高考数学二轮复习提升培优专题19函数的基本性质综合问题（单选题+填空题）（解析版）

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 专题19 函数的基本性质综合问题（单选题+填空题）
（新高考通用）

一、单选题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）定义在上的奇函数满足．当时，，则（    ）
A． B．4 C．14 D．0
【答案】A
【分析】利用换元法与条件得到，再利用的奇偶性求得的周期为4，从而利用的周期性即可得解.
【详解】因为，令，则，
所以，即，
因为是定义在上的奇函数，所以，
所以，则，
故的周期是4，
因为当时，，
所以.
故选：A.
2．（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知函数，的定义域均为，且，，若的图象关于直线对称，，则（    ）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【分析】依题意可得，再由可得，即可得到为偶函数，再由得到，即可得到的周期为，再根据所给条件计算可得.
【详解】因为的图象关于直线对称，所以，
所以，
因为，所以，所以为偶函数．
因为，所以，
所以，所以，
所以，所以，所以的周期为，所以．
因为，所以，故．
故选：A
3．（2023春·江苏南京·高三校联考期末）已知函数为定义在R上的偶函数，当时有，且时，，若，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由周期性以及奇偶性得出，，再由对数函数、幂函数的单调性得出，最后由函数在上单调性求解即可.
【详解】，则函数的周期为2.因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，所以函数在上单调递减.，，因为，，所以，，所以，即，即，故.
故选：B
4．（2023·云南昆明·统考一模）已知函数，的定义域均为，为偶函数且，，则 （    ）
A．21 B．22 C． D．
【答案】C
【分析】根据题意证明，结合对称性分析运算即可.
【详解】∵为偶函数且，则，
故关于点对称，
又∵，则，
则是以周期为4 的周期函数，故关于点对称，
∴，
则，
又∵，
则，
故.
故选：C.
5．（2023秋·辽宁营口·高三统考期末）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据为奇函数，为偶函数，可得函数的周期，且为偶函数，根据时，，求的值得此时解析式，即可求得的值.
【详解】为奇函数，，所以关于对称，所以①，且，
又为偶函数，，则关于对称，所以②，
由①②可得，即，所以，
于是可得，所以的周期，
则，所以为偶函数
则，所以，所以
所以，解得，所以当时，
所以.
故选：B.
6．（2023春·河北邯郸·高三校联考开学考试）将函数的图象向右平移1个单位长度后，再向上平移4个单位长度，所得函数图象与曲线关于直线对称，则（    ）
A． B． C． D．4
【答案】D
【分析】根据函数的图象与函数的图象关于直线对称，再利用函数平移变换法则求出函数的解析式，进而可得答案.
【详解】函数的图象与函数的图象关于直线对称，
将的图象向下平移4个单位长度得到的图象，
再将的图象向左平移1个单位长度得到的图象，
即，故.
故选:D.
7．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且的一个周期为2，则（    ）
A．1为的周期 B．的图象关于点对称
C． D．的图象关于直线对称
【答案】C
【分析】举例判断A，B，D错误，再由条件结合奇函数的性质和周期函数的性质列关系式论证C正确.
【详解】因为为定义域为奇函数，周期为，
故函数满足条件，
令可得，，
函数的最小正周期为4，对称中心为，，
函数没有对称轴，
A错误，B错误，D错误；
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
取可得，，
因为的一个周期为2，
所以，
取可得，，
由可得，函数为周期为4的函数，
所以，C正确；
故选：C.
8．（2023春·河北·高三校联考阶段练习）已知函数是奇函数，函数的图象与的图象有4个公共点，且，则（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】由题意得与都关于点对称，则，由此即可求得结果.
【详解】由函数是奇函数，其图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的图象，所以的图象关于点对称，
由，可得的图象是由奇函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，所以的图象关于点对称，
所以与都关于点对称，
所以，
所以.
故选：D.
9．（2023春·江苏南通·高三校考开学考试）已知函数的定义域为R，，且在上递增，则的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据可得关于直线对称，根据可得，结合函数的单调性可得函数图象，根据图象列不等式求解集即可.
【详解】解：函数，满足，则关于直线对称，
所以，即，
又在上递增，所以在上递减，
则可得函数的大致图象，如下图：

