【期中单元知识点归纳】（苏科版）2023-2024学年九年级数学上册 第一章 一元二次方程 试卷（知识归纳+题型突破）

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理解一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的解法。
会判断一元二次方程根的情况，了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用。
会列一元二次方程解决实际问题。
（一） 一元二次方程的概念和基本形式
一元二次方程的定义是；等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
（二）根的判别式
根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
（三）根与系数的关系
根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，，．
（四）一元二次方程的应用
1.数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。
2.几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。
3.增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（），增长率（），变化的次数（），变化后的基数（）,这四者之间的关系可以用公式表示。
4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。
题型一 一元二次方程的概念、基础考点
【例1】下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+1x2−3＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【解析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
解：一元二次方程只有④，共1个，
故选：A．
【例2】一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，4，5B．0，，C．1，，5D．1，，
【答案】D
【解析】解：∵一元二次方程，
∴二次项系数、一次项系数和常数项分别为2，，
故选：D．
【例3】关于x的方程是一元二次方程，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】解：∵方程是一元二次方程，
∴，
解得：，
故选A．
【例4】已知是方程的根，代数式的值是 ．
【答案】9
【解析】解：是方程的根，
，
，
．
故答案为：9．
巩固训练：
1、下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】解：A、时，不是一元二次方程，故此选项错误；
B、是一元二次方程，故此选项正确；
C、是二元二次方程，故此选项错误；
D、是一元一次方程，故此选项错误．
故选：B．
2、下列方程中，①，②，③，④，⑤，一元二次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】解：①符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
②当时不是一元二次方程；
③去括号化简后可得：，不是一元二次方程；
④分母里含有未知数，为分式方程，不是一元二次方程；
⑤符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
故选B．
题型二 直接开平方法
【例5】一元二次方程可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：∵，
∴或，
故选C
【例6】用直接开平方法解方程，得方程的根是（ ）
B． C．， D．
【答案】C
【解析】先移项、系数化1，则可变形为，然后利用数的开方解答，求出 的值，
进而求．
移项得,
两边同除3得,
开方得,
所以
故选:C．
【例7】按要求解方程：
(1)直接开平方法：；
(2)；
(3)（直接开平方）
【答案】见解析
【解析】（1），
，
即或，
所以；
（2）解：
直接开平方可得：，
或
∴原方程的解为：，；
（3）解：，
∴，
∴；
【例8】用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )
A．x2－5＝5 B．－3x2＝0 C．x2＋4＝0 D．(x＋1)2＝0
【答案】C
【解析】 A．由原方程得到x2＝10＞0，所以该方程有解．B.由原方程得到x2＝0，所以该方程有解．
C.由原方程得到x2＝－4＜0，所以该方程无解．D.(x＋1)2＝0，所以该方程有解．
故选C.
巩固训练
3、一元二次方程（4-2x）2-36=0的解是__________．
【答案】x1=-1，x2=5
【解析】移项得：（4﹣2x）2=36，开方得：4﹣2x=±6，解得：x1=﹣1，x2=5．
故答案为：x1=﹣1，x2=5．
4、用开平方法解下列方程：
(1)x2－81＝0. (2)4x2－7＝0. (3)3(1－x)2＝12. (4)(2x＋6)2－8＝0.
【答案】见解析
【解析】 (1)x2－81＝0，x2＝81，∴x＝±9.
(2)4x2－7＝0，4x2＝7，x2＝eq \f(7,4)，∴x＝±eq \f(\r(7),2).
(3)3(1－x)2＝12，(1－x)2＝4，1－x＝±2， ∴x1＝－1，x2＝3.
(4)(2x＋6)2－8＝0，(2x＋6)2＝8，2x＋6＝±2eq \r(,2)，∴x1＝－3＋eq \r(,2)，x2＝－3－eq \r(,2).
5、下列解方程的结果正确的是（ ）
A. x2=-11，解得x=± B. （x-1）2=4，解得x-1=2，所以x=3
C. x2=7，解得x=± D. 25x2=1，解得25x=±1，所以x=±
【答案】C
【解析】直接开平方法可得。
6、一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( )
A．x－6＝－4 B．x－6＝4 C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4
【答案】D
【解析】将方程(x＋6)2＝16两边直接开平方，得x＋6＝±4，则x＋6＝4或x＋6＝－4.
故选D.
题型三 配方法
【例9】
（配方法）
；
【答案】见解析
【解析】（2），
移项，得：，
配方，得：，即：，
∴，
∴；
（2），
，
，
，
，
解得；
【例10】用配方法解一元二次方程，则方程可变形为 ．
【答案】见解析
【解析】， ，
， ，
故答案为：．
【例11】若将方程x2＋6x＝7化为(x＋m)2＝16，则m＝________．
【答案】3
【解析】在方程x2＋6x＝7的两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2＋6x＋32＝7＋32，
整理，得(x＋3)2＝16，
所以m＝3.
