在区间的上方作一个直角边长分别为1、2的直角，
  
由勾股定理得：，
以O为圆心，长为半径画弧，交x轴的正半轴于点D．
∴．
故点D就是数轴上作出的所对应的点．
【点睛】本题为考查勾股定理、数轴和尺规作图综合题，体现了“数形结合”的思想，解题的关键构造恰当的直角三角形．
2．如图，在数轴上以1个单位长度画一个正方形，以原点为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点为B，且点B表示的是一个无理数，因此我们得出一个结论．

(1)点B表示的数为_________；得出的结论是：_________与数轴上的点是一一对应的．
(2)若将图中数轴上标的A，C，D各点与所给的三个实数，3和对应起来，则点A表示的实数为_________，点C表示的实数为_________，点D表示的实数为_________．
【答案】(1)，实数
(2)，，3
【分析】（1）根据勾股定理求得对角线的长度，即可求解；
（2）判断出三个数的大小关系，结合A，C，D的位置即可求解．
【解析】（1）解：应用勾股定理得，正方形的对角线的长度为：，
为圆的半径，则，所以数轴上的点B表示的数为：，它是无理数．
得出的结论是实数与数轴上的点是一一对应的；
故答案为：，实数；
（2）解：根据数轴可得A表示负数，C和D表示正数，且D表示的数大于C表示的数，
∴A表示，C表示的数是，D表示的数是3．
故答案为：，，3．
【点睛】此题考查了勾股定理，实数与数轴，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及数轴与实数的有关知识．
题型六 网格问题
【例6】．如图，在的正方形方格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则是 三角形．

【答案】直角
【分析】结合网格图，先根据勾股定理求出、和，再根据勾股定理的逆定理即可作答．
【解析】由图可知，，，，
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：直角．
【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理的知识，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
巩固训练：
1．如图，在3 ×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据勾股定理计算的长，利用面积和差关系可求的面积，由三角形的面积法求高即可．
【解析】解：由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了网格与勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
2．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高长度为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出三角形的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高．
【解析】解：四边形是正方形，面积是4；
，的面积相等，且都是．
的面积是：．
则的面积是：．
在直角中根据勾股定理得到：．
设边上的高线长是．则，
解得：，
故选A．

【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理，利用“割补法”求面积是解决本题的关键．
3. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
  
(1)在图1中以格点A为顶点画一个面积为5的正方形；
(2)①在图2中以格点E为顶点画一个，使得，，；
②求出的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②3
【分析】（1）根据正方形网格的特点作边长为的正方形即可；
（2）①根据正方形网格的特点及勾股定理确定点E、F、G，再连接即可得出图形；②根据勾股定理及三角形面积公式即可得出答案；
【解析】（1）如图1，
  
正方形即为所求作的图形；
（2）①如图2，即为所求作的图形；
  
②，，

为直角三角形

．
【点睛】本题考查了勾股定理及网格以及勾股定理的逆定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
题型七 利用勾股定理证明平方关系
【例7】．在中，、、的对应边分别是a、b、c，若，则下列等式中成立的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知两角之和为90度，利用三角形内角和定理得到三角形为直角三角形，利用勾股定理即可得到结果．
【解析】解：∵在中，，
∴，
∴为直角三角形，
则根据勾股定理得：．
故选：C．
【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
巩固训练：
1．如图，中，，点A向上平移后到，得到．下面说法错误的是（    ）

A．的内角和仍为 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形的内角和定理，勾股定理以及平移的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解析】解：A、△A′BC的内角和仍为180°正确，故本选项正确，不合题意；
B、∵∠BA′C＜90°，∠BAC=90°，
∴∠BA′C＜∠BAC正确，故本选项正确，不合题意；
C、由勾股定理，AB2+AC2=BC2，故本选项正确，不合题意；
D、应为A′B2+A′C2＞BC2，故本选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的内角和定理，以及平移，熟记定理并准确识图是解题的关键．
2．如图，在中，，于H，M为AH上异于A的一点，比较与的大小，则（    ）．