所以由不等式可得，或，解得或，
故不等式的解集为.
故选：D.
10．（2023·福建福州·统考二模）已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则（    ）
A．f（x）为奇函数 B．g（x）为奇函数
C． D．
【答案】D
【分析】结合已知条件和是奇函数求出函数的周期，然后利用周期和已知条件得出为偶函数，进而判断选项；根据函数是奇函数，周期为4即可判断选项；由得即可判断选项；根据题干条件得到，再结合函数的周期即可判断选项.
【详解】因为，所以，又，
则有，因为是奇函数，所以，
可得，即有与，
即，所以是周期为4的周期函数，
故也是周期为4的周期函数．
因为，所以，所以为偶函数．故错误；
由是奇函数，则，所以，
又，
所以，所以选项错误；
由得，所以选项错误；
因为，
，
所以，所以，
所以选项正确．
故选：.
11．（2023秋·山东烟台·高三统考期末）已知定义在上的函数满足：为偶函数，且；函数，则当时，函数的所有零点之和为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意画出的图象，由图知，均关于对称，有14个交点，即可求出函数的所有零点之和.
【详解】因为为偶函数，所以关于对称，
所以当时，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
……
函数为的图象向左平移个单位，
的图象如下图所示，

均关于对称，有14个交点，
所以函数的所有零点之和为：.
故选：A.
12．（2023·山东威海·统考一模）若函数与的图像有且仅有一个交点，则关于x的不等式的解集为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将条件与只有1个交点转换为函数只有1个零点，参数分离求出a，再构造函数，利用其单调性求解即可.
【详解】与只有1个交点等价于函数 只有1个零点，
即只有1个解，
令，则，，
当时，单调递增，当时，单调递减，并且，
所以， ，函数的大致图像如下图：

，原不等式为： ，即，
令，显然在时是增函数，又，
的解集是.
故选：C.
13．（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数，设，，则成立的一个必要不充分条件是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性和奇偶性可知函数为偶函数，且在上单调递增，所以在上单调递减，结合可得，举例说明即可判断选项A、B，将选项C、D变形即可判断.
【详解】函数的定义域为R，
则函数，
所以函数是偶函数，
当时，，
，
所以在上单调递增，所以在上单调递减.
若，则，即.
A：若，满足，但，反之也不成立，故选项A错误；
B：若，满足，则，反之，若，不一定，故选项B错误；
C：由可得，但不一定有，所以充分性不成立，故选项C错误；
D：由可得，但由不一定能推出，故D正确.
故选：D.
14．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数.记函数，则（    ）
A．25 B．27 C．29 D．31
【答案】D
【分析】由已知条件得函数的图象点对称也关于直线对称，由此求得其是周期函数，周期是4，由中心对称得，然后求得，代入计算可得．
【详解】为奇函数，是由向左平移1个单位得到，
则的图象关于点对称，所以，，
为偶函数，是由向左平移2个单位得到，
则的图象关于直线对称，所以，则，
所以，从而，
是周期函数，且周期为4，所以，
因为的图象关于直线对称，也关于点对称，
所以的图象关于点对称，所以，
所以，
所以
因为，，
所以，
故选：D．
15．（2023·湖北·统考模拟预测）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】构造函数，根据函数的奇偶性及复合函数的单调性可得函数为偶函数且在单调递增，进而关于直线对称，且在单调递增，结合条件可得，解不等式即得.
【详解】因为的定义域为R，又，故函数为偶函数，
又时， ，单调递增，故由复合函数单调性可得函数在单调递增，函数在定义域上单调递增，
所以在单调递增，
所以，
所以关于直线对称，且在单调递增．
所以，
两边平方，化简得，解得．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，然后根据函数的单调性及对称性化简不等式进而即得.
16．（2023秋·浙江杭州·高三浙江省桐庐中学期末）已知函数，，，有，其中，，则下列说法一定正确的是（    ）
A．是的一个周期 B．是奇函数 C．是偶函数 D．
【答案】A
【分析】利用特殊函数即可判断BCD，利用赋值法可证明是的一个周期，从而可得正确的选项.
【详解】取，，则，
，
因此成立，
此时，，故为偶函数，故B错误，D错误；
取，，则，
，，
因此成立，此时为奇函数，故C错误；
令，则，
令，，则，
若，则，又，故，
令，则，所以，
令，则，
令，则，
又，故，此时令，则，
故或.
若，则，故为偶函数，
故，即，
所以为周期函数且周期为.
若，则，故为奇函数，
故，即，
故，
所以为周期函数且周期为.
若，则，此时，故或，
若，
令，则，
令，，则，所以，
令，则，
令，则，
故即，
故为周期函数且周期为.
若，
令，则，
令，，则，所以，
令，则，
令，
则，
故即，
故为周期函数且周期为．
综上，是的一个周期，故A正确．
故选：A．
【点睛】抽象函数的性质问题，可以根据抽象函数的运算性质寻找具体的函数来辅助考虑，此处需要对基本初等函数的性质非常熟悉.另外，在研究抽象函数的性质时，注意通过合理赋值来研究抽象函数的对称性、周期性．