【例12】若方程x2＋px＋q＝0可化为(x＋eq \f(1,2))2＝eq \f(3,4)的形式，则pq＝________．
【答案】－eq \f(1,2)
【解析】
(x＋eq \f(1,2))2＝x2＋x＋eq \f(1,4)＝eq \f(3,4)，
即x2＋x－eq \f(1,2)＝0，
即p＝1，q＝－eq \f(1,2)，
则pq＝－eq \f(1,2).
巩固训练
7、用配方法解下列方程：
(1)x2－2x＝1； (2)x2－6x－6＝0；
(3)x2＋9＝6x； (4)(x－1)(x－3)＝8.
【答案】见解析
【解析】解：(1)配方，得x2－2x＋1＝1＋1，即(x－1)2＝2.
两边开平方，得x－1＝±eq \r(2).
所以x1＝1＋eq \r(2)，x2＝1－eq \r(2).
(2)移项、配方，得(x－3)2＝15，即x－3＝±eq \r(15).
所以x1＝3＋eq \r(15)，x2＝3－eq \r(15).
(3)移项，得x2－6x＋9＝0，即(x－3)2＝0，
解这个方程，得x1＝x2＝3.
(4)(x－1)(x－3)＝8，
x2－4x＋3＝8，
x2－4x＝5，
x2－4x＋4＝9，
(x－2)2＝9，
∴x－2＝±3，
∴x1＝3＋2＝5，x2＝2－3＝－1.
8、用配方法解方程x2－4x＋2＝0，下列配方正确的是 ( )
A．(x－2)2＝2 B．(x＋2)2＝2 C．(x－2)2＝－2 D．(x－2)2＝6
【答案】A
【解析】 移项，得x2－4x＝－2.
配方，得x2－4x＋4＝－2＋4，即(x－2)2＝2.
故选A
9、用配方法解下列方程，其中应在方程左、右两边同时加上4的是( )
A．x2－2x＝5 B．x2－8x＝5 C．x2＋4x＝5 D．x2＋2x＝5
【答案】C
【解析】A项，因为本方程的一次项系数是－2，所以方程两边应同时加上一次项系数一半的平方1.故本选项错误．
B项，因为本方程的一次项系数是－8，所以方程两边应同时加上一次项系数一半的平方16.故本选项错误．
C项，因为本方程的一次项系数是4，所以方程两边应同时加上一次项系数一半的平方4.故本选项正确．
D项，因为本方程的一次项系数是2，所以方程两边应同时加上一次项系数一半的平方1.故本选项错误．
故选C.
题型四 公式法
【例13】(1)（公式法）
(2)公式法：；
【答案】见解析
【解析】（1）∵
∴，
∴，
∴，
∴；
（2），
，
∵，
∴，
∴，
∴；
【例14】一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根中较大的根是( )
A．1＋eq \r(5) B.eq \f(1＋\r(5),2) C.eq \f(1－\r(5),2) D.eq \f(－1＋\r(5),2)
【答案】B
【解析】 B
∵一元二次方程x2－x－1＝0中，a＝1，b＝－1，c＝－1，
∴x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq \f(1±\r(5),2)，
∴一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根中较大的根是eq \f(1＋\r(5),2).
故选B.
【例15】用公式法解方程，则________；方程的解为________．
【答案】5
【解析】∵a=1，b=3，c=1
∴=5>0
∴x=
故答案为：5，
巩固训练
10、用公式法解方程x2－4x－2＝0，其中b2－4ac的值是( )
A．16 B．24 C．8 D．4
【答案】B
【解析】∵a＝1，b＝－4，c＝－2，∴b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－2)＝16＋8＝24.
故选B.
11、一元二次方程x2＋2 eq \r(2)x－6＝0的根是( )
A．x1＝x2＝eq \r(2) B．x1＝0，x2＝－2 eq \r(2)
C．x1＝eq \r(2)，x2＝－3 eq \r(2) D．x1＝－eq \r(2)，x2＝3 eq \r(2)
【答案】C
【解析】∵a＝1，b＝2 eq \r(2)，c＝－6，b2－4ac＝8－4×1×(－6)＝32，
∴x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq \f(－2 \r(2)±\r(32),2)，
∴x1＝eq \r(2)，x2＝－3 eq \r(2).
故选C.
12、用公式法解方程：
(1)x2＋4x－1＝0； (2)(x＋1)(x－1)＝2 eq \r(2)x；
(3)5x2－eq \r(5)x－6＝0; (4)(x－2)(1－3x)＝2.
【答案】见解析
【解析】解：(1)∵a＝1，b＝4，c＝－1，b2－4ac＝42－4×1×(－1)＝20>0，
∴x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq \f(－4±\r(20),2)，
∴x＝－2±eq \r(5)，
即x1＝－2＋eq \r(5)，x2＝－2－eq \r(5).
