【单元知识点归纳】（北师大版）2023-2024学年九年级数学上册 第1章 特殊平行四边形（知识归纳+题型突破）

第1章 特殊平行四边形（知识归纳+题型突破）

1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它们之间的关系.

2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法, 并能运用这些知识进行有关的证明和计算.

一、菱形

1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；

         （2）四条边相等；

         （3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

  （4）中心对称图形，轴对称图形.

3．面积：

4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

（3）四边相等的四边形是菱形.

二、矩形

1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；

（2）四个角都是直角；

（3）对角线互相平分且相等；

        （4）中心对称图形，轴对称图形.

3．面积：

４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.

         （2）对角线相等的平行四边形是矩形.

         （3）有三个角是直角的四边形是矩形.

要点：由矩形得直角三角形的性质：

（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．

三、正方形

1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.

2．性质：（1）对边平行；

        （2）四个角都是直角；

（3）四条边都相等；

（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；

（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；

（6）中心对称图形，轴对称图形.

3．面积：边长×边长＝×对角线×对角线

4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；

（2）一组邻边相等的矩形是正方形；

（3）对角线相等的菱形是正方形；

（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；

（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；

（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.

题型一 菱形、矩形、正方形的性质与判定的有关概念

【例1】下列选项中，矩形一定具有的性质是（    ）

A．对角线相等 B．对角线互相垂直

C．邻边相等 D．一条对角线平分一组对角

巩固训练：

1. 下列性质中，菱形不一定具备的性质是（　　）

A．四边相等 B．对角线相等

C．对角线相互垂直 D．对边平行

2．下列四边形：①平行四边形、②矩形、③菱形、④正方形，对角线一定相等的是（    ）

A．①② B．①③ C．②④ D．①②③④

3．下列四个命题中，假命题是（    ）

A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形

C．四条边都相等的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形

4．已知四边形为矩形，下列条件中，不能判定四边形为正方形的是（   ）

A．  B．  C． D．

题型二 根据菱形、矩形、正方形的性质求长度、角度面积等问题

【例2】矩形中，对角线相交于点O，如果，那么的度数是（　　）

A． B． C． D．

巩固训练：

1．已知菱形的对角线的长分别是6和8，则这个菱形的面积是     ；

2．矩形中，对角线，交于点O．若，，则的长为（　　）

A．4 B． C．3 D．5

3．如图，菱形的对角线与交于点O，，，则        ．

4．如图，在中，，，，以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（    ）

A．13 B．12 C．6 D．3

5．如图，正方形的对角线，交于点，、分别为、的中点，若，则的长是（    ）

A． B． C． D．

6．在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是           ．

7．如图，四边形是菱形，对角线，，于点，则的长为（    ）

A． B． C． D．

8．如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，连接，则的周长为（    ）

A． B． C． D．

9．如图，在正方形中，点、分别是边、上的两个动点不与顶点、、重合，在运动中始终保持，与交于点，当时，的度数为(    )

A． B． C． D．

题型三 菱形、矩形、正方形的性质与判定

【例3】如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF=3，则BD的长为(　　)

A．6 B．9 C．12 D．15

巩固训练：

1. 如图中，是角平分线，交于E，交于F，若，那么四边形的周长为           ．

2．如图，两张宽均为的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形．若测得，则四边形的周长为     cm．

3．如图，已知四边形和四边形均为正方形，且是的中点，连接，若，则的长为   ．

4．如图，菱形的对角线，相交于点O，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为           ．

5．如图，矩形中，，，是对角线上的两个动点，分别从同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为秒，若分别是的中点，且，当为顶点的四边形为矩形时，的值为      ．

6．如图，在中，，以斜边为边向外作正方形，且对角线交于点O，连接．若，则另一条直角边的长为       ．

7．如图，在正方形中，点在对角线上，分别为垂足，连结，若，则（　　）

A． B． C． D．

8．如图，在中，点是边上的一个动点（点不与、两点重合），过点作直线，直线与的平分线相交于点，与（的外角）的平分线相交于点．

(1)与相等吗？为什么？

(2)探究：当点运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论．

(3)在（2）中当等于多少时，四边形为正方形（不要求说理由）

题型四 特殊平行四边形的解答证明题

【例4】．如图，已知平行四边形ABCD中，M，N是BD上的两点，且，．

(1)求证：四边形AMCN是矩形；

(2)若，，AB⊥AC，求四边形ABCD的面积．

巩固训练：

1．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，EF．

(1)求证：△ADE≌△ABF；

(2)若BC＝8，DE＝6，求EF的长．

2．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．

（1）求证：∠ADB=∠CDB；

（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．

3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．

（1）求证：四边形AEFD是矩形；

（2）若AC＝10，∠ABC＝60°，则矩形AEFD的面积是　 　．

4．如图，矩形ABCD 和正方形ECGF，其中E、H分别为AD、BC中点，连结AF、HG、AH.

