吉林省松原市前郭一中、三中、蒙中2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年吉林省松原市前郭一中、三中、蒙中九年级（上）月考数学试卷（9月份）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.一元二次方程的一次项系数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.一元二次方程根的判别式的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3.抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4.用配方法解方程，配方后的方程是(    )

A.  B.  C.  D.

5.如图所示，直线为二次函数的图象的对称轴，则下列说法正确的是(    )

A. 恒大于 B. ，同号 C. 异号 D. 以上说法都不对

6.“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理销售中发现每件售价元时，日销售量为件，当每件电子产品每下降元时，日销售量会增加件．已知每售出件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共元，设每件电子产品售价为元，主播每天的利润为元，则与之间的函数解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

7.小华在解一元二次方程时，只得出一个根是，则被他漏掉的一个根是______ ．

8.二次函数的图象如图所示，则的取值范围是______ ．

9.将抛物线向上平移个单位长度，所得抛物线解析式为______ ．

10.二次函数的最大值是______ ．

11.已知点，在抛物线上，且，则 ______ 填“”或“”或“”

12.如图，二次函数的图象与轴相交于和两点，当函数值时，自变量的取值范围是______ ．

13.如图，抛物线与轴相交于点、点，与轴相交于点，点在抛物线上，当轴时， ______ ．

14.如图，有一张长方形桌子的桌面长，宽有一块长方形台布的面积是桌面面积的倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等若设台布垂下的长度为，则可列出满足的方程为______ 不必化简

三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.本小题分
解方程：．

16.本小题分
解方程：．

17.本小题分
解方程：．

18.本小题分
已知抛物线经过点．

求的值；
若点、都在该抛物线上，试比较与的大小．

19.本小题分
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
当时，用配方法解方程．

20.本小题分
如图，已知抛物线的部分图象，，．
求抛物线的解析式；
若抛物线与轴的另一个交点是点，求的面积．

21.本小题分
今年以来，长沙文旅各项数据增长强劲，长沙也是国内热门旅游目的地之一月日，五一商圈累计客流量将近万人次，其中外地游客占比左右长沙新消费品牌因人流量大也业绩喜人，文和友天接待客人约万人次．
请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确对的打“”，错的打“”
月日当天，长沙五一商圈本地游客占比左右______ ；
今年长沙文和友五一期间平均每天接待客人约万人次______ ；
另据一报道：长沙年五一假期，共接待游客约万大次，在年五一假期，共接待游客约万人次若年至年的年平均增长率保持相同，求出长沙年至年五一假期接待游客人次的年平均增长率．

22.本小题分

已知二次函数．
用配方法将化成的形式；并写出对称轴和顶点坐标．
在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的草图；
当时，直接写出的取值范围．

23.本小题分
年月日，商业首航完成中国民航商业运营国产大飞机正式起步时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪如图，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分如图，当两辆消防车喷水口，的水平距离为米时，两条水柱在抛物线的顶点处相遇此时相遇点距地面米，喷水口，距地面均为米若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，求此时两条水柱相遇点距地面多少米．
 

24.本小题分
【观察思考】

【规律发现】
请用含的式子填空：
第个图案中“”的个数为______ ；
第个图案中“”的个数可表示为，第个图案中“”的个数可表示为，第个图案中“”的个数可表示为，第个图案中“”的个数可表示为，，第个图案中“”的个数可表示为______ ．
【规律应用】
结合图案中“”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍．

25.本小题分
如图，在矩形中，，，动点、分别以，的速度从点，同时出发，沿规定路线移动．
若点从点移动到点停止，点随点的停止而停止移动，问经过多长时间，两点之间的距离是？
若点沿着移动，点从点移动到点停止时，点随点的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？

26.本小题分

如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．
求抛物线的表达式；
当时，抛物线有最小值，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意可得：一次项为，其系数为，
故选：．
根据题意可得一次项为，即可求解．
此题考查了一元二次方程的有关概念，解题的关键是确定一次项，掌握单项式系数的概念，单项式中的数字因数为单项式的系数．

2.【答案】 

【解析】解：，
，，，
．
故选：．
根据一元二次方程根的判别式即可求出值．
本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是掌握根的判别式．