(2)∵(x＋1)(x－1)＝2 eq \r(2)x，
∴x2－2 eq \r(2)x－1＝0，
则a＝1，b＝－2 eq \r(2)，c＝－1，
b2－4ac＝(－2 eq \r(2))2－4×1×(－1)＝12＞0，
∴x＝eq \f(2 \r(2)±2 \r(3),2)＝eq \r(2)±eq \r(3)，
∴x1＝ eq \r(2)＋eq \r(3)，x2＝eq \r(2)－eq \r(3).
(3)∵a＝5，b＝－eq \r(5)，c＝－6，
b2－4ac＝5－4×5×(－6)＝125>0，
∴x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq \f(\r(5)±5 \r(5),10)，
即x1＝eq \f(3 \r(5),5)，x2＝－eq \f(2 \r(5),5).
(4)整理，得3x2－7x＋4＝0，
∵a＝3，b＝－7，c＝4，
b2－4ac＝(－7)2－4×3×4＝1>0，
∴x＝eq \f(7±\r(1),2×3)，∴x1＝eq \f(4,3)，x2＝1.
题型五 因式分解法
【例16】下列方程能用因式分解法求解的有（ ）
①； ②； ③； ④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】解：方程可变形为，故①能用分解因式法求解；
方程可变形为，故②能用分解因式法求解；
方程不能用因式分解法求解；
方程可变形为，即，故④能用分解因式法求解．
综上，能用因式分解法求解的方程有3个，故选：C．
【例17】方程x2－3x＝0的解为( )
A．x＝0 B．x＝3 C．x1＝0，x2＝－3 D．x1＝0，x2＝3
【答案】D
【解析】 ∵x2－3x＝0，
∴x(x－3)＝0，∴x＝0或x－3＝0，
∴x1＝0，x2＝3.故选D.
【例18】三角形的每条边的长都是方程x2﹣6x+8=0的根，则三角形的周长是
【答案】10
【解析】x2﹣6x+8=0
（x—2）（x—4）=0
解得：x=2或4
∴三角形三边长为：2，2，4或4，4，2
又∵三角形两边之和大于第三边
所以2，2，4这种情况要舍去
∴三角形的周长为4+4+2=10
巩固训练
13、(1)方程x2＋x＝0的解是 ．(2)方程3(x－5)2＝2(x－5)的根是____________．
【答案】见解析
【解析】 (1)x1＝0，x2＝－1 (2)x1＝5，x2＝eq \f(17,3)
(1) x(x＋1)＝0，x＝0或x＋1＝0，
∴x1＝0，x2＝－1.
(2) 移项，得3(x－5)2－2(x－5)＝0，
分解因式，得(x－5)[3(x－5)－2]＝0，
可得x－5＝0或3x－17＝0，
14、若实数x满足(x－1)2－8(x－1)＋16＝0，则x＝________．
【答案】x1＝5，x2＝eq \f(17,3).
【解析】
(x－1)2－8(x－1)＋16＝0，(x－1－4)2＝0，(x－5)2＝0，x1＝x2＝5.
解得x1＝5，x2＝eq \f(17,3).
15、已知数轴上A，B两点对应的数分别是一元二次方程(x＋1)(x－2)＝0的两个根，
则A，B两点间的距离是________．
【答案】3
【解析】 因为(x＋1)(x－2)＝0，所以x＋1＝0或x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2，
所以A，B两点间的距离是|2－(－1)|＝3.
故答案是3.
16、用因式分解法解下列方程：
(1)x2＋16x＝0； (2)(3x＋2)2－4x2＝0； (3)2x(x＋3)－3(x＋3)＝0.
【答案】见解析
【解析】 (1)用提公因式法因式分解求出方程的根；
(2)用平方差公式因式分解求出方程的根；
(3)提取公因式(x＋3)，即可得解．
解：(1)原方程可变形为x(x＋16)＝0，
∴x＝0或x＋16＝0，
∴x1＝0，x2＝－16.
(2)原方程可变形为(3x＋2－2x)(3x＋2＋2x)＝0，
即(x＋2)(5x＋2)＝0，
∴x＋2＝0或5x＋2＝0，
∴x1＝－2，x2＝－eq \f(2,5).
(3)根据题意，原方程可化为(x＋3)(2x－3)＝0，
∴原方程的解为x1＝－3，x2＝eq \f(3,2).
17、当x为何值时，代数式x2－2x－3的值与代数式4x＋4的值互为相反数？
【答案】-1
【解析】解：由题意，得x2－2x－3＝－(4x＋4)．
整理，得x2＋2x＋1＝0，
解得x1＝x2＝－1.
