高考数学二轮复习提升培优专题28三角函数与解三角形大题综合（解析版）

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 专题28 三角函数与解三角形大题综合 （新高考通用）

1．（2023秋·广东潮州·高三统考期末）在平面四边形中，.

(1)求的长；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围.
【答案】(1)或
(2)

【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可；
（2）弦有三角形为锐角三角形求出角的范围，在中，利用正弦定理将用角表示出来，再结合三角函数的性质即可得解.
【详解】（1）在中，，
由余弦定理可得，
即，解得或；
（2）因为，所以，
因为为锐角三角形，
所以，解得，
在中，因为，
所以，
由，得，所以，
所以.
2．（2021春·广东深圳·高三深圳市南头中学校考阶段练习）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，．
(1)求角B的大小．
(2)若△ABC为锐角三角形，．求的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理求得正确答案.
（2）利用正弦定理转化，结合三角函数值域的求法求得正确答案.
【详解】（1）依题意，，
由正弦定理得，
所以为锐角，所以.
（2）由正弦定理得，
所以

，
由于三角形是锐角三角形，
所以，解得，
所以，所以，
所以，
即的取值范围是.
3．（2023·广东·高三校联考阶段练习）已知的角，，的对边分别为，，，且，
(1)求角；
(2)若平分交线段于点，且，，求的周长.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）首先利用余弦定理得，再利用正弦定理边化角得，再利用余弦定理即可；
（2）利用，结合面积公式即可得到，作于，利用面积比得到，则解出的值，再利用余弦定理求出，则得到周长.
【详解】（1）由余弦定理得，
所以，
可化为，
再由正弦定理得，得，
所以，因为，所以
（2）因为平分，所以，
由，
得，
作于，

