高考数学二轮复习提升培优专题18等式与不等式综合问题多选题（解析版）

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 专题18 等式与不等式综合问题 多选题（新高考通用）

1．（2023秋·江苏扬州·高三校联考期末）已知，，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】对于选项A,消元利用二次函数的图象和性质判断；对于选项B,C,D都利用基本不等式判断.
【详解】解：因为，，且，所以，所以，二次函数的抛物线的对称轴为，所以当时，的最小值为，所以，所以选项A正确；
成立，当且仅当a＝b＝时取等号），故选项B错误；
，成立，（当且仅当a＝b＝时取等号），故选项C正确；
∵，∴（当且仅当a＝b＝时取等号），故选项D正确.
故选：ACD
2．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三校考阶段练习）若，且，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由题意可得，根据可判断A；，利用“乘1法”可判断B；根据可判断C；可化为，利用基本不等式可判断D.
【详解】
∴，A正确；
，当且仅当时等号成立，B正确；
，解得错误；
，由题意知，，则，当且仅当时等号成立，D正确.
故选:ABD.
3．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）若直线经过点，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据直线经过点得到，然后利用基本不等式逐项判断即可求解.
【详解】因为直线经过点，则，所以，
对于，因为，
所以当且仅当时等号成立，故选项错误；
对于，因为当且仅当时等号成立，所以，则，故选项正确；
对于，，
当，时等号成立，故选项正确；
对于，因为，，所以，且，
由可得：，，当，时等号成立，故选项正确；
故选：.
4．（2023秋·广东广州·高三广州市培英中学校考期末）若实数满足，则的值可以是（    ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】BC
【分析】令，把等式变形成，用表示，然后再用基本不等式，用表示成不等式，解不等式即可.
【详解】，，设，则由题意得，即.因为，即，当且仅当，即时等号成立，解得，所以的取值范围是
故选：BC.
5．（2023春·广东珠海·高三珠海市第一中学校考阶段练习）若正数a，b满足，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式化简，可判断各个选项的正误.
【详解】A选项：根据基本不等式，
，
当且仅当时，等号成立，故A对；
B选项：因为，所以，
所以，，
同理，，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，故B对；
C选项：因为，所以，
所以，
又因为，，
所以，，，，，
所以，故C对；
D选项：，所以，化简得，
当且仅当时，等号成立，故D错误；
故选：ABC.
6．（2023·广东茂名·统考一模）e是自然对数的底数，，已知，则下列结论一定正确的是（    ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BC
【分析】构建函数根据题意分析可得，对A、D：取特值分析判断；对B、C：根据的单调性，分类讨论分析判断.
【详解】原式变形为，
构造函数，则，
∵，
当时，，则，即；
当时，，则，即；
故在上单调递减，在上单调递增，
对于A：取，则
∵在上单调递增，故，
即满足题意，但，A错误；
对于B：若，则有：
当，即时，则，即；
当，即时，由在时单调递增，且，
故，则；
综上所述：， B正确；
对于C：若，则有：
当，即时，显然成立；
当，即时，令，
∵，当且仅当，即时等号成立，
∴当时，所以，即，
由可得，即
又∵由在时单调递增，且，
∴，即；
综上所述：，C正确；
对于D：取，，则，
∵在上单调递减，故，
∴故，满足题意，但，D错误.
故选：BC.
【点睛】结论点睛：指对同构的常用形式：
（1）积型：，
①构造形式为：，构建函数；
②构造形式为：，构建函数；
③构造形式为：，构建函数.
（2）商型：，
①构造形式为：，构建函数；
②构造形式为：，构建函数；
③构造形式为：，构建函数.
7．（2023·山西·统考一模）设，，，则下列结论正确的是（    ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为9 D．的最小值为
【答案】ABC
【分析】对于AD，利用基本不等式判断即可；对于B，利用不等式判断即可，对于C，利用基本不等式“1”的妙用判断即可.
【详解】对于A，因为，，，
则，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B，因为，
故，当且仅当时取等号，即的最小值，故B正确；
对于C，，
当且仅当且，即，时取等号，
所以的最小值为9，故C正确；
对于D，，
故，当且仅当时取等号，即的最大值，故D错误．
故选：ABC.