即当x为－1时，代数式x2－2x－3的值与代数式4x＋4的值互为相反数．
题型六 根的判别式
【例19】关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有实数解，则k的取值范围是（ ）
A.k≥4B.k≤4 C.k＞4D.k=4
【答案】B；
【解析】∵关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有实数解，
∴b2﹣4ac=42﹣4×1×k≥0，
解得：k≤4，故选B．
【例20】关于x的一元二次方程x2+（k﹣3）x+1﹣k＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
【答案】A
【解析】先计算判别式，再进行配方得到△＝（k﹣1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．
解：△＝（k﹣3）2﹣4（1﹣k）
＝k2﹣6k+9﹣4+4k
＝k2﹣2k+5
＝（k﹣1）2+4，
∴（k﹣1）2+4＞0，即△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
故选：A．
【例21】 若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（ ）
A．﹣1 B．0 C.1 D.2
【答案】B；
【解析】∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，
∴△=（﹣2）2﹣8（a﹣1）=12﹣8a≥0且a﹣1≠0，
∴a≤且a≠1，
∴整数a的最大值为0．故选：B．
巩固训练
18. 一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
【答案】B.
【解析】在方程x2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．
19．一元二次方程有两个不相等的实数根，则满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B；
【解析】(a≠0)有两个不相等实数根．
20．关于方程的两根的说法正确的是（ ）
A. B. C. D.无实数根
【答案】D；
【解析】求得Δ=b2-4ac=-8＜0，此无实数根，故选D.
21．当k为何值时，关于x的方程x2-(2k-1)x＝-k2+2k+3，
(1)有两个不相等的实数根？
(2)有两个相等的实数根？
(3)没有实数根?
【答案】见解析
【解析】
解：化为一般形式为：，
∴ ，，．
∴ ．
(1)若方程有两个不相等的实数根，则△＞0，即．∴ ．
(2)若方程有两个相等的实数根，则△＝0，即，∴ ．
(3)若方程没有实数根，则△＜0，即，∴ ．
答：当时，方程有两个不相等的实数根；当k＝时，方程有两个相等的实数根；
当，方程没有实数根．
题型七 求根与系数的关系
【例22】若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根，则x1+x2的值是（ ）
A．﹣10 B．10 C．﹣16 D．16
【答案】A
【解析】解：∵x1，x2一元二次方程x2+10x+16=0两个根，
∴x1+x2=﹣10．
故选：A．
【例23】已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（ ）
A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．2
【答案】A
【解析】根据根与系数的关系得出﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，求出即可．
解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，
∴﹣2+4=﹣m，﹣2×4=n，
解得：m=﹣2，n=﹣8，
∴m+n=﹣10，
故选A．
【例24】已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣7x+12=0B．x2+7x+12=0C．x2+7x﹣12=0D．x2﹣7x﹣12=0
【答案】A
【解析】根据以x1，x2为根的一元二次方程是x2﹣（x1+x2）x+x1，x2=0，列出方程进行判断即可．
解：以x1，x2为根的一元二次方程x2﹣7x+12=0，
故选：A．
【例25】若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且＝﹣，则m等于（ ）
A．﹣2B．﹣3C．2D．3
【答案】B
【解析】解：α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，
∴α+β＝2，αβ＝m，
∵+＝＝＝﹣，
∴m＝﹣3； 故选：B．
【例26】已知x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的两根．
（1）填空：x1+x2＝ ，x1•x2＝ ，1x1+1x2= ，x12x2+x1x22= ；
（2）求x1﹣x2的值．
【答案】见解析
【解析】（1）利用根与系数的关系得到x1+x2和x1•x2的值，利用通分得1x1+1x2=x1+x2x1⋅x2，利用因式分解得到x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2），然后利用整体代入的方法计算；
（2）利用完全平方公式得到x1﹣x2＝±(x1+x2)2−4x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
解：（1）x1+x2＝4，x1•x2＝2，
1x1+1x2=x1+x2x1⋅x2=42=2；
x12x2+x1x22=x1x2（x1+x2）＝2×4＝8；
故答案为4，2，2，8；
（2）x1﹣x2＝±(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=±42−4×2=±22．
巩固训练
22、若方程x2﹣3x+2＝0的两根是α、β，则α+αβ+β＝ ．
【答案】5
【解析】利用根与系数的关系可得出α+β＝3，αβ＝2，将其代入α+αβ+β中即可求出结论．
∵方程x2﹣3x+2＝0的两根是α、β，
∴α+β＝3，αβ＝2，
∴α+αβ+β＝α+β+αβ＝3+2＝5．
故答案为：5．
题型八 利用根与系数的关系求代数式的值
【例27】已知a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则3a2﹣b的值是 ．
【答案】8
【解析】
由题意可知：a+b＝﹣1，ab＝﹣1， a2＝1-a，
