【单元知识点归纳】（北师大版）2023-2024学年第3章 概率的进一步认识（知识归纳+题型突破）

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第3章 概率的进一步认识（知识归纳+题型突破） 1.进一步认识频率与概率的关系，加深对概率的理解；2.会用列表和画树状图等方法计算简单事件发生的概率； 3.能利用重复试验的频率估计随机事件的概率；4.学会运用概率知识解决简单的实际问题. 一、用树状图或表格求概率1.树状图当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点：(1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；(2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.2.列表法当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.要点：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.3.用列举法求概率的一般步骤（1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等；（2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m；（3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=.二、用频率估计概率1.频率与概率的定义    频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值.概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）.2.频率与概率的关系事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.要点：（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.3.利用频率估计概率当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率.要点：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确. 题型一 列举法求概率 【例1】抛掷两枚硬币，出现“一正一反”的概率是（　　）A． B． C． D．巩固训练：1．从，0，，，3.5这五个数中，随机抽取1个，则抽到无理数的概率是（    ）A． B． C． D．2．从1，2，3，4，5五个数中任意取出2个数做加法，其和为偶数的概率是（    ）．A． B． C． D．题型二 列表法或树状图法求概率 【例2】下列说法正确的是（   ）A．口袋中有3个白球，2个黑球，1个红球，它们除颜色外都相同，因为袋中共有3种颜色的球，所以摸到红球的概率是B．掷一枚硬币两次，可能的结果为两次都是正面，一次正面一次反面，两次都是反面，所以掷出两次都是反面的概率为C．天气预报“明天降水概率为10%”，是指“明天有10%的时间会下雨”D．随意掷一枚均匀的骰子，偶数点朝上的概率是巩固训练：1．在一个不透明的袋子里装有一个黑球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到白球的概率是（       ）A． B． C．1 D．2．甲、乙、丙三位同学分别用背面完全相同、大小一致的卡片在下面制成了表示自己生肖的图案，将三张卡片背面朝上洗匀，三人各抽一次（抽后放回，洗匀后第二人再抽），三个人抽到的生肖卡恰好是自己制作的卡片的概率为（    ）A． B． C． D．3．甲口袋中有2个白球、1个红球，乙口袋中有1个白球、1个红球，这些球除颜色外无其他差别.分别从每个口袋中随机摸出1个球.下列事件中，概率最大的是（      ）A．摸出的2个球颜色相同 B．摸出的2个球颜色不相同C．摸出的2个球中至少有1个红球 D．摸出的2个球中至少有1个白球4．两张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到四张形状相同的小图片，再把这四张小图片均匀混合在一起，从四张小图片中随机摸取一张，接着再随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是（   ）A． B． C． D．5．不透明的布袋里装有红、蓝、黄三种颜色小球共40个，它们除颜色外其余都相同，其中红色球20个，蓝色球比黄色球多8个．（1）求袋中蓝色球的个数．（2）求摸出1个球是黄色球的概率．（3）现再将2个黄色球放入布袋，搅匀后，求摸出1个球是黄色球的概率．6．农历正月十五是我国的传统节日——元宵节，这一天人们有吃汤圆的习俗．今年的元宵节，圆圆爸爸给圆圆准备了一碗汤圆，其中一个汤圆是花生馅的，一个汤圆是豆沙馅的，还有两个汤圆是芝麻馅的，这四个汤圆除了馅以外，其他都一样．(1)圆圆吃了其中两个汤圆，求这两个汤圆都是芝麻馅的概率；(2)圆圆吃了三个汤圆后，剩下的汤圆是芝麻馅的概率是 ．题型三 游戏的公平性【例3】学校将举办主题为“爱成都・迎大运”知识竞赛活动，班决定在甲乙两人中选择一人参加，并采用如下游戏确定参加人员．如图，一个均匀的转盘被平均分成10等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．甲乙两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的方法从下面三种中选一种：①猜“是奇数”或“是偶数”；②猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”；③猜“是大于6的数”或“不是大于6的数”．如果由乙转动转盘，甲猜数，那么为了尽可能获胜，试说明甲应选择哪一种猜数方法？怎样猜？  巩固训练：1．4张相同的卡片上分别写有数字1、2、3、4，将卡片背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为1、2、3的3个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，将摸到的球的标号作为减数.（1）求这两个数的差为0的概率；（2）游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜.这样的规则公平吗？如果不公平，请设计一个公平的规则，并说明理由.2．