高考数学二轮复习提升培优专题35高考新题型开放性试题综合问题（解析版）

 专题35 高考新题型开放性试题综合问题（新高考通用）

1．（2022秋·广东揭阳·高三校考阶段练习）写出一个导函数恒大于等于2的函数____________.

【答案】（答案不唯一）

【分析】保证即可.

【详解】可设，则.

故答案为：（答案不唯一）

2．（2023·江苏泰州·统考一模）写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{}的通项公式＝___．

①；②

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据题目所给条件以及等比数列的知识求得正确答案.

【详解】依题意，是等比数列，设其公比为，

由于①，所以，

由于②，所以，

所以符合题意.

故答案为：（答案不唯一）

3．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知向量满足，请写出一个符合题意的向量的坐标______.

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据题意，由数量积的计算公式可得，分析、的关系，利用特殊值法可得答案.

【详解】根据题意，向量，且，

则有，即，

当时，，则.

故答案为：（答案不唯一）

4．（2023·安徽宿州·统考一模）若抛物线C：存在以点为中点的弦，请写出一个满足条件的抛物线方程为_______.

【答案】（答案不唯一）

【分析】抛物线存在以点为中点的弦，则该点在抛物线开口内，列式求解即可.

【详解】抛物线存在以点为中点的弦，则该点在抛物线开口内，即当时，.

可取，则满足条件的抛物线方程为.

故答案为：（答案不唯一）

5．（2023·浙江·校联考三模）写出一个满足下列条件的正弦型函数，____________．

①最小正周期为；       ②在上单调递增；      ③成立．

【答案】（答案不唯一）

【分析】设，，根据，则可设，根据最小正周期为，可得，通过整体换元法则可得到，取即可.

【详解】设，，因为，

所以

所以，不妨设

因为最小正周期为，所以

因为在上单调递增，所以

所以，

当时，，不妨设

所以满足条件之一的．

故答案为：.

6．（2022秋·广东广州·高三校考期中）函数的最大值为2，则常数的一个取值可为______.

【答案】（答案不唯一）

【分析】由三角函数的有界性得到同时成立，不妨令，求出.

【详解】因为，

要想的最大值为2，

需要同时成立，

由得到，，

不妨取，则，解得：，

故答案为：（答案不唯一）

7．（2022秋·江苏·高三校联考阶段练习）写出一个同时满足下列性质①②的函数_____________．

①；②在定义域上单调递增．

【答案】 （满足均可）

【分析】由基本初等函数性质筛选判断即可

【详解】，且单调递增．

故答案为： （满足均可）

8．（2022秋·福建·高三校联考阶段练习）已知奇函数在上单调递减，且，则函数的解析式可以为=______.（写出一个符合题意的函数即可）

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据正弦函数的周期和单调性的性质，直接写出符合题意的解析式即可.

【详解】因为，所以奇函数的周期为4，所以可得，

时，，可知此时在上单调递减.

故答案为：

9．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）已知函数满足：，且当时，，请你写出符合上述条件的一个函数__________.

【答案】（答案不唯一）

【分析】由，可得对数函数具有此性质，从而可得函数.

【详解】对于函数，

，

且当时，，

所以函数满足条件，

故答案为：（答案不唯一）.

10．（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知直线与圆相离，则整数的一个取值可以是______．

【答案】或或（注意：只需从中写一个作答即可）

【分析】利用直线与圆的位置关系列出不等式组，解出整数的范围．

【详解】因为圆的圆心为，所以圆心到直线的距离，因为圆的方程可化简为，即半径为，所以，所以，故整数的取值可能是．

故答案为：或或（注意：只需从中写一个作答即可）

11．（2023春·辽宁本溪·高三校考阶段练习）请写出与曲线在处具有相同切线的另一个函数：______．

【答案】（答案不唯一）

【分析】利用导数的几何意义可求得在处的切线斜率，由此可得切线方程；若两曲线在原点处具有相同切线，只需满足过点且在处的导数值即可，由此可得曲线方程.

【详解】的导函数为，又过原点，

在原点处的切线斜率，

在原点处的切线方程为；

所求曲线只需满足过点且在处的导数值即可，如，

，又过原点，

在原点处的切线斜率，

在原点处的切线方程为.

故答案为:（答案不唯一）.

12．（2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习）在某数学活动课上，数学教师把一块三边长分别为6，8，10的三角板放在直角坐标系中，则外接圆的方程可以为_____________．（写出其中一个符合条件的即可）

【答案】（答案不唯一）

【分析】由题意边长分别为6，8，10的为直角三角形，且外接圆的半径为，可以将斜边的中点与坐标原点重合时，即可得解.