∴原式＝3（1﹣a）﹣b+＝3﹣3a﹣b+＝3﹣2a﹣（a+b）+
＝3﹣2a+1+＝4﹣2a+＝4+
＝4+＝4+4＝8，
故答案为：8．
【例28】如果实数分别满足，，求的值
【答案】 当时，；当时，当时，，
当时，
【解析】 由题意知：为方程的两个根，且，
解方程得：，
⑴当时，有，，；
⑵当时，方程的根为，．
当时，；
当时，．
巩固训练
23、若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（ ）
A．12B．10C．4D．﹣4
【答案】A
【解析】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，
∴α+β＝2，αβ＝﹣4，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝4+8＝12；
故选：A．
24、若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两根为x1，x2，则（1+x1）+x2（1﹣x1）的值是（ ）
A．4B．2C．1D．﹣2
【答案】A
【解析】解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
所以（1+x1）+x2（1﹣x1）＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4．
故选：A．
题型九 利用根与系数的关系求系数字母的值
【例29】设、是方程的两个不同的实根，且，
则的值是 ．
【答案】
【解析】 由根与系数的关系得，．
且有，即．
所以．
从而，
解之得或．又，所以．
【例30】已知关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根x1、x2满足，则实数a＝ ．
【答案】3﹣
【解析】解：∵关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根为x1、x2，
∴△＝（a﹣2）2﹣4（a+1）≥0，即a（a﹣8）≥0，
∴当a≥0时，a﹣8≥0，即a≥8；
当a＜0时，a﹣8＜0，即a＜8，所以a＜0．
∴a≥8或a＜0，
∴x1+x2＝2﹣a，x1•x2＝a+1，
∵x12+x22＝4，（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，
∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，解得a＝3±．
∵3＜＜4，
∴6＜3+＜7（不合题意舍去），3﹣＜0；
∴a＝3﹣．
故答案为：a＝3﹣．
巩固训练
25、已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13，
则k的值为 ．
【答案】—2
【解析】解：根据题意得：x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣1，
x12+x22﹣x1x2＝13＝﹣3x1x2＝4﹣3（k﹣1）＝13，k＝﹣2，
故答案为：﹣2．
26、已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，
则m的取值范围是 ．
【答案】3＜m≤5
【解析】解：依题意得：，
解得3＜m≤5．
故答案是：3＜m≤5．
题型十 解决实际问题之（传播、握手、球赛问题）
【例31】某班学生毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了1260张，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝1260 B．2x（x+1）＝1260 C．x（x﹣1）＝1260 D．x（x﹣1）＝1260×2
【答案】C
【解析】解：依题意，得：x（x﹣1）＝1260．故选：C．
【例32】为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为 ．
【答案】 x（x﹣1）=21
【解析】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：
x（x﹣1）=21，
故答案为：x（x﹣1）=21．
巩固训练
27、元旦到了，九（2）班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物，结果全班交换小礼物共1560件，该班有 个同学．
【答案】40
【解析】设该班有x个同学，则每个同学需交换（x﹣1）件小礼物，根据全班交换小礼物共1560件，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
设该班有x个同学，则每个同学需交换（x﹣1）件小礼物，
依题意，得：x（x﹣1）＝1560，
解得：x1＝40，x2＝﹣39（不合题意，舍去）．
故答案为：40．
28．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有人患了流感，每轮传染中平均每人传染了（ ）个人
A．11B．12C．13D．14
【答案】B
【解析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，依题意列方程：，解方程即可求解．
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得
，即，
解方程得(舍去)，
即每轮传染中平均每人传染了个人，
故选：B
29．一个人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 人．
【答案】11
【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染x人，
根据题意可得方程，
解得，（舍去），
故每轮传染中平均一个人传染11人，
故答案为：11．
题型十一 解决实际问题之几何动点问题
【例33】如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，如果、分别是从同时出发，求经过几秒时，
(1)的面积等于平方厘米？
(2)五边形的面积最小？最小值是多少？
【答案】(1)2秒或4秒
(2)3秒时，五边形的面积最小，最小值是39平方厘米
【解析】（1）设运动时间为，则，，再由面积公式建立方程求解即可；
（2）由（1）可得：要使的面积有最大值，则要使取最大值，则此时，面积为9， 则此时五边形的面积最小，从而可得答案．
（1）解：设运动时间为，则，，
则，
解得：或．