8．（2023·山西忻州·统考模拟预测）已知，，且，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】设，则在上单调递增，可得可判断A；由不等式的性质可判断B；取可判断C；由指数函数的单调性结合可判断D.
【详解】因为，所以，所以．
设，则在上单调递增．
因为，所以，则A正确．
因为，，且，所以，所以，则B正确，
因为，取，则，所以C不正确.
因为，所以，所以，即，则D正确．
故选：ABD.
9．（2023·云南红河·统考一模）已知，，且，则下列说法正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】对于选项AB：根据已知结合基本不等式将已知等式中的或转化，即可解不等式得出答案；对于选项CD：将要求的式子通过完全平方或分式运算转化为或，即可根据选项AB求出的范围根据不等式的性质或一元二次函数的值域得出要求的式子的范围.
【详解】对于A：由，得，当且仅当时，等号成立，解得，即，故A不正确；
对于B：由，得，当且仅当时，等号成立即，解得，或（舍去），故B正确；
对于C：，
令，，即，故C正确；
对于D，，令，，即，故D不正确，
故选：BC．
10．（2023春·安徽·高三校联考开学考试）已知，，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】A选项，由题可得，结合可得b范围；
B选项，，利用可得范围；
C选项，，利用可得范围，后可得范围；
D选项，，结合B选项可得范围.
【详解】A选项，由题可得，得，故A错误；
B选项，
，当且仅当，
即时取等号.故B错误；
C选项，，
当且仅当，即时取等号.
则，故C正确；
D选项，由B选项分析得，
则，故D正确.
故选：CD
11．（2023·安徽宿州·统考一模）已知，且，则下列不等关系成立的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式易知选项AB正确；利用对数运算法则和重要不等式可知C正确；将不等式化简整理可得，构造函数利用函数单调性即可证明D错误.
【详解】由基本不等式可知，，当且仅当时，等号成立，即A正确；
易知，当且仅当时，等号成立，即B正确；
由重要不等式和对数运算法则可得：
，当且仅当且仅当时，等号成立，即C正确；
由可得，所以，
若，即证明，即
即需证明，
令函数，则，
当时，，即在上单调递增，
所以时，解不等式可得即可，即时不等式成立；
当时，，即在上单调递减，解不等式可得，即时不等式才成立；
综上可知，当时，不等式才成立，所以D错误.
故选：ABC
12．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据条件可得，，进而根据即可求解A,根据基本不等式即可判断BC,根据二次函数的性质即可判断D.
【详解】由得，，由于，所以，
所以，因此且，故A正确，
，当时，，由于，当且仅当时，等号成立，故，当时，，所以，故B正确，
，当且仅当时取等号，故，所以C错误，
，当且仅当取等号，又，所以或者等号成立，
故选：ABD
13．（2023·辽宁·校联考模拟预测）设均为正数，且，则（    ）
A． B．当时，可能成立
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式相关公式逐项分析即可求解.
【详解】对于A：因为，
所以，
当且仅当时，等号成立，
又，所以，
所以A选项正确；
对于B：若，则，
因为为正数，所以，
所以B选项错误；
对于C：由，且为正数，
得，则，即，
所以C选项正确；
对于D：
，
当且仅当时，等号成立，所以，
所以D选项正确．
故选：ACD.
14．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）已知，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由可推出，故A正确；由， 及可推出，故B不正确；由及可推出，故C正确；由及可推出，故D正确.
【详解】因为，，所以，
所以，因为，所以，即，故A正确；
因为，，所以，故B不正确；
因为，，所以
，故C正确；
因为，，所以，所以，，所以，
所以
，
因为，所以，所以，
所以，即，故D正确.
故选：ACD
15．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）已知a，b为正实数，且，则的取值可以为（    ）
A．1 B．4 C．9 D．32
【答案】BD
【分析】根据基本不等式可得，进而求得或，再结合选项判断即可
【详解】因为a，b为正实数，，所以，当且仅当时等号成立，即，所以，所以或，因为a，b为正实数，，所以，所以或．所以或．
故选：BD．
16．（2023秋·河北石家庄·高三校联考期末）已知，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】利用不等式的性质可判断B的正确，利用对数函数的性质可判断D的正误，利用反例可判断BC的正误.
