新高考数学二轮复习培优讲义03 不等式（含解析）

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解密03讲 ：不等式
【考点解密】
1．两个实数比较大小的方法
(1)作差法 (a，b∈R)
(2)作商法 (a∈R，b>0)

2．不等式的基本性质
性质
性质内容
特别提醒
对称性
a>b⇔bb，b>c⇒a>c
⇒
可加性
a>b⇔a＋c>b＋c
⇔
可乘性
⇒ac>bc
注意c的符号
⇒acb＋d
⇒
同向同正可乘性
⇒ac>bd
⇒
可乘方性
a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)
a，b同为正数
可开方性
a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)
a，b同为正数







3．一元二次不等式的解集
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ0)的图象



方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根
有两相异实根x1，x2
(x10 (a>0)的解集
{x|xx2}

{x|x∈R}
ax2＋bx＋c0)的解集
{x|x1< x0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．

5．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2(a，b∈R)．
(4)≥2(a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.

6．用基本不等式求最值
用基本不等式≤求最值应注意：一正二定三相等.
(1)a，b是正数；
(2)①如果ab等于定值P，那么当a＝b时，和a＋b有最小值2；
②如果a＋b等于定值S，那么当a＝b时，积ab有最大值S2.
(3)讨论等号成立的条件是否满足．

【方法技巧】
一、比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．

二、判断不等式的常用方法
(1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．
(2)利用特殊值法排除错误答案．
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性来比较．

三、利用基本不等式求最值
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．


【核心题型】
题型一：比较两个数（式）的大小
1．已知，，，则，，的大小关系为（     ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过作差法，，确定符号，排除D选项；
通过作差法，，确定符号，排除C选项；
通过作差法，，确定符号，排除A选项；
【详解】由，且，故；
由且，故；
且，故.
所以，
故选：B.
2．已知：，则3，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先将指数式化为对数式，再根据对数函数单调性以及运算法则比较大小，确定选项.
【详解】，，
∴；
又 ，∴.故选D.
【点睛】本题考查指数式化与对数式关系以及对数函数单调性，考查基本分析求解能力，属基础题.
3．设，，则与的大小关系是（     ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】利用作差法解出的结果，然后与0进行比较，即可得到答案
【详解】解：因为，，
所以，
∴，
故选：A

题型二：不等式的基本性质
4．对于实数a，b，c，下列命题中正确的是（     ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【分析】由不等式性质判断各选项正误即可.
【详解】对于选项A，注意到若，当时，.故A错误.
对于选项B，设，
得，解得.又，，
得.故B错误.
对于C选项，因，则，故C错误.
对于D选项，，因，则，故D正确.
故选：D
5．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（     ）
A．若a>b，c>d，则a-d>b-c B．若a>b，c>d则ac>bd
C．若ab>0，bc-ad>0，则 D．若a>b，c>d>0，则
【答案】AC
【分析】根据不等式的性质和特殊值法逐项分析可求得答案.
【详解】解：由不等式性质逐项分析：
A选项：由，故，根据不等式同向相加的原则，故A正确
B选项：若，则，故B错误；
C选项：，，则，化简得，故C正确；
D选项：，，，则，故D错误.
故选：AC
6．已知，则 （     ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】对A，对两边同除ab化简即可判断；
对B，对不等式移项进行因式分解得，即可进一步判断的符号不确定，即可判断；
对C，对不等式移项进行因式分解得，由即可判断；
对D，对不等式移项进行根式运算得，即可进一步判断
【详解】对A，，A正确；
对B，，∵，∴，不等式不一定成立，B错误；
对C，，∵，∴，不等式成立，C正确；
对D，，所以，不等式不成立，D错误；
故选：AC．

题型三：不等式性质的综合应用
7．已知，，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用待定系数法得出，并计算出的取值范围，利用不等式的性质可得出的取值范围.
【详解】设，，解得，
，
，，，
由不等式的性质可得，即，
因此，的取值范围是，故选D.
【点睛】本题考查求代数式的取值范围，解题的关键就是将所求代数式用已知的代数式加以表示，在求解可充分利用待定系数法，考查运算求解能力，属于中等题.
8．已知，，则的取值范围是（ 　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用待定系数法求得，由，，结合，从而可得结果.
【详解】令
则，
∴，
又，…∴①
，
∴…②
∴①②得．
则．
故选C．
【点睛】本题主要考查不等式的性质以及指数函数的性质，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
9．已知,,则的取值范围为__________.
【答案】
【分析】由可以推出，由不等式的性质可以得到的取值范围.
【详解】，而，根据不等式的性质可得
，所以的取值范围为.
【点睛】本题考查了不等式的性质.不等式的性质中没有相除性，可以利用相乘性进行转化，但是应用不等式相乘性时，要注意不等式的正负性.


题型四：利用基本不等式求最值
命题点1 配凑法
10．设实数满足，函数的最小值为（     ）
A． B． C． D．6
【答案】A
【解析】将函数变形为，再根据基本不等式求解即可得答案.
【详解】解：由题意，所以，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以函数的最小值为.
故选：A．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

11．已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，则xy的最大值为________．
【答案】
【详解】因为x>0，y>0,2x＋3y＝6，
所以xy＝(2x·3y)≤·2＝·2＝.
当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝1时，xy取到最大值.
12．已知a>b>c，求(a－c)的最小值．
【详解】(a－c)
＝(a－b＋b－c)
＝1＋1＋＋.
∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，
∴2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号，
∴(a－c)的最小值为4.

命题点2常数代换法
13．已知，则的最小值是（     ）
A．7 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】由“1”的妙用和基本不等式可求得结果.
【详解】因为，
所以，
当且仅当即时，等号成立.
结合可知，当时，有最小值.
故选：D.

14．已知，且，则的最小值为（     ）
A．9 B．10 C．11 D．
【答案】A
【分析】利用“乘1法”将问题转化为求的最小值，然后展开利用基本不等式求解．
【详解】，，又，且，
，
当且仅当，解得，时等号成立，
故的最小值为9．
故选：A．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

15．若实数，则的最小值为（     ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】由条件变形，再结合基本不等式求最小值.
【详解】由条件可知，，
所以
，
当，即，结合条件 ，
可知时，等号成立，所以的最小值为.
故选：D

16．已知，且，则的最小值为_________．
【答案】4
【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题.

命题点3 消元法
17．负实数、满足，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得，再利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为负实数、满足，则，可得，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立.
故的最小值为.
故选：A.

18．若实数x，y满足xy＋3x＝3，则＋的最小值为________．
【答案】8
【详解】∵实数x，y满足xy＋3x＝3，
∴x＝，∴0”和“