A．大于 B．等于 C．小于 D．大小关系不确定
【答案】C
【分析】由题意得，AB2＝AH2＋BH2，AC2＝AH2＋HC2，则AB2−AC2＝BH2−HC2，同理有MB2−MC2＝BH2−HC2，则AB2−AC2＝MB2−MC2．再根据平方差公式即可求解．
【解析】解：∵AH⊥BC，有AB2＝AH2＋BH2，AC2＝AH2＋HC2，
∴AB2−AC2＝BH2−HC2，
又∵MH⊥BC，同理有MB2−MC2＝BH2−HC2，
∴AB2−AC2＝MB2−MC2，
即（AB＋AC）（AB−AC）＝（MB＋MC）（MB−MC），
又∵M点在△ABC内，∵AB＋AC＞MB＋MC，
则AB−AC＜MB−MC．
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理及平方差公式的应用．
题型八、九、十一 以直角三角形三边的面积问题、勾股树、以弘图为背景的计算题
【例8】．如图是一株美丽的勾股树，图中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B的面积分别为5，3，则正方形C的面积是 ．
  
【答案】8
【分析】分别设三个正方形A，B，C的边长为x，y，z，然后根据勾股定理求解即可．
【解析】解：设正方形A、B、C的边长分别为x、y、z，
由勾股定理得：，
∴正方形C的面积是8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
【例9】．“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知图形观察规律，即可得到第五代勾股树中正方形的个数．
【解析】解：由题意可知第一代勾股树中正方形有（个），
第二代勾股树中正方形有（个），
第三代勾股树中正方形有（个），
由此推出第五代勾股树中正方形有（个）
故选：B．
【点睛】本题考查了图形类规律探索的相关问题，仔细观察从图中找到规律是解题的关键．
【例10】．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为．若，则的值是（　　）
  
A． B．6 C．5 D．
【答案】B
【解析】先设每个直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，然后根据图形和，可以写出关于a、b的方程，然后整理化简，即可求得的值．
【解答】解：设每个直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理的应用、正方形的面积，解答本题的关键是明确勾股定理的内容，可以写出相应的等式．
巩固训练：
1．如图，在四边形中，，分别以为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用，，，来表示它们的面积，则 （填＞，＜或＝）．

【答案】
【解析】连接，分别在和中，利用勾股定理可得，，从而可得，即可解答．
【分析】解：连接，

∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
2．毕达哥拉斯树也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树状图形，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．如图，若正方形，，，的边长分别是2，3，1，2，则正方形的边长是（    ）

A．8 B． C． D．5
【答案】C
【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x，y，z，由勾股定理得出，，即最大正方形的面积为，则可求出答案．
【解析】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：
；
；
；
即最大正方形E的面积为：，
∴最大正方形E的边长为．
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
3．如图，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，就变成了如图所示的形状，若继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（　　）

A．2024 B．2023 C．2022 D．1
【答案】A
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是，推而广之即可求出“生长”2023次后形成图形中所有正方形的面积之和．
【解析】解：设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得，即．
“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是；
“生长”2次后，所有的正方形的面积和是，
“生长”3次后，所有的正方形的面积和是，
…
“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是．
故选：A．

【点睛】能够根据勾股定理发现每一次得到新正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键．
4．勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题最重要的工具之一．下列图形中可以证明勾股定理的有（    ）
  
A．①③ B．②③ C．②④ D．①④
【答案】D
【分析】利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可．
【解析】解：①，，
∴，
整理得，
故①满足题意；
④或，
∴，
∴，
故④满足题意；
②没有体现直角三角形斜边的长度，故②不符合题意；
③无法证明直角三角三边关系，故③不符合题意；
故选：D
【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键．
5．如图，在四边形中，，，点C是边上一点，，．．下列结论；①；②；③四边形的面积是；④；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（　　）
  
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】证明，由全等三角形的性质可得出，．再由图形的面积可得出①②⑤正确．
【解析】解：，，
，
．
在和中，
，
，
，．
，
．
，
，
故①②正确；
，，
四边形的面积是；
故③错误；
梯形的面积直角三角形的面积两个直角三角形的面积，
，
，，
故④错误，故⑤正确
故①②⑤共3个正确，③④错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的证明，垂直的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
6．意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列对，所列等式不正确的是（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题．
【解析】解：由勾股定理可得，
由题意，可得，
故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图像信息．
7．勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，我国古代数学家赵爽和刘徽也分别利用《赵爽弦图》和《青朱出入图》证明了勾股定理，以下四个图形，哪一个是赵爽弦图（    ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据赵爽弦图证明勾股定理的方法即可求解．
【解析】解：
赵爽弦图，是个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大正方形，直角三角形中较长的直角边为，较短的直角边为，中间小正方形的边长为，
∴选项，是赵爽弦图，符合题意；
选项，不是赵爽弦图，不符合题意；
选项，不是赵爽弦图，不符合题意；
选项，不是赵爽弦图，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查对赵爽弦图的理解，掌握勾股定理的证明方法，赵爽弦图证明勾股定理的方法是解题的关键．
题型十一 勾股定理的实际应用题
【例11】．如图，A，C之间隔有一湖，在与方向成角的方向上的点B处测得，，则AC的长为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方计算判断．
【解析】解：如图，中，
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理，掌握勾股定理描述的三边关系是解题的关键．
巩固训练：
1．海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为，这棵大树在折断前的高度为（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，勾股定理求出的长，利用求解即可．
【解析】解：如图，由题意，得：，，
  
