新高考数学二轮复习培优讲义12 平面向量 （含解析）

这是一份新高考数学二轮复习培优讲义12 平面向量 （含解析），共37页。

解密12讲：平面向量
【考点解密】

考的一．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．

考点二．向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

交换律：
a＋b＝b＋a；
结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算

a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λa|＝|λ||a|，
当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与a的方向相反；
当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb

考点三.向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
考点四．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，
使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

考点五．平面向量的坐标表示
(1)向量及向量的模的坐标表示
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.

(2)平面向量的坐标运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)．

考点六．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.

考点七.向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π].

考点八.平面向量的数量积
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影
|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积

考点九.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.




考点十.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
结论
符号表示
坐标表示
模
|a|＝
|a|＝
夹角
cos θ＝
cos θ＝
a⊥b的充要条件
a·b＝0
x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|x1x2＋y1y2|≤



【方法技巧】
求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．


【核心题型】
题型一：平面向量的基础知识
1．（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）下列说法中正确的是（   ）
A．单位向量都相等
B．平行向量不一定是共线向量
C．对于任意向量，必有
D．若满足且与同向，则
【答案】C
【分析】对于A：根据单位向量的概念即可判断；对于B：根据共线向量的定义即可判断；对于C：分类讨论向量的方向，根据三角形法则即可判断；对于D：根据向量不能比较大小即可判断.
【详解】依题意，
对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；
对于B，平行向量就是共线向量，故错误；
对于C，若同向共线，，
若反向共线，，
若不共线，根据向量加法的三角形法则及
两边之和大于第三边知.
综上可知对于任意向量，必有，故正确；
对于D，两个向量不能比较大小，故错误.
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量，是单位向量，且，向量满足，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量模的定义可得，进而求得，利用向量的线性运算，结合向量模的定义即可求解.
【详解】解：因为，所以，即，又，所以．
所以．
因为，
所以．
故选：A．
3．（2022·河南·校联考一模）下列关于平面向量的说法正确的是（    ）
A．若共线，则点A，B，C，D必在同一直线上
B．若且，则
C．若G为的外心，则
D．若O为的垂心，则
【答案】D
【分析】A向量共线知向量所在直线平行或共线；B由零向量与任意向量都平行；C由向量相加不可能等于标量；D利用向量减法的几何含义，结合垂心的性质，即可判断各选项的正误.
【详解】A：若共线，则A，B，C，D在同一直线上或，错误；
B：若为零向量，由任意向量都与零向量平行知，此时不一定平行，错误；
C：若G为的外心，有，且不可能等于标量0，错误；
D：O为的垂心，由，又，所以，同理有，，即有，正确.
故选：D.

题型二：平面向量的线性运算
4．（2023·湖南永州·统考二模）设为所在平面内一点，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】运用平面向量加法规则计算.
【详解】
依题意作上图，则 ；
故选：D.
5．（2023秋·广西河池·高三统考期末）如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点且，过点G的直线分别交直线AB、AC于P、Q两点，，，则的最小值为（    ）

A． B．1 C． D．4
【答案】B
【分析】由可得，根据三点共线向量性质可得，再结合均值不等式即可求出结果．
【详解】由于M为线段BC的中点，则
又，所以，又，
所以，则
因为三点共线，则，化得
由
当且仅当时，即时，等号成立，的最小值为1
故选：B
6．（2022·河南·校联考模拟预测）如图，在中，，，直线AM交BN于点Q，，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把用表示，然后由三点共线可得．
【详解】由题意得，，
因为Q，M，A三点共线，故，化简整理得．
故选：C．

题型三：平面向量的共线定理
7．（2023·全国·高三专题练习）的外心满足，，则的面积为（    ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】从这个条件可以考虑设的中点为，从而得到三点共线可求.
【详解】设的中点为，则可化为
即为， 三点共线且，为等腰三角形，
由垂径定理得，代入数据得,
解之：，.
故选：B.
8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，M，N分别是线段，上的点，且，，D，E是线段上的两个动点，且，则的的最小值是（    ）

A．4 B． C． D．2
【答案】B
【分析】根据平面向量共线定理可设，，，，再结合得，最后运用基本不等式可求解.
【详解】设，，，，
则，，，，.
所以，
当且仅当，时等号成立.
所以的的最小值是.
故选：B
9．（2023·全国·高三专题练习）已知直线与圆：相交于不同两点，，点为线段的中点，若平面上一动点满足，则的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意，判断得点在线段外，从而得是直角三角形，进而表示出，可得，由，可得的取值范围.
【详解】因为，所以，，三点共线，
且点在线段外，因为点为线段的中点，
所以，即是直角三角形，
所以，由数量积的定义可得：
，
因为，所以，即，
故选:C.