第二十四届冬奥会于2022年2月20日在北京闭幕，北京成为全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．如图，是四张关于冬奥会运动项目的卡片，卡片的正面分别印有A．“花样滑冰”、B．“高山滑雪”、C．“单板滑雪大跳台”、D．“钢架雪车”（这四张卡片除正面图案外，其余都相同）．将这四张卡片背面朝上，洗匀． (1)从中随机抽取一张，抽得的卡片恰好为“花样滑冰”的概率为 　 　；(2)若先从中随机抽取一张，记录这张卡片上图案的运动项目后放回，背面朝上，洗匀．再从中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法，求这两次抽取的卡片图案上是“单板滑雪大跳台”和“钢架雪车”运动项目的概率．题型四 几何概率【例4】．某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为（    ）.A． B． C． D．巩固训练：1．分别向如图所示的四个区域投掷一个小球，小球落在阴影部分的概率最小的是（    ）A． B． C． D．2．如图，若随机向正方形网格内投针，则针尖落在阴影部分的概率为（    ）A． B． C． D．题型五 概率的应用【例5】．在智力竞答节目中，某参赛选手答对最后两题单选题就能利通关，两题均有四个选项，此选手只能排除第1题的一个错误选项，第2题完全不会，他还有两次“求助”机会（使用可去掉一个错误选项），为提高通关概率，他的求助使用策略为（    ）A．两次求助都用在第1题         B．两次求助都用在第2题C．在第1第2题各用一次求助      D．两次求助都用在第1题或都用在第2题巩固训练：1．2018（第七届）绵阳之春国际车展将于2018年4月18日-22日在绵阳国际会展中心盛大举行．某品牌汽车为了推广宣传，特举行“趣味答题闯关赢大奖”活动，参与者需连续闯过三关方能获得终极大奖．已知闯过第一关的概率为，连续闯过两关的概率为，连续闯过三关的概率为，已经连续闯过两关的参与者获得终极大奖的概率为 （  ）A． B． C． D．2．养鱼池养了同一品种的鱼，要大概了解养鱼池中的鱼的数量，池塘的主人想出了如下的办法：“他打捞出80尾鱼，做了标记后又放回了池塘，过了三天，他又捞了一网，发现捞起的90尾鱼中，带标记的有6尾．”你认为池塘主的做法（    ）A．有道理，池中大概有1200尾鱼 B．无道理C．有道理，池中大概有7200尾鱼 D．有道理，池中大概有1280尾鱼题型六 频率与概率的关系【例6】．下列说法中，正确的是（    ）A．随机事件的发生具有偶然性，即使反复试验也没有规律可循B．随机事件的发生具有规律性，第一次试验往往代表最后结果C．试验的次数越少，频率的分布越集中，逐渐稳定在一个数附近D．试验的次数越多，频率的分布越集中，逐渐稳定在一个数附近巩固训练：1．投掷一枚质地均匀的硬币次，正面向上次，下列表达正确的是（    ）A．的值一定是 B．的值一定不是C．越大，的值越接近 D．随着的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性2．从一定高度抛一个瓶盖1000次，落地后盖面朝下的有550次，则下列说法错误的是（    ）A．盖面朝下的频数为550 B．该试验总次数是1000C．盖面朝下的频率为0.55 D．盖面朝下的概率为0.53．掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（    ）A．一定是 B．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性C．一定不是 D．随着m的增大，越来越接近4．在做抛硬币试验时，抛掷n次，若正面向上的次数为m次，则记正面向上的频率．下列说法正确的是（　　）A．P一定等于 B．P一定不等于C．多抛一次，P更接近 D．随着抛掷次数的逐渐增加，P稳定在附近题型七 用频率估计概率【例7】．在一个不透明的盒子中装有红球、白球、黑球共40个，这些球除颜色外无其他差别，在看不见球的条件下，随机从盒子中摸出一个球记录颜色后放回．经过多次试验，发现摸到红球的频率稳定在30%左右，则盒子中红球的个数约为（    ）A．12 B．15 C．18 D．23巩固训练：1．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（    ）A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率B．抛一枚硬币，出现正面的概率C．任意写一个整数，它能被3整除的概率D．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到白球的概率2．如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，下面有四个推断，其中最合理的（　　）A．当投掷次数是时，计算机记录“凸面向上”的频率是，所以“凸面向上”的概率是B．若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为时，“凸面向上”的频率一定是C．随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率是D．当投掷次数是次以上时，“凸面向上”的频率一定是．3．某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个可以自由转动的转盘，开展有奖购物活动．顾客购买商品满 元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获“一袋苹果”的奖品；指针落在“一盒樱桃”的区域就可以获得“一盒樱桃”的奖品．下表是该活动的一组统计数据：转动转盘的次数落在“一袋苹果”区域的次数落在“一袋苹果”区域的频率下列说法不正确的是（  ）A．当很大时，估计指针落在“一袋苹果”区域的频率大约是B．转动转盘次，一定有次获得“一盒樱桃”C．如果转动转盘次，指针落在“一盒樱桃”区域的次数大约有次D．假如你去转动转盘一次，获得“一袋苹果”的概率大约是4． 2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：幼树移植数（棵）100100050008000100001500020000幼树移植成活数（棵）________8934485722489831344318044幼树移植成活的频率0.8700.8930.897________0.8980.8960.902(1)请你帮助计算并填写好表格中所缺数据，估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是________；（结果精确到0.1）(2)若某林业部门今年在该地区共移植这种幼树10万棵，则该地区成活约________棵这种幼树．