二、填空题
17．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）若是定义在上的奇函数，且是偶函数，当时，，则__________.
【答案】
【分析】由奇、偶函数和周期函数的定义，可得的最小正周期，结合对数的运算性质可得答案．
【详解】解：由是定义在上的奇函数，为偶函数，
可得，，即，
所以，可得，
则的最小正周期为4，
当时，，
则．
故答案为：．
18．（2023春·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）已知是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为_________．
【答案】
【分析】利用同构思想，把关于的不等式，化为，从而构造函数，根据题意可以得到是定义在上的奇函数，也是定义在上的增函数，进而列出不等式求解即可.
【详解】令函数，因为的图象关于点对称，所以的图象关于原点对称，
故是定义在上的奇函数．因为是定义在上的增函数，
所以也是定义在上的增函数．由，
得，则，
则解得，
故原不等式的解集为．
故答案为：
19．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数对任意，都有成立．有以下结论：
①；②是上的偶函数；③若，则；
④当时，恒有，则函数在上单调递增．
则上述所有正确结论的编号是________
【答案】①③
【分析】对于①，通过赋值可得，①正确；
对于②，通过赋值可证为奇函数，②错误；
对于③，通过赋值可得，③正确；
对于④，函数单调性的定义，根据题意，结合函数为奇函数，可证在上单调递减，④错误．
【详解】对于①令，则，解得，①正确；
对于②令，则，∴，∴是上的奇函数，②错误；
对于③令，则，∴，③正确；
对于④设，则，∴，
则，∴在上单调递减，④错误．
故答案为：①③．
20．（2023春·广东揭阳·高三校考开学考试）已知为奇函数，则________．
【答案】
【分析】根据奇函数的定义，可得，化简即得，即可求得答案.
【详解】由题意可得满足且，
则有，即，
故，即，
因为时，定义域为，
满足，函数为偶函数，不合题意，
故，则的自变量x可取到0，且函数定义域关于原点对称，
则不恒等于0，故，
当时，定义域为R,满足,
即为奇函数，
故答案为：
21．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）若函数为奇函数，且，若，则_________．
【答案】
【分析】由奇函数的性质结合得出函数的周期为4，再由周期性求函数值.
【详解】因为，所以.
因为函数为奇函数，所以.
即，故函数的周期为4.
，