【详解】边长分别为6，8，10的为直角三角形，且外接圆的半径为，

若将斜边的中点与坐标原点重合时，则圆心为，

所以其外接圆方程可以为，

若将直角顶点与坐标原点重合，边长为的直角边落在轴的正半轴时，则圆心为，

所以其外接圆方程可以为，

若将直角顶点与坐标原点重合，边长为的直角边落在轴的负半轴时，则圆心为，

所以其外接圆方程可以为，

若将直角顶点与坐标原点重合，边长为的直角边落在轴的正半轴时，则圆心为，

所以其外接圆方程可以为，

若将直角顶点与坐标原点重合，边长为的直角边落在轴的负半轴时，则圆心为，

所以其外接圆方程可以为.

故答案为：.（答案不唯一）

13．（2023·福建莆田·统考二模）直线l经过点，且与曲线相切，写出l的一个方程_______．

【答案】（答案不唯一）

【分析】先对求导，再假设直线l与的切点为，斜率为，从而得到关于的方程组，解之即可求得直线l的方程.

【详解】因为，

所以，

不妨设直线l与的切点为，斜率为，

则，解得或或，

当时，直线l为；

当时，直线l为，即；

当时，直线l为，即；

综上：直线l的方程为或或.

故答案为：（答案不唯一）.

14．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知圆关于直线对称，圆，请写出一条与圆都相切的直线方程：_____________. (写一条即可)

【答案】(或或，答案不唯一，写一条即可)

【分析】根据圆与直线对称求得，进而判断两圆外切，从而确定公切线有三条.根据直线与圆相切的几何条件建立方程从而可解.

【详解】因为圆关于直线对称，

故圆心在直线上，得，解得，

故圆，圆心半径

而圆的圆心，半径

所以两圆的圆心距为

所以两圆外切，公切线有三条.

显然公切线的斜率存在，设方程为，

于是有：

两式相除得：或，

当时，得，

代入可解得或；

当时，，

代入可解得，

所以三条公切线方程分别为：

，.

故答案为：(或或，答案不唯一，写一条即可)

15．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）已知、，直线上有且只有一个点满足，写出满足条件的其中一条直线的方程__________．

【答案】（答案不唯一，只需满足直线与圆相切即可）

【分析】设点，由，求出点的轨迹方程，可知点的轨迹为圆，且圆心为，半径，分析可知直线与圆相切即可.

【详解】设点，由可得，

整理可得，即点的轨迹为圆，且圆心为，半径，

直线上有且只有一个点满足，所以，直线与圆相切，

所以，直线的方程可为.

故答案为：（答案不唯一，只需满足直线与圆相切即可）.

16．（2023·吉林白山·统考三模）写出一条与圆和曲线都相切的直线的方程：___________.

【答案】（答案不唯一）

【分析】设切线与圆相切于点，得到切线的方程，与联立，由判别式为零求解.

【详解】解：设切线与圆相切于点，则，

切线的方程为，即，

将与联立，可得，

令，

联立解得或或或

所以切线的方程为或或或.

故答案为：（答案不唯一）

17．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知，写出满足条件①②的一个的值__________.

①；②.

【答案】或11.（答案不唯一）

【分析】令，得到，再由求解.

【详解】解：令，得，

，

由条件②知.

又的值可以为或11.（答案不唯一）

故答案为：或11.（答案不唯一）

18．（2022秋·辽宁抚顺·高三校联考阶段练习）写出一个同时满足下列三个性质的函数：__________.

①为奇函数；②为偶函数；③在上的值域为.

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据①②可知是周期为4的周期函数，可根据三角函数的周期关系写出符合题意的函数形式.

【详解】由②可知，由此可知，，

故是周期为4的奇函数，是周期为4的偶函数，

因此不妨假设，则，

由③可知或均可.

故答案为：（答案不唯一）

19．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知函数，试举出一个的值，使得成立，则可以为__________．（写出一个即可）

【答案】-1或7

【分析】根据给出的分段函数自变量的范围,分情况讨论计算即可.

【详解】因为函数,

可得当时,,

当时,

当且时,

与矛盾,不合题意;

当且时,

, 则

当时,则,

则,则.

故答案为:-1或7.

20．（2022秋·江苏徐州·高三期末）写出一个同时具有下列性质①②③的函数解析式为__________.

①不是常数函数；②；③.

【答案】（答案不唯一）

【分析】首先理解条件中的性质，再写出满足条件的函数.

【详解】因为，即，所以函数是偶函数，

因为，所以函数关于对称，且函数不是常函数，所以满足条件的函数.

故答案为：（答案不唯一）

21．（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考期末）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程______.

【答案】（答案不唯一，写其它三条均可）

【分析】先判断两圆的位置关系，可设公切线方程为，根据圆心到直线的距离等于半径列出方程组，解之即可得出答案.

【详解】解：圆的圆心为，半径为，

圆的圆心为，半径为，

则，

所以两圆外离，

由两圆的圆心都在轴上，则公切线的斜率一定存在，

设公切线方程为，即，

则有，

解得或或或

所以公切线方程为或或或，

即或或或.

故答案为：.（答案不唯一，写其它三条均可）

22．（2022秋·福建·高三校联考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则满足图象的一个解析式为______.