5．在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，七年级（2）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小、形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下面是全班各小组的汇总数据统计表：摸球次数15030060090012001500摸到白球的频数63123247365484603摸到白球的频率(1)表中的________；(2)请估计当摸球次数s很大时，摸到白球的频率将会接近________（精确到）(3)试估算摸到红球的概率是________（精确到）(4)试估算这个不透明的口袋中红球的个数．题型八 概率在统计中的应用【例8】．为了解国家“双减”政策的落实情况，我市某校随机调查了部分学生在家完成作业的时间，按时间长短划分为，，，四个等级，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所给信息解答下列问题：  (1)扇形统计图中________，________；(2)求等级所对应的扇形圆心角的度数，并将条形统计图补充完整；(3)为更好地落实国家“双减”政策，从等级的甲、乙、丙、丁4名学生中，随机抽取2名学生参加“双减”座谈，请用列表法或画树状图法求恰好抽到甲和丙两人的概率．巩固训练：1．某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了以下不完整的统计图表（如下图所示）．学生平均每天阅读时长情况统计表平均每天阅读时长x/min人数学生平均每天阅读时长情况扇形统计图    根据以上提供的信息，解答下列问题：(1)本次调查共抽取了______名学生，统计表中______．(2)求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“”所对应的圆心角度数．(3)若全校共有名学生，请估计平均每天阅读时长为“”的学生人数，(4)该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片，，，标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率．2．自从2021年7月国家出台“双减”政策以来，全国各地纷纷响应落实该政策．某学校在课后托管时间里开展了“音乐、体育、演讲、美术”四项社团活动，学校从全校1200名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动”的问卷调查每人必选且只选一种，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：(1)参加调查的学生共有______ 人；条形统计图中m的值为______ ；扇形统计图中的度数为______ ；(2)根据调查结果，请估计该校1200名学生中最喜欢“音乐”社团的约有多少人；(3)现从“演讲”社团里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．3．为培养学生热爱美，发现美的艺术素养，我校开展了艺术选修课．学生根据自己的喜好选择一门艺术项目：A书画，B摄影，C泥塑，D纸艺．张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了如图所示的两幅不完整的统计图．  根据统计图表提供的信息，解答下列问题：(1)张老师调查的学生人数是_____，其中选择“泥塑”选修课在的扇形统计图中圆心角的度数为_____；(2)若该校学生共有900人，请估计全校选修“摄影”的学生人数；(3)现有4名学生，其中2人选修书画，1人选修摄影，1人选修泥塑，张老师要从这4人中任选2人了解情况，请用树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书画的概率．4．春节期间，根据国乒故事改编的《中国乒乓之绝地反击》展现了面对困境，中国男乒如何走出低谷的励志故事 ．在此精神的鼓舞下，某中学准备组织一场乒乓球友谊赛 ．为了了解本校学生对乒乓球技巧的掌握情况，中国乒乓先从七年级和八年级学生中各随机抽取10人进行测试，满分100分，成绩分析过程如下：Ⅰ收集数据：测试成绩如下：七年级：84、65、80、100、80、95、73、78、80、80八年级：85、100、75、60、85、100、95、60、85、70Ⅱ整理、描述数据： 七年级12a2八年级223b分析数据 平均数中位数众数七年级81.5c80八年级81.585d根据以上信息，回答下列问题：(1)______；______；______；______；(2)请对七、八年级各抽取的10名同学的竞赛成绩作出评价（“众数”“中位数”或“平均数”中的一个方面评价即可） ．(3)从以上20名学生中选出成绩最好的5人，随机抽取2名学生作展示，请用列表或画树状图的方法，求抽到恰好七年级、八年级学生各一名的概率．5．为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供A，，三种午餐供师生选择，单价分别是10元，12元，15元，为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周A，，三种午餐购买情况的数据制成统计表，又根据过去平均每份午餐的利润与周销售量之间的关系绘制成条形统计图：种类数量（份）A18002300900请你根据以上信息，解答下列问题：(1)该校师生上周购买午餐费用的中位数是______．(2)为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人只能选择两种不同的午餐交替食用，试通过列表或画树状图的方法求该校学生小芳选择“”组合的概率；(3)经分析与预测，该校师生购买午餐的种类与数量相对稳定．根据规定，配餐公司平均每份午餐的利润不得超过3元，否则应调低午餐的单价．①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价；②为了便于操作，配餐公司决定只调低一种午餐的单价，且调低幅度至少1元（只能整数元），为了使得下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，请问应把哪一种午餐的单价调整为多少元？