2024永州高三上学期第一次模拟考试数学试卷含解析

这是一份2024永州高三上学期第一次模拟考试数学试卷含解析，共5页。试卷主要包含了考试结束后，只交答题卡等内容，欢迎下载使用。
命题人：郭志成（永州四中） 眭小军（永州一中）
李卫青（祁阳一中） 罗辉友（新田一中）
审题人：席俊雄（永州市教科院）
注意事项：
1．全卷满分150分，时量120分钟．
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．
3．考试结束后，只交答题卡．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知向量，且，则（ ）
A. 2B. 1C. 0D.
4. “函数在上单调递减”是“函数是偶函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 在平面直角坐标系中，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则的最大值为（ ）
A B. C. D.
6. 已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上位于第一象限的一点，且与轴平行，直线与的另一个交点为，若，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 若数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数，若，在区间上没有零点，则的取值共有（ ）
A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 下列关于概率统计说法中正确的是（ ）
A. 两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱
B. 设随机变量，若，则
C. 在回归分析中，为0.89的模型比为0.98的模型拟合得更好
D. 某人解答10个问题，答对题数为，则
10. 对数的发明是数学史上的重大事件．我们知道，任何一个正实数可以表示成的形式，两边取常用对数，则有，现给出部分常用对数值（如下表），下列结论正确的是（ ）
A. 在区间内
B. 是15位数
C 若，则
D. 若是一个35位正整数，则
11. 菱形的边长为，且，将沿向上翻折得到，使二面角的余弦值为，连接，球与三棱锥的6条棱都相切，下列结论正确的是（ ）
A. 平面
B. 球的表面积为
C. 球被三棱锥表面截得的截面周长为
D. 过点与直线所成角均为的直线可作4条
12. 已知函数与的定义域均为，，且，为偶函数，下列结论正确的是（ ）
A. 4为一个周期B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为________（用数字作答）．
14. 在平行六面体中，为的中点，过的平面分别与棱交于点，且，则________（用表示）．
15. 若函数，当时，，则实数的取值范围________．
16. 已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，圆与直线相交于两点，与线段相交于点，且．若是线段上靠近的四等分点，则抛物线的方程为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知数列是公比的等比数列，前三项和为39，且成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求的前项和．
18. 在中，设所对的边分别为，且满足．
（1）求角；
（2）若的内切圆半径，求的面积．
19. 如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，且分别为的中点，在线段上，且．

（1）求证：平面；
（2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值．
20. 某企业为提高竞争力，成功研发了三种新品，其中能通过行业标准检测的概率分别为，且是否通过行业标准检测相互独立．
（1）设新品通过行业标准检测的品种数为，求的分布列；
（2）已知新品中的一件产品经检测认定为优质产品的概率为0.025，现从足量的新品中任意抽取一件进行检测，若取到的不是优质产品，则继续抽取下一件，直至取到优质产品为止，但抽取的总次数不超过．如果抽取次数的期望值不超过5，求的最大值．
参考数据：
21. 已知点A为圆上任意一点，点坐标为，线段的垂直平分线与直线交于点．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设轨迹E与轴分别交于两点（在的左侧），过的直线与轨迹交于两点，直线与直线的交于，证明：在定直线上．
22. 已知函数．
（1）当时，求证：；
（2）若时，，求实数的取值范围．
真数
2
3
4
5
6
7
8
9
10
（近似值）
0.301
0.477
0.602
0.699
0.778
0.845
0.903
0.954
1.000
真数
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（近似值）
1.041
1.079
1.114
1.146
1.176
1.204
1.230
1255
1.279