则，
由，解得，
由余弦定理，得，所以，
故的周长为.
4．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）在①，②，③向量，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
在中，内角、、的对边分别为、、，且__________．
(1)求角的大小；
(2)是线段上的点，且，，求的面积．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）选条件①，利用三角恒等变换化简可得的值，结合角的取值范围可得角的值；
选条件②，利用正弦定理和余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可得角的值；
选条件③，分析可得，利用平面向量数量积的坐标运算、正弦定理以及三角恒等变换可求得的值，结合角的取值范围可得角的值；
（2）设，可得出，，，，在中，由正弦定理可求得的值，利用二倍角的正弦公式结合弦化切可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积.
【详解】（1）解：选条件①，因为，
故，
所以，，
即，
、，所以，，则，故，
因此，.
选②，因为，由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
，则；
选③，因为，，，
所以，，
由正弦定理可得，
即，
、，则，所以，，因此，.
（2）解：设，因为，则，
因为，所以，，，，
在中，由正弦定理可知，即，
即，化简可得，即，
所以，，
所以，.
5．（2023秋·江苏·高三统考期末）在中，，，为内的一点，满足，.
(1)若，求的面积；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）首先求出，再在中求出，利用正弦定理求出，最后由面积公式计算可得；
（2）在中利用余弦定理求出，令，则，表示出，，再由正弦定理求出，即可得解.
【详解】（1）解：在中，因为，且，所以.
由，可得.
又，则.
在中，因为，，所以，
则，解得，
从而.
（2）解：在中，由，
解得或（舍去）.令，则在中.
在中，，所以，
则，即，得.
因为，所以，
从而.
6．（2023春·江苏常州·高三校联考开学考试）已知锐角的内角的对边分别为边上的高为1，且.
(1)求证：；
(2)求的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据题意，利用正弦定理将化简，利用同角三角函数基本关系可证明等式成立；
（2）由题意可知，，利用余弦定理和基本不等式求出的最小值，进而可求的最小值.
【详解】（1）证明：
，
.
（2）由题意知，
由，可知，且，
，仅当时等号成立，此时，
.
7．（2023春·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）在① ②③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题，已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c满足___________.
(1)求角B的大小；
(2)若,求△ABC面积的最大值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据正余弦定理以及二倍角公式即可边角互化求解，
（2）由（1）知，结合余弦定理以及不等式即可得，由面积公式即可求解.
【详解】（1）若选①，则由得 ，由正弦定理得,由于，故，
若选②，由得,
进而得 , 由于，故，
若选③，由得,由正弦定理得 , 进而得 , 由于，故，
（2）由以及正弦定理得，
由余弦定理得,进而，由均值不等式可得，进而，当且仅当时取等号，故的最大值为144，,
故面积的最大值为
8．（2022秋·江苏常州·高三校考阶段练习）请从①若，的最小值为；②图象的两条相邻对称轴之间的距离为；③若，的最小值为，这三个条件中任选一个，补充在上下面问题的条件中并作答．
已知函数，，________．
(1)求在区间上的值域；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据三角函数图像与性质可知，题中①②③三个条件都说明，再化简，求出的值，最后由，得，即可求出的值域.
（2）化简函数可得，将看作整体，配凑出利用三角函数的恒等变化即可求出答案.
【详解】（1）
.
从条件①②③任选一个作为条件，均可以得到的半周期为，
故，解得.所以.
由，得，所以，
即的值域为.
（2）由已知，得，
因为，则，所以，
所以.
9．（2023春·广东·高三统考开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)为边上一点，且，，，求的长．
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）利用正弦定理余弦定理化简已知等式即得解；
（2）先利用余弦定理求出，再求出,即得解.
【详解】（1）解：因为，
所以由正弦定理得，
，
又，
．
（2）解：在中，由余弦定理得，
所以，
又因为，
所以由余弦定理可得,
所以，
所以．
10．（2023·广东梅州·统考一模）在中，内角的对边分别为，，，已知.
(1)求内角；
(2)点是边上的中点，已知，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用正弦定理将边化成角，根据辅助角公式即可求得内角；（2）根据向量加法的平行四边形法则可得，再利用数量积公式和基本不等式即可求得面积的最大值.
【详解】（1）在中，因为，
由正弦定理得，
因为，所以，于是有，
所以，即，
因为，所以，
所以，
即.
（2）因为点是边上的中点，所以，
对上式两边平分得：，
因为，所以，即，
而，有，所以，当且仅当时，等号成立.
因此.
即面积的最大值为.
11．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知中，内角，，所对的边分别为，，，且满足.
(1)求角的大小；
(2)设是边上的高，且，求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用三角恒等变换的知识化简已知条件，从而求得的大小.
（2）利用余弦定理、基本不等式求得的最小值，进而求得面积的最小值.
【详解】（1）法一：左边，
右边，
由题意得
，即，
又因为，所以.
法二：左边，
右边，
由题意得，
又因为，所以.
（2）由，
由余弦定理得，
，
，当且仅当时取“等号”，
而，故
12．（2023·浙江·模拟预测）已知锐角，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且．
(1)证明：；
(2)若为的角平分线，交AB于D点，且．求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由正弦定理可将转化为，结合角度关系转化得，即可证得；
（2）由为的角平分线，，可得，根据面积公式可求得，再由三角形为锐角三角形可得的范围，由平方公式二倍角公式可得的值，根据和差公式得的值，由余弦定理求得，再根据正弦定理的的值即可.
【详解】（1）证明：因为，由正弦定理得：
，又，
所以，整理得．
又，则，即.
（2）因为为的平分线，且，
所以，则，
所以，可得，
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，所以，
所以，
在中，由余弦定理可得，所以，
由正弦定理得.
13．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）已知的内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若于，求的面积的最小值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据题目信息利用正弦定理可得，再利用余弦定理可得；（2）利用三角形面积公式可以求得，再根据基本不等式即可求得边长的取值范围，即可得面积最小值.
【详解】（1）由可得
，由正弦定理可得
由余弦定理可得，
又，所以.
（2）如下图所示：