∴经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米．
（2）由（1）可得：
∴要使的面积有最大值，则要使取最大值，则此时，面积为9，
则此时五边形的面积最小，最小值为．
【例34】在中，，动点M、N分别从点A和点C同时开始移动，点M的速度为/秒，点N的速度为/秒，点M移动到点C后停止，点N移动到点B后停止．问经过几秒钟，的面积为？

【答案】2秒
【解析】解：设经过x秒钟后，的面积为，
由题意得，，
∴，
∴．
∵，即，
∴舍去，即．
答：经过2秒，的面积为．
巩固训练
30．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿向点C以的速度移动，当点Q到达点C时，P，Q均停止运动，若的面积等于，则运动时间为（ ）
A．1秒B．4秒C．1秒或4秒D．1秒或秒
【答案】A
【解析】当运动时间为t秒时，，，根据的面积等于，可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
解：当运动时间为t秒时，，，
根据题意得：，
即，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去，
∴．
∴运动时间为1秒．
故选：A．
31．如图，，，，一个小球从点出发沿着方向滚向点，另一小球立即从点出发，沿匀速前进拦截小球，恰好在点处截住了小球．若两个小球滚动的速度相等，则另一个小球滚动的路程是 ．
【答案】
【解析】解：，，，设，则，
在中，，
∵两个小球滚动的速度相等，设速度为，根据题意可知，一个小球从点出发，另一小球立即从点出发，恰好在点处截住，则运动时间相等，
∴，则，
∴，解得，，
∴，
故答案为：．
32．如图，在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为秒．

(1)填空：______，______（用含的代数式表示）
(2)当为何值时，的长度等于？
(3)是否存在，使得五边形的面积等于？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)当或时，的长度等于
(3)不存在；理由见解析
【解析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度；
（2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可；
（3）根据题意可得的面积为长方形的面积减去五边形的面积，再根据三角形的面积公式代入相应线段的长即可得到方程，再解方程即可．
（1）解：∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，
∴，
∵，
∴，
∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，
∴；
故答案为：；．
（2）解：由题意得：，
解得：，；
∴当或时，的长度等于；
（3）解：不存在；理由如下：
长方形的面积是：，
使得五边形的面积等于，则的面积为，
∴，
整理得：，
∵，
∴此方程无解，
∴不存在，使得五边形的面积等于．
题型十二 增长率（变化率）问题
【例35】淄博烧烤火爆出圈，各地游客纷纷“进淄赶烤”．某烧烤店5月1日收入约为5万元，之后两天的收入按相同的增长率增长，5月3日收入约为9.8万元，若设每天的增长率为x，则x满足的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据题意列方程为：，
故选D．
【例36】某商店将一批夏装降价处理，经过两次降价后，由每件100元降至81元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】解：设平均每次降价的百分率为，根据题意列方程得
故选：A．
【例37】据统计，目前某市基站的数量约万座，计划到2023年底，全市基站数是目前的4倍，到2025年底，全市基站数最将达到万座．
(1)计划到2023年底，全市基站的数量是多少万座？
(2)求2023年底到2025年底，全市基站数量的年平均增长率．
【答案】(1)计划到2023年底，全市5G基站的数量是6万座.
(2)2023年底到2025年底，全市5G基站数量的年平均增长率为
【解析】（1）按照条件计算即可；
（2）设出未知数，按题目要求列出算式，得出结果检验．
（1）解：（万座），
答：计划到2023年底，全市基站的数量是6万座.
（2）解：设2023年底到2025年底，全市基站数量的年平均增长率为x，
依题意，得，
解得（不符合题意，舍去），
答：2023年底到2025年底，全市5G基站数量的年平均增长率为；
巩固训练
33．如今网上购物已经成为一种时尚，某网店“双十一”全天交易额逐年增长，2018年的交易额为40万元，2020年的交易额为48.4万元，求2018年至2020年该网店“双十一”交易额的年平均增长率？
【答案】
【解析】解：设2018年至2020年该网店“双十一”交易额的年平均增长率为x，
根据题意，得，
解得，（不符合实际，舍去）．
答：2018年至2020年该网店“双十一”交易额的年平均增长率为．
34．某件服装厂促销一种服装，原来每件每件售价为200元，经过连续两次降价后，该种服装每件售价为98元，则平均每次降价的百分率为 ．
【答案】
【解析】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后为，第二次降价后为，然后根据每件的价格由原来的200元降为现在的98元即可列出方程，解方程即可．
设平均每次降价的百分率为x，
依题意得，
∴，
∴，
解得，（舍去）．
即：平均每次降价的百分率为．
故答案是：．
35．某药店一月份销售口罩500包，三月份销售口罩605包，设该店二、三月份销售口罩的月平均增长率为x，则可列方程 ．
【答案】
【解析】根据题意，可得：，
故答案为：．
36．某服装厂生产一批服装，2020年该类服装出厂价为200元/件，2021年、2022年连续两年改进技术，降低成本，2022年该类服装的出厂价调整为162元/件．若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同，则2021年此类服装的出厂价为 元/件．
【答案】
【解析】解：设这两年此类服装的出厂价下降的百分率为，由题意可得：
解得：或（舍去）
2021年此类服装的出厂价为（元）
故答案为：
37．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售256个，5月份销售400个，且从3月份到5月份销售量的月增长率均为．
(1)求月增长率r；
