高考数学三轮冲刺卷：空间的平行关系（含答案）

这是一份高考数学三轮冲刺卷：空间的平行关系（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共20小题；）
1. 空间两条互相平行的直线是指
A. 在空间没有公共点的两条直线
B. 分别在两个平面内的两条直线
C. 分别在两个不同的平面内，且没有公共点的两条直线
D. 在同一平面内且没有公共点的两条直线

2. 过直线 外的两点作与 平行的平面，则这样的平面
A. 不可能作出B. 只能作一个
C. 能作出无数个D. 以上情况都有可能

3. 下列命题：
①一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，必与另外一个平面相交；
②如果一个平面平行于另外两个平行平面中的一个平面，必平行于另一个平面；
③夹在两个平行平面间的平行线段相等．
其中正确的命题的个数为
A. B. C. D.

4. 下列命题中，正确的有
①平行于同一直线的两条直线平行；
②平行于同一条直线的两个平面平行；
③平行于同一个平面的两个平面平行．
A. 个B. 个C. 个D. 个

5. 下列 个命题中：
①平行于同一直线的两条不同的直线平行；
②平行于同一平面的两条不同的直线平行；
③若直线 与平面 没有公共点，则 ；
④用一个平面截一组平行平面，所得的交线相互平行；
⑤若 ，则过 的任意平面与 的交线都平行于 ．
其中真命题的个数是
A. B. C. D.

6. 已知 是平面 的一条斜线，直线 过平面 内一点 ，那么下列选项中能成立的是
A. ，且 B. ，且
C. ，且 D. ，且

7. 下列命题中正确的是
A. 若 ， 是两条直线，且 ，那么 平行于经过 的任何平面
B. 若直线 和平面 满足 ，那么 与 内的任何直线平行
C. 平行于同一条直线的两个平面平行
D. 若直线 ， 和平面 满足 ，，，则

8. 对于两条不同的直线 ， 和两个不同的平面 ，，以下结论正确的是
A. 若 ，，， 是异面直线，则 ， 相交
B. 若 ，，，则
C. 若 ，，， 共面于 ，则
D. 若 ，，， 不平行，则 ， 为异面直线

9. 已知 ， 是两条不同的直线，，， 是三个不同的平面，则下列命题正确的是
A. 若 ，，，则
B. 若 ，，，，则
C. 若 ，，则
D. 若 ，，则

10. 已知 ， 是两条不同的直线，，， 是三个不同的平面，则下列命题正确的是
A. 若 ，，，则
B. 若 ，，，，则
C. 若 ，，则
D. 若 ，，则

11. 下列条件能判定平面 的是
① 且 ；② 且 ；③ 且 ；④ 且 ．
A. ①③B. ②④C. ①②D. ③④

12. 关于空间两条直线 ， 和平面 ，下列命题正确的是
A. 若 ，，则 B. 若 ，，则
C. 若 ，，则 D. 若 ，，则

13. 设 是两条直线， 是两个平面，则 的一个充分条件是
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，

14. 设 ，， 表示三条不同的直线，，， 表示三个不同的平面，给出下列四个命题： 若 ，，，则 ； 若 ， 是 在 内的射影，，则 ； 若 ，，则 其中真命题的个数为
A. B. C. D.

15. 设 ， 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是
A. 若 ，，则 B. 若 ，，则
C. 若 ，，则 D. 若 ，，则

16. 设 ， 是平面 内的两条不同直线，， 是平面 内的两条相交直线，则 的一个充分而不必要的条件是
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且

17. 若 是空间两条不同的直线， 是空间的两个不同的平面，则 的一个充分不必要条件是
A. ，B. ，C. ，D. ，

18. 若 ， 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则“ ”是“ ”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件

19. 若 ， 是两条不同的直线，，， 是三个不同的平面，则下列命题中正确命题是
A. 若 ，，则
B. 若 ，，，则
C. 若 ，，则
D. 若 ，，则

20. 设平面 ，，， 是 的中点，当 ， 分别在 ， 内运动时，那么所有的动点
A. 不共面
B. 当且仅当 ， 在两条相交直线上移动时才共面
C. 当且仅当 ， 在两条给定的平行直线上移动时才共面
D. 不论 ， 如何移动都共面

