新高考数学一轮复习课时过关练习第02章 函数与基本初等函数第9节 函数模型及其应用 (含解析)

这是一份新高考数学一轮复习课时过关练习第02章 函数与基本初等函数第9节 函数模型及其应用 (含解析)，共19页。试卷主要包含了几种常见的函数模型，不正确，5元/瓶，))等内容，欢迎下载使用。
第9节　函数模型及其应用
考试要求　1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.2.通过收集、阅读一些现实生活、生产实际等数学模型，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.


1.指数、对数、幂函数模型性质比较
　　函数
性质　　　
y＝ax
(a>1)
y＝logax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象
的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值
变化而
各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax0且a≠1，b≠0)
与幂函数相关的模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)

1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.
2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.
3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.(　　)
(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.(　　)
(3)不存在x0，使ax00)的增长速度.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
解析　(1)9折出售的售价为100(1＋10%)×＝99(元).
∴每件赔1元，(1)错误.
(2)当x＝2时，2x＝x2＝4.不正确.
(3)如a＝x0＝，n＝，不等式成立，因此(3)错误.
2.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　)
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
答案　C
解析　由题意知4.9＝5＋lg V，得lg V＝－0.1，得V＝10－≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.
3.(多选)(2021·青岛质检)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.

根据该折线图，下列结论正确的是(　　)
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
答案　BCD
解析　由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A错误.其余全部正确.
4.某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为(　　)
A.3.75元/瓶 B.7.5元/瓶
C.12元/瓶 D.6元/瓶
答案　D
解析　设销售价每瓶定为x元，利润为y元，则y＝(x－3)＝80(x－3)·(9－x)＝－80(x－6)2＋720(x≥3)，所以x＝6时，y取得最大值.
5.在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
则对x，y最适合的拟合函数是(　　)
A.y＝2x B.y＝x2－1
C.y＝2x－2 D.y＝log2x
答案　D
解析　当x＝0.99时，y＝0.01，可排除A，当x＝2.01时，y＝0.98，可排除B、C，故选D.
6.(2022·北京丰台一模)大气压强p＝，它的单位是“帕斯卡”(Pa.1 Pa＝1 N/m2)，大气压强p(Pa)随海拔高度h(m)的变化规律是p＝p0e－kh(k＝0.000 126 m－1)，p0是海平面大气压强.已知在某高山A1，A2两处测得的大气压强分别为p1，p2，＝.那么A1，A2两处的海拔高度的差约为(参考数据：ln 2≈0.693)(　　)
A.550 m B.1 818 m
C.5 500 m D.8 732 m
答案　C
解析　＝＝＝ek·h2－k·h1＝，故h1－h2＝≈＝5 500 m.

考点一　利用函数图象刻画实际问题的变化过程
1.某“跑团”为了解团队每月跑步的平均里程，收集并整理了2021年1月至2021年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：千米)的数据.绘制了下面的折线图.

根据折线图，下列结论正确的是(　　)
A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的平均里程数
B.月跑步平均里程逐月增加
C.月跑步平均里程高峰期大致在8月和9月
D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳
答案　D
解析　由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的平均里程数，A错误；
月跑步平均里程不是逐月增加的，B错误；
月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月，C错误，故选D.
2.(2022·郑州质检)水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度如图甲、乙所示，某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论断：

①0时到3时只进水不出水；
②3时到4时不进水只出水；
③4时到5时不进水也不出水.
则一定正确的论断是________(填序号).
答案　①
解析　由甲、乙、丙图可得进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率可知，只进水不出水时，蓄水量增加的速度是2，故①正确；
不进只出水时，蓄水量减少的速度为2，故②不正确；
两个进水，一个出水时，蓄水量减少的速度也是0，故③不正确.
3.(2022·武汉调研)为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t(年)与树高y(米)之间的关系.请你据此判断，在下列函数模型：①y＝2t－a；②y＝a＋log2t；③y＝t＋a；④y＝＋a中(其中a为正的常数)，生长年数与树高的关系拟合最好的是________(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为________米.