∴，
∴这棵大树在折断前的高度为；
故选C．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．如图，圆柱的底面周长为6，高为4，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（    ）
    
A． B．5 C． D．10
【答案】B
【分析】沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，求出和的长，根据勾股定理求出斜边即可．
【解析】解：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，
∵圆柱的底面周长为6，高为4，
∴，
∴，
∴从点A爬到点B的最短路程是5，
故选B．
  
【点睛】本题考查勾股定理的应用—最短路径问题，能把圆柱的侧面展开成平面图形，利用勾股定理进行求解是解题的关键．
3．将一根长为的筷子，置于内径为高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为x cm，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】画出示意图，找出最长和最短的位置，分别求解即可.
【解析】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，
∴；
当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在中，，，
∴，
∴此时，
所以x的取值范围是：．
故选：B．
  
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意，确定出x的值最大值与最小值的位置是解题关键．
4．一棵高的大树倒在了高的墙上，大树的顶端正好落在墙的最高处，如果随着大树的顶端沿着墙面向下滑动，请回答下列各题．
  
(1)如果大树的顶端沿着墙面向下滑动了，那么大树的另一端点是否也左滑动了？说明理由．
(2)如果大树的顶端沿着墙面向下滑动了，那么大树的另一端点是否也左滑动了？说明理由．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)不一定，理由见解析

【分析】（1）利用勾股定理分别求得，，再根据，即可求解；
（2）利用勾股定理求得，当时，求出a的值，即可求解．
【解析】（1）解：是，理由如下：由题意可知，是直角三角形，
∵，，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
∴,
∴大树的另一端点也左滑动了．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
当时，，即，
解得：或（舍），
∴只有当时，大树的顶端沿着墙面向下滑动了，那么大树的另一端点也向左滑动了．
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，理解题意，利用勾股定理求得线段长度是解题的关键．
5．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（    ）．（杯壁厚度不计）

A．20 B．25 C．30 D．40
【答案】B
【分析】化曲为直，利用勾股定理解决．
【解析】解：把玻璃杯的侧面展开，如图，把点A向上平移6cm到点C，连接，过点B作于D，
由已知得：，，，
在中，由勾股定理得：，
则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为．

故选：B
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据题意把圆柱展开，化曲为直是解决问题的关键．
6．为了积极响应国家新农村建设的号召，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行广播宣传．如图，笔直的公路的一侧点处有一村庄，村庄到公路的距离为，假使宣讲车周围以内能听到广播宣传，宣讲车在公路上沿方向行驶．

(1)村庄能否听到广播宣传请说明理由．
(2)已知宣讲车的速度是，如果村庄能听到广播宣传，那么总共能听多长时间
【答案】(1)村庄能听到广播宣传，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据村庄到公路的距离为米米，即可得出村庄能听到广播宣传．
（2）根据勾股定理得到米，求得米，即可得出结果．
【解析】（1）解：村庄能听到广播宣传，理由如下：
村庄到公路的距离为米米，
村庄能听到广播宣传．
（2）如图：假设当宣传车行驶到点开始能听到广播，行驶到点刚好不能听到广播，
则米，米，
由勾股定理得：米，
米，
能听到广播的时间为：分钟，
村庄总共能听到的宣传．

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，结合生活实际，便于更好地理解题意是解题的关键．
7．在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里．
  
(1)求点A与点B之间的距离；
(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）．
【答案】(1)海里
(2)最多能收到14次信号
【分析】（1）由题意易得是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离；
（2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里，分别求得的长，可求得此时轮船过时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数；
【解析】（1）由题意，得：；
∴；
∵；
∴海里；
（2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里．
  
∵；
∴；
∵；
∴；
∵；
∴；
则信号次数为（次）．
答：最多能收到14次信号．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的判定等知识，涉及路程、速度、时间的关系，熟练掌握勾股定理是关键．
题型十二 勾股定理的折叠问题
【例12】．如图所示，在中，∠B=90，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则的周长是（    ）
  