【详解】因为，且，由基本不等式可得，
故，当且仅当时等号成立，故A成立.
,
当且仅当时等号成立，故C正确.
对于B，取，则，故B错误.
对于D，因为，故，而，故，
故，故D成立，
故选：ACD.
17．（2023春·河北邢台·高三邢台市第二中学校考阶段练习）已知，，且，则下列说法正确的是（    ）
A．的最大值为 B．的最小值为8
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，利用均值不等式结合配凑方法计算判断ABC；利用三角代换，结合辅助角公式，三角函数性质计算判断D作答.
【详解】，且，
对于A，，解得，当且仅当，即时取等号，A正确；
对于B，，当且仅当取等号，B正确；
对于C，，
当且仅当，即时取等号，C错误；
对于D，由得，令，
则，其中锐角由确定，显然，
因此当时，，D正确.
故选：ABD
18．（2023春·河北石家庄·高三校联考开学考试）下列说法正确的是（    ）
A．若，则函数的最小值为
B．若实数a，b满足，且，则的最小值是3
C．若实数a，b满足，且，则的最大值是4
D．若实数a，b满足，且，则的最小值是1
【答案】BD
【分析】结合均值不等式求解.
对A，，调整式子；
对B，，“1”的妙用；
对C，，组成不等式求解；
对D，令，则.
【详解】对A，，函数，
当且仅当，即时取等号，即函数的最大值为，A错；
对B，，且，则，
当且仅当，即，时取等号，则的最小值是3，B对；
对C，，且，∴，即，解得，当且仅当时取等号，C错；
对D，，且，令，则，
所以，当且仅当，即时取等号，D对.
故选：BD
19．（2023·福建·统考一模）已知正实数x，y满足，则（    ）
A．的最小值为 B．的最小值为8
C．的最大值为 D．没有最大值
【答案】AC
【分析】将代入，根据二次函数的性质即可判断A；根据及基本不等式可判断B；，根据基本不等式可判断C；，，根据基本不等式可判断D.
【详解】因为x，y为正实数，且，所以.
所以，
当时，的最小值为，故A正确；
，
当且仅当时等号成立，故B错误；
，
当且仅当时等号成立，
故，即的最大值为，故C正确；
，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以.
所以有最大值，故D错误.
故选:AC.
20．（2023秋·山东潍坊·高三统考期中）已知，且，则（    ）
A． B．
C． D．的充要条件是
【答案】AD
【分析】由均值不等式可判断A，B；由题意可得出，代入，可判断C；由，当且仅当时取等，可判断D.
【详解】对于A，，当且仅当时取等，所以A正确；
对于B，所以B错误；
对于C，因为，，
所以，
当时取等，所以C错误；
对于D，因为令，
，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
所以，当且仅当时取等，
所以若，则，此时，反之也成立，D正确
故选：AD
21．（2023秋·山东济南·高三统考期中）已知，则下列不等式一定成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】对A用“1”的妙用进行变形即可，对C利用柯西不等式可求最值，对BD利用基本不等式式及其变形即可得解.
【详解】由得：
对A，，
当且仅当，时取等，故A错误；
对B，，时取等，
两边平方可得，故B正确；
对C，由柯西不等式可得：
，
取等，故C正确；
对D，由，时取等，
所以成立，故D正确；
故选：BCD
22．（2023秋·山东菏泽·高三统考期末）若 ，则下列不等式中成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据指数函数以及幂函数的单调性可判断A;举反例可判断；根据的特征，构造函数，利用其单调性可得，可判断，判断C.
【详解】由于，故为R上单调增函数，
所以，而是上的增函数，故，
所以，A正确；
取满足，但，B错误；
设，则，
由于，故，即是上的增函数，
故，
由于，则，故，C正确；
取，满足，而，故D错误，
故选：
23．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）已知，且，则（    ）
A．的最小值为4 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】ACD
【分析】结合已知等式，运用基本不等式、配方法逐一判断即可.
【详解】，当且仅当，即时取等号，则正确；
，即，当且仅当，即时取等号，则B错误；
，当，即时，，则C正确；
，当且仅当时取等号，则D正确.