三角形面积，
又，所以，
由（1）中可得，当且仅当时，等号成立；
即，得.
所以面积，
故的面积的最小值为
14．（2023·安徽·统考一模）在平面直角坐标系中，锐角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点分别为.已知点的纵坐标为，点的横坐标为.
(1)求的值；
(2)记的内角的对边分别为.
请从下面两个问题中任选一个作答，如果多选，则按第一个解答计分.
①若，且，求周长的最大值.
②若，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)答案见解析

【分析】（1）先利用三角函数的定义与同角的平方关系求得，再利用余弦的和差公式即可得解；
（2）选①：先结合（1）中条件得到，再利用余弦定理与基本不等式推得，从而得解；
选②：先结合（1）中条件求得，再利用正弦定理求得，从而利用三角形面积公式即可得解.
【详解】（1）因为是锐角，所以在第一象限，
又因为在单位圆上，点的纵坐标为，点的横坐标为，
所以，
所以，
故.
（2）选①：
由（1）中结论可得，又，
由余弦定理可得，即.
，
，当时，等号成立，
，
即当为等边三角形时，周长最大，最大值为6.
选②：
由（1）可知，
则，
由正弦定理，可得，故，
则.
15．（2023·安徽马鞍山·统考一模）已知条件：①；②；③.在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在中，角，，所对的边分别是，，，满足：______.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
(1)求角的大小；
(2)若为锐角三角形，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)选择条件①时利用三角恒等变换公式化简即可求解，选择条件②时利用三角恒等变换公式化简即可求解，选择条件③时利用正弦定理和三角恒等变换公式化简即可求解；
(2)根据正弦定理可得，，从而，再根据，即可得到，利用三角函数的性质即可求取值范围.
【详解】（1）选择条件①：
，
所以，于是，又，所以.
选择条件②：
因为，
解得，又，所以.
选择条件③：
则，
由正弦定理得：，
即，
整理得：，
由得：，又，所以.
（2）由（1）知，，为锐角三角形，所以，
由正弦定理，得，，
于是，

化简得，，
因为,所以，所以，
，
故的取值范围为.
16．（2023春·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试）在锐角中，内角所对的边分别为，，．
(1)若，证明：；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据正弦定理将边化成角，再利用三角恒等变换即可得出证明；（2）根据题意可得，再根据三角形形状可知，利用基本不等式即可求得最小值.
【详解】（1）因为，所以．
又，所以，
所以，
所以，
两边同时除以可得，
所以．
（2）因为，所以，
所以，所以，．
又为锐角三角形，所以，
所以，即
．
令，则，
．
当，即时，，，
的最小值为8．
17．（2023·湖南·模拟预测）已知函数.
(1)求函数的定义域和值域；
(2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值.
【答案】(1)；
(2)2

【分析】（1）先化简，然后利用真数大于0可得，即可求出定义域，继而求出值域；
（2）先利用（1）可得，结合锐角三角形可得，然后利用正弦定理进行边变角即可求出答案
【详解】（1），
所以要使有意义，
只需，即，
所以，解得
所以函数的定义域为，
由于，所以，
所以函数的值域为；
（2）由于，所以，
因为，所以，所以即，
由锐角可得，所以，
由正弦定理可得，
因为，所以所以，
所以的最大值为2.
18．（2023·湖北·统考模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求B；
(2)设，若点M是边上一点，，且，求的面积．
【答案】(1)
(2)

【详解】（1）依题意，
由及正弦定理得，
即，
所以．
因为，所以，所以，
又，所以．
（2）如图所示：

因为，所以，．
又，所以．
在中，由余弦定理得，
即．①
又，所以，
两边平方得，
即，所以．②
②－①得，所以，代入①得，
在中，，
所以是以为直角的三角形，
所以的面积为．
19．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）在中，记角的对边分别为，已知，且，点在线段上.
(1)若，求的长；
(2)若的面积为，求的值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由正弦定理边化角、两角和的正弦公式和辅助角公式化简给定等式，再由正弦定理即可求出答案.
（2）设，则，由三角形的面积公式可求出，再由余弦定理求出，在中，由正弦定理可得，同理在中，可得，两式相出即可求出的值.
【详解】（1）依题意有.
,
.
,
因为，所以，
又.
，则，在中，
由正弦定理得，解得.
（2）设，则，又，
即，可得，故，
由余弦定理可得，
在中，由正弦定理可得，故，
在中，由正弦定理可得，故，
因为，