A．7 B．7.5 C．8 D．
【答案】A
【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据图形翻折变换的性质得出，进而求出 的周长
【解析】∵在 中，∠B=90，，
，
∴
，
∵ 是翻折而成，
∴
∴
∴的周长
.
故答案为：7
【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属干轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
巩固训练：
1．如图，在中，，，，D为上的一点，将沿折叠，使点C恰好落在上的点E处，求的长．

【答案】
【分析】首先根据勾股定理求出，然后根据折叠的性质和勾股定理列方程求解即可．
【解析】∵，，，
∴，
∵将沿折叠，使点C恰好落在上的点E处，
∴，，，
∴，
∴设，则，
∴在，，即，
∴解得：，
∴．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，此类题目熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
2．如图，将一张正方形纸片对折，使与重合，得到折痕后展开，E为上一点，将沿所在的直线折叠，使得点C落在折痕上的点F处，连接．若，则的长度为（　　）
  
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由正方形可得，再由折叠可得，，，，利用勾股定理可求的长，进而得到，在中，利用勾股定理构造方程，即可求得的长．
【解析】解：∵四边形是正方形
∴
由折叠可得，，，





故选：A．
【点睛】本题只要考查折叠问题中勾股定理的运用，在这类问题中利用勾股定理构造方程是常用的方法．
题型十三 勾股定理的解答证明题
【例13】．如图，已知在中，于点，，，．
  
(1)求的长；
(2)求证：是直角三角形．
【答案】(1)16
(2)见解析
【分析】（1）直接根据勾股定理求出的长，再利用勾股定理可得出的长；
（2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论．
【解析】（1）解： ，
，
在中，
，，
∴，
在中，
∵，，
；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，根据勾股定理求出的长是解本题的关键．
巩固训练：
1．如图,AC是四边形的对角线,
  
(1)试判断的形状，并说明理由；
(2)求四边形的面积.
【答案】(1)是直角三角形，理由见解析
(2)44
【分析】（1）在中，利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明，由此即可得到结论；
（2）根据进行计算即可详解．
【解析】（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
（2）解：



，
∴四边形的面积为44．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
2．在中，，，D，E是边上两点，．
  
(1)求证：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作，使，连接，再证明和，再由勾股定理和等量代换即可解答；
（2）由，，可得，，从而可得答案.
【解析】（1）证明：过点A作，使，连接，，
  
∵在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴， ，
∵ ，，
∴，
∵，
∴， 即，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，，
∴,
∴,
∴.
【点睛】此题主要考查勾股定理及三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解答时要充分分析里面的条件与问题之间的联系．
3．用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四个直角三角形的直角边长分别为、，斜边长为c．

(1)结合图①，求证：.
(2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形．若该图形的周长为24，．求该图形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)24

【分析】（1）由图形可知，大正方形面积等于中间小正方形面积与四个完全相同的直角三角形的面积的和，列出等式化简即可得到结论；
（2）根据周长，得到，设，利用勾股定理列方程，求得，从而得到，即可求出该图形的面积．
【解析】（1）证明：由图形可知，小正方形的边长为，
，
，
；
（2）解： 图形的周长为24，
，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
，
图形的面积．
【点睛】本题考查了几何法证明勾股定理及不规则图形面积求解，利用数形结合的思想，准确找出图中各个线段长度及面积关系是解题关键．
4．如图，的周长为，其中，．
  
(1)______；
(2)判断是否为直角三角形，并说明理由．
(3)过点A作，，在上取一点D，使得，求的长度．
【答案】(1)；
(2)是直角三角形，理由见解析；
(3)1

【分析】（1）由三角形周长公式可求解；
（2）由勾股定理的逆定理可证是直角三角形；
（3）利用勾股定理可求解．
【解析】（1）解：∵的周长为，，，
∴，
故答案：；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，勾股定理，掌握勾股定理的性质是解题的关键．
5．阅读材料：一般地，设平面上任意两点和，可以用表示两点之间的距离，那么该如何计算呢？作轴、作轴，垂足分别是点；作轴，垂足为点、作轴，垂足为点，且与交于点，则四边形是矩形．
∵
∴，
∴．
这就是平面直角坐标系中两点之间的距离公式．
如：点和点之间的距离．
  
(1)请运用公式计算点和点之间的距离；
(2)在（1）的条件下，点为原点，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式直接计算即可；
（2）利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式分别计算出，，，即可计算出的周长．
【解析】（1）解：
点和点之间的距离是．
（2）

的周长．
【点睛】本题是阅读理解题，主要考查了平面直角坐标系中两点之间的距离，解题的关键是正确利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式．