河南省开封市龙亭区水稻中学2023-2024学年上学期九年级月考数学试卷（9月份）

2023-2024学年河南省开封市龙亭区水稻中学九年级（上）月考数学试卷（9月份）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.对于关于的一元二次方程，它的一次项系数和常数项分别是(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

2.如果关于的方程是一元二次方程，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D. 都不是

3.已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.已知方程配方后是，那么方程配方后是(    )

A.  B.  C.  D.

5.关于的方程的根是，，均为常数，，则关于的方程的根是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

6.一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定

7.已知实数，分别满足，，且，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为，则的值为(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

9.若方程是关于的一元二次方程，则必有(    )

A.  B. 一根为 C. 一根为 D. 以上都不对

10.某广场有一块正方形的空地正中间修建一个圆形喷泉，在四个角修建四个四分之一圆形的水池，其余部分种植花草．若喷泉和水池的半径都相同，喷泉边缘到空地边界的距离为，种植花草的区域的面积为，设水池半径为，可列出方程(    )

A.  B.
C.  D.

11.已知为实数，且满足，那么的值为(    )

A.  B. 或 C.  D.

12.某商店销售连衣裙，每条盈利元，每天可以销售条商店决定降价销售，经调查，每降价元，商店每天可多销售条连衣裙若想要商店每天盈利元，每条连衣裙应降价(    )

A. 元 B. 元 C. 元 D. 元或元

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.若是方程的根，则代数式的值是______．

14.某产品每件的生产成本为元，原定销售价元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降，第二季度又将回升若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为，根据题意可列方程是______．

15.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．

16.对于实数，，定义运算“”如下：，例如，，若，则的值为______ ．

17.已知，，分别是等腰三角形非等边三角形三边的长，且、是关于的一元二次方程的两个根，则的值等于______．

18.你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢以方程即为例加以说明．数学家赵爽公元世纪在其所著的勾股圆方图注中记载的方法是：构造图如图左图中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，据此易得那么在如图右边三个构图矩形的顶点均落在边长为的小正方形网格格点上中，能够说明方程的正确构图是______只填序号

 

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.本小题分
解下列方程：
；
．

20.本小题分
已知关于的一元二次方程总有实数根．
求的取值范围；
若该方程有两个相等的实数根，求该方程的根．

21.本小题分
已知，，且，求的值．

22.本小题分
已知，是一元二次方程的两个实数根．
是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请你说明理由；
求使为负整数的实数的整数值．

23.本小题分
在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒．
填空：______，______用含的代数式表示；
当为何值时，的长度等于？
是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．

24.本小题分
阅读下面例题的解答过程，体会并其方法，并借鉴例题的解法解方程．
例：解方程．
解：当即时，．
原化为方程，即
解得
，故舍去，
是原方程的解．
当即时，．
原化为方程，即
解得
，故舍去，
是原方程的解．
综上所述，原方程的解为，
解方程．

25.本小题分
某批发城在冬天到来之际进了一批保暖衣，男生的保暖衣每件价格元，女生的保暖衣每件价格元，第一批共购买件．
第一批购买的保暖衣的总费用不超过元，求女生保暖衣最少购买多少件？
第二批购买保暖衣，购买男、女生保暖衣的件数比为：，价格保持第一批的价格不变；第三批购买男生保暖衣的价格在第一批购买的价格上每件减少了元，女生保暖衣的价格比第一批购买的价格上每件增加了元，男生保暖衣的数量比第二批增加了，女生保暖衣的数量比第二批减少了，第二批与第三批购买保暖衣的总费用相同，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的一次项系数和常数项分别是和．
故选：．
根据一元二次方程的一般形式：是常数且中，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．
本题主要考查了一元二次方程的一般形式．注意在说明二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号．

2.【答案】 

【解析】解：由题意得：，且，
解得：，
故选：．
利用一元二次方程定义可得，且，再解出的值即可．
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．

3.【答案】 

【解析】解：设该方程的另外一个解为，
，
，
将代入可得：，
，
故选：．
由根与系数的关系即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根与系数关系，本题属于基础题型．

4.【答案】 

【解析】解：方程配方后是，
，
，
解得：，
即，
，
，
，即，
即，
故选：．
根据完全平方公式展开，求出、的值，再代入即可．
本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：关于的方程的根是，，
关于的方程，即，满足或，
解得，，
故选：．
将方程变形为，对照已知方程及其根得出或，解之可得答案．
本题主要考查解一元二次方程直接开平方法，解题的关键是将待求方程变形，并比对已知方程得出或．

6.【答案】 

【解析】解：一元二次方程中，
，，，
，
方程没有实数根．
故选：．
先计算判别式的值，然后根据判别式的意义求解．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．

7.【答案】 

【解析】【分析】
此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
根据已知两等式得到与为方程的两根，利用根与系数的关系求出与的值，所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，将与的值代入计算即可求出值．
【解答】解：根据题意得：与为方程的两根，
，，
则原式．
故选A．

8.【答案】 

【解析】【分析】
设，是的两个实数根，由根与系数的关系得，，再由代入即可；
本题考查一元二次方程根与系数的关系，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
【解答】
解：设，是的两个实数根，
，
，
，，
，
或；
；
故选：．

9.【答案】 

【解析】解：、当时，，，则式子不是方程，故错误；
B、把代入方程的左边：方程成立，
所以是方程的解；
C、把代入方程的左边：不一定成立，故选项错误
故选B．
一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．对于前三个选项分别检验即可．
本题主要考查了方程的解的定义，以及一元二次方程一般形式中注意．