题型四：平面向量的基本定理
10．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）在平行四边形中，､分别在边､上，，与相交于点，记，则（    ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意过点作平行于，交于点，先利用三角形相似求出，然后利用向量的线性运算即可求解.
【详解】过点作平行于，交于点，
因为，则为的中点，所以且，
因为，所以，
由可得：，所以，
因为，
所以，

故选：.
11．（2022秋·甘肃武威·高三统考阶段练习）如图，在中，是的中点，若，则（    ）

A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】利用向量的线性运算求得，由此求得，进而求得.
【详解】因为是的中点，所以．
所以，所以，所以．
故选：D
12．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在平行四边形中，E是的中点，，与相交于O．若，，则的长为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】先以为基底表示，再利用向量的数量积把转化为关于的方程，即可求得的长
【详解】在平行四边形中，E是的中点，，与相交于O．
设，
则

由，可得
则，解之得，则
则
又，则，解之得，即的长为4
故选：C

题型五：平面向量的坐标运算
13．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知点和数列满足，若分别为数列的前项和，则（    ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【分析】根据题意分析可得数列均是周期为6的数列，运算求解即可得结果.
【详解】由题意可得：，
则，
∵，则，
由，则，
同理，，
即数列均是周期为6的数列，而，

故选：D.
14．（2023·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形中，点在线段上，且（），若（，）且，则（    ）

A． B．3 C． D．4
【答案】B
【分析】方法1：由可得，由代入可反解得，最后根据且即可求得的值.
方法2：建立平面直角坐标系，表示出点的坐标转化为坐标运算可求得结果.
【详解】方法1：在平行四边形中，因为，所以，
所以，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，，（平面向量基本定理的应用）
又∵，
∴，解得，
故选：B.
方法2：如图，以A为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，

则，设，，
∵ 则 ，
又∵，设，则
即：
∴，，，
又∵，
∴
∴
∴
由②得，将其代入①得，
故选：B.
15．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量，满足，，点D满足，E为的外心，则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的数量积求得，以O为原点，建立平面直角坐标系，再利用向量的坐标运算可得解.
【详解】，，
，，
以O为原点，OA，垂直于OA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，设
又，知，解得，
又E为的外心，，
，为等边三角形，，
∴，∴．
故选：A


题型六：平面向量的数量积问题
16．（2023·四川成都·统考一模）已知平面向量、、满足，，，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在平面内一点，作，，，取的中点，计算出、的值，利用向量三角不等式可求得的最大值.
【详解】在平面内一点，作，，，则，则，
因为，则，故为等腰直角三角形，则，

取的中点，则，
所以，，所以，，
因为，
所以，，则，
所以，.
当且仅当、同向时，等号成立，故的最大值为.
故选：B.
17．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知△ABC中，，，，在线段BD上取点E，使得，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析得到∠AEB是与的夹角，利用向量基本定理得到，，利用向量数量积公式得到，，，从而利用夹角余弦公式求出答案.
【详解】由题意知：∠AEB是与的夹角，
，，


，
，
，
则．
故选：D．
18．（2023·四川绵阳·统考二模）如图，在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知可推得，，，进而根据平面向量数量积的运算求解即可得出结果.
【详解】由已知，，，，
所以.
由已知是的中点，所以，
，.
所以，
，
所以，.
故选：B.

题型七：平面向量的几何应用
19．（2022·福建厦门·厦门市湖滨中学校考模拟预测）已知A，B是圆上的动点，，P是圆上的动点，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意得在圆上，则，数形结合即可求出的取值范围，即可得解.
【详解】由题意可得是圆心为半径为1的圆，是圆心为半径为1的圆，
设中点为，，
由垂径定理得，
在圆上，
又 ，
由图可知，
，
的范围为.