20．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）在锐角中，角所对的边分别是，满足.
(1)求证：；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）利用正余弦定理化简得，再利用两角和差的正弦公式及三角形的性质得，得证；（2）弦切互化转化为正弦复合函数，先求角C的范围，然后换元，利用函数单调性求范围.
【详解】（1）由及余弦定理
得，
由正弦定理得：，
又，
，
，
，
都是锐角，
，即.
（2）令

，
由（1）得，
在锐角三角形中，，即，
解得，，
令，，
又函数在上单调递增，
，
故的取值范围是.
21．（2023春·湖北·高三统考阶段练习）已知，，分别为锐角三个内角，，的对边，且，，且．
(1)求角的大小
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据向量平行和正弦定理得，则得到的大小；
（2）首先根据锐角三角形求出的范围，再利用正弦定理进行边换角得，根据的范围即可得到答案.
【详解】（1）由得，
，
根据正弦定理得，
所以，又，所以A.
又，，又，
（2）由（1）得，，
，为锐角，所以，，
根据正弦定理得，
其中，，即，
综上可知，的取值范围是．
22．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）在中，，D为中点， .
(1)若，求的长；
(2)若 ，求的长.
【答案】(1)2
(2)

【分析】（1）在中，由余弦定理求得，即可得，在中利用余弦定理即可求得答案；
（2）设，由正弦定理求得，结合，以及，可推出，再由，推出，联立解方程可得答案.
【详解】（1）在中，，
则 ，
在中，
，
所以.
（2）设，
在和中，由正弦定理得，，
又，得，
在中，，
由，有，
所以，整理得：，①
又由，整理得：，②
联立①②得，，即.，
解得或，
又，故，
所以.
23．（2023·山东日照·统考一模）已知中，a，b，c是角A，B，C所对的边，，且.

(1)求角B；
(2)若，在的边AB，AC上分别取D，E两点，使沿线段DE折叠到平面BCE后，顶点A正好落在边BC（设为点P）上，求AD的最小值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由正弦定理边角互化得，又，可得，结合二倍角公式可求得结果；
（2）由题意可知为等边三角形，设，则，由余弦定理得，设，所以，利用基本不等式可求得答案.
【详解】（1）因为，所以由正弦定理边角互化得，
因为，所以，即，所以，
因为，所以，所以，
所以，即.
（2）因为，所以为等边三角形，即，
设，则，
所以在中，由余弦定理得，整理得，
设，所以，
由于，故，
所以，当且仅当时等号成立，此时，
所以AD的最小值为．
24．（2023春·山东烟台·高三校考开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求C；
(2)已知的外接圆半径为4，若有最大值，求实数m的取值范围.
【答案】(1)；
(2)．

【分析】（1）由诱导公式应用正弦定理，二倍角公式化简可求得角；
（2）由正弦定理化边为角，用角表示，应用辅助角公式变形为，其中，由于，因此题意说明在上有解，从而可得的范围．
【详解】（1）中，，，
由正弦定理得，即，
显然，∴，，，；
（2）由（1），，
由正弦定理，，
，
，其中，
又，若有最大值，则在上有解，
∴，解得，
∴的取值范围是．
25．（2023·山东淄博·统考一模）在中，角，，的对边分别是，，，满足
(1)求角；
(2)若角的平分线交于点，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)结合已知条件，利用余弦定理即可求解；
(2)利用正弦定理得到，，然后利用基本不等式即可求解.
【详解】（1）由可得：，
由余弦定理知，，
又因此.
（2）在中，由，得，
在中，由，可得，
所以；
在中，由，得，
解得，，
所以，
因为，，
所以，
当且仅当时取等号，
因此的最小值为.
26．（2023·山东潍坊·统考一模）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
问题：在中，角所对的边分别为，且__________.
(1)求角的大小；
(2)已知，且角有两解，求的范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)