(2)经在市场中调查，若此种头盔的进价为30元/个时，定价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】(1)
(2)50
【解析】（1）解：由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
答：月增长率为．
（2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，则月销售量为（个），
由题意得：，
解得或，
要尽可能让顾客得到实惠，
，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
题型十三 面积问题
【例38】现有一块长 80 cm 、宽 60 cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为 x cm 的小正方形，做成一个底面积为 1500 cm2 的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得 ．
【答案】 x2−70x+825=0
【解析】由题意得 80−2x60−2x=1500．整理得 x2−70x+825=0．
【例39】如图，把长40cm，宽30cm的长方形纸板剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950cm2，则x的值是（ ）

A．3cmB．4cmC．4.8cmD．5cm
【答案】 D
【解析】观察图形可知小长方形的长为（x）cm，根据去除阴影部分的面积为950cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
依题意，得：40×30﹣2x2﹣2x•（x）＝950，
整理，得：x2+20x﹣125＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣25（不合题意，舍去）．
故选：D．
【例40】现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为864m2，那么小道的宽度应是 m．
【答案】 2
【解析】设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为864m2列出方程求解即可．
设小道进出口的宽度为x米，依题意得（40﹣2x）（26﹣x）＝864，
整理，得x2﹣46x+88＝0．
解得，x1＝2，x2＝44．
∵44＞40（不合题意，舍去），
∴x＝2．
答：小道进出口的宽度应为2米．
故答案为：2．
【例41】如图，某小区有一块长为36m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为600m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为 m．
【答案】 2
【解析】将矩形绿地平移后，根据图中的等量关系列出方程即可求出答案．
设人行通道的宽度为x，
将脸矩形绿地平移，如图所示，
∴AB＝2x，GD＝3x，ED＝24﹣2x
由题意可列出方程：36×24﹣600＝2x×36+3x（24﹣2x）
解得：x＝2或x＝22（不合题意，舍去）
故答案为：2
巩固训练
38、在一块长，宽的长方形铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积是的无盖长方体盒子，设小正方形的边长为，则可列出的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】解：设在4个角上截去4个相同的边长为xcm的小正方形，
则得出长方体的盒子底面的长为：，宽为：，
又因为底面积为， 所以，
整理得：， 故选：．
39、如图，一块矩形铁皮的长是80cm，宽为50cm，在这个铁皮的四角各剪去一个边长相同的小正方形，做成一个无盖的长方体盒子，若盒子的底面积是2800cm2，四个角剪去的小正方形的边长为xcm，则根据题意，列出的方程是 ．
【答案】 （80﹣2x）（50﹣2x）＝2800．
【解析】根据长方形的面积公式即可列出方程．
设四个角剪去的小正方形的边长为xcm，
则根据题意，列出的方程是（80﹣2x）（50﹣2x）＝2800，
故答案为：（80﹣2x）（50﹣2x）＝2800．
40、五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是135cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是 cm2．
【答案】 9
【解析】设小长方形的长为xcm，宽为xcm，
根据题意得：（x+2×x）•x＝135，
解得：x＝9或x＝﹣9（舍去），
则x＝3．
所以3×3＝9（cm 2）．
故答案为：9．
题型十四 数字问题
【例42】两个连续奇数的积为99，设其中较小的一个奇数为x，则可得方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】解：设其中较小的一个奇数为x，则较大的一个奇数为，
则，
故选：B．
【例43】一个两位数等于它个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数是（ ）
A．25B．36C．25或36D．64
【答案】C
【解析】设这个两位数的十位数字为，则个位数字为．
依题意得：，
解得:.
∴ 这个两位数为25或36．
故选C．
【例44】两个连续整数之积为20，那么这两个数是 ．
【答案】4和5或和
【解析】设第一个自然数为，则第二个自然数为，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：．
当时，；
当时，，
故这两个整数是：4与5或与；
故答案是：4和5或和．
巩固训练
41．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是
【答案】74
【解析】解：设这个两位数的十位数字为a，个数数字为b，
由题意得，，
整理得：，
∴，即，
解得或（舍去），
∴，
∴原来的两位数是74，
故答案为：74．
42．有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是 ．
【答案】23
【解析】设十位上的数为x，则个位上的数位，十位上的数的平方比个位上的数也大1，再建立方程求出其解就可以得出结论．
解：设原两位数的十位数字为x，
根据题意得：
∴，
解得：，（不符合题意舍去）
答：这个两位数为23，
故答案为23．
43．一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是 ．
【答案】98