故选：C
20．（2022·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）在平面内，定点满足，，动点P，M满足，，则的最大值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得到为正三角形，且为的中心，结合题设条件求得，得到为边长为的正三角形，以为原点建立直角坐标系，设，根据，得到，进而求得，即可求解.
【详解】由题意知，即点到三点的距离相等，可得为的外心，
又由，
可得，所以，
同理可得，所以为的垂心，
所以的外心与垂心重合，所以为正三角形，且为的中心，
因为，解得，
所以为边长为的正三角形，
如图所示，以为原点建立直角坐标系，则，
因为，可得设，其中，
又因为，即为的中点，可得，
所以.
即的最大值为.
故选：B.

21．（2022·全国·高三专题练习）中，，，，PQ为内切圆的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】易知是直角三角形，利用等面积法可得内切圆半径，设内切圆圆心为，根据为直径，可知，，整理，进而根据的运动情况来求解.
【详解】由题可知，，所以是直角三角形，，
设内切圆半径为，则，解得，
设内切圆圆心为，因为是内切圆的一条直径，
所以，，
则，，
所以，
因为M为边上的动点，所以；当与重合时，，
所以的取值范围是，
故选：C

题型八：平面向量的综合问题
22．（2022·河北石家庄·高三校联考阶段练习）已知向量， 函数．
(1)求函数的值域;
(2)函数在上有 10 个零点， 求的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示，结合三角恒等变换得，再根据三角函数性质求解即可；
（2）由题知，再根据三角函数性质得，解不等式即可得答案.
【详解】（1）解：
，
所以，的值域为.
（2）解：令， 即，
因为，所以，
因为函数在上有10个零点，
所以方程在上有10个实数根，
所以， 解得．
所以，的取值范围为.
23．（2023·高三课时练习）已知点G为的重心．
(1)求；
(2)过G作直线与AB、AC两条边分别交于点M、N，设，，求的值．
【答案】(1)
(2)3

【分析】（1）根据已知得出与三边所在向量的关系，即可根据向量的运算得出答案；
（2）根据已知得出，结合，，根据M、N、G三点共线，结合向量运算与向量相等的定义列式整理，即可得出答案.
【详解】（1）点G为的重心，
，，，
，
（2）点G为的重心，
，
，
，
，
，
，
，
与共线，
存在实数，使得，
则，
根据向量相等的定义可得，
消去可得，
两边同除，整理得.
24．（2022·江苏盐城·模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边AB，CD分别交于点M，N．

(1)若Q是BC的中点，求的取值范围；
(2)若P是平面上一点，且满足，求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．

【分析】（1）由向量的加法和数量积运算将转化为，再由的值和的范围可求得结果.
（2）令可得点T 在BC上，再将转化为，由、的范围可求得结果.
【详解】（1）因为直线l过中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N．
所以O为MN的中点，所以，
所以．
因为Q是BC的中点，所以，，
所以，
即的取值范围为；
（2）令，则 ，
∴，即：
∴
∴点T 在BC上，
又因为O为MN的中点，
所以，从而，，
因为，
所以，
即的最小值为．


【高考必刷】

一、单选题
25．（2023·四川·石室中学校联考模拟预测）已知向量，，则（    ）
A．7 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量数量积的运算，先求，再根据同角三角函数基本关系是求.
【详解】由已知，得，则为锐角，
所以，
所以.
故选：A.
26．（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）若非零向量，满足，，则与的夹角为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对两边同时平方可求出，设与的夹角为，由向量的夹角公式代入即可得出答案.
【详解】因为，以，
又，，所以，，
设与的夹角为，
则，
因为，所以，
即与的夹角为.
故选：D.
27．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知的外接圆圆心为O，且，，则（    ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】根据题意可知△为直角三角形，△为等边三角形，即可求出的值.
【详解】由知是边中点，
因为是△的外接圆圆心，所以△为直角三角形，
且，因为，所以△为等边三角形，
所以，，
所以，
故选：C.
28．（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）如图,在平行四边形中,,是边的中点,是上靠近的三等分点,若,则（    ）

