湘教版（2019）选择性必修 第一册3.3 抛物线教课ppt课件

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1.掌握抛物线的几何性质;2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题;3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题.
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名师点睛1.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心.2.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线.3.抛物线的离心率是确定的,e=1.4.抛物线的焦点和准线分别在顶点的两侧,且它们到顶点的距离相等,均
5.对于抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦(其中AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的一条弦,称为焦点弦,设A(x1,y1),B(x2,y2))有如下结论:(1)|AB|=x1+x2+p;(2)在所有的焦点弦中,垂直于对称轴的焦点弦弦长最短,称为抛物线的通径;(3)若直线AB的倾斜角为α(α≠0),则
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)原点是抛物线y2=2px(p≠0)的对称中心.(　　)(2)在方程y2=2px(p>0)中,对于同一个x,p越大,|y|也越大,说明抛物线的开口越大.(　　)(3)抛物线的标准方程不同,但是离心率都是相等的.(　　)2.结合直线与圆相切时直线与圆只有一个交点,那么当直线与抛物线只有一个公共点,直线与抛物线一定相切吗?
提示可能相切,也可能相交,当直线与抛物线的对称轴平行或重合时,直线与抛物线相交且只有一个公共点.
探究点一 抛物线几何性质的应用
【例1】已知抛物线y2=8x.(1)求出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量x的范围;(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,其中|OA|=|OB|.若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.分析 根据抛物线标准方程的特征及其几何性质求解.
解 (1)抛物线y2=8x的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量x的范围分别为(0,0),(2,0),直线x=-2,x轴,x≥0.
规律方法　抛物线的几何性质的应用方法
(1)抛物线的焦点始终在对称轴上,顶点就是抛物线与对称轴的交点,准线始终与对称轴垂直,准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称,顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离,大小为 .(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题.
变式训练1已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上不同的两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F,求直线AB的方程.
探究点二 直线与抛物线的位置关系
角度1抛物线的焦点弦问题【例2】(1)过抛物线y2=8x的焦点,且倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为　　　　. 
解析 由抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),得直线的方程为y=x-2,设直线与抛物线的交点坐标为(x1,y1),(x2,y2).将y=x-2代入y2=8x得(x-2)2=8x,即x2-12x+4=0.所以x1+x2=12,弦长为x1+x2+p=12+4=16.
(2)直线l过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线交于A,B两点,若|AB|=8,则直线l的方程为　　 　　　. 
x+y-1=0或x-y-1=0
解析 因为抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),若l与x轴垂直,则|AB|=4,不符合题意,所以可设所求直线l的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2).
所以所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.
规律方法　直线与抛物线相交的弦长问题直线和抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线的斜率为k.(1)一般的弦长公式:|AB|= |x1-x2|.(2)焦点弦长公式:当直线经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点时,弦长|AB|=x1+x2+p.
变式训练2已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.
解 设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p=x1+x2+3=9,所以x1+x2=6.于是线段AB的中点M的横坐标是3,
角度2直线与抛物线的位置关系【例3】设直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,当k为何值时,l与C有一个公共点,有两个公共点,没有公共点?分析 讨论由直线方程与抛物线方程组成的方程组的解的情况,就可以判断直线l与抛物线C的位置关系.
消去y并整理,得k2x2+(2k-4)x+1=0.当k≠0时,方程k2x2+(2k-4)x+1=0为一元二次方程.所以Δ=(2k-4)2-4k2=16(1-k).
当Δ=0,即k=1时,l与C有一个公共点;当Δ>0,即k<1,且k≠0时,l与C有两个公共点;当Δ<0,即k>1时,l与C没有公共点.当k=0时,直线l的方程为y=1,显然与抛物线C交于点( ,1),这时,l与C只有一个公共点.综上所述,当k=1时,l与C有一个公共点;当k<1时,l与C有两个公共点;当k>1时,l与C没有公共点.
规律方法　直线与抛物线位置关系的判断方法直线l:y=kx+b,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立消元得:k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.(1)若k2=0,此时直线与抛物线有一个交点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.(2)若k2≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个交点;当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个交点;当Δ<0时,直线与抛物线相离,没有公共点.
变式训练3过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有(　　)A.1条B.2条C.3条D.0条
解析 易知过点(0,1),且斜率不存在的直线为x=0,满足与抛物线y2=4x只有一个公共点.当斜率存在时,设直线方程为y=kx+1,与y2=4x联立得k2x2+2kx+1=4x,即k2x2+(2k-4)x+1=0.当k=0时,方程有一个解,即直线与抛物线只有一个公共点;当k≠0时,令Δ=(2k-4)2-4k2=0,解得k=1,即直线与抛物线有一个公共点.所以满足题意的直线有3条.故选C.
角度3数形结合法求解焦点分焦点弦的比值问题
为y2=6x.设准线l与x轴交于点A,则|AF|=3.过点Q作QQ1⊥l于点Q1,
变式探究本例题条件不变,求直线PQ的斜率.
规律方法　抛物线的焦点分焦点弦的比值问题的求法求解过抛物线的焦点的弦与抛物线的交点构成的与焦点弦有关的问题,可以借助抛物线的定义,将过焦点的弦转化为抛物线上的点到准线的距离,再结合平面几何的有关性质(如平行线分线段成比例、三角形相似等知识)求解.
探究点三 利用抛物线的几何性质求解与抛物线上的点有关的最值问题
【例5】若点P在抛物线y2=x上,点Q在圆(x-3)2+y2=1上,则|PQ|的最小值为　　 　　　. 
规律方法　求解与抛物线上的点有关的最值问题,可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值求解,但要注意抛物线的范围.
变式训练4已知A(2,0),B为抛物线y2=x上的一点,则|AB|的最小值为　　　　　. 
1.知识清单:抛物线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.方法归纳:利用几何性质根据待定系数法求抛物线的标准方程,根据方程思想求解直线与抛物线的位置关系,根据函数最值转化法求与抛物线上的点有关的最值.3.注意事项:讨论抛物线的几何性质,一定要利用抛物线的标准方程;焦点弦问题注意应用抛物线的定义;直线与抛物线相切和直线与抛物线只有一个交点不是充要条件.
1.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在原点,焦点为F,点(4,4)和点P(m,-4)在抛物线上,则|PF|的长为(　　)A.2B.3C.4D.5
解析 设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),可得42=2p×4,即p=2.因此抛物线y2=4x的准线方程为x=-1,∵点P(m,-4)在抛物线上,∴(-4)2=4m,解得m=4,∴线段|PF|的长度为4+1=5,故选D.
2.垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A,B两点,且|AB|=4 ,则直线AB的方程为(　　)A.x=3B.x=C.y=3D.y=
将点A坐标代入抛物线方程可得12=4x,解得x=3.故选A.
3.顶点在原点,对称轴为y轴且过(1,4)的抛物线的标准方程是　　　　　. 
4.已知直线x-y+1=0与抛物线y=ax2(a≠0)相切,则a=　　　　　.