【答案】（答案不唯一）

【分析】设函数解析式为，根据函数得最值可求得，再根据函数的对称性结合图象可得函数的最小正周期，从而可求得，再利用待定系数法求得即可.

【详解】解：设函数解析式为，

由图可知，解得，

，故，所以，

则，

由，

得，所以，可取，

所以满足图象的一个解析式可以为.

故答案为：.（答案不唯一）

23．（2023秋·广东清远·高三统考期末）已知P为双曲线C：上异于顶点，的任意一点，直线，的斜率分别为，，写出满足C的焦距小于8且的C的一个标准方程：_________.

【答案】（答案不唯一）

【分析】首先设点，，，根据条件转化为关于的不等式组，再写出满足条件的一个标准方程.

【详解】设，，，

，

所以，取，则，，

所以满足条件的双曲线的标准方程是.

故答案为：（答案不唯一）

24．（2023秋·山东潍坊·高三统考期末）写出一个同时满足下列三个性质的函数______.

①是奇函数；②在单调递增；③有且仅有3个零点.

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据奇函数图像关于原点对称，若函数有且仅有3个零点则原点两侧各有一个，再保证单调递增即可写出解析式.

【详解】由是奇函数，不妨取，且函数图象关于原点对称；

又有且仅有3个零点，所以原点两侧各有一个零点，且关于原点对称，

若保证在单调递增，显然满足.

故答案为：（答案不唯一）

25．（2022秋·江苏常州·高三校考期中）已知函数的最小值为0，且，则图象的一个对称中心的坐标为________．

【答案】(答案不唯一)

【分析】由二倍角公式化简，根据三角函数性质结合条件列式得，再求对称中心坐标.

【详解】由题意得，

所以最小值为，则，

故，

而，

即，，

所以，又，，

故，，

由，得，，

故图象的对称中心为.

故答案为：（答案不唯一）

26．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）经过坐标原点的圆与圆相外切，则圆的标准方程可以是__________写出一个满足题意的方程即可

【答案】．（答案不唯一）

【分析】根据题意易知圆过坐标原点，圆与圆的切点即为坐标原点，则圆的圆心在直线上，且其圆心在第一象限，可设圆的圆心坐标为，则可求得圆的半径，再根据圆的标准方程，即可求得结果．

【详解】设经过坐标原点的圆圆心为，半径为，则圆方程：，

圆经过原点，则，即，

圆：可化为，

则圆圆心为，半径，

显然圆经过坐标原点，

由题意，圆与圆相外切，

则圆与圆的切点即为坐标原点，则圆的圆心在直线上，且圆心在第一象限，

所以，可令，

则圆的圆心为，

则点到圆圆心的距离，

即，

则，

则圆方程：，

故答案为：

27．（2023·山西·统考一模）写出一个同时满足下列三个条件的函数的解析式______.

①；②；③在上单调递增.

【答案】（答案不唯一，满足条件即可）

【分析】根据题意得图像关于直线对称，点对称，进而结合三角函数性质和条件③求解即可.

【详解】解：由①可知，函数图像关于直线对称；

由②可知函数图像关于点对称；

所以，，即，

所以，即函数的周期为，

故考虑余弦型函数，不妨令，

所以，，即，满足性质①②，

由③在上单调递增可得，

故不妨取，即，此时满足已知三个条件.

故答案为：

28．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）写出一个同时满足下列条件①②的等比数列的通项公式__________.

①；②

【答案】（答案不唯一）

【分析】可构造等比数列，设公比为，由条件，可知公比为负数且，再取符合的值即可得解.

【详解】可构造等比数列，设公比为，

由，可知公比为负数，

因为，所以，

所以可取设，

则.

故答案为：.

29．（2023秋·江苏苏州·高三统考期末）在平面直角坐标系中，已知圆C：，过点的直线l交C于A，B两点，且，请写出一条满足上述条件的l的方程：________________．

【答案】（答案不唯一，也满足）

【分析】分别讨论直线l斜率存在、不存在的情况，设C到直线的距离为d，由得，结合点线距离公式即可求解判断.

【详解】由题意得，半径，，故在圆外，

设C到直线的距离为d，

由得，即，解得，

当直线l斜率不存在时，即，此时，符合题意；

当直线l斜率存在时，设为，即，则， 即，解得，故直线为.

故答案为：（答案不唯一，也满足）

30．（2023秋·江苏·高三统考期末）设函数，则使在上为增函数的的值可以为__________.（写出一个即可）.

【答案】（答案不唯一，满足即可）

【分析】根据三角函数单调性求出函数在，上单调递增，使在上为增函数，令，，解得，则取0，此时函数的单调递增为，则，即可列式得出，即可得出答案.

【详解】，

令，，

解得，

即函数在，上单调递增，

而函数在上为增函数，

令，，解得，

，则取0，

此时函数的单调递增为，

则，

则，解得，

则使在上为增函数的的值的范围为，

故答案为：（答案不唯一，满足即可）