（1）求证：；

（2）求证：；

题型五 特殊平行四边形与坐标系

【例5】．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则点C的坐标为（    ）

A．（3，4） B．（4，3） C．（2，3） D．（2，4）

巩固训练：

1．如图，平面直角坐标系中，已知点，点、分别在轴、轴上，且，若点坐标为，则      （用含的代数式表示）．

2．如图，四边形中，，．点从点A出发，以的速度向点D运动；点从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒，下列结论错误的是（    ）

A．当时， B．当时，

C．当或时， D．当时，四边形的最大面积为

3．如图，菱形ABDC 的顶点A(1，1)，B(3，1)，∠BAC=60°，规定把菱形ABDC“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位长度”为1次变换，如果这样连续经过2022次变换后，顶点C对应的坐标为        ．

4．如图1，在菱形ABCD中，动点P从点C出发，沿C→A→D运动至终点D．设点P的运动路程为x，△BCP的面积为y，若y与x的函数图象如图2所示，则图中a的值为      ．

5．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在轴的正半轴上，且，将菱形绕原点逆时针方向旋转，得到四边形点与点重合，则点的坐标是(        )

A． B． C． D．

6．如果点A的坐标为，点B的坐标为，则线段AB中点坐标为．这是小白在一本课外书上看到的一种求线段中点坐标的方法，请你利用这种方法解决下面的问题：如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，四边形是菱形，D的坐标为．若直线l把矩形和菱形组成的图形的面积分成相等的两部分，则直线l的解析式为（    ）．

A．y=2x+11 B．y=-2x+12

C． D．

7．如图，直线与轴交于，与轴交于，点在经过点的直线上，当是等腰直角三角形时，点的坐标是      ．

题型六 特殊平行四边形与方程

【例6】．如图，在矩形ABCD中，cm，cm，点P从点D出发向点A运动，运动到A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P，Q的速度都是1cm/s．连接PQ，AQ，CP．设点P，Q运动的时间为ts．

(1)当t为何值时，四边形ABQP是矩形；

(2)当t为何值时，四边形AQCP是菱形；

(3)分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．

巩固训练：

1．如图，已知中，，，将沿射线方向平移m个单位得到，顶点A，B，C分别与D，E，F对应，若以A，D，E为顶点的三角形是等腰三角形，则m的值是           ．

题型七 最值、动点问题

【例7】．如图，在中，为边上一动点，于于，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

巩固训练：

1．如图，矩形的面积为12，，与交于点O．分别过点C，D作，的平行线相交于点F，点G是的中点，点P是四边形边上的动点，则的最小值是（    ）

A．1 B． C． D．3

2．如图，正方形的边长为，分别是边上一点，且，连接交于点，则线段的最小值为          

3．如图，在中，，P为边上一动点（P不与B、C重合），于E，于F，M为中点，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

题型八 特殊平行四边形动态问题

【例8】．如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，点D为BC边的中点，点E是AB边上一点，连接ED，将△EDB沿DE翻折，得到△DEP，连接PC，PB，PA，若DP经过AC的中点F，且PC＝2，则△AFP的面积是      ．

巩固训练：

1．如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕MN恰好过点G若AB＝，EF＝2，∠H＝120°，则DN的长为     ．

2．在矩形中，，P是边上的一个动点，将沿直线翻折，点B的对应点为E，直线与直线交于点F．

(1)如图①，点F在的延长线上时，判断与的数量关系，并证明；

(2)当点E到直线的距离等于3时（边足够长），求的长；

(3)若，当点P、E、D在同一条直线上（如图②）时，点P开始向点C运动，到C重合时停止，运动过程中，的最小值为 ___________，点F运动的路程是 ___________．