故答案为：
22．（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）已知函数为奇函数，则实数______.
【答案】
【分析】根据，结合指数运算求解即可.
【详解】因为函数为奇函数，
所以，即，
所以，
因为，
所以，即，
所以，解得.
故答案为：.
23．（2023春·福建漳州·高三福建省漳州第一中学校考开学考试）已知函数的定义域为，对任意的恒成立，若，则__________
【答案】##0.5
【分析】先根据题意求出函数的周期，求出一个周期内的特殊的函数值，再得出结果即可.
【详解】已知，令，
则，
即.
因为，即，
所以，即函数的周期为6.
令，，又，则，
令，
，同理，，，，
.
故答案为：.
24．（2023秋·山东泰安·高三统考期末）已知定义在上的函数满足：对任意实数a，b都有，且当时，．若，则不等式的解集为______．
【答案】
【分析】根据抽象函数的条件，结合函数单调性的定义证明函数的单调性，结合函数单调性将不等式进行转化求解即可．
【详解】解：对任意实数a，b都有，且当时，．
设，则，．
所以，
即，
所以是增函数．
因为，即，所以.
所以原不等式化为等价为，
则，即，则，得，
故不等式的解集是.
故答案为：
25．（2023·山东菏泽·统考一模）定义在上的函数，满足为偶函数，为奇函数，若，则__________.
【答案】1
【分析】根据为偶函数、为奇函数的性质，利用赋值法可得答案.
【详解】若为偶函数，为奇函数，
则，，
令，则，即，
令，则，即，
又因为，所以.
故答案为：1.
26．（2023·山东泰安·统考一模）设是定义域为R的偶函数，且.若，则的值是___________.
【答案】##0.25
【分析】由题意可得是周期为2的函数，即可求解.
【详解】因为是定义域为的偶函数，所以；
又，所以，
所以是周期为2的函数，则.
故答案为：.
27．（2023秋·湖南怀化·高三统考期末）已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则函数的图象的对称中心是______.
【答案】
【分析】先求得，然后构造函数，判断出的奇偶性，由此求得，进而求得的表达式，利用图象变换的知识确定的对称中心.
【详解】



，
即，所以，
令，，
则为上奇函数，
在上的最大值为最小值的和为0，
∴，，
是奇函数，图象的对称中心是，
向左平移个单位得到，对称中心为，
再横坐标缩小为原来的一半得到，对称中心为，
再向下平移个单位得到，对称中心为，
所以的对称中心是.
故答案为：
28．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知定义在R上的偶函数满足.若，且在单调递增，则满足的x的取值范围是__________.
【答案】
【分析】由题意可知，是周期为的周期函数，的最小正周期为8，结合与的单调性，易知在一个周期内，由，可得，再结合周期求出范围即可.
【详解】因为是偶函数，所以，
由，可得关于对称，
因为，所以，
则，
因为是偶函数，所以，
因为，所以，
则，
所以函数是周期为的周期函数.
因为是偶函数，且在单调递增，所以在单调递减，
令中，则，则，
又因为关于对称，所以在上单调递增，上单调递减，
结合函数是周期为的周期函数，
综上可得在，上单调递增，，上单调递减.
因为的最小正周期为，结合图象可知，

在，上单调递增，在上单调递减，
令中，则，则，
当，又，所以，
当，又，所以，
所以当时，，解得.
又因为与均为周期函数，且8均为其周期，
所以的x的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题解题的关键是求出与的周期性，由，，结合函数的单调性和周期性求解即可.
29．（2023春·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，满足，有下列说法：
①的图象关于直线对称；
②的图象关于点对称；
③在区间上至少有5个零点；
④若上单调递增，则在区间上单调递增．
其中所有正确说法的序号为_______．
【答案】②③④
【分析】求得函数的图象关于点对称判断①②；求得在区间上零点个数判断③；求得在区间上的单调性判断④
【详解】因为，所以，
故函数是周期为3的周期函数，又是定义在R上的奇函数，
则，所以，
故函数的图象关于点对称，故①错误，②正确；
由题意可知，，因为，
令，可得， 即，
所以，从而，
故函数在区间上至少有5个零点，故③正确；
因为，，
且函数在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增，
故函数在区间上也单调递增，故④正确．
故答案为：②③④
30．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）设奇函数的定义域为，且对任意，都有．若当时，，且，则不等式的解集为__________．
【答案】
【分析】由题知函数在上单调递减，在上单调递减，且，，，，再根据对数函数单调性将转化为解即可得答案.
【详解】解：设，且，则
因为，当时，，所以，
因为对任意，都有．
所以，，即，
所以，函数在上单调递减，
因为是定义域为的奇函数，
所以，函数在上单调递减，
因为不等式等价于不等式，即，
因为对任意，都有，，
所以，当时，得；当时，得
所以，
所以，，，，，
所以，当时，的解集为，
当时，的解集为，
所以，的解集为，
所以，不等式的解集为
故答案为：