二、填空题（共5小题；）
21. 已知平面 ， 是 ， 外一点，过点 的两条直线 ， 分别交 于 ，，交 于 ，，且 ，，，则 的长为 ．

22. 设 ，，，直线 与 交于 ，且 ，，，当 在 ， 之间时， ．

23. 下列命题：
①平面 内有无数个点到平面 的距离相等，则 ；
②若直线 与两平面 ， 都不垂直，则 ， 不平行；
③若两个平面 ， 与平面 均垂直，则 ．
则真命题的个数是 ．

24. 已知 ，， 是三条不同的直线，，， 是三个不重合的平面，现给出以下命题：
① ，；
② ，；
③ ，；
④ ，．
其中正确的命题是 ．（填序号）

25. 如图所示，在直角梯形 中，，，， 分别是 ， 的中点，将 沿 折起，下列说法正确的是 （填上所有正确的序号）．
①不论 折至何位置（不在平面 内）都有 ；
②不论 折至何位置都有 ；
③不论 折至何位置（不在平面 内）都有 ．

三、解答题（共5小题；）
26. 如图，在四面体 中，，，点 分别是棱 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证：四边形 为矩形；
（3）是否存在点 ，到四面体 六条棱的中点的距离相等?说明理由．

27. 如图所示几何体中， 为正三角形， 和 垂直于平面 ，且 ，， 为 的中点．求证：
（1）；
（2）．

28. 如图，四棱锥 中，，底面 为正方形，， 为 的中点，．
（1）求证：；
（2） 边上是否存在一点 ，使得 ?若存在，求 的长；若不存在，请说明理由．

29. 如图所示，斜三棱柱 中，点 ， 分别为 ， 的中点．求证：
（1）；
（2）．

30. 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 是正三角形，， 和 分别是 和 的中点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）在 上是否存在点 ，使得平面 ?若存在求出 点位置，并证明；若不存在，请说明理由．
答案
1. D【解析】在空间中没有公共点的两条直线可能平行也可能异面；分别在两个平面内，且没有公共点的两条直线可能平行也可能异面．
2. D
3. C
4. C
5. C
【解析】对于①，根据平行公理，平行于同一直线的两条不同的直线平行，①正确；
对于②，平行于同一平面的两条不同的直线，可能平行、异面或相交；②错误；
对于③，根据线面平行的概念，若直线 与平面 没有公共点，所以 ，③正确；
对于④，根据面面平行的性质，用一个平面截一组平行平面，所得的交线相互平行，④正确；
对于⑤，根据线面平行的性质，若 ，则过 的任意平面与 的交线都平行于 ，⑤正确．
6. A
7. D【解析】A中， 可以在过 的平面内；
B中， 与 内的直线可能异面；
C中，两平面可相交；
D中，由直线与平面平行的判定定理知，，正确．
8. C
9. D【解析】A．一组线线平行，不能推出面面平行，故A错；
B．若 ，则不能推出 ，故B错；
C． 与 可能平行，可能相交，故C错；
D．垂直于同一直线的两平面相互平行，正确．
10. D
11. C【解析】对于①，设 ，因为 ，，则 ，，于是 ，故①可得出 ；
对于②，由“垂直于同一条直线的两个平面平行”可得 ，故②可得出 ；
对于③，设 ，，，，则 ，，显然 ， 相交，故③不能判断 ；
对于④，当 ，， 两两垂直时，显然不能得出 ．
12. D【解析】线面平行的判定定理中的条件要求 ，故 A错．平行于平面的直线与平面内的直线的位置关系，可以平行，也可以异面，故B错．平行于同一个平面的两条直线的位置关系，平行、相交、异面都有可能，故C错．垂直于同一个平面的两条直线的位置关系是平行，故D正确．
13. C【解析】以正方体为背景考虑，
A中，设平面 为 ，平面 为 ，若 为 ， 为 ，显然 不成立；
B中的条件可以推得 ，所以不成立；
C中，由 ， 可得 ，而 ，所以可得到 ；反之，仅由 得不到C中的条件，所以C为符合结论的选项．
D中，设平面 为 ，平面 为 ，若 为 ， 为 ，则 不成立．