答案　②　
解析　由散点图的走势，知模型①不合适.
曲线过点，则后三个模型的解析式分别为②y＝＋log2t；③y＝t＋；④y＝＋，当t＝1时，代入④中，得y＝，与图不符，易知拟合最好的是②.
将t＝8代入②式，得y＝＋log28＝(米).
感悟提升　判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况.
　考点二　已知函数模型解决实际问题
例1 (2021·承德二模)我国在2020年进行了第七次人口普查登记，到2021年4月以后才能公布结果.人口增长可以用英国经济学家马尔萨斯提出的模型：y＝y0·ert，其中t表示经过的时间(单位：年)，y0表示t＝0时的人口数(单位：亿)，r表示人口的年平均增长率.以国家统计局发布的2000年第五次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口12.43亿人(不包括香港、澳门和台湾地区)和2010年第六次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口13.33亿人(不包括香港、澳门和台湾地区)为依据，用马尔萨斯人口增长模型估计我国2020年年末(不包括香港、澳门和台湾地区)的全国总人口数为(13.332＝177.688 9，12.432＝154.504 9)(　　)
A.14.30亿 B.15.20亿
C.14.62亿 D.15.72亿
答案　A
解析　由马尔萨斯人口增长模型，得13.33＝12.43e10r，即e10r＝，所以我国2020年年末的全国总人口数约为y＝13.33e10r＝＝≈14.30(亿).
感悟提升　1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.
2.利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
训练1 (2021·益阳二模)我们检测视力时会发现对数视力表中有两列数据，分别是小数记录与五分记录，如图所示(已隐去数据)，其部分数据如下表：
小数
记录x
0.1
0.12
0.15
0.2
…
？
…
1.0
1.2
1.5
2.0
五分
记录y
4.0
4.1
4.2
4.3
…
4.7
…
5.0
5.1
5.2
5.3
现有如下函数模型：①y＝5＋lg x，②y＝5＋lg，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为(参考数据：10－0.3≈0.5，5－0.22≈0.7，
10－0.1≈0.8)(　　)
A.0.3 　　　　B.0.5
C.0.7 　　　　D.0.8
答案　B
解析　由题中数据可知，当x＝1时，y＝5，两个函数模型都符合；
当x＝0.1时，由y＝5＋lg x，得y＝5＋lg 0.1＝4，与表中的数据符合，而y＝5＋lg＝5.1，与表中的数据不符，
所以选择模型y＝5＋lg x更合适，
此时令y＝4.7，则lg x＝－0.3，
所以x＝10－0.3≈0.5.
　考点三　构造函数模型解决实际问题
角度1　构造二次函数模型
例2 某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若每年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是(　　)
A.[4，8] B.[6，10]
C.[4%，8%] D.[6%，10%]
答案　A
解析　根据题意，要使附加税不少于128万元，需×160×R%≥128，
整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8].
角度2　构造指数、对数函数模型
例3 (1)(2022·青岛检测)一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有的质量发生衰变.若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是(　　)
A.6 B.5 C.4 D.3
答案　C
解析　设这种放射性物质最初的质量为1，经过x(x∈N)年后，剩余量是y，
则有y＝.
依题意得≤.
则22x≥100，解得x≥4.
所以至少需要的年数是4.
(2)(2022·武汉检测)人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足d(x)＝9lg.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63 dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的(　　)
A.1倍 B.10倍
C.100倍 D.1 000倍
答案　B
解析　设老师上课时声音强度、一般两人小声交谈时声音强度分别为x1 W/m2，x2 W/m2，
根据题意得d(x1)＝9lg＝63，解得x1＝10－6，d(x2)＝9lg＝54，
解得x2＝10－7，所以＝10，
因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍.
角度3　构建分段函数模型
例4 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元).在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元).每件产品售价5元.通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
解　(1)每件产品售价为5元，
则x万件产品的销售收入为5x万元.
当0