A．4 B． C． D．8
【答案】A
【分析】将通过平面向量基本定理转化到上,展开计算,再将代入即可求得.
【详解】解:由题知,所以,
记,因为且为平行四边形,
所以



,
解得:(舍)或.
故选:A
29．（2023春·江苏镇江·高三校考开学考试）已知平面向量满足，且，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，求出，建立平面直角坐标系，设，求出轨迹方程，利用几何意义即可求出的最大值.
【详解】由可知,，故，
如图建立坐标系，，，
设，由可得：
，

所以的终点在以为圆心,1为半径的圆上，
所以，几何意义为到距离的2倍，
由儿何意义可知，
故选：D.
30．（2023·四川攀枝花·攀枝花七中校考模拟预测）在中，，点D在线段上，点E在线段上，且满足，，交于点F，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得AB＝4，AC＝3，设，根据平面向量的线性运算，推出，由B，E，F三点共线求得λ，再将表示成以为基底的向量，由平面向量数量积的运算法则得答案．
【详解】
如图：由，得AB＝4，AC＝3，
设，
则


三点共线，，即
，
则

故选：C.
31．（2022·四川眉山·统考一模）已知椭圆的左焦点为，离心率为，直线与C交于点M，N，且，．当取最小值时，椭圆C的离心率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直线和椭圆的对称性可得为平行四边形,再由及向量的数量积可求,再应用基本不等式,取等条件计算即可.
【详解】因为直线与C交于点M，N，
设为的中点,由为的中点,故四边形为平行四边形.

则,由椭圆定义得
设因为,所以,又因
所以,,
在中, ，应用余弦定理

所以,又因为,所以

当且仅当,即时取最小值,此时,
则

故选: .
32．（2022·吉林·东北师大附中校考模拟预测）在中，为上一点，，为线段上任一点，若，则的最小值是（    ）
A． B． C．6 D．8
【答案】D
【分析】利用共线定理求出定值，再用基本不等式即可求解.
【详解】由题知，，
所以，
又因为为线段上任一点，
所以，
所以

当且仅当时等号成立，此时，.
故选：D.

二、多选题
33．（2022秋·安徽合肥·高三统考期末）在中，已知，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】画出三角形，应用向量线性表示，三角形法则，数量积关系逐项分析即可.
【详解】如图所示：

因为，所以，
所以，
故选项A正确，
因为，所以
所以



，
故C选项错误，
由，
，
在，，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，
即
即，故选项D正确，
由，
所以在中，因为，
所以，故B正确，
故选：ABD.
34．（2023·福建·统考一模）平面向量满足，对任意的实数t，恒成立，则（    ）
A．与的夹角为 B．为定值
C．的最小值为 D．在上的投影向量为
【答案】AD
【分析】由题意可得：与的夹角，然后根据向量的运算逐项进行检验即可求解.
【详解】设平面向量与的夹角为，
因为对任意的实数t，恒成立，
即恒成立，又，
也即对任意的实数恒成立，
所以，则，所以，
故选项正确；
对于，因为随的变化而变化，故选项错误；
对于，因为，由二次函数的性质可知：当时，取最小值，故选项错误；
对于，向量上的一个单位向量，由向量夹角公式可得：，
由投影向量的计算公式可得：在上的投影向量为，故选项正确，
故选：.
35．（2023春·广东揭阳·高三校考开学考试）已知O为坐标原点，点，，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】利用平面向量的坐标表示与旋转角的定义推得是正三角形，从而对选项逐一分析判断即可.
【详解】对于A，因为，，，
所以，，
故是正三角形，则，故A正确；
对于B，因为是正三角形，是的外心，
所以是的重心，故，即，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，因为，则，
所以，故D错误.
故选：ABC．
.
36．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）在中，，，，且
，则（    ）
A．
B．
C．
D．，，，使得
【答案】ABCD
【分析】根据向量共线以及三角形的面积公式可判断A，根据不等式即可求解BCD.
【详解】设中所对的边分别为，由，，得，，，
进而得，，，
,
,
，
故A正确，
由A知，，，
所以，当且仅当取等号，因此，故B正确，
,
同理
，
，当且仅当时取等号,
因此存在使得，故D正确
，所以，故C正确,
故选：ABCD