3.【答案】 

【解析】解：因为抛物线，
所以抛物线的顶点坐标是．
故选：．
根据二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标即可．
本题考查了二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标是解题关键．

4.【答案】 

【解析】解：方程，
移项得：，
配方得：，
即，
故选：．
将方程常数移到右边，再配方方程两边同时加上即可得到答案．
本题考查了解一元二次方程的方法配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：直线为二次函数的图象的对称轴，
对称轴为直线，
当时，则，
当时，则，
，异号，
故选：．
先写出抛物线的对称轴方程，列出不等式，再分，两种情况讨论即可．
本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质．

6.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查根据实际问题列函数关系式，理解题意找到题目蕴含的等量关系是解题的关键．
设每件电子产品售价为元，主播每天的利润为元，根据每件利润实际售价成本价，销售量原销售量因价格下降而增加的数量，总利润每件利润销售数量，即可得出与之间的函数解析式．
【解答】
解：设每件电子产品售价为元，主播每天的利润为元，
则每件盈利元，每天可销售件，
根据题意得：，
故选：．

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，，
，，
故答案为：．
由因式分解法解一元二次方程步骤因式分解即可求出．
本题考查了因式分解法解一元二次方程，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为，方程左边的多项式分解因式，然后根据两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解，本题的方程有些学生容易在方程两边除以，求出，忽略的情况，造成错解方程．

8.【答案】 

【解析】解：如图，抛物线的开口方向向上，则，
解得．
故答案为：．
由图示知，该抛物线的开口方向向上，则系数，据此易求的取值范围．
本题考查了二次函数的图象．二次函数的系数为正数时，抛物线开口向上；为负数时，抛物线开口向下；的绝对值越大，抛物线开口越小．

9.【答案】 

【解析】解：抛物线向上平移个单位长度，
平移后的抛物线顶点坐标为，
得到的抛物线是解析式为．
故答案为：．
根据向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．

10.【答案】 

【解析】解：．
，
当时，取得最大值，最大值．
故答案为：．
将二次函数解析式变形为顶点式，利用二次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二次函数的最值，牢记“当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标”是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：由题意得抛物线的对称轴，
又，
抛物线开口向上．
当时随的增大而增大．
对于、当时，．
故答案为：．
依据题意，求出抛物线的对称轴，从而由二次函数的性质，根据抛物线开口向下，故当时随的增大而减小，进而判断得解．
本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并理解是关键．

12.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象与轴交于和两点，函数开口向下，
函数值时，自变量的取值范围是，
故答案为．
由抛物线与轴的交点坐标，结合图象即可解决问题．
本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．

13.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴相交于点、点，
该抛物线的对称轴为直线，
抛物线与轴相交于点，点在抛物线上，轴，
点的横坐标为：，
，
故答案为：
先根据点和点的坐标求出该抛物线的对称轴，再根据二次函数具有对称性，即可得到点的横坐标，从而可以求得的长．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

14.【答案】 

【解析】解：设各边垂下的长度为，
则台布的长为，宽为，
依题意，得：，
故答案为：．
设各边垂下的长度为，则台布的长为，宽为，根据台布的面积是桌面面积的倍．即可得出关于的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

15.【答案】解：，
，
或，
或． 

【解析】利用平方根的概念进行求解即可．
此题考查了利用平方根解方程，掌握解题步骤与方法是解题的关键．

16.【答案】解：，，，
，
，
，． 

【解析】求出的值，代入公式求出即可．
本题考查解一元二次方程的应用，主要考查学生的计算能力．

17.【答案】解：，
，
，
，． 

【解析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是提取公因式，此题难度不大．
首先把化为，然后提取公因式，进而求出方程的解．

18.【答案】解：抛物线经过点，
，
解得；

函数的对称轴为，
、在对称轴左侧，
又抛物线开口向下，
对称轴左侧随的增大而增大，
，
． 

【解析】将点代入，运用待定系数法即可求出的值；
先求得抛物线的对称轴为，再判断、在对称轴左侧，从而判断出与的大小关系．
此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，利用已知解析式得出对称轴进而利用二次函数增减性得出是解题关键．