14. C【解析】由 ，， 表示三条不同的直线，，， 表示三个不同的平面知：在 中，若 ，，，则平面 ， 成 角，所以 ，故 正确；在 中，若 ， 是 在 内的射影，，则由三垂线定理得 ，故 正确；对于 ，，，则 错误，如墙角的三个面的关系，故 错误，真命题的个数为 ，故选C．
15. B
16. B【解析】因 ，，若 ，则有 且 ，故 的一个必要条件是 且 ，排除A．因 ，，， 且 与 相交，若 且 ，因 与 相交，故 与 也相交，所以 ；若 ，则直线 与直线 可能为异面直线，故 的一个充分而不必要条件是 且 ．
17. D【解析】提示：A、B、C中的 与 的位置关系都不确定．D中，由 ， 可以推得 （事实上，这符合线面垂直的推论），反之 时，不能得到 ，．
18. B
19. C【解析】分别如图所示：
故A不正确；
此图显示 与 相交，故B不正确；
因为 ，，所以， 内存在与 垂直的直线，故 ，C正确；
如图显示， 与 不垂直，故D不正确．
20. D
【解析】设平面 、 间的距离为 ，则不论 、 如何移动，点 到 、 的距离都分别为 ．所以动点 都在平面 、 之间，且与 、 的距离都相等的一个平面上．
21. 或
【解析】提示：点 可能在两个平行平面的之间，也可能在两平面一侧．
22.
【解析】，所以 ．所以 ．
23.
24. ①④
【解析】由线面、面面平行的定义和线面、面面平行的判定定理以及性质定理可得．
25. ①②
【解析】①在直角梯形 中，由 ，，知四边形 为矩形．
连接 ，
因为 为 的中点，则 过点 ．
当 折至某一位置时，如图所示，连接 ，
因为 为 的中点， 为 的中点，
所以 为 的中位线，
所以 ，
因为 ，，
所以 ，①正确；
②由已知，，，，
所以 ，，
所以 ，
所以 ，②正确；
③ 与 异面，假设 ，
由 知，，
又 ，得 ，这与 相矛盾，
所以假设不成立，③错误．
26. （1） 因为 分别为 的中点，所以 ．
又因为 平面 ，所以 平面 ．
（2） 因为 分别为 的中点，所以
所以四边形 为平行四边形．
又因为 ，所以 ，所以四边形 为矩形．
（3） 存在点 满足条件，理由如下：
连接 ，设 为 的中点，
由（2）知，，且
分别取 的中点 ，连接 ．
与（2）同理，可证四边形 为矩形，其对角线交点为 的中点 ，
所以 为满足条件的点．
27. （1） 如图，取 中点 ，连接 ．
∵ 为 中点，
且 ；
又 且 ；
且 ．
四边形 为平行四边形．
，又 ，；
．
（2） 为正三角形， 为 中点；
，
，；
；
又 ，；
．
，
．
又（1）已证 ，；
又 ， 为 的中点，
；
又 ，，
．
，
．
28. （1） 因为 ，，
所以 ．
因为四边形 是正方形，
所以 ．
又 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
（2） 连接 ， 交于点 ，连接 ，，延长 交 于点 ，连接 ，则 ．
证明如下：
因为 为 的中点， 是 的中点，
所以 ．
因为 ，，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
所以 的长为 ．
29. （1） 因为 ， 分别为 ， 的中点，四边形 为平行四边形，
所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ．
又 ，，
所以 ．
（2） 连接 ，
因为 ，，平面 ，
所以 ，
又因为 ， 分别为 ， 的中点，
所以 ，
故四边形 为平行四边形，
所以 ，
又 ，，
所以 ．
30. （1） 因为 是正三角形， 是 的中点，
所以 ．
因为 ，且 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
（2） 因为 ，，
所以 ．
因为 是正方形，， 分别是 ， 的中点，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
（3）
存在点 为 的中点，使得平面 ．
证明：因为 ， 分别是 ， 的中点，
所以 ．
因为 ，，
所以 ．
同理可得 ．
因为 ，
所以 ．