【解析】解∶设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去），，
∴．
故答案为：98
题型十五 销售利润问题
【例45】某商品进货价为每件50元，售价每件90元时平均每天可售出20件，经调查发现，如果每件降价2元，那么平均每天可以多出售4件，若每天想盈利1000元，设每件降价x元，可列出方程为（ ）
A．（40﹣x）（20+x）＝1000B．（40﹣x）（20+2x）＝1000
C．（40﹣x）（20﹣x）＝1000D．（40﹣x）（20+4x）＝1000
【答案】B
【解析】设每件应降价x元，
由题意，得（90﹣50﹣x）（20+）＝1000，
即：（40﹣x）（20+2x）＝1000，
故选：B．
【例46】某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每増加1株，平均单株盈利就减少0.5元，要使每盆的盈利为20元，需要每盆増加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（ ）
A．（x+3）（5﹣0.5x）＝20B．（x﹣3）（5+0.5x）＝20
C．（x﹣3）（5﹣0.5x）＝20D．（x+3）（5+0.5x）＝20
【答案】A
【解析】根据题意，可以得到增加x株后，每盆的株数为x+3，每株的价格为5﹣0.5x，再根据每盆的盈利为20元，即可得到（x+3）（5﹣0.5x）＝20，从而可以解答本题．
由题意可得，（x+3）（5﹣0.5x）＝20，
故选：A．
【例47】某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若生产的产品一天的总利润为1120元，且同一天所生产的产品为同一档次，则该产品的质量档次是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】A
【解析】设该产品的质量档次是x档，则每天的产量为[95﹣5（x﹣1）]件，每件的利润是[6+2（x﹣1）]元，
根据题意得：[6+2（x﹣1）][95﹣5（x﹣1）]＝1120，
整理得：x2﹣18x+72＝0，
解得：x1＝6，x2＝12（舍去）．
故选A．
【例48】某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间正好可以住满．每个房间每天的定价每增加10元，就会有一个房间空闲．已知有游客入住的房间，宾馆每天需对每个房间支出50元的各种费用．
（1）若某天宾馆的入住量为58个房间，则该天宾馆的利润为________元；
（2）求宾馆每天房间入住量达到多少个时，每天的利润为11000元．
【答案】（1）9860；（2）每天房间入住量达到55个或20个时，利润为11000元
【解析】根据总利润=每个入住的房间的利润×入住房间的数量，即可求出结论；
设每个房间每天的定价增加了x元，则每天可入住（60-）个房间，根据每天的利润为11000 元，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其代入（60-）中即可求出结论．
（1）[200+10×（60﹣58）﹣50]×58＝9860（元）．
故答案为：9860．
（2）设每个房间每天的定价增加了x元，则每天可入住（60﹣）个房间，
依题意，得：（60﹣）（200+x﹣50）＝11000，
化简得：x2﹣450x+20000＝0，
解得：x1＝50，x2＝400，
∴60﹣＝55或20．
答：每天房间入住量达到55个或20个时，利润为11000元．
巩固训练
44、某商场销售一批衬衣，平均每天可售出30件，每件衬衣盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件．若商场平均每天盈利2000元．每件衬衣应降价（ ）元．
A．10B．15C．20D．25
【答案】D
【解析】设每件衬衫应降价x元．
根据题意，得：（50﹣x）（30+2x）＝2000，
整理，得x2﹣35x+250＝0，
解得x1＝10，x2＝25．
∵“增加盈利，减少库存”，
∴x1＝10应舍去，
∴x＝25．
答：每件衬衫应降价25元．
故选：D．
45、一件工艺品进价为100元，标价130元售出，每天平均可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出5件，某店为减少库存量，同时使每天平均获得的利润为3000元，每件需降价的钱数为（ ）
A．12元B．10元C．8元D．5元
【答案】B
【解析】设每件工艺品降价x元，则每天的销售量为（100+5x）件，根据每日的利润＝每件的利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
设每件工艺品降价x元，则每天的销售量为（100+5x）件，
根据题意得：（130﹣100﹣x）（100+5x）＝3000，
整理得：x2﹣10x＝0，
解得：x1＝0，x2＝10．
∵要减少库存量，
∴x＝10．
故选：B．
46、超市的一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为扩大销售，准备适当降价，据测算，每降价1元，每天可多售出20箱，若要使每天销售这种饮料获利1400元，每箱应降价多少元？设每箱降价x元，则可列方程（不用化简）为： ．
【答案】（12﹣x）（100+20x）＝1400．
【解析】由每降价1元每天可多售出20箱，可得出平均每天可售出（100+20x）箱，根据总利润＝每箱饮料的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
∵每箱降价x元，每降价1元，每天可多售出20箱，
∴平均每天可售出（100+20x）箱．
依题意，得：（12﹣x）（100+20x）＝1400．
故答案为：（12﹣x）（100+20x）＝1400．
47、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。先为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
【答案】：20元
【解析】： = 1 \* GB3 ①依据题意，寻找等量关系式：
此题是利润问题，等量关系式为：每件衬衫利润×销售件数=利润
= 2 \* GB3 ②设未知数：
∵利润已知，每件衬衫利润、销售件数都与衬衫降价量有关 ∴设每件衬衫应降价x元
= 3 \* GB3 ③根据等量关系式建立方程：
每件衬衫利润为：（40－x）元 ；销售件数为：（20+2x）件
方程为：（40－x）（20+2x）=1200
= 4 \* GB3 ④解方程并解答：
方程化简得：, 解答：，
∵要求尽快减少库存,即售出件数应尽量多 , ∴应降价20元