19.【答案】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，且，
解得：且；

当时，
原方程为，
即，
移项得：，
配方得：，
即，
直接开平方得：
解得：，． 

【解析】结合已知条件，根据一元二次方程的定义及根的判别式即可求得的取值范围；
将代入方程，利用配方法解方程即可．
本题考查一元二次方程的定义，根的判别式及配方法解一元二次方程，中需特别注意二次项的系数不为．

20.【答案】解：把，代入得，解得，
所以抛物线的解析式为；
当时，，解得，，
点坐标为，
的面积． 

【解析】利用待定系数法求抛物线解析式；
通过解方程得点坐标，然后根据三角形面积公式计算的面积．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．

21.【答案】   

【解析】解：，
月日当天，长沙五一商圈本地游客占比左右，说法不正确．
故答案为：；
万人次，
长沙文和友五一期间平均每天接待客人约万人次，说法正确，
故答案为：；
设年至年，长沙五一假期接待游客人次的年平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
答：年至年，长沙五一假期接待游客人次的年平均增长率为．
利用月日当天长沙五一商圈本地游客占比月日当天长沙五一商圈外地游客占比，即可得出结论；
利用长沙文和友五一期间平均每天接待客人次数文和友天接待客人次数，即可得出结论；
设年至年，长沙五一假期接待游客人次的平均增长率为，利用长沙年五一假期接待游客人次数长沙年五一假期接待游客人次数年至年，长沙五一假期接待游客人次的平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

22.【答案】解：由题意可得：，
对称轴为：直线，顶点坐标为：．
如图所示：

当时，
当，，当，，
则的取值范围为：． 

【解析】直接利用配方法求出二次函数顶点坐标和对称轴得出答案；
利用中所求进而画出函数图象；
直接利用二次函数增减性以及结合极值法求出的取值范围．
本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象、配方法求其顶点坐标，正确画出函数图象是解题关键．

23.【答案】解：由题意得，，
，
，，
设抛物线解析式为，
将代入，
得，解得，
，
两辆消防车同时后退米，
抛物线向右平移后的解析式为，
当时，则，
答：此时两条水柱相遇点距地面米． 

【解析】由题意得，，，设抛物线解析式为，可求得，则抛物线向右平移后的解析式为，令时，则，所以此时两条水柱相遇点距地面米．
此题重点考查二次函数的图象与性质、二次函数的应用等知识，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键．

24.【答案】  

【解析】解：第个图案中“”的个数为：，
第个图案中“”的个数为：，
第个图案中“”的个数为：，
，
第个图案中“”的个数：，
故答案为：；
由题意得：第个图案中“”的个数可表示为：；
故答案为：；
由题意得：，
解得：或不符合题意．
不难看出，第个图案中“”的个数为：，第个图案中“”的个数为：，第个图案中“”的个数为：，，从而可求第个图案中“”的个数；
根据所给的规律进行总结即可；
结合列出相应的式子求解即可．
本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．

25.【答案】解：过点作于，
设秒后，点和点的距离是，
，；
经过或，、两点之间的距离是；
连接设经过后的面积为．
当时，，
，即，
解得；
当时，，，
则，
解得舍去；
时，，
则，
解得舍去．
综上所述，经过秒或秒，的面积为． 

【解析】过点作于，构造直角三角形，利用勾股定理即可求得；
根据点的三个位置进行分类讨论，表示出的底和高，代入面积公式即可求得．
本题考查了动点问题，相关知识点有：勾股定理求长度，解一元二次方程等知识点，分类讨论是本题的解题关键．

26.【答案】解：将点，点代入抛物线的解析式可得：
，
解得：，
抛物线的表达式为：；
，
抛物线的最小值是，对称轴为，
和不可能在抛物线对称轴的两侧，
当时，即，
此时当时，抛物线取得最小值，即，
解得：舍去或，
即，
当时，即，
此时当时，抛物线取得最小值，即，
解得：舍去或，
即，
综上所述：或． 

【解析】点，点代入抛物线的解析式求出、的值，即可得到抛物线的解析式；
当时，即，此时当时，抛物线取得最小值；当时，即，此时当时，抛物线取得最小值．
本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．