故选：ACD
24．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知满足且，则下列不等式恒成立的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】利用不等式的性质对各选项逐一判断即可.
【详解】因为满足且，所以，，符号不确定，
选项A：因为，，所以，选项A正确；
选项B：因为，，所以，，选项B正确；
选项C：因为，，
当时，，所以；
当且时，，所以，选项C错误；
选项D：因为，，所以，，选项D正确；
故选：ABD
25．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知，为正实数，且，则（    ）
A．的最大值为2 B．的最小值为5
C．的最小值为 D．
【答案】AC
【分析】由已知条件结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可求解.
【详解】依题意，
对于A：因为，
所以，
当且仅当时取等号，
令，则有，
解得，又因为，
所以，即，
的最大值为2，故A选项正确；
对于B：因为，
所以，
当且仅当时取等号，
令，则有，
解得或（舍去），
即，所以的最小值为4，
故B选项错误；
对于C：因为，
所以，
所以，
当且仅当，即时等式成立，
所以的最小值为，故C选项正确；
对于D：当，时，，
所以D选项错误；
故选：AC.
26．（2023·广东肇庆·统考二模）已知正数满足等式，则下列不等式中可能成立的有（     ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】将已知转化为，通过构造函数法，结合导数判断当时，，进而构造函数，根据单调性即可判断选项CD；同理利用构造函数和求导即可判断AB.
【详解】因为，，，
所以，
所以，
构造
，
所以，
当，即时，
分析即可，
所以在上单调递减，
所以，所以，
所以，
所以，
由，
所以，
构造，，
则，
所以在上单调递增，
所以由得，
所以，
故此时， D选项错误；
当时，，此时，
所以可能成立，故C选项可能正确，
由，即，
构造，
所以，设，
当时，，所以在单调递减，在上单调递增，
且，所以当时，
即，
所以，
构造，
则，所以在上单调递增，
所以，故A可能正确，B项错误；
故选：AC
【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数思想与逻辑推理能力，属于难题.注意事项：利用构造法，关键在于构造函数以及，利用导数以及参数的范围进行判断.
27．（2023·浙江·校联考三模）已知，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】对于A、B选项，利用条件构造，比值换元将问题转化为单变量函数求值域问题；
对于C、D选项，构造函数通过分析单调性判断即可.
【详解】∵，∴
∴
令，因为，所以，
即，则
当时，；
当且时，令，
则
综上，，即B正确；
又因为，所以
令，
显然在上单调递增，）的零点y满足
∴，解得.
所以要证，即证
因为在上单调递增，所以即证
而
所以成立，即成立，C正确
因为，所以当时，，AD错误.
故选：B、C．
28．（2023秋·黑龙江大庆·高三铁人中学校考期末）当时，不等式成立．若，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】将给定不等式变形，构造函数，利用函数单调性，逐项分析判断作答.
【详解】当时，不等式，令，则在上单调递增，
因，则，A正确；
因，则，B不正确；
由知，，有，则，
由选项A知，，即，C不正确；
由得，，则，D正确.
故选：AD
【点睛】关键点睛：涉及两个量的大小，构造函数，分析并运用函数的单调性是求解作答的关键.
29．（2023春·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）下列能使式子最小值为1的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】由得出，结合不等式“1”的妙用，即可求出的最小值为1，判断出A正确；由得，代入，结合基本不等式，即可判断出B错误；假设，则，即可判断出C错误；由，设，，，代入化简，结合的范围，即可得出当即时，取得最小值1，即可判断D正确．
【详解】对于A：当，则，则，
则，
当且仅当，即时等号成立，故A正确；
对于B：由得，，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，故最小值为，故B错误；
对于C：假设，则，故C错误；
对于D：，
，且，
即，
，
由得，，
设，，即，，
，
，即，
则






，
，
，
当，即，时，取得最小值1，故D正确，
故选：AD．
30．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知，，且，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根据均值不等式和常见的不等式放缩即可求解.
【详解】，，且，
所以，故选项A正确；
，
故选项B正确；
要证，
证，
即证，
由，，且，知，
所以，
故选项C正确；
要证，
即证，
因为，
所以，
前后取得等号条件分别是和，
所以不同时取得等号，故D选项正确；
故选：ACD.