三、填空题
37．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知向量满足，请写出一个符合题意的向量的坐标______.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意，由数量积的计算公式可得，分析、的关系，利用特殊值法可得答案.
【详解】根据题意，向量，且，
则有，即，
当时，，则.
故答案为：（答案不唯一）
38．（2023·全国·高三专题练习）在中，，点Q满足，则的最大值为___________.
【答案】##
【分析】设中点为M，则，根据平面向量的线性运算可得，得当时，最大，此时是等边三角形，
求出即可求解.
【详解】设中点为M，
则，
，
由，知P点轨迹是以为弦，圆周角为的优弧，
∴当时，最大，此时是等边三角形，
则.
故答案为：.
39．（2023·陕西商洛·校考三模）已知平面向量，，，其中为单位向量，若，则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】建立如图所示坐标系，不妨设，由题意，可知，记，，则，求出点的轨迹方程，由的几何意义可得即为点的轨迹上的点到点的轨迹上的点的距离，从而可得出答案．
【详解】解：建立如图所示坐标系，

不妨设，
由知，点在直线或上，
由题意，可知，
记，，则，
由定弦所对的角为顶角可知点的轨迹是两个关于轴对称的圆弧，
设，则，
因为，
即，
整理得或，
由对称性不妨只考虑第一象限的情况，
因为的几何意义为：圆弧的点到直线上的点的距离，
所以最小值为，
故．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是建立平面直角坐标系，利用坐标法求出动点的轨迹，再结合解析几何的知识求出向量模的取值范围.
40．（2023·全国·模拟预测）已知，，是平面向量，满足，，，则向量在向量上的投影的数量的最小值是______.
【答案】
【分析】由，可得，即，再结合条件，，不妨设，，，结合条件可得，表示出向量在向量上的投影的数量，从而求得最小值.
【详解】由，则，
即，即，即，
又由，所以，，
不妨设，，，
则，即，
即，则
故向量在向量上的投影的数量为，
又，所以，
所以向量在向量上的投影的数量的最小值是.
故答案为：.
41．（2023·陕西渭南·统考一模）将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，…，，若，则____________.
【答案】10
【分析】根据题意作出两个函数的图象分析交点个数，利用对称性化简向量的和即可求解.
【详解】如图可知：函数和直线共有5个交点，依次为，其中，
∵函数和直线均关于点对称，则关于点对称，
∴，且，
故.
故答案为：10.


四、解答题(共0分)
42．（2023·全国·高三专题练习）中，，，，.
(1)若，，求的长度；
(2)若为角平分线，且，求的面积.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）从向量角度，以为基底，表示出，再用向量法计算的模长，即的长度；
（2）用正弦定理的面积公式分别A表示出，，面积，列出等式计算即可求出A的正弦值，继而求出面积.
【详解】（1）∵，，∴，
又∵在中，，，，
∴，
∴，即：.
（2）在中，，
又∵，
∴，∴，∴，
∴，
∴.
43．（2023·全国·高三专题练习）已知圆的内接四边形ABCD中，，BC=2，．
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)设边AB，CD的中点分别为E，F，求的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由余弦定理与面积公式求解
（2）以为基底分解，由平面向量数量积的运算律求解
（1）解：在中，在中，∵A，B，C，D四点共圆，∴，∴，∴，因为，所以，所以，，
（2）解：由（1）可知即外接圆的直径，设的中点为，所以，．
44．（2022秋·广东广州·高三广州市第一一三中学校考阶段练习）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点O是的外心，．
(1)求角A；
(2)若外接圆的周长为，求周长的取值范围，
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由三角形外心的定义和向量数量积的几何意义对条件化简，然后利用正弦定理边化角，整理化简可得；
（2）先求外接圆半径，结合（1）和正弦定理将三角形周长表示为角C的三角函数，由正弦函数性质可得.
【详解】（1）过点O作AB的垂线，垂足为D，
因为O是的外心，所以D为AB的中点
所以，同理
所以，由正弦定理边化角得：

所以
整理得：
因为，所以
所以，即
又，
所以，得

（2）记外接圆的半径为R，
因为外接圆的周长为，
所以，得
所以周长
由（1）知，
所以
因为，所以
所以
所以，即
所以周长的取值范围为