【分析】（1）若选①，由两角和的正切公式化简即可求出求角的大小；若选②，利用正弦定理统一为角的三角函数，再由两角和的正弦公式即可求解；若选③，由余弦定理代入化简即可得出答案.
（2）将代入正弦定理可得，要使角有两解，即，解不等式即可得出答案.
【详解】（1）若选①：整理得，因为，
所以，因为，所以；
若选②：因为，
由正弦定理得，
所以，所以，因为，所以；
若选③：由正弦定理整理得，所以，
即，因为，所以；
（2）将代入正弦定理，得，所以，
因为，角的解有两个，所以角的解也有两个，所以，
即，又，所以，解得.
27．（2023·辽宁沈阳·统考一模）在中，角、、的对边分别为、、．已知．
(1)求角的大小；
(2)给出以下三个条件：①，；②；③．
若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：
（i）求的值；
（ii）的角平分线交于点，求的长．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）.

【分析】（1）由已知条件可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）由以及①或②或③解三角形，可得出正确的条件.
（i）求出的值，利用正弦定理可求得的值；（ii）由结合三角形的面积公式可求得的长.
【详解】（1）解：因为，若，则，不满足，
所以，，，.
（2）解：由及①，由余弦定理可得，即，
，解得；
由及②，由余弦定理可得，
由可得，可得；
由及③，由三角形的面积公式可得，可得.
经分析可知①②不能同时成立，①③不能同时成立，正确条件为②③，故，.
（i）将，代入②可得可得.
在中，由正弦定理，故.
（ii）因为，即，
所以，.
28．（2020春·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数.
(1)求函数的最小正周期.
(2)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，求的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式可化简函数为，再利用即可求出结果；
（2）先利用求出角，再结合余弦定理及基本不等式求解的最值，从而得到面积的最大值.
【详解】（1）由
，
所以的最小正周期；
（2）因为，则，又因为，，
所以，解得，
由余弦定理得，
得，当且仅当时等号成立，
所以，
，即的面积的最大值为.
29．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像关于原点中心对称.
(1)求函数的解析式；
(2)若三角形满足是边上的两点，且，求三角形面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)根据题意将函数化简，利用正弦函数的平移变化得到，结合图象关于原点中心对称即可求出函数解析式；
(2)结合（1）可得，结合题意，建立平面直角坐标系得到点的轨迹方程为，再根据几何关系即可求解.
【详解】（1）（1）由已知化简得，
，由得，
又，
（2）易得，
由①
②
又
将①②式并结合可得：
以所在直线为轴，以中垂线为轴建立直角坐标系，则，
设，则由可得：点的轨迹方程为，
即，
当时，取到最大值，
根据几何关系易知三角形面积的取值范围为，
30．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）在①，②，③的面积为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且______．
(1)求角A；
(2)若，的内切圆半径为，求的面积．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）选①，根据已知条件及正弦定理的边角化，再利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，结合三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解；
选②，根据已知条件及三角形的内角和定理，再利用两角和的正切公式及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解；
选③，根据已知条件及三角形的面积公式，再利用余弦定理的推论及三角函数的特殊值对应特殊角注意角的范围即可求解；
（2）根据（1）的结论及三角形的面积公式，结合余弦定理即可求解.
【详解】（1）若选①，由及正弦定理，得，
即，
即，
所以，
因为,所以，
所以，又,
所以．
若选②，由，得
，
∴，
因为,所以，当时，不存在，
所以，又,
所以．
若选③，因为的面积为，
所以，
即，
所以，又,
所以．
（2）由（1）知，，
∵内切圆半径为，
∴，即
，
由余弦定理，得，即，
所以，
联立，得，解得，
所以．