10.【答案】 

【解析】解：设水池半径为，则正方形的边长为，
根据题意得：，
故选：．
设水池半径为，从而表示出正方形的边长，根据面积公式列出方程即可．
考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是找到题目中的等量关系，难度不大．

11.【答案】 

【解析】解：由，
则，可化为：，
分解因式，得，，
解得，，，
当时，，方程无实数根，
当时，．
故选：．
首先利用换元思想，把看作一个整体换为，化为含一元二次方程，解这个方程即可．
此题考查了用换元法解一元二次方程，考察了学生的整体思想．解题的关键是找到哪个是换元的整体．

12.【答案】 

【解析】解：设每条连衣裙降价元，则每天售出条，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
答：每条连衣裙应降价元或元．
故选：．
设每条连衣裙降价元，则每天售出条，根据总利润单件利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：把代入，得
，
解得，
所以．
故答案是：．
把代入已知方程，并求得，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可．
本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

14.【答案】 

【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
每个季度平均降低成本的百分率为，根据利润售价成本价，结合半年以后的销售利润为元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
解：依题意，得：．
故答案为：．

15.【答案】且 

【解析】【分析】
本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
根据根的判别式即可求出答案
【解答】
解：由题意可知：，
，
，
且，
故答案为：且．

16.【答案】或 

【解析】解：由题意可得，
整理得：，
解得：或，
故答案为：或．
根据新运算列方程并解方程即可．
本题考查解一元二次方程，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键．

17.【答案】或 

【解析】【分析】
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，也考查了三角形三边的关系和根的判别式．讨论：当时，利用判别式的意义得到，则；当时，根据根与系数的关系得，，解得，；当时，同理可得，，可得答案．
【解答】
解：当时，，
解得，
此时方程为，
解得，
，
满足条件；
当时，，，
解得，，
当时，同理可得，，
综上所述，的值为或．

18.【答案】 

【解析】解：即，
构造如图中大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，
据此易得．
故答案为：．
仿照案例，构造面积是的大正方形，由它的面积为，可求出，此题得解．
本题考查了一元二次方程的应用，仿照案例，构造出合适的大正方形是解题的关键．

19.【答案】解：，
，
即．
或，
所以，；
方程整理为，
，，，
，
，
，． 

【解析】把方程看作关于的一元二次方程，利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可；
先把方程整理为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．

20.【答案】解：一元二次方程总有实数根，
，
解得，
的取值范围是；
方程有两个相等的实数根，
，
，
代入方程得，，
解得． 

【解析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解法，解题的关键是记住：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
根据一元二次方程的根的判别式的意义得到，解不等式可求出的取值范围；
根据求出，代入方程再解方程可得出答案．

21.【答案】解：由及，可知，，
又，
．
，
将方程的两边都除以得：，
与是方程的两个不相等的实数根，
则，
． 

【解析】首先把可变形为，然后结合根据一元二次方程根与系数的关系可以得到与是方程的两个不相等的实数根，那么利用根与系数的关系即可求出所求代数式的值．
首先把可变形为是解题的关键，然后利用根与系数的关系就可以求出所求代数式的值．

22.【答案】解：，是一元二次方程的两个实数根，
由根与系数的关系可知，，，
一元二次方程有两个实数根，
，且，
解得，且，
存在，理由如下：
，
，
即
解得；
存在实数，使成立，的值是；
，
即，
当为负整数时，，且是的约数，
，，，或，
，，或，
使为负整数的实数的整数值有，，，或． 

【解析】本题考查根与系数的关系、以及根的判别式．
根据根与系数的关系求得，，根据一元二次方程的根的判别式求得的取值范围，
将已知等式变形为，即，通过解方程即可求得的值；
将代数式化简得到，根据限制性条件“为负整数”求得的取值范围，即，且是的约数，据此在取值范围内取的整数值即可．

23.【答案】解：；；
由题意得：，
解得：，；
当秒或秒时，的长度等于； 
存在秒，能够使得五边形的面积等于理由如下：
长方形的面积是：，
使得五边形的面积等于，则的面积为，
，
解得：不合题意舍去，．
即当秒时，使得五边形的面积等于． 

【解析】【分析】
此题主要考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，关键是表示出、的长度．根据、两点的运动速度可得、的长度；
根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可；
根据题意可得的面积为长方形的面积减去五边形的面积，再根据三角形的面积公式代入相应线段的长即可得到方程，再解方程即可．
【解答】
解：从点开始沿边向终点以的速度移动，
，
，
，
点从点开始沿边向终点以的速度移动，
；
见答案；
见答案．

24.【答案】解：当即时，．
原化为方程，即
解得，
，故舍去，
是原方程的解．
当即时，．
原化为方程，即
解得，
，故舍去，
是原方程的解．
综上所述，原方程的解为，． 

【解析】先要去绝对值，把方程化为一元二次方程，则分类讨论：当即时，原化为方程，即；当即时，原化为方程，即，然后利用因式分解法解两个一元二次方程，再根据的取值范围确定原方程的解．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想．

25.【答案】解：设女生保暖衣购买件．
解之得
答：女生保暖衣最少购件；

设购买男、女生保暖衣的件数分别为、．
根据题意，得
设，则
解得：舍去，
．
答：的值是． 

【解析】设购买女生保暖衣件，则购买男生保暖衣件，根据总价单价数量结合第一批购买的校服的总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论；
设第二批购进女生保暖衣件，则购进男生保暖衣件，根据第二、三批购买保暖衣的总费用相同，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式；找准等量关系，正确列出一元二次方程．